工科線性代數試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.設矩陣\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)為：

A.\(\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\)

B.\(\begin{bmatrix}4&2\\-3&-1\end{bmatrix}\)

C.\(\begin{bmatrix}2&-1\\3&4\end{bmatrix}\)

D.\(\begin{bmatrix}2&1\\3&-4\end{bmatrix}\)

2.若矩陣\(A\)是一個\(n\timesn\)的可逆矩陣，則\(A^{-1}\)的秩為：

A.1

B.n

C.n-1

D.0

3.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(A\)的特征值都為1，則\(A\)的行列式\(\det(A)\)為：

A.1

B.0

C.n

D.n!

4.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的實對稱矩陣，則\(A\)的特征值：

A.必為實數

B.必為正數

C.必為負數

D.必為非零數

5.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的充要條件是：

A.\(\alpha\neq0\)

B.\(\lambda\neq0\)

C.\(\alpha\)是\(A\)的零向量

D.\(A\)是\(n\timesn\)的方陣

6.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值：

A.必為1

B.必為0

C.必為1或0

D.必為非零數

7.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A-\lambdaI)\alpha=0\)的充要條件是：

A.\(\alpha\neq0\)

B.\(\lambda\neq0\)

C.\(\alpha\)是\(A\)的零向量

D.\(A\)是\(n\timesn\)的方陣

8.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A+\lambdaI)\alpha=0\)的充要條件是：

A.\(\alpha\neq0\)

B.\(\lambda\neq0\)

C.\(\alpha\)是\(A\)的零向量

D.\(A\)是\(n\timesn\)的方陣

9.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A-\lambdaI)^2\alpha=0\)的充要條件是：

A.\(\alpha\neq0\)

B.\(\lambda\neq0\)

C.\(\alpha\)是\(A\)的零向量

D.\(A\)是\(n\timesn\)的方陣

10.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A+\lambdaI)^3\alpha=0\)的充要條件是：

A.\(\alpha\neq0\)

B.\(\lambda\neq0\)

C.\(\alpha\)是\(A\)的零向量

D.\(A\)是\(n\timesn\)的方陣

二、填空題（每題2分，共10題）

1.設\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\det(A)\)為_______。

2.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A\)的特征多項式\(f(\lambda)\)為_______。

3.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A-\lambdaI)\alpha=0\)的充要條件是_______。

4.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A+\lambdaI)\alpha=0\)的充要條件是_______。

5.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A-\lambdaI)^2\alpha=0\)的充要條件是_______。

6.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A+\lambdaI)^3\alpha=0\)的充要條件是_______。

7.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的充要條件是_______。

8.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的必要條件是_______。

9.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的充分條件是_______。

10.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的必要不充分條件是_______。

三、判斷題（每題2分，共10題）

1.若矩陣\(A\)是一個\(n\timesn\)的可逆矩陣，則\(A\)的行列式\(\det(A)\)不為0。（）

2.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A\)的特征多項式\(f(\lambda)\)的次數為\(n\)。（）

3.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A-\lambdaI)\alpha=0\)的充要條件是\(\alpha\neq0\)。（）

4.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A+\lambdaI)\alpha=0\)的充要條件是\(\alpha\neq0\)。（）

5.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A-\lambdaI)^2\alpha=0\)的充要條件是\(\alpha\neq0\)。（）

6.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\((A+\lambdaI)^3\alpha=0\)的充要條件是\(\alpha\neq0\)。（）

7.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的充要條件是\(\alpha\neq0\)。（）

8.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的必要條件是\(\alpha\neq0\)。（）

9.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的充分條件是\(\alpha\neq0\)。（）

10.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，則\(A\alpha=\lambda\alpha\)的必要不充分條件是\(\alpha\neq0\)。（）

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若矩陣\(A\)是一個\(n\timesn\)的實對稱矩陣，則\(A\)的特征值一定都是實數。（）

2.對于任意矩陣\(A\)，\(A\)和\(A^T\)的特征值相同。（）

3.如果\(A\)和\(B\)是兩個\(n\timesn\)的可逆矩陣，那么\(AB\)也是可逆的。（）

4.對于任意矩陣\(A\)，\(A\)的行列式\(\det(A)\)等于\(A\)的伴隨矩陣\(A^*\)的行列式。（）

5.如果\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(A^2=A\)，那么\(A\)必定是投影矩陣。（）

6.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，\(\alpha\)是對應的特征向量，那么\(\alpha\)必定是非零向量。（）

7.對于任意矩陣\(A\)，\(A\)的零空間（核）的維數等于\(A\)的秩的補數。（）

8.設\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，如果\(\lambda\)是\(A\)的重根，那么\(A\)必定可以相似對角化。（）

9.對于任意矩陣\(A\)，\(A\)的特征值和特征向量之間的關系是一一對應的。（）

10.如果\(A\)是一個\(n\timesn\)的矩陣，且\(A\)的所有特征值都是1，那么\(A\)必定是單位矩陣。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述矩陣的秩的定義及其性質。

2.什么是特征值和特征向量？請給出特征值和特征向量的幾何意義。

3.如何判斷一個矩陣是否可逆？請列出判斷矩陣可逆的充分必要條件。

4.簡述矩陣的相似對角化的定義，并說明為什么一個矩陣可以相似對角化的條件。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述矩陣的行列式在解決線性方程組中的應用。請結合具體例子說明行列式如何幫助判斷線性方程組是否有解，以及解的類型。

2.論述矩陣的秩在矩陣理論中的重要性。請從矩陣的秩與矩陣的線性相關性、矩陣的逆矩陣、矩陣的相似對角化等方面進行論述。

試卷答案如下

一、多項選擇題（每題2分，共20題）

1.A

2.B

3.A

4.A

5.A

6.C

7.A

8.A

9.A

10.A

11.A

12.B

13.C

14.A

15.B

16.C

17.A

18.B

19.A

20.C

二、填空題（每題2分，共10題）

1.2

2.\(\det(A-\lambdaI)\)

3.\(\alpha\neq0\)

4.\(\lambda\neq0\)

5.\(\alpha\neq0\)

6.\(\alpha\neq0\)

7.\(\alpha\neq0\)

8.\(\alpha\neq0\)

9.\(\alpha\neq0\)

10.\(\alpha\neq0\)

三、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

2.×

3.√

4.×

5.×