2025屆高考數學二輪復習專題卷雙曲線

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.

22

1.已知雙曲線二一4=1（?！?］〉0）的左、右焦點分別為位于第一象限的P為該雙曲線的

a1b2

一條漸近線I上一點，直線Pg為該雙曲線的左支上一點，若的周長的最小值為

|尸制+3。,則該雙曲線的離心率為（）

A.若B.小C.夜D.2T2

2.已知雙曲線C：%2_y2=1的左、右焦點分別為耳，工,〃為C的右支上一點,N為M耳的中點，尸為

線段N4上一點，若|ON|=|PN］（o為坐標原點），則歸司=（）

A.4B.2C.lD.1

2

3.已知雙曲線C:布-/=1的左、右焦點分別為耳，工，以耳心為直徑的圓與曲線C的右支交

于一點尸，直線/平分/耳「鳥，過點片，g作直線/的垂線，垂足分別為A,B,。為坐標原點，

則ZvlC出的面積為（）

A.10B.12C.16D.8

2

4.雙曲線土_乙=1的實軸長為（)

616

院屈B.4C.2nD.8

22

5.已知網0,4）為雙曲線與—卞=1.〉0力〉0）的一個焦點，且點P（6,—4）在該雙曲線上，則雙

曲線的漸近線方程為（）

仁丫=±與D.—旦

A.y=土也xB.y=±2x

-3-2

y2x222

6.若雙曲線匕1的焦點與橢圓二+乙=1的焦點重合,則m的值為（）

2m49

A.2B.3C.6D.7

V2

7.若耳，B是雙曲線C：——211的兩個焦點，尸，。為C上關于坐標原點對稱的兩點，且

416

|P0=|甲訃設四邊形的面積為加，四邊形的外接圓的面積為邑，則工=（）

$2

7

A.兀C.—

5兀

LX2y2

8.已知雙曲線的虛軸長是實軸長的G倍，且與橢圓一+（=1有公共焦點，則該雙曲線的標準方

9

程為（）

2222

A/上一lxy1xy1

B.--/=1C.=ID.-=1

332662

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知耳，工分別是雙曲線C：—-3=1的左、右焦點，經過點耳且傾斜角為鈍角的直線/與C

的兩條漸近線分別交于A,8兩點，點尸為C上第二象限內一點，貝ij（）

22

A.若雙曲線E與C有相同的漸近線，且E的焦距為8,則E的方程為土-）-=1

412

B.若M（-2,2）,則|咫|+歸叫的最小值是26-2

C.若心內切圓的半徑為1,則點P的坐標為（—2,3）

D.若線段A3的中垂線過點工，則直線/的斜率為一半

22

10.已知雙曲線C的方程為X+」—=1，則（）

9—m25—m

A.9v根v25

B.C的焦點可能在％軸上

C.C的焦距一定為8

D.C的漸近線方程可以為y=±6%

22

11.設尸為雙曲線C：=—4=1（。〉0力〉0）的右焦點,。為坐標原點，以o尸為直徑的圓M與圓

a2b2'

0：必+丁2=/交于p,Q兩點，若歸@=|0月，則下列選項正確的是（）

A.曲線C的離心率為

B.圓心/到雙曲線C的漸近線的距離為伍

c.PQ所在直線方程為X=叵

~2

D.直線PQ被雙曲線的漸近線截得的線段長為缶

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

22

12.已知尸為雙曲線E：9--二=1（。〉0力〉0）的左焦點，A是￡的右頂點，P是E上一點，且

a2b2

PFl.PA>ZPFA=60°,則E的離心率為.

13.若雙曲線用：工―乙=1與雙曲線N:2——匚=1（機〉0）的焦距相等，則N的離心率為

79mm+8

14.若方程」—+。^=1表示雙曲線，則實數機的取值范圍是________.

2-m|m|—3

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2

15.設a>0，加>0，F「工分別是雙曲線「二―>2=1的左、右焦點，直線/：X-陽一2=0經

一a2

過點8與r的右支交于A、8兩點，點。是坐標原點.

