模塊02函數與導數

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.(2025高三?全國?專題練習)已知函數〃耳=想尸，則函數8(力=〃廠1)+7^二1的定義域是(

|x1|<x<2

A.{%[%>2或％<0}B.

C.D.卜3

【答案】B

【分析】根據對數函數中真數大于0,二次根式下被開方數非負，求出定義域.

1—Y1—y

【詳解】要使〃尤)=電產有意義，則產>0,

1十XL十JC

gp(l-x)(l+x)>0,解得Tvxvl,所以函數的定義域為(-U),

/、/、/----[—lv%—1<11

要使g(x)=/■(xT)+^/^二^有意義，則21_1>0'解得]Wx<2,

所以函數g(x)的定義域為卜卜…1.

故選：B

flax-2,x<1,

2.(24-25IWI三上?甘肅?期末)已知函數=1x、，滿足V國,無2eR且工產超，

[a,x>\

(x2-x1)[/(x1)-/(x2)]<0,則。的取值范圍為()

A.(0,1)B.(1,+s)C.(1,2]D.(0,l)u(l,+s)

【答案】C

【分析】根據給定條件可得函數的單調性，再利用分段函數單調性，結合指數函數單調性列式求解.

【詳解】依題意，函數/(x)滿足“，無?eR且玉片馬，(為-七)[〃網)-〃%)]>0,則“X)是R上的增函數，

a>0

因此<a>l,解得l<aW2,

2a—2<a

所以。的取值范圍為(1,2].

故選：C

2兀

3.（24-25高三上?黑龍江?期末）設函數/（x）=sin2x+，貝域線y=在。,處的切線方程為（

A.2x+2+y/3=0B.x+2y-\[3=0

C.x+2y+\/^=0D.2X+2J-A/3=0

【答案】D

【分析】先求出導函數，再得出切線的斜率進而得出點斜式方程即可.

【詳解】由題意得尸（x）=2cos0x+g

于是當x=0時，曲線y=/（汽）在點0,處的切線斜率為k=y'L。=2cosm=-1,

此時切線方程為y-#=-(x-0),即2x+2y-g=0.

故選:D.

2

4.（24-25高三上?山東煙臺?期末）

【分析】利用奇偶性可判斷CD不符合，利用賦值法可判斷AB.

【詳解】由工v>0,可得/（l——）〉。，所以］）<。，所以0〈尤2<i，

1-x2

解得一1<%<0或定義域關于原點對稱,

又f(T)=Tin("=_xln

=-〃尤），故函數為奇函數，故排除CD；

lnl=O,

故B符合，A不符合.

故選：B.

5.（24-25高三上?河北保定?期末）已知。=cos2,^^log20.7,貝!J。、b、。的大小關系為（）

A.a>b>cB.c>a>b

C.b>a>cD.c>b>a

【答案】B

【分析】利用指數函數、對數函數的單調性、余弦值的符號結合中間值法可得出。、b,。的大小關系.

【詳解】因為余弦函數產cosx在與兀［上為減函數，且］<2<g,

2兀1

則cos——<cos2<0,即——<Q<0,

32

對數函數y=logzX為增函數，則log?；<log?0-7<log2孝，即

又因為c=2°」>0,故c>a>6.

故選：B.

6.（2025高三?全國?專題練習）為加強環境保護，治理空氣污染，某生態環境部門對某工廠產生的廢氣進行

了監測，發現該廠產生的廢氣經過過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量。與時間f（h）滿足p=p°e-“

（P。為初始污染物含量，k為參數）.若污染物含量達到初始含量的12.5%就達到排放標準，且在過濾的前

15個小時消除了50%的污染物，則達到排放標準至少需要（）

A.44小時B.45小時C.46小時D.47小時

【答案】B

【分析】根據條件建立方程，求出過濾過程中廢氣的污染物含量P,進而得出達到排放標準至少所需的時

間.

