第10講圖形類解三角形綜合

（核心考點精講精練）

命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的?？純热?，設題穩定，難度中等，分值為13-15分

【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形

2.在幾何圖形中能熟練使用相關定理求解

【命題預測】本節內容一般會在解答題中進行命題考查，考查學生的圖形轉化及計算能力，需重點備考復

習

知識講解

1.正弦定理

~^—=^^=^—=2R（其中R為AABC外接圓的半徑）

sinAsinBsinC

2.余弦定理

22222222

a-=b+c-2bccosAtb=c+a-2cacosBfc=a+b-2abcosC

3.三角形的面積公式

S^BC--ahS^BC=—^bsmC=—acsinB=—bcsinA

2,222

考點一、圖形類解三角形綜合考查

典例引領

1.（江蘇?高考真題）在蜘BC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,c="s=45。.

（1）求sinC的值；

4

（2）在邊BC上取一點D,使得cosZA￡）C=-w，求tan/ZMC的值.

2.（全國?高考真題）AABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+百cosA=0,a=2/7,6=2.

B

D

（1）求角A和邊長c；

（2）設。為BC邊上一點，且AD_LAC，求的面積.

3.（四川?高考真題）如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內角.

（1）證明：㈤三-「三三

2sin.4

iBCD

（2）右.T+C=180°.40=6,BC=3.CD=4.AD—5.求tan——tan—?-tan—+tu—的值.

，△,，

4.（2024?山東濟南?二模）如圖，已知平面四邊形ABC。中，AB=BC=2形,CD=2,AD=4.

⑴若A,民C,O四點共圓，求AC；

⑵求四邊形ABCD面積的最大值.

5.（23-24高三上,江西,期末）如圖，在0ABe中，AB=8C=2,。為0ABe外一點,AD=2C￡）=4,記麗AD=a,?BCD邛.

⑴求2cosc-cos6的值；

⑵若0ABO的面積為1，aBCD的面積為邑，求S；+S；的最大值.

1.（湖南?高考真題）如圖，在平面四邊形."CD中,

DA_AB.DE=[EC=f,EA=l.-.iDC=—=-

3里

⑴求sm_CED的值；

(2)求的長

2.（湖南?高考真題）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=出.

(1)求cosEICAD的值；

(2)若cosEIBAD=一近，sin!3CBA=1^,求BC的長.

146

3.(2024?青海海西?模擬預測)如圖，在四邊形ABCD中，AB1AD,cosB=^,cosZACB=^-,BC=45.

510

⑴求AC；

3

（2）若ACD的面積為J,求CD.

4.（2024?山東荷澤?二模）已知在_ABC中，CA.=-2公48（7的面積為6.

C

⑴求角C的度數;

⑵若BC=2,D,E是A3上的動點，且NDCE始終等于30。，記NCED=a.當。E取到最小值時，求a的值.

IRV好題沖關?

1.（23-24高三上?陜西漢中?階段練習）如圖，在一ABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,AB=6,AC=24,

BC=2娓,點。在邊BC上，且NADC=60。.

（1）求sinB；

⑵求線段A。的長.

2.（23-24高三上?湖北?期末）如圖，在ABC中，AB=AC=6,點。是邊BC上一點，且

AD1AB,cosZCAD=----,AE=2EB

3

⑴求BCE的面積；

（2）求線段AZ）的長.

3.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習）如圖，在平面四邊形A3CD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,

BD=10.

⑴求cos/ADB；

⑵若△BCD的面積為4灰，求BC.

4.（2023?河南?模擬預測）如圖，在四邊形ABCD中，48,8。,//4￡＞。=120。,48=8=24）,八48的面

積為烏

2

c

AB

(1)求sin/C45；

(2)證明：ZCAB=ZCAD.

5.(2024?江西南昌?一模)如圖，兩塊直角三角形模具，斜邊靠在一起，其中公共斜邊AC=10,

TT7T

ZBAC=-,ZDAC=~,交AC于點E.

⑴求必;

⑵求AE.

6.(23-24高三上?廣東江門?階段練習)已知A,B,C,。四點逆時針排列于同一個圓。上，其中

3c=2AB=4,4ABC的面積為2vLZABC>^.

⑴求邊AC的長；

(2)當圓心。在AD上時，求tan/C4Z).