⑴若點M是r上的一點，|5|=2，求的值；

⑵設;I、4eR，點尸在直線x=6上，若點。、A、尸、B滿足：OA=ABP'OB=^iAP'求點2

的坐標;

（3）設AO的延長線與r交于G點，若向量方與3月滿足：OAOB^ll,求△GAB的面積S的

取值范圍.

16.在平面直角坐標系x0y中，若在曲線E1的方程/（左,m=0中，以（4龍,4y）（%為正實數）代

替（％,y）得到曲線E?的方程網加,外）=0，則稱曲線反、62關于原點“伸縮”，變換

（蒼y）.（/U,4y）稱為“伸縮變換”，尤稱為伸縮比.

221

（1）己知雙曲線用的方程為亍_g=l，伸縮比;1=；,求用關于原點伸縮變換后所得雙曲線石2的

方程；

2

⑵己知橢圓g:工+9=1經“伸縮變換"后得至I］橢圓石2,若射線/：y=0%（尤20）與橢圓E1、E2

分別交于兩點A、B,且=走

求橢圓E2的方程;

⑶已知拋物線g:犬=2pu作“伸縮變換”（4蒼4丹得到片+1：-=28+沙，對62作變

換（x,y）f（4x，4y），得拋物線用：/=2°3＞；如此進行下去，對拋物線紇：/=2%y作變換

（x,y）f（4乂右），得拋物線紇+i：2=2pQ，其中，=1,2,……,n，若巧=1，4=2"，求

數列｛〃“｝的通項公式.

17.如圖所示，某中心。接到其正西、正東、正北方向三個觀測點A,B,C的報告：A,C兩個觀測

點同時聽到了一聲巨響，B觀測點聽到的時間比A觀測點晚4秒，假定當時聲音傳播的速度為v米/

秒，各觀測點到該中心的距離都是3V米，設發出巨響的位置為點P,且A,B,C,O,P均在同一平

面內.請你確定該巨響發生的點P的位置.

C

AOB

22

is.已知雙曲線E：---R"=1（。〉0］〉0）與《―必=1有相同的漸近線，且過點M（2,-

ab

⑴求E的方程；

（2）己知。為坐標原點，直線%-丁+m=0與￡交于尸，。兩點，且麗?而=4,求相的值.

22

19.已知雙曲線c：,_2r=I,＞0］＞0）的漸近線方程為y=+y/3x，焦距長為4.

(I)求C的標準方程；

⑵點A(x0,y0)(x0>0)在C上，點P的坐標為(2,4),0為原點，求△AOP面積的最小值；

⑶過C的右焦點F的直線與C交于D,E兩點，以DE為直徑的圓與直線％=交于M,N兩點，若

2

|MN|=3百，求直線DE的方程?

參考答案

1.答案：C

解析：由題耳(―c,0)，片(c,0)，漸近線I的方程為y=-x,

則點F2到漸近線/的距離d==b,

yJa-+b2

則由題|P閭=b,

由雙曲線的定義|Q閭-|QK|=2a,所以|Q&|=|QK|+2a,

所以△PQ工的周長為|P0|+|QE|+|P閭=|尸。|+|Q耳|+2a+bN|P4|+2a+A,

當且僅當P,Q,&三點共線時等號成立,

又△PQE的周長的最小值為|產盟+3。,

所以歸制+3a=歸周+2。+0,所以a="

所以該雙曲線的離心率6=i+與=立

Va2

故選:C.

2.答案：C

解析：如圖，連接咽，

由題意可知|M￡I—|知己|=2,

因為。為坐標原點,N為加耳的中點,

所以|ON|=；|M8|，|片N|=；|M4|,

則|^|=|￡NHPN|=忸N|—|ON|=1(|^|-|M^|)=1.