【詳解】由題意，當，=0時，廢氣的污染物含量P=P。，

15

（1-O.5）po=poe-\貝必=詈，

M2

15

所以〃=pQe?

設達到排放標準至少所需的時間為，(h),

In2,f

則0」25p0=p0eF',化簡得In8=xln2,

即31n2=gn2,所以『3,解得江=45(h).

故選：B.

b

7.(24-25高三上?湖北?階段練習)若〃%)=三+依2+及一/一7°在*=1處取得極大值10,則一的值為()

a

A3Tl3Tl3-1

A.--^4--B.￡或萬C.—D.—

22

【答案】C

r(i)=o

【分析】求出/'(x),由題意可得出"1)=10,解出〃、人的值，再結合題意進行檢驗，即可得解.

A>0

【詳解】因為/(%)=%3+依2+法_。2一7。，貝IJ/，(%)=3Y+2改+〃，

又/(%)=d+辦2+fev—a2—7。在％=1處取得極大值10,

/⑴=3+2〃+匕=0

</(1)=1+〃+/?—〃2_7〃=10,解得

A=W-12Z?>0

當a=—2,Z?=］時，=3x3—4x+l=(3x—1),

當g<x<l時，/z(x)<0,當無>1時,/z(x)>0,

則/(%)在X=1處取得極小值，與題意不符；

當a=-6,Z?=9時，/'(%)=312—12x+9=3(x-1)(%-3),

當x<l時，/r(x)>0,當1<兄<3時，/f(x)<0,

則/(x)在X=1處取得極大值，符合題意，則2=斗=-:，

故選：C.

8.(24-25高三上?江蘇鹽城?階段練習)已知函數了。)的定義域為R,且對任意工￡1<,滿足

f(x+1)-/(x)>X-1,/(X+3)-f(x)<3x,且/⑴=0,則/(52)=()

A.651B.676C.1226D.1275

【答案】D

【分析】根據條件變形得到〃x+3)-再結合條件求得〃x+3)-〃x)=3x,再通過賦值求/(52)

的值.

【詳解】由條件/(x+1)-/(尤空%一1,可知，/(x+2)-/(x+l)>x,f(x+3)-/(x+2)>x+l,以上三個

式子相加得：/(x+3)-/(x)>3x,

又/(x+3)—〃x)43x,所以/(x+3)—〃x)=3x,

八4)—/⑴=3x1,/(7)-/(4)=3x4,/(10)-/(7)=3x7,..../(52)-/(49)=3x49,

以上式子相加得/■(52)-〃1)=3*(1+4+7+...+49)=1275,

所以/'(52)=1275.

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.(24-25高三上?湖南長沙?期末)已知函數〃x)=(x+l)e"則下列結論正確的是()

A.“X)在區間(-2,+⑹上單調遞增B.“X)的最小值為-4

C.方程〃尤)=2的解有2個D.導函數尸(x)的極值點為-3

【答案】ABD

【分析】利用導數分析函數/(x)的單調性與極值，數形結合可判斷ABC選項；利用函數的極值點與導數

的關系可判斷D選項.

【詳解】因為/(x)=(x+l)e、，該函數的定義域為R,r(x)=(x+2)e\

令尸(x)=0,可得％=—2,列表如下：

X(-8,-2)-2(-2,+oo)

r(x)—0+

“尤)極小值一*7

減增

e

且當x<—1時,/(x)=(x+l)ex<0；當x>-1時,/(x)=(x+l)er>0,

作出函數“X）的圖象如下圖所示:

對于A選項，“X）在區間（-2,+8）上單調遞增，A對；

對于B選項，的最小值為-2）=-1，B對；

e

對于C選項，方程了（無）=2的解只有1個，c錯；

對于D選項,令g（x）=r（x）=（x+2）e）該函數的定義域為R,

g?）=（x+3）e\令/（尤）＜0,可得.3；令夕（司＞0,可得x＞-3.

