第09講圓錐曲線中的焦點三角形與焦點弦三角形

（9類核心考點精講精練）

12.考情探究。

1.5年真題考點分布

5年考情

考題示例考點分析關聯考點

2024年新I卷，第12題,5分雙曲線中集點三角形問題求雙曲線的離心率

利用定義解決雙曲線中集點三角形問題

2023年新I卷，第16題,5分無

求雙曲線的離心率或離心率的取值范圍

2022年全國甲卷（理科），橢圓定義及辨析

無

第12題,5分橢圓中焦點三角形的面積問題

2022年全國甲卷（文科），

橢圓中焦點三角形的面積問題無

第7題,5分

2022年新I卷，第16題,5分橢圓中焦點三角形的周長問題求橢圓的標準方程

2.命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的常考內容，設題不定，難度中等或偏難，分值為5-17分

【備考策略】1.理解、掌握圓錐曲線的焦點三角形及其相關計算

2.理解、掌握圓錐曲線的焦點弦三角形及其相關計算

【命題預測】本節內容是新高考卷的常考內容，小題和大題都會作為載體命題，同學們要會結合公式運算,

需強化訓練復習

IN.考點梳理

知識點1橢圓焦點三角形主要結論

知識點2雙曲線焦點三角形主要結論

知識點3腌圓、雙曲線焦點三角形離心率

知識點4橢圓焦點弦三角形周長

核心知識點知識點5雙曲線焦點弦三角形周長

知識點6橢圓焦點弦三角形面積公式

知識點7雙曲線焦點弦三角形面積公式

知識點8拋物線焦點弦三角形面積公式

考點1腌圓的焦點三角形周長問題

考點2橢圓的焦點三角形面積問題

考點3雙曲線的焦點三角形面積問題

考點4橢圓、雙曲線的焦點三角形離心率問題

考點5橢圓的焦點弦三角形周長問題

核心考點

考點6腌圓的焦點弦三角形面積問題

考點7雙曲線的焦點弦三角形周長問題

考點8雙曲線的焦點弦三角形面積問題

考點9拋物線的焦點弦三角形面積問題

知識講解

1.橢圓焦點三角形主要結論

在/PF14中，記4F/F2=0,

橢圓定義可知：

(1).\PF1\+\PF2\^2a,\F1F2\^2c.

(2).焦點三角形的周長為L=2a+2c.

2b2

(3)\PFIIPF\=

r2l+cos0

2

(4),焦點三角形的而積為：S=||PF1IIPF2|sin0=dtan|.

2.雙曲線焦點三角形主要結論

如圖，Fi、F2是雙曲線的焦點，設尸為雙曲線上任意一點,

A

P

b2

記^F1PF2=/貝!J△PF1F2的面積S=藤

3.橢圓、雙曲線焦點三角形離心率

記Z_P%F2=a,NP&Fi=BZF/F2=9

則橢圓的離心率為：

2cFi&lsin。

6

2a\PF±\+\PF2\sina+sin￡

雙曲線的離心率為：

P=—2c=--F-i-&l--=---si-n。--

2a\PFi\+|P尸2I|sina-sin/?|

4.橢圓焦點弦三角形周長

(1)FI，F2為橢圓C:《+/=l(a>b>0)的左、右焦點，過F1的直線交橢圓于A.B兩點，貝|AABF2

的周長為4a.

(2)FL為橢圓C:《+/=l(a>b>0)的左、右焦點，過F2的直線交橢圓于A,B兩點，貝!]

的周長為4a.

5.雙曲線焦點弦三角形周長

如圖1,F1,F2為雙曲線。5一，=l(a>0,b>0)的左、右焦點，過％的直線交雙曲線同支于A,B兩

點，且\AB\=m,貝！]AABF2的周長為4a+2m.

