第12講新高考新結構命題下的

解三角形解答題綜合訓練

(10類核心考點精講精練)

I傳.考情探究?

在新課標、新教材和新高考的“三新”背景下，高考改革又一次具有深度的向前推進。這不僅僅是一

場考試形式的變革，更是對教育模式和教育理念的全面革新。

當前的高考試題設計，以“三維”減量增質為核心理念，力求在減少題目數量的同時，提升題目的質

量和考查的深度。這具體體現在以下三個方面：

(1)三考

題目設計著重考查學生的知識主干、學習能力和學科素養，確保試題能夠全面、客觀地反映學生的實

際水平。

(2)三重

強調對學生思維深度、創新精神和實際應用能力的考查，鼓勵學生不拘泥于傳統模式，展現個人的獨

特見解和創造力。

(3)三突出

試題特別突出對學生思維過程、思維方法和創新能力的考查，通過精心設計的題目，引導學生深入思

考和探索，培養邏輯思維和創新能力。

面對新高考新結構試卷的5個解答題，每個題目的考查焦點皆充滿變數，無法提前預知。解三角形版

塊作為一個重要的考查領域，其身影可能悄然出現在第15題中，作為一道13分的題目，難度相對較為適

中，易于學生入手。然而，同樣不能忽視的是，解三角形版塊也可能被置于第16、17題這樣的中等大題中，

此時的分值將提升至15分，挑戰學生的解題能力和思維深度，難度自然相應加大。

面對如此多變的命題趨勢，教師在教學備考過程中必須與時俱進。不僅要深入掌握不同題目位置可能

涉及的知識點及其命題方式，更要能夠靈活應對，根據試題的實際情況調整教學策略。本文基于新高考新

結構試卷的特點，結合具體的導數解答題實例，旨在為廣大師生提供一份詳盡的導數解答題綜合訓練指南，

以期在新高考中取得更好的成績。

12?考點梳理

考點一、面積及最值

1.（2024?河南焦作?模擬預測）記ABC的內角A,B,。的對邊分別為。，b,已知點廠為線段AC上

2

的一點，AF=2CF,BF=2,asmA+csmC-bsinB=—asinC.

3

⑴求cosNABC的值；

⑵求ABC面積的最大值.

【答案】⑴g

4

【分析】（1）由正弦定理和余弦定理即可求得.

（2）由余弦定理、向量運算、三角形面積公式和基本不等式即可求出二ABC面積的最大值.

【詳解】（「）

abc,.「7n2.「

因為=2H,asmAA+csmC-bsmB=—asmC,

sinAsinBsinC3

ab_2c,化簡得〃之+，一〃7,

則”,——+<7?—■-b-—a---

2R2R2R~32R

由余弦定理得，cos/ABC二礦+廣一二二耳碇一1.

2ac7；一彳

2ac3

(2)在一ABC中，cosNABC=g,ZABCe(O,7i),

則sinNABC=J1一cos?NABC=Jl一(j=￥"

ryrs1

由A尸=2C尸得，BF=BA+AF=BA+-AC=BA+^BC-BA^=-BA+-BC,

12-—q(i9A2i4191

2

即B_F=-5AH—BC,所以5尸=—BAH—BC=—c+—+2x—x—acx—=4.

33^33J99333

‘廿/口11242cl2l,cl24

由本c/、式^、,有—c4—Q+2x—x—cicx—=4N2x—x—cicHcic,

993333327

即收《幺，當且僅當c=2a,即°=迷，c=2店時等號成立，

442

所以ABC的面積S=Lacsin/ABC〈Lx2x述=2叵，

22434

故當c=￡l,°=亞時，ABC面積的最大值為逋.

244

2.(2024?貴州銅仁?模擬預測)在ABC中，已知tanA+tan3+1=tanAtan比AB=272，AC=20

⑴求角8；

(2)若一ABC為銳角三角形，且GA+G2+GC=0，求△G4B的面積.

【答案】(1)8=々或今

⑵S&GAB=。+1

【分析】(1)利用兩角和的正切公式化簡等式，利用誘導公式求出tanC,再利用正弦定理求出角8；

(2)根據GA+G8+GC=0得到點G為三角形&ABC重心，由SGAB=：S如直接求解即可.