所以，函數r（元）的單調遞減區間為（y,-3）,遞增區間為（-二內），

所以，函數r（x）的極值點為-3,D對.

故選：ABD.

10.（2025高三?全國?專題練習）中華人民共和國國家標準《居室空氣中甲醛的衛生標準》規定：居室空氣

中甲醛的最高容許濃度為：一類建筑0.08mg/m3,二類建筑O.lmg/n?,二類建筑室內甲醛濃度小于等于

O.lmg/n?為安全范圍.已知某學校教學樓（二類建筑）施工過程中使用了甲醛噴劑，處于良好的通風環境下

時，竣工2周后室內甲醛濃度為2.25mg/m3,4周后室內甲醛濃度為0.36mg/m3,且室內甲醛濃度「⑺（單

位：mg/m3）與竣工后保持良好通風的時間t?eN*）（單位：周）近似滿足函數關系式小，）=e"+〃，則（）

（參考數據：In2ao.7,In3yL1,1115yL6）

2

A.a=\n—

5

B.e">15

C.3周后室內甲醛濃度為0.9mg/m3

D.該教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，至少需要放置的時間為6周

【答案】ACD

【分析】根據題意列式求解得e“=g,e〃=第，即可求出0⑺=技x1|J,即可判斷選項ABC,令夕⑺<0.1,

利用指對互化解不等式即可判斷選項D.

【詳解】由題意可得

e2fl)2.efe=0.36

解得e'=—=>〃=

所以A正確，B錯誤;

2

所以夕⑺=陰+。

2

0.9,故C正確;

兩邊取對數得，(ln2—山5)?31n2—(21n3+31n5),

31n2-(21n3+31n5)3x0.7-(2xl.l+3xl,6)

即1之-----------------------x-------------------------------------23.4,

In2-ln50.7-1.6

所以該教學樓竣工后的甲醛濃度若要達到安全開放標準，

至少需要放置的時間為6周，故D正確.

故選：ACD

11.(24-25高三上?山東濱州?期末)已知定義域為R的偶函數〃x),滿足〃l-x)=〃l+x),當OVxVl時,

f[x}=x.則()

A.〃龍)的一個周期為2

2513

的解集為一+2乂(yteZ)

D./(2左)=0(yteZ)

【答案】ABD

【分析】根據條件推得了(x)的一個周期為2判斷A項，利用函數的周期性和對稱性，化簡計算即可判斷B

項，結合函數的圖象即可判斷C,D兩項.

【詳解】對于A,因了("是定義域為R的偶函數，貝Uf(-x)=/(x),

由/(1一x)=〃l+力可知：由x)的圖象對稱軸為直線且—(x+2),

即得〃尤+2)=/(幻，則的一個周期為2,故A正確;

對于B,因/0)=/(；)=g,W/(-y)=/(-1)=/(1)=1)

因為/所以/［三)>/(一個)，故B正確；

對于C,根據題意，可以作出函數/(尤)的圖象如下：

￥

y=f(x)_1

八、，火、入二一E

/、/、/\/\；

-4-2O24%

由上分析知，函數的最小正周期為2,當OVxVl時，f(x)=x,則由〃可得;WxWl；

13

而當1<%<2時，fM=2-x,貝ij由可得l<x<“

113

綜上可得0<xW2時，由可得5<無<于

113

故對于xeR,則的解集為($+2憶5+2Q/eZ,故C錯誤；

對于D,由圖知對于ZeZ,必有42人)=0,故D正確.

故選：ABD.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.(24-25高三上?全國?專題練習)函數y=/(尤)為定義在(-2,2)上的增函數，且/(2附>/(-%+1),則實

數m的取值范圍是

【答案】切

-2<2m<2

【分析】根據函數的單調性可得，-2〈-機+1<2,解不等式組即可求解.

2m>-m+1

-2<2m<2

解得:<機

【詳解】由題意得-2<-小+1<2,<1.