6.橢圓焦點弦三角形面積公式

(1)%、F2為橢圓C:5+，=l(a>b>0)的左、右焦點，過F2傾斜角為6的直線I與橢圓C交

于力、8兩點，則焦點弦三角形△F]AB的面積:

c2cpsin0甘b2

S?I4B=匚贏薪，其中，P=-

(2)Fl、F2為橢圓的左、右焦點，過尸2的直線I與橢圓c交于a、B兩點，且\AB\=m,則焦點

弦三角形△FiAB的面積：

SAF1AB=byj(2a-m)m

7.雙曲線焦點弦三角形面積公式

(1)設直線I過焦點F2且交雙曲線接一/=l(a>0,6>0)于4、B兩點，直線I傾斜角為0,雙

曲線的半通徑為p=城，則雙曲線同支焦點弦三角形的面積

a

2cpsin。

‘△Pi"?i_?2cos2。

22

(2)Fi、F2為雙曲線C:^-^=l(a>0,b>0)的左、右焦點，過F2的直線I與雙曲線C右支交

于力、B兩點，且\AB\=m,則焦點弦三角形gAB的面積：

S^F1AB=bj(2a+m)m

22

(3)Fi、F2為雙曲線C彳一與=l(a>0,b>0)的左、右焦點，過F2的直線I與雙曲線C右支、

左支分別交于4、B兩點，且\AB\=m,則焦點弦三角形gAB的面積：

Sg4B=by/(m-2a)m

8.拋物線焦點弦三角形面積公式

設直線I過焦點F且與拋物線y2=2P比(p>0)交于4、B兩點，直線I傾斜角為6,則焦點弦三角

形△04B的面積為

p2

S皿B=元

考點一、橢圓的焦點三角形周長問題

典例引領

丫2

1.（23-24高三?階段練習）已知《，鳥是橢圓C：.+『=1的兩個焦點，若點尸是橢圓C上的一個動點，

則的周長是（）

A.4+2百B.4+2指C.8D.10

2.（2023?廣西南寧?模擬預測）已知橢圓鳥+/=1（。>1）的左，右焦點分別為公，F2,過點片的動直線

a

/交橢圓于4B兩點.若△/8月的周長為8,貝匹=（）

A.4B.2A/2C.2D.72

22

3.（2022?河北秦皇島?二模）橢圓C:二」+匕=1的左、右焦點分別為片，F2,尸為橢圓C上一點，若△尸與耳

m+2m

的周長為6+2也，則橢圓C的離心率為（）

A.—B.—C.昱D.—

6336

22

4.（2023?陜西西安?一模）己知橢圓C:0+4=l（a>b>O）的左、右焦點分別為月,工，〃為C上一點，若

ab

上用的中點為（0,1）,且△叫工的周長為8+4收，則C的標準方程為（）

22

A.—+=1B.土+匕=1

16884

2222

C.—D.二+匕=1

1643216

即時榭｛

22

1.（22-23高三下?河南?階段練習）已知用鼻分別為橢圓C:\+匕=1（°>2?）的兩個焦點，且C的離心率

a12

為;，尸為橢圓C上的一點，貝屋尸耳耳的周長為（）

A.6B.9C.12D.15

2.（23-24高二上?遼寧大連?期中）已知?是橢圓1+A=l（Q>b>0）上一點，丸B分別是橢圓的左、右焦點

ab

、若AS名的周長為6,且橢圓上的點到橢圓焦點的最小距離為1,則橢圓的離心率為（）

3.（2024?上海?三模）已知橢圓C的焦點片、片都在x軸上，P為橢圓C上一點，人尸大名的周長為6,且戶耳|,

閨閶，|尸聞成等差數列，則橢圓C的標準方程為.

考點二、橢圓的焦點三角形面積問題

典例引領

2____

1.（2023?全國?高考真題）設片為橢圓C:r+j/=l的兩個焦點，點尸在C上，若西.房=0,則

I吶?陷卜（）

A.1B.2C.4D.5

2.（23-24高二上?湖北?期末）己知橢圓￡+或=1（°＞板）的兩焦點分別為《、耳.若橢圓上有一點P,

a2

使ZFtPF2=120。，則APRF?的面積為（）

A.2B.gC.V3D.2A/3

23

22

3.（2023?廣東梅州?三模）已知橢圓c：/+q=l的左、右焦點分別為《，F2,過點鳥的直線/與橢圓C的

一個交點為A,若|/乙|=4,則△4;用的面積為（）

A.2A/3B.V13C.4D.尼

4.（2023?全國?高考真題）設O為坐標原點，弓與為橢圓C：《+匕=1的兩個焦點，點尸在C上，

96

3

cos/片尸片=不，則|。。|=（）

13V3014V35

A.一B.-^―C.-D.軍士

5252

22

1.（23-24高三下?湖北武漢?階段練習）設橢圓土+匕=1的左右焦點為小大，橢圓上點P滿足

2512

|尸片|:|尸用=2:3,則APg的面積為.