7.(23-24高三上,江西?階段練習)如圖，在梯形ABCD中，AD//BC,BD=5,NCBD=60。.

BC

(1)若sinZBCO=L,求CO的長；

4

(2)若AD=2,求cos/ABD.

8.(23-24高三上,安徽?期末)如圖，在..A5C中,，C4B的平分線交BC邊于點E,點。在A3邊上,AE=7,

SFi

AD=3J7,cos/CAE=—.

14

⑴求/ADE的大??；

2兀

（2）若NACB=彳,求_CDE的面積.

9.（2024?陜西西安,模擬預測）如圖，在平面四邊形A8CD中，AB//CD,AD-sinD=73AC-cosZACD,ZBAC

的角平分線與BC相交于點E,且AE=1,A3=6.

⑴求NACD的大??；

（2）求8c的值.

10.（2024?山西晉中?三模）在ABC中，角4民C的對邊分別為。也c,已知/+/+兒=/.

⑴求tanA；

（2）若6=（石+l）c,在邊3C上（不含端點）存在點。，使得AE>=1,求。的取值范圍.

1.（2024?湖南長沙?三模）如圖，在ABC中，己知AB=3,AC=6,A為銳角，BC,AC邊上的兩條中線

相交于點尸"C的面積為竽.

⑴求8C的長度;

（2）求NAP3的余弦值.

2.（23-24高三下■安徽?階段練習）已知a,b,c分別是0ABe的三個內角的對邊，且JWesinA+acosC=b+c-

⑴求A;

（2）若3c=2,將射線8A和CA分別繞點8,C順時針方向旋轉15,30,旋轉后相交于點。（如圖所示）,

JLZDBC=30,求AD

3.（2024?浙江?模擬預測）如圖，在平面內的四個動點A,B,C,。構成的四邊形ABCD中，AB=1,BC=2,

⑴求ACD面積的取值范圍；

（2）若四邊形A3CD存在外接圓，求外接圓面積.

4.（2024?浙江紹興?二模）在三角形ABC中，內角AB,C對應邊分別為a,b,c且6cosc+&sin8=a+2c.

⑴求的大?。?/p>

⑵如圖所示，。為一ABC外一點，ZDCB=ZB,CD=y[3,BC=l,ZCAD=30,求sinZBC4及的

面積.

5.（2024?廣西來賓?模擬預測）ABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,AO為—A4C平分線，

Z?tanA=（2c—b）tanB

⑴求A；

⑵若c:AD:b=6:2：z6，AD上存在點M，使得求.

12、AACD

6.（2024?湖南衡陽,三模）在一ABC中，角A,B,C的對邊分別為a、b、c,>ccosB+2acosA+fecosC=0.

⑴求A;

TT

⑵如圖所示，。為平面上一點，與.ABC構成一個四邊形A8OC,MZBZ）C=-,若c=b=2,求AD的最

大值.

7.（23-24高一下?河北保定,期末）阿波羅尼奧斯（Apollonius）是古希臘著名的數學家，他提出的阿波羅尼

奧斯定理是一個關于三角形邊長與中線長度關系的定理，內容為：三角形兩邊平方的和，等于所夾中線及

第三邊之半的平方和的兩倍，即如果是71BC中BC邊上的中線，則Ag2+AC2=24。2+（乎].

JT

⑴若在.ABC中，AB=5,AC=3,N8AC=],求此三角形BC邊上的中線長；

（2）請證明題干中的定理；

（3汝口圖中，若AB>AC,。為中點，BD=DC=3,asinA+36sin3=3法in（A—C）,S/=當,

求cosNDAC的值.

8.（2024?河北衡水?模擬預測）如圖，在平面四邊形ABC。中，|AB|=|Aq=2V5,NADC=NG4B=12O。，設

ZDAC=6.

⑴若I叫=2,求怛q的長;

（2）若NAD3=15。，求tand.

9.（23-24高一下?廣東茂名?期末）如圖所示，在ABC中，AB=3AC,平分NBAC,且=4c.

A

⑴若DC=2,求BC的長度；

（2）求人的取值范圍；

（3）若S^BC=1，求上為何值時，BC最短.

10.（23-24高一下?廣東深圳?期中）如圖，在一ABC中，己知A8=2,AC=6五,ZBAC=45°,BC邊上

的中點為“，點N是邊AC上的動點（不含端點），AM,BN相交于點P.