2m>-m+1

所以實數機的取值范圍是

故答案為：Qa]

13.（23-24高三上.江蘇淮安?階段練習）已知函數/（力=2/_向，若“X）在區間（2〃?,〃?+1）上單調遞增,

則實數小的取值范圍是.

【答案】4，i）

【分析】由導數求解函數的單調遞增區間，即可列不等式求解.

【詳解】由y（x）=2x2-hu得/（x）=4x-』=^^,

XX

由于函數“X）的定義域為（。,+8）,故令/''（x）'O,解得xN；,故“X）的單調遞增區間為3，+“],

2m〉—1

若/（X）在區間（2m,m+l）上單調遞增，貝u-2,解得^工加,，

故答案為：已,1）

4

%?+2x+3丫<0

14.（24-25高三上?江西?期中）已知函數,c'一，若存在實數4，9，%且占<多<三，

Inx,x>0

使得/（不）=/（吃）=/（七）=4，則七（玉+W+1nw）的最大值為.

【答案】e3

【分析】先由題設數形結合得2<aW3和wa+x2+lnx；）=e"（-2+a）,再構造函數

g（a）=e"（-2+a）,2<aW3,利用導數求出其最大值即可得解.

【詳解】由題/（—1）=2,〃0）=3,當〃力=3時，x=-2,0,e由當/（力=2時,x=-l,e2；

故作出的圖象如圖所示：

因為存在實數XI,x2,%且不<尤2<W，使得ym/NI/G)”，

所以直線y=a與y=/(>)圖象有三個交點，

23

所以2<aV3,>-2<Xj<-1<x2<0<e<x3<e,xt+x2=-2,

所以Wa+Xz+lnx^uel-Z+a),

設g(a)=e"(-2+a),2<aW3,貝i|g'(a)=e"(-2+a)+e"=(a-l)ea>0恒成立，

所以函數g(a)在(2,3］單調遞增，所以函數g(q)1Mx=g0=e3,

所以Wa+Z+lnx；)的最大值為e3.

故答案為：e3.

【點睛】關鍵點睛：解決本題的關鍵是數形結合得到2<。43和-2+a),從而將問題

轉化成求函數8(。)=小(-2+4),2<。43的最大值，簡化了問題的難度.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(2025高三?北京?專題練習)已知函數/(%)=加-(o+2)x+lnx.

⑴當a=l時，求曲線y=/(x)在點處的切線方程；

(2)當a>。時，函數〃x)在區間［l,e］上的最小值為-2,求°的取值范圍；

【答案】(1)>=一2

⑵［L+s)

【分析】(1)求出導數7'(x),根據導數的幾何意義求出切線方程；

(2)求出導數尸(x),分三種情況討論。的范圍，判斷單調性求得函數最小值，令所求最小值等于-2,排

除不合題意的。的取值，即可求得到符合題意實數。的取值范圍.

【詳解】(1)當a=l時，f(x)=^2-3x+ln%,f'(x)=2x+--3,

則/'(1)=-2,r(i)=o,

所以曲線>=〃尤)在點(L〃l))處切線的方程為>=-2.

(2)當。>0時，尸⑴=2-.+2)+9(21*1),xe[l,e],

令尸(x)=0,得x=：或'，

2a

當即心1時，對xe[l,e],/(%)>0,即函數“X)在xe[Le]上單調遞增，

a

所以/(力向=/(1)=一2,符合題意；

當l<L<e,即，<a<l時，xe1,—,f,(x)<0,xe(L,ej,/,(x)>0,

所以函數在xe1,￡|上單調遞減，在xe\,e上單調遞增，

2

???/?m,?=/</0)=->不合題意；

當」Ne即0<aW)時,xe[l,e],f'(x)<Q,即函數〃尤)在xe[l,e]上單調遞減，

ae

e1

/?m?=/()</()=-2>不合題意

綜上，實數。的取值范圍為[1,入).