［詳解］(1)tanA+tanB=tanA-tanB-1,

在三角形中，tanA+tan_BwO,

tanA+tanB,,,<

tanAtanB^l,「?------:-----=-l,/?tan(A+B)=-l,

1-tanA?tanB

在.ABC中，A+B+C=n,

/.tanC=-tan（A+B）=1,

jr

又0＜。＜兀，c=-,

4

AC=b=2^/^,AB=c=2A/2,

由正弦定理==^sinB-Z?SinC-2'^，

sinAsinBsinCsin萬一-------------------尸~---

c2V22

7C兀_p.2兀

,b＞c,8=7"或—；

33

（2）因為/ABC為銳角三角形，所以8=三，

GA+GB+GC=O.

???點G為三角形ABC重心，

所以SGAB=gsCABAC-sinA,

又sin（3+C）=sinA=":后,

所以sGAB='、20?26."+力=且+1,

GM32v43

所以△G4B的面積為走+1.

3

3.（2024.全國.模擬預測）在,ABC中，AB^IBC.

3-

（1）右cosB=W，求tanA；

⑵若AC=2,求.ABC面積的最大值.

【答案M嗚4

4

【分析】（1）解法一先利用同角三角函數基本關系求得sin5=w，再利用正弦定理結合兩角和正弦公式化

簡求解即可；

7

解法二結合已知利用余弦定理求得cos4=Z，然后利用同角三角函數基本關系求解即可.

V65

（2）利用余弦定理得cos8=^7,然后利用三角形面積公式結合二次函數性質求解即可.

4〃

【詳解】（1）解法一因為cos8=|,所以sinB=Q^7=Jl-=g.

rAR

在.ABC中，由正弦定理得半=罷=2,

sinABC

111123

所以sinA=—sinC=—sin（B+A）=—sinBcosA+—cosBsinA=—cosAd----sinA

2222510

4

所以7sinA=4cosA,貝！JtanA二一.

7

解法二設A5=2a,則5C=a,

在,ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB?BCcosB=4a2+a2-—a2=y?2>

.21322

■2+人。2—3。24〃HCl—Clr

V655_7

所以4C=-----a所以cosA=

2ABAC47652V65

5-------a

5

所以sinA=Jl-cos2A=Jl一竺二—,所以tanA=］畝A=j;

V65V65cosA7

(2)由(1)中解法二可知5C=〃，AB=2a,

6+叱―人。25a2-4

在,.ABC中,由余弦定理得cosB=

2ABBC4a2

所以S謝二；A3?3Csin3=〃J__?os?B==-V-9?4+40?2-16

4

-9卜一部+等號當”手時取等號，

4

故_ABC面積的最大值為

4.(2024?全國?模擬預測)在一ABC中，內角A民C的對邊分別為。也。.已知

cos2B-cos2ZBAC=2sinC(sinC-sinB).

⑴求ZBAC.

(2)若點。為邊BC的中點，且AD=2,求「.ABC面積的最大值.

【答案】⑴:

⑵拽.

3

【分析】(1)由二倍角公式化簡已知等式，然后由正弦定理角化邊再結合余弦定理求得NA4C.

(2)由向量建立等量關系，結合基本不等式求得,ABC面積的最大值即可.

【詳解】(1)由二倍角公式，得l-2sin喈-0-2sin2/A4C)=2sinC(sinC—sinB),

即sin2ZBAC—sin2B=sinC(sinC-sinB).

由正弦定理，^a2-b2=c2-bc,^c2+b2-a2=bc.

由余弦定理，WcosZBAC=r+Z，--fr

2bc2bc2

71

因為0</B4C<兀，所以/區4。=耳.

(2)因為點。為邊BC的中點，所以2AZ)=AC+AB，

所以4AD2=AC2+AB2+2|Ac||AB|cosZBAC,

即16=。2+02+兒23歷，解得當且僅當6=c=拽時，等號成立.

33

斫“a_1,.N16_473

/TT以S八=-bcsin/A4c=—be<—x—=-----,

△ABRrC24433

所以ABC面積的最大值為遞.

3

5.(2024?全國?模擬預測)在&ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且4=1.

(1)^C-B=—,c=\/2Z?sinC>求b;

(2)若(a+b)(sinA-sin8)=(c-0)sinC,求ABC的面積S的最大值.