⑴求4W的正弦值；

（2）當點N為AC中點時，求，MPN的余弦值.

⑶當MbNB取得最小值時，設BPEBN,求2的值.

JT]

L（北京?高考真題）如圖，在AABC中，ZB=y,AB=8,點。在8C邊上，且CD=2,cosZADC=~.

(1)求sin/S4T)；

(2)求2。AC的長.

2.（安徽?高考真題）

AB

在，ABC中，a,b,c分別為內角A,B,C所對的邊長，a=&，b=V5,l+2cos(B+C)=0,求邊BC上的

iW].

3.(海南?高考真題)如圖，回ACD是等邊三角形，E1ABC是等腰直角三角形，E1ACB=9O。，BD交AC于E,AB=2.

(1)求cosIBCBE的值；

(2)求AE.

4.(全國?高考真題)如圖，在AABC中，0ABC=9O°,AB=垂,，BC=1,P為AABC內一點，0BPC=9O°.

⑴若PB=T，求PA；

(2)若回APB=150°,求tanEIPBA.

5.(湖南?高考真題)如圖，。是直角AABC斜邊8C上一點，AB=AD,記NC4D=a,NABC=6.

(1)證明sina+cos2#=。；

(2)若AC=?DC,求夕的

第10講圖形類解三角形綜合

(核心考點精講精練)

命題規律及備考策略

【命題規律】本節內容是新高考卷的?？純热?，設題穩定，難度中等，分值為13-15分

【備考策略】1.熟練掌握正余弦定理及面積公式解三角形

2.在幾何圖形中能熟練使用相關定理求解

【命題預測】本節內容一般會在解答題中進行命題考查，考查學生的圖形轉化及計算能力，需重點備考復

習

知識講解

4.正弦定理

^―=——=——=27?（其中R為A43C外接圓的半徑）

sinAsinBsine

5.余弦定理

122122222

a=b+c-2bccosA9b，-c+a-2cacosBc=a+b-2abcosC

6.三角形的面積公式

=—absinC=—acsinB=—bcsmA

考點一、圖形類解三角形綜合考查

典例引領

1.(江蘇?高考真題)在蜘BC中，角A,B,C的對邊分別為b,c,已知a=3,c=0,6=45。.

(1)求sinC的值；

4

(2)在邊BC上取一點D,使得cosZAZ>C=-m，求tan//MC的值.

【答案】⑴sinC=且；(2)tanZDAC=—.

511

【分析】(1)方法一：利用余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinC.

（2）方法一:根據cosNADC的值,求得sinNADC的值，由（1）求得cos。的值,從而求得sinNDACcosNDAC

的值，進而求得tanND4c的值.

【詳解】（1）［方法一］：正余弦定理綜合法

由余弦定理得Z?2=a?+，-2QCCOS5=9+2-2x3x=5，所以萬二百.

2

由正弦定理得一J=—LnsinC=MO=且.

sinCsinBb5

［方法二］【最優解】：幾何法

過點A作AE_LBC,垂足為E.在RtA4BE中，由c=0,8=45?,可得AE=BE=1,又。=3,所以EC=2.

在RtACE中，AC=JAE2+EC，=舊，因此sinC=^=。

（2）[方法一]:兩角和的正弦公式法

由于cosZAZ>C=-1，ZADCe^,^,所以sinNADC=Jl-cos?ZADC='.

由于NADCeg/1,所以Ce（0，W）所以cosC=Jl-sin2c=竽.

所以sinADAC=sin（萬一ADAC）=sin（ZADC+ZC）

_.〃八八-nr-八-32亞J4、V5_2A/5

55I5）525

由于"ACe[o,￡|,所以cosNDAC=Jl一sin?NDAC=辿.

sinNZMC2

所以tanNDAC=

cosADACn

［方法二］【最優解】：幾何法+兩角差的正切公式法

44

在（1）的方法二的圖中，由COSZAT>C=-N,n]*cosZADE=cos（^-ZADC）=-cosZADC=—,從而

55

.f…4/?廠sinZDAE4

sinZDAE=cosZADE=—,tanZDAE=-------------=—.

5cosZDAE3

ECtanZEAC-tanZEAD2

又由（1）可得tan/￡AC=——=2,所以tanZDAC=tan（ZEAC—ZEAO）=

AE1+tanZEAC-tanZEADTT

［方法三］:幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=V^.