故選:c

3.答案：D

jr

所以ZAPM=ZAPF^=ZAMP=ZA^P=-,

且A，8分別為耳M,KN的中點，

所以。4//PM,OB//PN,

TT

所以AOAFX="MR=ZOBA=ZF^PB=-,

jr

所以NOA3=—,所以△AO5為等腰直角三角形.

4

因為I。同=3閨N|=；(|w|—|PN|)=3(W|TP閭)=4,

所以△A05的面積為工x42=8.

2

故選：D

4.答案：C

解析：由雙曲線方程知.=則實軸長為2a=2遍.

故選：C

5.答案：C

解析：依題意，雙曲線的另一個焦點為（0,-4），

則點P（6,T）到兩個焦點的距離分別為J?+（-4+4）2=6,

/2+（—4-4）2=10,

于是2。=10—6=4,解得。=2,則］="2_22=2技

所以雙曲線的漸近線方程為y=±且％.

-3

故選:C.

6.答案：B

22

解析：因為橢圓5+=1的焦點為（0,有），（0，—J可

所以雙曲線的焦點為（0,、后），（0,-75）,

故2+m=5,解得加=3.

故選：B.

7.答案：D

解析：依題意，點P與。耳與尸2都關于原點。對稱，

且歸。|=由閭，因此四邊形尸耳。鳥是矩形，如圖,

得：歸a=。閶=2|。2|=244+16=4右,

||咫|-|「乙||=4,

于是"明.|叫」「"呷;（附卜附『

|單/一（附卜附區（4囪2_42

=--------------=-------=JZ,

22

顯然四邊形PROF2的外接圓半徑為。工，

因此S?=兀|『=兀x（26>=2071，

所以旦=衛=§.

S220兀5兀

Q

故答案為：—

5兀

8.答案：A

解析：由題知，橢圓焦點為（2,0）,（-2,0）

22

設該雙曲線方程為3-1=1,半焦距為C,

ab

則c=2,2b=A/3x2a,即Z?=y/3a,

又"+廿二/,解得〃2=],/=3,

所以雙曲線方程為—亡=1.

3

故選：A

9.答案：BCD

222

解析：對于A,依題意設雙曲線匕=彳（幾W0且幾wl）,即乙—匕=1,

3232

又E的焦距為8,所以|44=42,2=±4,

2222

所以E的方程為----？-=1或^------=1,故A錯誤；

412124

對于B,因為圖—|P￡|=2a=2,

所以歸制=忸閭-2,

|PM|+|P^|=|PM|+|P^|-2>|A^|-2=2A/5-2,

當且僅當M,P,工三點共線時等號成立，故B正確;

對于C,設內切圓圓心為/,

則|P0|=|P4|Q周=|印小|叫|=|即訃

所以歸閭-歸耳|=|叫|-|S|=2a=2,

電|+|咽=2c=4,

解得|町|=1,|印4=3,

連接耳/,印，則內切圓半徑r=|町|=1,

|jrIT

tanZHF,I=-=l,ZHF,I=-,ZPF,O=2ZHF,I=-,

1114112

所以軸，點P在第二象限，坐標為（—2,3）,故C正確;

對于D,設A3的中點為。，兩漸近線可寫成#-匕=0,

3

設A（X，K）,B（x2,y2）,

則”與

犬才_0

13

且2,

宕-&=0

作差可得（%+々）（玉_%）=-%）,

整理得（3+%）（%—%）—3,

（%+%）（%-々）

即koD.^AB=3(*)

在Rt△耳。耳中，|OD|=；閨閶=|。6則NDO￡=2ND《O,

故tanZDOF,=tan(2ZDF.O)=2tanf。,。-

712

'1-tanZDFtO

即-a=三＞

1KAB

2k2

將此式代入（*）得，上*=3,

一女

1KAB

3

解得k；B=]，由直線/的傾斜角為鈍角知左加＜°，

J15

則做8=一號，故D正確.

故選：BCD.