【答案】⑴G-l

(2)立.

4

冗

【分析】（1）根據正弦定理，由c=?sinC得至UsinC=&sinBsinC，進而求得sinB,再由C-B=五，求

得角B,A,得到sinA,再由正弦定理求得6；

（2）根據正弦定理角化邊得到6+02-/=A，用余弦定理求得4再根據基本不等式求得6c<1,然后利

用三角形面積公式，即可求得S的最大值.

【詳解】（1）Elc=V2Z?sinC>由正弦定理得$抽。=5/58111的11。，

又Ce（0,7t）,所以sinCxO,所以sinB=乎,

冗冗

又c-旌a所以入C'所以2為銳角’所以八“

-7L7L7LI、14兀兀5兀

C=一+—,所以A=7l---------

12434312

5兀7171.717171.71y/2+46

故sinA=sin——=sin—+—=sin—cos—+cos—sin—=-----------

126464644

I6

.Ix__

「ab匚G、17asinB9/71

X——-=-^—,所以人=~==-1

sinAsmBsinA，2+，6

4

(2)因為囚+/?21114一$1115)=(0-/?)$111。,

由正弦定理得(〃+")(〃—?=(c—b)c,即正十02一片=歷,

Z72+c2-a2be_1

所以cosA=

2bc2bc~2

又Ae(CU),所以A=?

因為a?二人2+。2一兒,所以1=/?2+。2—be>2bc—be=be,

即〃。<1,當且僅當8=c=l時等號成立，

所以S=—besinA=上昱—,當且僅當b=c=l時取等號,

22244

所以S的最大值是3.

4

考點二、周長及最值

2tanA_asinB

1.(23-24高三?河北滄州?模擬)一ABC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,

1+tan2Ab

⑴求角A的大小；

(2)若6+°=耳，ABC的面積為2叵，求ABC的周長.

3

【答案】(1)A=;

(2)26+2.

【分析】(1)利用同角公式切化弦，正弦定理邊化角求解即得.

(2)利用三角形面積公式求出6c,再余弦定理列方程求解即得.

2tanA2sinAcosA

【詳解】(1)依題意,=2sinAcosA,

1+tan2Asin2A+cos2A

sinAsinB..

在LABC中，由正弦定理得竺”--------=sinA,

bsin3

因此2sinAcosA=sinA,而sinA>0,貝lJcosA='，又OVACTI,

2

所以Ag

(2)由ABC的面積為漢1,得LbcsinA=2叵，解得6c=§,

3233

由余弦定理得。之=c2+b2-2/?ccosA=c2+b2-be=(Z?+c)2—3bc,

而力+c=g〃，貝lj儲=(石〃)2一8,解得。=2,b+c=2A/3,

所以的周長為26+2.

2.(2024?河南新鄉?二模)已知—ABC的內角A氏C的對邊分別為a,6,c,上—=多芻

c4b-a

⑴求sinC的值；

(2)若J1BC的面積為巫，且°+b=2\&c,求一ABC的周長.

23

【答案】⑴姮

4

(2)4+76

化簡求得c°sC】,進而得到sinC的值;

【分析】(1)根據題意，由正弦定理和三角恒等變換的公式,

(2)由若_MC的面積為姮，求得。6=4,再由余弦定理,

求得c=娓,進而求得J1BC的周長.

2

【詳解】(1)解：因為堊C=等4，由正弦定理得cosCcosA

c4b-asinC4sinB-sinA'

可得4sinBcosC-sinAcosC-cosAsinC,

即4sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

因為3￡(0,兀)，可得sin3>0,所以4cosc=1,BPcosC=-,

4

所以sinC=Vl-cos2C=.

4

(2)解：由(1)知sinC=姮，

4

因為若ABC的面積為巫，可得工4加皿。二巫，即!"義巫=巫，解得必=4,

222242

又因為Q+Z?=------C,

3

由余弦定理得c?=a2+b2-2cibcosC=(i+Z?)2—2cib—2cibx——(。+。)2一—10，

整理得/=6,解得c=n，

所以a+b=x巫=4，

3

所以ABC的周長為a+b+c=4+C.

C—Acin/1

3.（2024?陜西?模擬預測）.回。的內角481的對邊分別為0,肉0,土：=.

a-bsmC+smB

⑴求C;

（2）若〃+b=6,求ABC的周長最小值.