AEr-4

在RtAADE中，AD=------------=<5,ED=ADcosZADE=—,

sinZADE3

2

所以CQ=CE—=

在中，由正弦定理可得sin/D4C=且與11。=拽，

AD25

2

由止匕可得tanNDAC=i^.

［方法四］:構造直角三角形法

如圖，作AE_LBC,垂足為E,作￡>G_LAC,垂足為點G.

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=右.

由cosZADC=-±,可得cosZADE=1,sinZADE=Jl-cos?/ADE=」.

555

Ap51--------------4?

在RrAADE中，AD=-------------=-,DE=^AD2-AE2=-,CD=CE-DE=-.

sinZAZ）E333

由（1）知sinC=@，所以在RtACDG中，DG=CD.sinC=^~,CG=JCD?—DG?=拽,從而

51515

AC-CG=^-

AG=

15

DG2

在RtADG中，tan/Z）AG------——.

AG11

2

所以tanZDAC］.

【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得b=遮，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45。角

的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優解；（2）方法一：使用兩

角和的正弦公式求得/D4C的正弦值，進而求解；方法二：適當作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，

運算更為簡潔，為最優解；方法三：在幾何法的基礎上，使用正弦定理求得-D4C的正弦值，進而得解；

方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有/D4c的直角三角形，進而求解，也是很優美的方法

2.（全國?高考真題）AABC的內角A,3,C的對邊分別為a,b,c,已知sinA+百cosA=0,a=2占涉=2.

B

D

(1)求角A和邊長。；

(2)設。為5c邊上一點，且AO_LAC,求4曲的面積.

27r

【答案】⑴y,4;(2)73.

【詳解】試題分析：(1)先根據同角的三角函數的關系求出tanA=-若從而可得A的值，再根據余弦定理

列方程即可求出邊長c的值；（2）先根據余弦定理求出cosC,求出CO的長，可得CO=〈BC,從而得到

S/MBD=彳S^BC，進而可得結果.

試題解析：（1）sinA+V3COSA=0,/.tanA=-^3,0<A<.7r,/.A=—,由余弦定理可得

a2=b2+c2-2bccosA,即28=4+/—2x2cx1—,即H+2?！?4=0,解得c=-6（舍去）或c=4,故c=4.

「2「八AC2/-

cosC=-CD=----=———=J7

（2）Qc2=b2+a2—2abcosC,16=28+4-2x2V7x2xcosC,cosC2,

萬

:.CD=-BC,.?.SAABC=|AB-AC-^ZBAC=1X4X2X^=2A/3,■-SMBD=^-SMBC=s/3.

乙，NN乙

3.（四川?高考真題）如圖，A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內角.

（1）證明：tan—=----------

2sinJ

（）若（）求由三4+國土B+出工C+由上D的值.

2d+c=18cJJJ=63BC=31Q=4?Q=s

【答案】⑴詳見解析；⑵手.

si.n—AG2si.n2—A

A4o91-cosA

【詳解】（1）tan-=----J--------；-^―-

2AAAsinA

cos—2sin—cos—

222

(2)由A+C=180,得C=180—A,D=180-B.

由⑴，有tH+tang+tanC+tanS

2222

_l-cos-4l-cos-8l-cos(1805-J)l-cos(180s-B)

sinAsinSsin(180'--<)sin(180*-5)

22

=----1----

sinAsinB

連結BD,

在AABD中，有Bn?=AB2+AD2-2AB.ADCOSA,

在ABC。中，有BD?=BC?+CD?-2BC-CDcosC,

所以AB2+AD2-2AB-ADcosA=BC2+CD2+2BC-CDcosA,

則COSAM-—

2(ABAD+BCCD)2(6x5+3x4)7

2M

于是sinA=A/1_COS2A=

連結AC,同理可得

?AB2+BC1-AD2-CD262+32-52-421

-2(ABBC+ADCD)~2(6x3+5x4)-19

于是sinB=A/1-COS2B=)2-=.

所以tan——I-tan—+tan——I-tan——

2222

22

=----F---

sinAsinB

—__1_4_I_2_x_1_9

2A/102M

4710

3

考點：本題考查二倍角公式、誘導公式、余弦定理、簡單的三角恒等變換等基礎知識，考查運算求解能力、

推理論證能力，考查函數與方程、化歸與轉化等數學思想.