【點睛】思路點睛：本題第二問利用單調性求最值.求出導數/3=(2》一1心一一1),xe[l,e],分析發現

導數正負取決于依-1的正負，抓住零點:與區間[l,e)的關系討論，得到函數/(尤)在[l,e]上的單調性，求

出最小值進行判斷求解.

Q

16.(2024.山西?模擬預測)已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，當xNO時，/(x)=-3「，，且/(-1)=§.

(1)求。的值，并求出f(x)的解析式；

⑵若2/(x)-9"-9r-14(。在xe(0,+oo)上恒成立,求2的取值范圍.

【答案】(1)。=1,/(尤一：,：'：；

(2)(-00,8]

【分析】(1)利用偶函數性質以及函數值可得。=1,再由偶函數定義可得其解析式；

(2)將不等式恒成立轉化為求彳恒成立問題，由基本不等式計算可得4的取值范圍.

1Q

【詳解】(1)因為/'(X)是偶函數，所以〃-1)=/(1)=3。-3=；,

解得a=l，

當尤<0時，可得T>0,所以/0)=/(-幻=3一工一3?口=37-3',

所以函數/(%)的解析式為/(x)=j:「3'%?

13—3,x<(J.

(2)由(1)知，當尤>0時，/(尤)=3。3-,>0,

因為2/0)-9,一9一，一1440在xe(0,欣)上恒成立，

所以」<爐+9T+14_(3「尸『+16_3-3工+，

一3"—3一"3”—3^3「3一九

又因為3'-3一，+16>2.(3^-3-')?—更一=8,

3-3、V)3,-3、

1

當且僅當3-3T=-^―時，即x=log3(^+2)時等號成立,

3—3

所以幾48,即％的取值范圍是(一*8].

17.(25-26高三上?全國?單元測試)已知函數/(%)=加+阮之+C￥+i(q,/7,ceR),且不等式3加+26x+c>0

的解集為(-M).

⑴求函數圖象的對稱中心；

⑵證明：函數〃尤)在區間(-U)上單調遞增；

⑶若方程3?[/(x)]2+2妙(x)+c=。有6個不相等的實數根，求實數。的取值范圍.

【答案】⑴(0,1)

(2)證明見解析

(3)(-8,-1).

【分析】(1)結合一元二次不等式解集求參，進而求出對稱中心；

(2)應用單調性定義證明函數的單調性；

(3)根據方程根的個數列不等式組計算參數范圍.

【詳解】(1)由3/+2Zzx+c〉0的解集為知，方程3/+2Zzx+c=0有兩個不相等的實數根±1,且〃V。,

-薩=1+(-1)，

則故匕=O,c=_3a>0,因止匕/(0=。卜3_3x)+l.

因為丫=4丁-3同為奇函數，故函數y=_3x）圖象的對稱中心為點（0,0）,

將y=《x3-3x）的圖象向上平移1個單位長度可得/（x）的圖象,

所以函數〃x）圖象的對稱中心為點（0,1）.

（2）任取%,9且玉<龍2,貝U"%）-"無2）=。［（另—3%）-（只-39）］=。（%-尤2乂片+%尤2+無；-3）,

因為玉一元2<0，又一BP0<<1,0<xf<1,-1<xxx2<1,

則龍；+西吃+/-3'<0,故〃%）-/（/）<0,即〃再）</（蒼）,

所以函數〃x）在區間（T1）上單調遞增.

（3）因為3a［〃切?+2妙（x）+c=0,所以由⑴知，”尤）=±1,從而直線V=±1與曲線y=〃x）共有6

個公共點.

又函數“X）在區間（-M）上單調遞增，在區間（口,-1）,（1,y）上單調遞減，故-I，；］解得"T，所

以實數。的取值范圍為（-叫-1）.

18.（2024?云南?二模）已知常數。>0,函數/（x）=gf-依一2/ln尤.

⑴若V尤>0"（尤）>-4人,求。的取值范圍；

⑵若耳、X?是/（X）的零點，且無產/，證明：X］+X2>4a.