【答案】（1）C=5

（2）9

【分析】（1）首先利用正弦定理，邊角互化，轉化為邊的關系，利用余弦定理求角C的值;

（2）根據（1）中等式結合基本不等式求周長的最小值.

4

【詳解】（1）因為二=.二，由正弦定理可得==—，

a—bsmC+SIILDa—bc+b

整理得a2+b2—c2=ab

^272_2ab_1

由余弦定理知c°sc=F^

lab2

jr

>0<C<7i,所以C=1.

（2）由（1）可矢口：a1+b2-c2=ab,c2=（?+Z?）2-3ab=36-3ab,

且必上叫一=9,當且僅當a=6=3時，等號成立，

一4

則。2=36-3"?9,即c?3,可得a+6+cN9,

所以ABC的周長最小值9.

4.（2024?全國?模擬預測）已知函數〃x）=4sin[x+E]cosx-L

⑴求的最小正周期與圖象的對稱中心；

（2）在ABC中，/（A）=1,BC=4,求MC周長的取值范圍.

【答案】⑴?二兀；[仁-/。）/eZ

⑵（8,12]

【分析】（1）易得"x）=2sin[2x+tj,再利用正弦函數的性質求解；

（2）由〃4）=1,g=4結合正弦定理得到外接圓的半徑，從而有周長

￡=a+〉+c=4+4cosC+手sinC+手sinC=8sin[c+j+4,再利用正弦函數的性質求解.

1、

【詳解】（1）解：由題意得〃無）=4sinx+—cosx：cosx-1=2石sinxeosx+2cos2x-1,

2

7

=V3sin2x+cos2x=2sinI2x+1,

所以/'（x）的最小正周期T號=兀;

令2%+巴=防1,左eZ,貝!Jx=........—，^GZ,

6212

故/（x）圖象的對稱中心為（羨-去,。）,左￡Z.

(2)由"A)=2sin[2A+t=1,得sin]2A+^

2

又0＜4＜兀，所以工＜2A+?＜孚，

666

所以2A+m=學，則4=弓，則B+C=

0O33

設.ABC的內角A氏C所對的邊分別為a,b,c,

/7_c_48百

由正弦定理得sinB-sinC一.兀"V

sin—

3

隨xsin(空2兀-c]=4c°sC+迪473sinC,C8n^/3C,

b=-sinB=

33333

貝惆長八,=(z+Z>+c=4+4cosC+—sinC+—sinC,

33

=4+4cosC+4瓜inC=8sinC+看+4,

因為Ce]o,gjr兀5K

,所以C+、e

o6，-6-

1

故可0+￡卜卜/，因止匕4e(8,12].

2/△ABC

5.（2024?陜西漢中?二模）在一ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,請從下列條件中選擇一個條

件作答：（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個解答計分.）

①記11ABe的面積為S,且gAB-AC=2S；②已知asinB=6cos(A-工).

6

⑴求角A的大小;

⑵若ABC為銳角三角形，且a=#,求45c周長的取值范圍.

【答案】（1）A=1；

⑵(30+瘋3扃

【分析】（1）選①，利用數量積的定義及三角形面積公式求解；選②，利用正弦定理邊化角，再利用差角

的余弦化簡即得.

（2）利用正弦定理化6+c為角3的函數，再利用三角恒等變換及正弦函數性質求出范圍.

【詳解】（1）選條件①，由括A8-AC=2S,得6bccosA=2xgbcsinA,整理得tanA=Q,而0<&<兀，

所以

選條件②，由asinB=bcos(A-工)及正弦定理，sinAsinB=sinBcos(A--),

66

ffusinB>0,則sinA=cos(A-g)=#^cosA+(sinA,整理得tanA=百，而0</1<兀，

所以A4.

bca

⑵由⑴知A=5,由正弦定理得singFc-sinA'in巴

3

因止匕b+c=2\/2sinB+2A/2sinC=20[sinB+sin(^+B)]

0<B<-

由,ABC為銳角三角形，得。2,解得因此g<8+m<=,

0<a_8<四612363

132

貝I]火<sin(8+巴)41,于是3點<6+cV2#,3應+#<a+6+c?3后，

26

所以一ABC周長的取值范圍是(30+n,3#].