4.（2024?山東濟南?二模）如圖，已知平面四邊形ABCD中，AB=BC=2sf2,CD=2,AD=4.

B

⑴若4民。,￡＞四點共圓，求AC；

（2）求四邊形ABCD面積的最大值.

【答案】（1）AC=3人

(2)3"

【分析】（1）在ABC.ACD中分別利用余弦定理表示出AC?,再由四點共圓得到cos/ADC=-cos/ABC,

即可求出AC；；

（2）由（1）可得cos/ADC-cosNA5C=—,再由面積公式得到5由44。。+5由乙鉆。=—,將兩式平方再

44

i?c2

相加得到2-2cos（NADC+NA5C）=q',結合余弦函數的性質計算可得.

【詳解】（1）在“1BC中，由余弦定理得：AC2=AB2+BC--2AB-BCcosZABC

=8+8-2x8?cos/ABC=16-16cos/ABC,

在&ACD中，由余弦定理得：AC2=AD2+CD2-2AD-CDcosZADC

=16+4—2x8-cos/ADC=20-\6cosZADC,

因為A,2,C,。四點共圓，所以NABC+/ADC=TT,因止匕COS/ADC=—COS/ABC,

上述兩式相加得：2AC2=36,所以AC=30（負值已舍去）.

(2)由(1)得：16-16cosZABC=20-16cosZADC,

化簡得cosZADC—cos/.ABC=—,

4

貝ijcos?ZADC-2cosZADCcosZABC+cos2ZABC=—(1),

16

四邊形ABC。的面積S=-AB-BCsmZABC+-AD-CDsinZADC

22

=—x2A/2x20sin/ABC+—x2x4sin/ADC

22

=4(sin/ADC+sin/ABC),

整理得sinZADC+sinZABC=-,

4

C*2

貝ljsin?ZADC+2sinZADCsinZABC+sin2ZABC=—②

16

1IC12

①②相力口得：2-2(cosZADCcosZABC-sinZADCsinZABC)=-------

16

1+S2

即2-2cos(ZADC+AABC)=

16

由于0</ADC<兀,0</ABC<兀,

所以當且僅當ZADC+ZABC=兀時，cos（ZADC+ZABC）取得最小值一i,

此時四邊形ABC。的面積最大，由"^=4,解得S=3?,

16

故四邊形ABCD面積的最大值為3叔.

5.（23-24高三上?江西?期末）如圖，在0ABe中，AB=8C=2,D為MBC外一點,40=20=4,記MAZ）=a，回BCD%

⑴求2cosa-cos￡的值；

⑵若的面積為y，SBC。的面積為S?,求+的最大值.

【答案】⑴；3

【分析】（1）利用余弦定理，進行轉換即可；

（2）根據題意，由（1）知2cosa-cos￡=；3,求出S：+S；取得最大值，最大值為3上1.

22

【詳解】（1）在，中，由余弦定理，得BO?nMZ+^p—ZTlS-ADcosauZO-lGcosa,

在△BCD中，由余弦定理，得BL）?=8c2+C￡）2-28C-Cr>cos^=8-8cos￡,

所以20-16cosa=8-8cos0,

所以8(2cosa-cos/?)=12,

3

2cosa-cosP

2

(2)由題意知&=；AB-AOsinNR4O=4sina,S?=；8CC￡>sinN8CO=2sin￡,

所以S；+S；=16sin2a+4sin2夕=16(l—cos2a)+4(l—cos

=20-16cos24cos2[3

33

由(1)矢口，2coscr—cos/?=一,所以cosQ=2cosa——,coserG

22z4

2

所以=20-16cos2a一412cosa一萬=-32cos2+24coscr+ll

=-32coscc—4----，

I8j2

所以當cosa=：e\j時，S；+S；取得最大值，最大值為

1.（湖南?高考真題）如圖，在平面四邊形."CD中，

DA_AB.DE=LEC=—EA=2,LADC=—總酗=-

3罩

⑴求皿一CED的值；

（2）求BE的長

【答案】⑴4（2）4"

【分析】（1）在ACDE中已知兩邊與一角,利用余弦定理即可求出第三條邊。C的長度，再利用余弦定理即可求

出角CED的正弦值.