【答案】（I）［。,］

（2）證明見解析

【分析】（1）求出函數的定義域與導函數，即可得到函數的單調性，求出函數的最小值，依題意

22

fMmia=-2aln2a>-4a,即可求出。的取值范圍；

（2）由（1）不妨設0<%<2。<々，設尸（x）=/O）--x）,利用導數說明函數的單調性，即可得到

f（xl）>f（4a-xl）,結合/1）=〃3及/（%）的單調性,即可證明.

【詳解】(1)由已知得/(x)的定義域為｛x|x>0｝,

22

月/(冗)_工a_x—ax-2a_(x—2a)(x+a)

xxx

a>0,

.,.當無￡(0,Id)時，f\x)<0,即/(x)在(0,2a)上單調遞減；

當工￡(2a,+oo)時，f(x)>0,即/(x)在(2々,+8)上單調遞增.

所以/(X)在尤=2a處取得極小值即最小值，

???"xLn=7(2。)=-2/ln(2a)，

2222

\/x>0,/(x)>-4aof(x)mjn=-2aIn(2a)>-4a<x>ln(2o)<lne,

.■,0<a<y,即0的取值范圍為[o,1]

(2)由(1)知，/(無)的定義域為｛%l%>。｝,

/(%)在(0,2a)上單調遞減，在(2a,+8)上單調遞增，且x=2a是/(%)的極小值點.

???尤1、%是/(%)的零點，且玉。工2，

一?看、々分別在(°，2。)、(2a,+8)上,不妨設0<不<2〃<%，

設F(x)=/(x)-/(4ez-x),

riT/、(x-2a)(x+a)(2a-x)(5a-x)2a(x-2a)2

貝F(x)=------------------+--------------------=----------------.

x4a-xx(x-4a)

當xw(0,2a)時,F(X)<0,F(26Z)=0,即/(無)在(0,20上單調遞減.

*/0<玉<2〃，

JF(%)>JF(2Q)=0,即/(%)>/(4〃一%),

,."(%)=/㈤=。,

二/。)>/(4a-%),

再〈2。，

4〃一芯>2a,

又?.?尤2>2a,/(x)在(2a,+8)上單調遞增,

/.x2>4。一再，即玉+%>4〃.

【點睛】方法點睛：(1)給定函數比較大小的問題，需判斷函數單調性，根據單調性以及需要比較的數值

構造函數，利用函數的單調性可比較大小；

(2)極值點偏移法證明不等式，先求函數的導數，找到極值點，分析兩根相等時兩根的范圍，根據范圍以

及函數值相等構造新的函數，研究新函數的單調性及最值，判斷新函數小于或大于零恒成立，即可證明不

等式.

19.(24-25高三上?河北張家口?期末)若定義在D上的函數/(X)滿足：對任意x&D，存在常數M,

都有f(x)<M成立，則稱M為函數/(%)的上界，最小的M稱為函數的上確界，記作M=

sup/(x).與之對應，若定義在D上的函數/(X)滿足：對任意x^D，存在常數加，都有f^)>m

成立，則稱機為函數/(%)的下界，最大的m稱為函數/(%)的下確界，記作m=inf/(x).

⑴若/(X)有下確界M，則m一定是/(x)的最小值嗎？請舉例說明.

(2)已知函數f(x)=aex~'-]nx+x,其中aeR.

(i)若。=0,證明：/(%)有下確界，沒有上確界.

(ii)若函數/(%)有下確界，求實數。的取值范圍，并證明inff(x)上1.

【答案】⑴加不一定是f(x)的最小值，如/(*)=2\

⑵(i)(ii)證明見解析

【分析】(i)舉例〃x)=2，，根據下確界的定義即可判斷；

(ii)直接求導得尸5)=-工+1,得到其最小值即可得inf/(x)=l,再通過反證法假設其有上確界，根據上

X

確界定義即可得