2

2.（23-24高三上?云南?階段練習）己知點尸為橢圓C:r?+F=l上的一個動點，點可，耳分別為橢圓C的左、

右焦點，當鳥尸的面積為1時，%質=（）

3.（23-24高三上?陜西西安?階段練習）設片，片是橢圓C：二+匕=1的兩個焦點，點尸是C上的一點,

618

且cos//尸耳=：,貝!USg的面積為（）

A.3B.3A/2C.9D.972

考點三、雙曲線的焦點三角形面積問題

中典例引領

1.（2024?湖北?模擬預測）設片為雙曲線片=1的兩個焦點，點P是雙曲線上的一點，且4PF,=90。，

63

則AFFB的面積為.

22

2.（22-23高二下?四川德陽,階段練習）已知焦點在x軸上的雙曲線的左右焦點別為《和鳥，

mm—1

其右支上存在一點尸滿足尸耳，尸鳥，且的面積為3,則該雙曲線的離心率為.

22

3.（2023仞川涼山?一模）已知點尸在橢圓?+3=1（°>6>0）上，片，鳥是橢圓的左、右焦點,若西?運=3,

且的面積為2,則/=（）

A.2B.3C.4D.5

2

1.（22-23高二上?北京朝陽?期末）在平面直角坐標系xOy中，設片，匕是雙曲線C:x?-匕=1的兩個焦點，

一2

點M在。上，且礪?近=0,則△片工河的面積為（）

A.73B.2C.V5D.4

2

2.（23-24高三上?重慶沙坪壩,期中）設雙曲線C:f一匕=1的左、右焦點分別為耳點”在C的右支上，

2

且ZMFrF2=30°,則△兒軍工的面積為（）

A.2B.V6C.2也D.4+2百

2

3.（2022?四川成都三模）設片，鳥是雙曲線C:--事=1的左，右焦點,點尸在雙曲線C的右支上，當|尸耳|=6

時，AP片外面積為（）.

A.4GB.3bC.^556出

2

考點四、橢圓、雙曲線的焦點三角形離心率問題

典例引領

1.（全國?高考真題）已知片，鳥是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點，若PFJPFz，且/尸耳耳=60。，

則C的離心率為

A.1一也B.2-73C.D.V3-1

22

_爐2

2.（安徽?高考真題）已知外巴為橢圓'+與=1（。>6>0）的焦點，M為橢圓上一點，出垂直于x軸，

ab

且N/Mb=60。，則橢圓的離心率為（）

A1nV26G

2232

3.（2021?全國?統考高考真題）已知耳匕是雙曲線C的兩個焦點，尸為C上一點，且NRPFz=60。,仍片卜3\PF2\,

則C的離心率為（）

A.—B.史C.V7D.V13

22

即時凝I

（全國考真題）已知，是雙曲線民=1的左，右焦點，點M在E上，MB與x軸垂直,

1.E/2/一瓦

sinZA^7?=|，則￡的離心率為

l3

A-V2B.-

C.V3D.2

II

2.（福建?高考真題）設圓錐曲線r的兩個焦點分別為Fi,F2,若曲線r上存在點P滿足|PF|：|FF2|：|PF2|=4：

3：2,則曲線r的離心率等于

3.（福建?高考真題）設圓錐曲線方的兩個焦點分別為耳耳，若曲線「上存在點P滿足

|尸圖:忸詞:閥|=4:3:2,則曲線7的離心率等于

A.g或|B.g或2C.j■或2D.g或|

4.（湖北?高考真題）已知片,工是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是他們的一個公共點，且/耳尸￡=A，則橢

圓和雙曲線的離心率的倒數之和的最大值為（）

A.9B.述C.3D.2

33

考點五、橢圓的焦點弦三角形周長問題

典例引領

22

1.（2022?重慶沙坪壩,模擬預測）已知仁居分別為橢圓C：二+匕=1的左、右焦點，直線x-3y+l=0與橢

43

圓交于尸，。兩點，則△戶。工的周長為.