⑵由（1）三角形OEC的三條邊，根據正余弦直角的關系可得角DEC的余弦值（或者利用正余弦之間的關系也

可求的），角/DEC,ZB￡C,/AEB之和為180°,其中兩個角的正余弦值已知，則可以利用余弦的和差角公式求的

角g的余弦值,AE長度已知，利用直角三角形AEB中余弦的定義即可求的物長.

【詳解】如圖設NCED=a

⑴在ACDE中，由余弦定理可得EC?=。2+。e2-2Ta6電NEDC,于是又題設可知7=CZ^+1+儀）,即

。92+8_6=0,解得8=2（。>=_3<0舍去）,

CD-sin—2追

DECD

在\CDE中，由正弦定理可得后,

sinZEDC-sincr=>sina=-----—32

七c幣一1

即sinNCED=—.

7

（2）由題設可得0＜。＜手于是根據正余弦之間的關系可得cosa=Gi7￡=，而

27rIJU2%.2%.1

ZAED=——a,所以cosZAEB=cos------a=cos——cosa+sin——sina——C0S6Z+sina

33322

12mA/3A/2?幣方DAGDF/.”_胡_2

=—x-------1-----x------=7在Rt^EAB中,cosX.AEB=---=,

272714BEBE

2

BE=

所以cos/AEB

考點：正余弦定理正余弦和差角公式直角三角形正余弦之間的關系

2.（湖南?高考真題）如圖所示，在平面四邊形ABCD中，AD=1,CD=2,AC=幣.

(1)求cos回CAD的值;

(2)若cosEIBAD=—且，sin0CBA=^I,求BC的長.

146

【答案】⑴CGS/CAD=生-(2)3

7

【詳解】試題分析：

⑴利用題意結合余弦定理可得cosZCAD=9；

7

(2)利用題意結合正弦定理可得：BC=3.

試題解析：

(I)在AQC中，由余弦定理得COS/CAO=2也

7

(II)設ABAC=a,則a=ABAD-ACAD

cosZ.CAD=2幣-,cosABAD=-

714

J21

sinACAD=---

7

..3V2T

s/mRZBnAD=----

4

?.6

..sma=——

2

在qABC中，由正弦定理，

BCAC

sinasinZCBA

故BC=3

點睛：在解決三角形問題中，面積公式S=gabs\nC=1-bcs'\nA=^-acsinB最常用，因為公式中既有邊

又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯系起來.

3.（2024?青海海西?模擬預測）如圖，在四邊形ABC。中，AB工AD,cosB=叵,cosNACB=?,BC=5

510

⑴求AC;

3

⑵若一ACD的面積為不，求CD.

【答案】（1）AC=20;

（2）CD=—

2

【分析】（1）根據誘導公式及兩角和的余弦公式求出NC4B,再由正弦定理得解;

（2）由三角形面積求出AD,再由余弦定理求出8.

【詳解】（1）由cosB=^^,cosNACZ）=辿0,

510

又由NC4B=兀一NABC—NACB,

所以COS/G46=-cos(ZABC+/ACB)=-X

二F

又由NC4Be（O,萬），可得ZBAC=:,

BCAC

在,ABC中，又由正弦定理得:

sinZBACsinZABC

V5_AC

所以5詒四一2五，可得AC=2后;

Sm4"

7TTT

(2)由A3_LAD,/3AC=—,可得NC4O=—,

44

又由一AQ的面積為｝有:x2&Dxs嗎=|,可得仞*,

在ACD中，由余弦定理有=+（2&）2-2、12萬sin：=半.

4.（2024?山東荷澤?二模）已知在一ABC中，CA.CB=-2,A42C的面積為近.

C

⑴求角C的度數；

⑵若3c=2,￡>,E是上的動點，且/OCE始終等于30。，記NCED=a.當DE取到最小值時，求a的值.

【答案】⑴NC=120。；

(2)75°.

【分析】（1）設CA=6,C3=a,則HcosC=-2,；必sinC=也求解即可;

DE=_________

⑵根據三角形面積公式結合正弦定理得到一,mW-6。。）+3,根據角的范圍求解即通

【詳解】（1）設CA=/?,C3=a,則成osC=-2,又加inC=J^,因止匕tanC=-石，

由。為M1BC的內角，所以NC=120。.