考點三、邊長、線段及最值

1.（2024?陜西西安?模擬預測）在平面四邊形ABCD中，NCBD=30。,ZBAD=60°,BC=4,BD=273.

（1）^AD=AB,求AC。的面積.

⑵求AC的最大值.

【答案】⑴6

（2）2+2A/3

【分析】（1）由題意計算出CD、AD及-ADC,借助面積公式即可得;

(2)借助中8。定長，44。定角，則外接圓圓心到A點的距離為定值，再計算出圓心到

點C的距離，由三角形三邊關系即可得.

*C

O//

■\

【詳解】(1)'

由NCB￡>=30。，BC=4,BD=2?

貝ljCD2=BD2+CD2-2BD-CDcosZCBD=4,

即CD=2,有CD?+BD?=CD1,故ZBDC=9Q°,

由AD=AB,ZBAD=60°,則△ABD為正三角形，

即有AD=AB=3。=2石，ZADC=90°+60°=150°,

則S“°=，AZXf￡>sinAOC=’倉也62?-百；

-222

.C

4：??Y%

（2）

了乙二.-1，

由=2A/3，ZE4D=60。,

作出△ABD外接圓，令圓心為。，

則公ABD外接圓半徑R==..”=2，

2sinZBAD

即有。4=08=2,Z.DOB=2ZBAD=120°,

1go。_[20°

貝UNDBO=--------------=30°,貝I」ZCBO=30°+30°=60°，

2

即有CO?=BC2+BO2-2BCBOcosZCBO=12,

即CO=2y/3,

則4（7449+0。=2+2退，當且僅當A、。、C三點共線時等號成立,

即AC的最大值為2+25A.

2.（2024?全國?模擬預測）在銳角ABC中，內角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。853=/?（1+8$4）.

⑴證明：A=2B；

⑵求￡的取值范圍.

a

【答案】⑴證明見解析

(2)

【分析】（1）由正弦定理結合兩角差的正弦公式化簡已知式，即可得出答案；

（2）由是銳角三角形，可求出〈工，進而求出也<COSB<3,由正弦定理結合兩角和的正弦

6422

定理可得￡=2COSB——」，令cos3=f,y=2t--,由y=2一工的單調性即可求出答案.

a2cos82t2t

【詳解】（1）由acos5=Z?（l+cosA）,結合正弦定理得sinAcos5=sin3（l+cosA）,

即sinAcosB-cosAsinB=sinB,

所以sin（A_5）=sin5,

所以4一5=5或（4—5）+5=兀（舍去），所以A=25.

JITT

（2）在銳角ABC中，0<B<—,0<A=2B<~,0<C=n-3B<-,

222

即〈工，所以正<cosB<立.

6422

csinCsin33sin2BcosB+cos2BsinB一八1

—=------=---------=----------------------------------=2cosB-----------.

asinAsin23sin232cos3

所以y>也一旦立，y〈拒_鼠巫,

2233

g、J0?2冉

所以片亍）

3.（2024?江蘇揚州?模擬預測）記ABC的內角ABC的對邊分別為a,6,c,若（a+b+c）（a+b-c）=3,且

.ABC的面積為更.

4

⑴求角C；

（2）若AD=2DB，求|CD|的最小值.

【答案】⑴方2兀

喈

【分析】⑴借助余弦定理與面積公式可得瑟三板結合二倍角公式可得，嗚=6即可得解;

,1,O*___2142

（2）結合題意借助向量，可得Cr>=）CA+'C3,結合模長與數量積的關系計算即可得CD=-b2+-a2

3

利用基本不等式即可得其最值.

【詳解】(1)(^+Z?+c)(tz+Z7-c)=3,:.3=(a+b)2-c2=a2+b2-c2+2ab

3

結合余弦定理得3=2abcosC+2ab=2ab(l+cosC),?二ab=

2(l+cosC)*

jinC

Q

°ABC241+cosC

cc

2sin-cos一「

即——2—=又71X故C4;

2C2

COS——

2

ab=—~—..........=3

2(1+cosC)

AD=2DB，；.CD=；CA+gcB,

2i=—2=%+422

..CDCA+CB-a—

lt999993

又"+=1422c222

—a——=2x=—

993993333

當且僅當人=2〃=而時，長取最小值，此時。。=

.?.CD長的最小值為亞

3

1-sinAsin3

4.（2024?江西鷹潭?二模）ABC的內角A,BC的對邊分別為a,b,c,滿足

cosAcosB

TV

⑴求證：A+2B=--,

⑵求匕廿的最小值.