22

2.（2024?河北?二模）過橢圓C：L+匕句的中心作直線/交橢圓于尸，。兩點，尸是C的一個焦點，則△PF0

169一

周長的最小值為（）

A.16B.14C.12D.10

22

3.（22-23高二上?山東德州?期中）已知橢圓C：*+3=1（°>%>0）,橢圓C的一頂點為/,兩個焦點為片，

F2,△/耳工的面積為百，焦距為2,過片，且垂直于/8的直線與橢圓C交于D,￡兩點，貝UV/DE的周

長是（）

A.4后B.8C.2-719D.16

電即鶴號

22

1.（2024?河北衡水?三模）已知橢圓C：0+4=l（a>b>O）的左、右焦點分別為耳，F2,焦距為6,點“（U）,

ab

直線〃a與C交于4,8兩點，且“為中點，則△/耳3的周長為.

22

2.（23-24高三下?上海?階段練習）已知橢圓C:=+4=l（a>6>0）,C的上頂點為A,兩個焦點為《，F2,

ab

i74

離心率為5.過用且垂直于工工的直線與C交于。，E兩點，|z）￡|=—,則VNDE的周長是.

考點六、橢圓的焦點弦三角形面積問題

中典例引領

1.（2023?云南昆明?模擬預測）已知橢圓C:1+：=1的左、右焦點分別為片，F2,直線>=息與橢圓C

交于N,B兩點,若|/到=閨閭，則”8月的面積等于（）

A.18B.10C.9D.6

22

2.（2024?全國?模擬預測）已知橢圓C:\+4=l（a>6>0）的右焦點為尸，過坐標原點。的直線/與橢圓C

ab

交于A,B兩點.在△4E8中，ZAFB=120°,且滿足S△謝=6改，則橢圓C的離心率為.

電即叫機

1.（2023?全國?高三專題練習）設P為橢圓C：《+且=1上一點，F1，F2分別是橢圓C的左、右焦點，且

4924

△PF#2的重心為點G,若|PF1|：|PFz|=3：4,那么△GPE的面積為（）

A.24B.12C.8D.6

22

2.（2023?全國?高三專題練習）（多選）設橢圓C：、_+太=1的左、右焦點分別為耳，F2,過耳垂直于x軸

的直線與橢圓C交于M,N兩點，則（）

A.橢圓的離心率e="B.的周長為12

3

C.△巴的面積為2百D.△名為等邊三角形

考點七、雙曲線的焦點弦三角形周長問題

*典例引領

1.（2022?全國?高三專題練習）過雙曲線f-?=l的左焦點片作一條直線/交雙曲線左支于P,。兩點，若

|尸。|=10，鳥是雙曲線的右焦點，則△尸工。的周長是.

2.（2023?全國?模擬預測）已知雙曲線的左、右焦點分別為耳、心，過片的直線交雙曲線左支于42兩點，且

|/4=5,若雙曲線的實軸長為8,那么工的周長是（）

A.5B.16C.21D.26

3.（2023?新疆烏魯木齊?三模）已知雙曲線C：；-/=i的左右焦點分別為片，片，過片的直線交雙曲線c

的右支于4,8兩點，若的周長為20,則線段N3的長為.

即時根（

1.（2022?全國?高三專題練習）已知雙曲線的左、右焦點分別為B、F2,在左支上過尸/的弦N3的長為5,

若2a=8,那么△/AE?的周長是（）

A.26B.21C.16D.5

2.（2022?全國?高三專題練習）如果耳、旦分別是雙曲線1-4=1的左、右焦點，是雙曲線左支上過點片

169

的弦，且|/4=6,則A48為的周長是

22

3.（2024?江西南昌三模）已知雙曲線C:=1（。>0,6>0）的左、右焦點分別為小用過用作直線/與

ab

雙曲線C的右支交于A,8兩點，若4耳48的周長為106,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（）