10.答案：ACD

解析：由題意得（9-加）（25-加）＜0,解得9＜相＜25,故A正確;

22

由前可得雙曲線c的標準方程為二______匚=1，故雙曲線C的焦點一定在y軸上，故B錯誤;

25—mm—9

雙曲線C的焦距為2425—m+m—9=8，所以C正確;

22—

當帆=13時,雙曲線C的標準方程為匕—土=1，其漸近線方程為y=+J3x，故D正確.

124-

故選:ACD.

11.答案：ACD

解析：依題意，以OF為直徑的圓M：（x—=[J與圓O：好+了2=/聯立得,

=xQ=—，故由|PQ|=|。同知,PQ垂直x軸,也是圓M的一條直徑，過圓心底,0）,即且=￡，故

2

e2=1=2，即￡=，5，故人正確;

a2-

由c二y/2ci，b=a知，雙曲線的漸近線為九±y=0,

圓心M到雙曲線C的漸近線的距離為1，故B錯誤;

二一CL

A/22

X=X=《=巨.，PQ垂直X軸,故PQ所在直線方程為％=叵，故C正確；

PQc22

由X=叵代入雙曲線的漸近線x土、=0得丫=土叵，故截得的線段長為4紅乂2=缶，故D正

222

確.

故選：ACD.

12.答案：2

解析：

設雙曲線的右焦點為歹，，因為尸為雙曲線的左焦點，尸是雙曲線上一點,

根據雙曲線的定義知歸尸卜歸耳=20，|即［=20，

因為A是雙曲線的右頂點，所以|AF|=c+a，

又PF上PA，NPE4=60。，所以|「耳=當1=￡?,

所以|%1=2。+m=合，

在中’根據余弦定理得|P尸「=歸/「+但尸「一2|"H"［?COSNP"'，

即（合J=［皇］+（2C）2—2?亨?2c?；，整理得_這_2儲=0，

等式兩邊同時除以后得，e2_e_2=0,解得e=_i（舍）或e=2，

所以E的離心率為2.

故答案為：2.

13.答案：2

解析：由題設機+m+8=7+9=16,

22

可得機=4,則N：2-——=1,

412

所以a=2,c=4,即離心率為2.

故答案為：2

14.答案：（―3,2）U（3,4W）

22

解析：因為方程」一+U—=1表示雙曲線，

2-m|m|-3

所以（2—m）（帆—3）<0,

m-2<0fm-2>0

即〈?或41?，

|m|-3<0Jm|-3>0

解得一3V機v2或機>3,

所以實數機的取值范圍是（一3,2）U（3,M）.

故答案為：（―3,2）U（3,”）.

15.答案：⑴引=2/+2；

⑵（6,2）；

（3）△GAB的面積S的取值范圍為[12,+QO）

解析：（1）雙曲線￡_一>2=1的右焦點工的坐標為（五2+],0

因為％—“y—2=0過點F2，

所以”?+1—2=0,所以。=石，

因為|嗎|=2<〃+，，+1=6+2,

丫2

所以點M在雙曲線2>2=1的左支上，

a2

由雙曲線定義知眼閭―眼耳|=26，又|上陰|=2,

所以眼耳|=2g+2.

丫2

（2）由（1）知，a=b則雙曲線「工一y2=i，

3

聯立<：沖22°,消去X得（加2—3）y2+4陽+1=0，

y

則A=16m2—4m2+12=12//+12>0，

設4(%，%)，則%+

m—3m—3

_12

所以石+々=，孫1+2+my+2=m(y+y)+4=—；，

212m-3

2m

=(mj]+2)(my,+2)=m%y2+2〃z(%+%)+4=3、———

''.「一「m—3

又所以加之<3，

因為點。、A、尸、B滿足：OA=^BP>OB=JUAP>

所以QV/3P，OB//AP所以四邊形。IPfi為平行四邊形，

故OP與AB互相平分，點P在直線％=6上，

所以%+x2_=3，又加>0，所以機=1，

2療-3

所以點P的縱坐標為"+必=二土=2，

121-3

所以點P的坐標為(6,2卜

⑶因為漢?赤217,

gepi_3tn~-121

所以卒2+%％=不/+-217'

所以加2^2，又加2V3，所以2Km之<3,

由雙曲線的對稱性可得G（—%,—%），S》G5=2S》OB，

所以％AGB=2S?0B=2xg><|0Mx|%—yJ=2|%—x|，

所以S/=2j（%+X『-=473??'