(2)由(1)知，^6zZ?sinl20°=^3,又〃=2,貝!)6=2,因此CA=C3=2,ZA=N5=3。。,

在加上中，由正弦定理得色二名昂，即

smasm30sma

CEDE

在/CD￡中,由正弦定理得

sinZCDE~sin30°y

CE-sin30°________1_________________1_________

sinZCDE2sincrsin(150°-a)sinacosa+^3sin*2a

11

—sin2a-cos2a+sin(2cr-60°)+

2222

顯然30。404120。，則有0W2a-60。4180。，因此當sin（2a-6（T）=l時，取到最小值,

止匕時2z—60。=90。，即a=75。，

所以。的值75。.

『I好題沖關

1.(23-24高三上?陜西漢中?階段練習)如圖，在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,6,c,AB=6,AC=2^/3,

BC=2娓,點D在邊8C上，且NADC=60。.

⑴求sinB；

⑵求線段4。的長.

【答案】⑴"

3

(2)4

【分析】(1)利用余弦定理與三角函數的平方關系即可得解；

(2)利用正弦定理即可得解.

【詳解】(1)根據題意得：cosB==僅⑹+6?一(2⑹=顯,

lac2x2&x63

又0<5<兀，所以sin5=Vl-cos2B=.

3

(2)因為NAZ)C=60。，所以NAT>5=120。，

久右

6x__

在△ABD中，由正弦定理黑=.可得，4。=等黑=T-=4.

sinBsinZADBsmZADBJ3

~2

2.(23-24高三上?湖北?期末)如圖，在BBC中，AB=AC=6,點。是邊上一點，且

A.D_LAB,cos^CA.D----,AE=2EB

3

⑴求BCE的面積;

⑵求線段AD的長.

【答案】⑴4忘

(2)AD=3A/2

【分析】（1）根據％BCE=g5AAsc求解即可；

（2）解法1：在ABC中根據余弦定理求出BC,結合等腰三角形的性質求cosB,在△ABD中勾股定理求

AD即可；

解法2：由SAge~SABD+SACD求得AD.

【詳解】(1)AE=2EB,:.SBCE=3謝,

[fOSASC=|AJB-AC-sinZBAC=1x6x6xsinfzCA￡>+^

=18COSZCAD=18X^^=12A/2,

3

?.s=—S=4^2.

ZRJC/FS3ADBC

(2)解法1：cosNCAD=,NCADe(0㈤,sin/CAZ)=Jl一cos?NCAD=,

cosZCAB=cos^ZCAD+]]=sinZCAD=-1,

在中，BC2=AB2+AC2-2AB-AC-cosZCAB=36+36-2x6x6x^^=96,

BC

.?.BC=4",.?.在等腰ABC中，H22A/6瓜,

COSn=--------=------=----

BA63

中，cosB=^=^=￡,:.BD=3面,

3BDBD

:.AD=dBlf-B尺=A/54-36=342-

解法2：cosZCAD=NCADe(0,7t),.\sin/CAD=71-cos2ZCAD==；,

由SABC=SABD+SACD得,

12>/2--x6xA￡>+-x6xAr)-sinZC4￡),

22

即120=gx6.AO+；.(6.AO).g

解得AO=30.

3.（23-24高三上?寧夏銀川?階段練習）如圖，在平面四邊形A3CD中，ZADC=90°,ZA=45°,AB=4,

BD=10.

⑴求cosNADB；

（2）若△BCD的面積為4屈，求BC.

【答案】⑴?

⑵10

【分析】（1）先利用正弦定理求出sin/ADB,再結合結合同角的三角函數關系即可求解;

（2）先結合（1）及三角形面積公式求出。C,再根據余弦定理即可求解.

BDAB

【詳解】（1）在中，由正弦定理得

sinZAsinZADB

解得sin/ADB=走,

即——=--------

sin45sinZADB5

又0<NADB<90,

所以cosXADB=y/1-sin2ZADB=g.

5

（2）結合（1）可得cos/3DC=cos（90-ZADB）=sin^ADB=,

則smZBDC=」1-cos?NBDC=警,

X5SCD=1￡>B-DC.sin^BDC,即4屈='xlOxOCx率，解得￡>C=4在，

225

則由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosZBDC=100,

又BC>。,所以3c=10.

4.（2023?河南?模擬預測）如圖，在四邊形A3CD