A.-^-,^[5B.C.—,2D.[2,+oo）

考點八、雙曲線的焦點弦三角形面積問題

.典例引領

22

1.（2023?安徽六安?模擬預測）已知雙曲線C:土-匕=1的左、右焦點分別為片、F2,直線y=履與雙曲線

169

C交于A,8兩點，若|/刈=陽用，貝心4圻；的面積等于（）

A.18B.10C.9D.6

2.（2024嚀夏銀川?一模）已知雙曲線￡-4=1（°>0,6>0）,過原點的直線與雙曲線交于A,8兩點，以

線段為直徑的圓恰好過雙曲線的右焦點廠，若△/時的面積為2r,則雙曲線的離心率為（）

A.2B.-^2C.5/3D.yfs

1.（2023?全國?高三專題練習）設月，鳥分別是雙曲線C:x2-Zt=l的左右焦點，過外作x軸的垂線與C

b

交于43兩點，若A/3耳為正三角形，則。的離心率為,A/24的面積為

22

2.（2023?山西呂梁?統考二模）已知雙曲線C：=_三=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為耳，片,

直線y=區與C交于P,。兩點，所.函=0,且△尸工。的面積為4a2,則C的離心率是（）

A.V3B.V5C.2D.3

考點九、拋物線的焦點弦三角形面積問題

典例引領

1.（全國?高考真題）設F為拋物線C:/=3x的焦點，過F且傾斜角為30。的直線交C于A,B兩點，O為坐標

原點，則△OAB的面積為

3AA9石639

A.—B.—C.一D.-

48324

2.（2022?山西?高三校聯考期末）設/為拋物線C:r=4x的焦點，過P的直線交拋物線。于/,8兩點，

且4尸=33尸，O為坐標原點，貝!UQ/3的面積為（）

436R973r273n473

4833

即時根（

L（2023?黑龍江校考期末）設F為拋物線C：y2=4x的焦點，過F且傾斜角為60。的直線交C于4B兩點,

O為坐標原點，貝UAO/3的面積為（）

.373?9_473口“

443

2.（2023?全國?高三專題練習）（多選）己知過拋物線C:j?=4x的焦點廠的直線/交。于A,8兩點，。為

坐標原點，若“03的面積為4,則下列說法正確的是（）

A.弦的中點坐標為（13,46）

B.直線I的傾斜角為30。或150°

C.|明=16

D.

電?好題沖關

能力提升

一、單選題

1.（2024?山東泰安?二模）設拋物線，=例的焦點為尸，過拋物線上點P作準線的垂線，設垂足為。，若

ZPQF=30°,則|尸Q|=（）

A.B.迪C,V3D.至

333

2.（2024?北京海淀?三模）已知拋物線/=4x的焦點為R點M在拋物線上,垂直夕軸于點N,若|斯|=6,

則AACVF的面積為（）

A.8B.475C.575D.1075

3.（23-24高二下?安徽亳州?期末）設片,居分別是離心率為變的橢圓C：W+^=l（a>6>0）的左、右焦點,

2ab

過點片的直線交橢圓C于45兩點，且|/4|=3閨到，則cos/4g3=（）

1V223

A.-B.—C.-D.-

5555

4.（2024?福建三明?三模）已知拋物線一=2加（0>0）的焦點為F,第一象限的兩點4B在拋物線上，且滿

足|/尸|-|5尸|=3,|/2|=3板.若線段48中點的橫坐標為3,則p的值為（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2024?山東泰安?模擬預測）已知拋物線C:x?=2加（p>0）的焦點為尸，C上一點"（x。,3）到焦點廠的距

離為4,過焦點廠的直線/與拋物線交于48兩點，則尸|+平口的最小值為（）

A.4百+4B.2月+4C,-273+4D.2百+8

6.（2024?新疆?三模）已知拋物線C：必的焦點為凡在拋物線。上存在四個點尸，M,Q,N,若弦尸。

11

與弦的交點恰好為R且則西+麗=（）

A.1B.1C.72D.2

22

7.（23-24高二下?安徽宣城?期末）已知雙曲線C:二-二=l（a>0,6>0）的左右焦點分別為耳，工，曲線C上

ab

存在一點P,使得△理與為等腰直角三角形，則雙曲線C的離心率是（）

A.^±1B.72C.V2+1D.