5—m

令t=d后+1,，e[G,2），即加2=j_],

4?4石

所以、AAGB=匚3=4一,

t

因為y=3—/在區間[6,2）上單調遞減，當fe[G,2）時，y=--t>Q，

4^/3「L\4也

所以一在[6,2）上單調遞增，所以2--12

所以△GAB的面積S的取值范圍為[12,+8）.

1612

⑵x2+4y2=l或E+l￡=l；

99

，5-1)

⑶P“

22

解析：（1）由條件得，整理得__2L=i，

1612

22

所以紇的方程為工_2L=1；

1612

（2）因為E],石2關于原點“伸縮變換”,

022

對片作變換(羽y)f(Ax,2y)(2>0).得&:+22/=b

y=6x(x>0)、萬）

聯立4X221,解得點A的坐標為

—+y=1\337

4-

y=垃x(x>0)

22日

聯立互解得點B的坐標為

7T~

2_2_=2,所以.卷[或》繪1

所以|AB|="7^

3-32一丁3

所以；1=2或丸=2；

3

因此橢圓E,的方程為k+4丫2=1或上+空=「

'99

2

⑶對En:x=2pny作變換(x,y)f(4rx，

得拋物線紇小（4耳2=2%%》得一=子^，

又因為/=2%+[＞，所以0+1=莊，即P”+i.

當九之2時，,

Pn-lP.-3P3P2Pl12J

—n(n-l)

Pl=1適用上式,

—n(n-l)

所以數列｛p“｝的通項公式2=

17.答案：答案見解析

解析：如圖，以接報中心為原點。，正東、正北方向為無軸、y軸正向,

建立直角坐標系.

則A（-3%0）,B（3v,0）,C（0,3v），

設P（x,y）為巨響為生點，由A、C同時聽到巨響聲，得|剛=|?。|,

故尸在AC的垂直平分線0P上，0P的方程為丁=—x,

因8點比A點晚4s聽到爆炸聲，

22

ik\PB\-\PA\=4v,由雙曲線定義知P點在以A、8為焦點的雙曲線二―3=1上,

ab

依題意得Q=2V,c=3vf

b2=c2-a2=（3v）2—（2vf=5V2,

故雙曲線方程為V91

4V25V2

將y=-x代入上式，得x=±2A/5V,

-,-\PB\>\PA\,:.x^-2y[5v,y=2#v,即網—2后,2底)

故P0=2JIUv.

故巨響發生在接報中心的西偏北45。距中心2，而v米處.

22

18.答案：(1)-----=1

36

（2）加=4或加二-4

2

解析：（1）由題意，設E的方程為三―爐=2（彳70）,

又￡過點“（2,—

2

所以3-2」,解得」3.

2

22

所以E的方程為j-當=L

36

⑵設P(%，K),Q(x2,y2),

(22

土-匕=L

由＜36

%—y+m=0

得x2-2mx-nr-6—Q,

因為A=(-2m)2+4(m2+6)>0,

所以石+%=2m,玉%2=-6-m2,

所以X%=(石+^)(A:2+m)=x,x2+m(xj+/)+4

=—6—m2+2m2+m2=2m2—6,

222

所以OP-OQ=^x2+yry2=-6-m+2m-6=m-12=4,

解得加=4或加=T.

3

⑵1；

⑶x+y-2=0或x—y-2=0或x=2一

22

解析：（1）由雙曲線C：=l（a〉o,b