22

22

8.（24-25高三上?湖北?階段練習）在平面直角坐標系中，雙曲線C：A-1r=l（a>0,b>0）的左、右焦點分別

為用工，”為雙曲線右支上一點，連接交y軸于點B,若|』同=|』用，且/4，/巴，則雙曲線的離心率

為（）

A.71+^2B.72+收C.V5D.y[f>

22

9.（23-24高三下?湖南長沙?階段練習）已知點。為坐標原點，橢圓三+\=1的左、右焦點分別為《，F2,

點尸在橢圓上，設線段尸斗的中點為且閭=|<W|,貝心助區的面積為（）

A.V15B.叵C.3小D.4岳

2

22

10.（2024?新疆?二模）設耳,耳分別是橢圓方+?=1的左，右焦點，過大的直線/交橢圓于43兩點，則

|/閭+忸周的最大值為（）

11.（2024?全國?模擬預測）橢圓C:曰+/=1的左、右焦點分別為片，F2,直線y=x+"加W土也）與C交

于42兩點，四邊形/43此的周長為4G,若ABAB的面積是△0/5的面積的2倍（。為坐標原點），貝1］刃=

（）

A一旦B.走C一旦D,也

2332

22_

12.（23-24高三下?安徽蕪湖?階段練習）設橢圓C：三+匕=l（a>2g）的左、右焦點分別為可，匕，直線

a8

/:y=x+f交橢圓C于點A,B,若的周長的最大值為16,則C的離心率為（）

A."B.正C.遮D.-

3329

22

13.（2024?河南信陽?模擬預測）已知橢圓C:\+方=1（。>6>0）的左、右焦點分別為昂匕，過點片和上

頂點/的直線/交C于另外一點B,若麗=2坪,且△片88的面積為文，則實數2的值為（）

4A

A.3B.1C.3或7D.g或7

14.（2024高三?全國?專題練習）已知O為坐標原點，拋物線。：必=2.（°>0）上一點尸（2,%）到其準線的

距離為3,過C的焦點廠的直線交C于45兩點.當％^=2后時，H尸卜忸耳的值為（）

A..72B.3V2C.—D.8

4

15.（2024?四川?模擬預測）已知片，耳分別是橢圓C：與+己=1的左、右焦點，。為坐標原點，M,N為

C上兩個動點，且/MON=90。，△血用工面積的最大值為百，過。作直線的垂線，垂足為X,則

（）

HFX-HF2=

15125_

A.B.C.1D.

T77

二、多選題

22

16.（2024?廣東廣州?模擬預測）已知橢圓￡：\+勺=1（。>6>0）的左、右焦點為《，耳，過耳的直

ab

7

線與E交于M,N兩點.若cos/月班=g,|九的|=|町|.則（）

MFS1

A.△A耳MN的周長為4。B.—^=-

N項2

C.MN的斜率為土由D.橢圓E的離心率為更

3

r2,.2

17.（2024嘿龍江雙鴨山?模擬預測）己知直線J=-x+l經過橢圓￡：=+與=1（。>6>0）的一個焦點和一個

ab

頂點。，且與E在第四象限交于點尸1的左、右焦點分別為耳工，則（）

A.E離心率為:B.△尸勿的周長為4夜

C.以尸片為直徑的圓過點。D.PQ|=2次

22

18.（23-24高三上?河南?期中）已知B,B分別是橢圓'+"=1（。>6>0）的左、右焦點，且/月，片《，

ab

直線/瓦與橢圓的另一個交點為3,且正=30,則下列結論中正確的是（）

7

A.橢圓的長軸長是短軸長的幾倍B.線段l片的長度為:“

C.橢圓的離心率為"D.△瓦gi的周長為"舟。

33

19.（23-24高二上?浙江寧波?階段練習）已知斜率為左的直線交拋物線必=2.（p>0）于/（孫乂）、

8（馬，％）兩點，下列說法正確的是（

A.七%為定值B.線段48的中點在一條定直線上

；為定值D.親為定值（尸為拋物線的焦點）

C.

k（DA^OB

2

20.（24-25高三上?廣西?階段練習）已知雙曲線C：*-匕=1的左、右焦點分別為耳、F2,過點石且傾斜

3

角為。的直線/與雙曲線的右支交于4、3兩點（4在第一象限），則下列說法中正確的是（）

jr27r

A.雙曲線C的虛軸長為百B.j<a<y