C

【答案】⑴證明見解析,

(2)40-5

【分析】⑴根據題意，化簡得到sin(A+B)=cosB=sin|j-Bj,即可得證；

(2)由(1)知4且C=至+5,利用正弦定理得到^^=4cos2B+一一-5,結合基本不等式,

22c2cos2B

即可求解.

【詳解】(1)證明：由^―‘in4=sin',可得人力色且sinAcosB+cosAsin3=cosB,

cosAcosB2

所以sin(A+3)=cos5=sin[-3),

jrTT

因為"為三角形的內角，可得人十八萬㈤即A+23=5,得證.

7171

(2)解：由(1)知4=----2B,且C=7i—A—5=—FB,

22

所以〃+/_sin?A+sin"_cos?28+sin?8_(2cos，8-1)-+l-cos2B

c2sin2Ccos2Bcos2B

所以=￡=4cos28+一一-5>472-5,當且僅當cos?2=農時，等號成立，

c2cos-B2

所以《42的最小值為4逝-5

C

5.(2024?全國?一模)已知ABC的內角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,且A。是3C邊上的

高.(sinA-sinB\a+/?)=(c-42b)sinC.

⑴求角A；

⑵若sin(5一。)=立^,a=5,求AZ).

10

【答案】⑴A=：

(2)AD=6

【分析】(1)已知條件利用正弦定理角化邊，化簡后由余弦定理求出cosA,得角人

(2)由sin(5-C)=,sin(B+C)=,得sinBcosC=^cos5sinC=2夜，WtanB=^-tanC,得

10210102

34nAr)Ar)4n

CD=-BD,有5D=2,CD=3,再由即tanB+tanC+l—tan3tanC=——+——+1-------------=0,解出AD

2BDCDBDCD

的值.

【詳解】(1)一MC中，(sinA-sinB)(a+6)=(c—回)sinC,

由正弦定理，有(a-b)(a+b)=(c-應b)c,BPa2-b2=c2-yf2bc>

得b2+c2-a2=-Jibe,

b1+C1-a20bc_忘

由余弦定理,cosA=

2bc2bc2

由°"＜兀,得4弋,

(2)sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=,

sinA=sin[K-(B+C)]=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=,

解得sinBcosC=￡2cosBsinC=冬旦,則B,C都為銳角,

1010

,.sinBcosC33

有---------=——得tanB=—tanC

cos3sinC22

銳角一ABC中，AD_LBC,則有tan8=^^,tanC=，

BDCD

又BC=a=BD+CD=5,得BD=2,CD=3,

由tanA=-tan(B+C)=1,tanB+tanC=一],即tang+tan^+l—tanBtanC=0,

1—tanBtanC

ADAD_AD^AD必+四十上An2

++i=Q>------=0,解得AD=6.

BDCDBDCD236

6.（2024?陜西西安?模擬預測）在ABC中，角A氏。的對邊分別為“Ze,已知

V3

sinA=sinCcosB------sinBsinC,

3

⑴求角C的大小;

⑵若C的角平分線交A3于點。，且CD=2,求a+2Z＞的最小值,

【答案】(1)C=Q

(2)6+40

【分析】（1）利用正弦函數的和差公式化簡題設條件，從而得到tanC,由此得解;

（2）利用三角面積公式推得工+：=:，從而利用基本不等式"1"的妙用即可得解.

ab2

【詳解】(1)因為sinA=sinCeosB-避^sinBsinC,

3

所以sinCeos5———sinBsinC=sin(C+=sinCcosB+cosCsinB,

所以一2^sinBsinC=cosCsinB,

3

由于0<5<兀，貝UsinB>0,所以—且sinC=cosC,即tanC=—石，

3

2兀

又Ce（0,兀），所以C=、.

（2）因為C的角平分線交AB于點。，且8=2,%?C=S"S+%BCD，

IQjr17rlIF

根據三角形面積公式可得七曲-sin芋=36-86由；+沫分06畝三

.2717CJC

等式兩邊同除以《就CD可得sm^_sm3smi,則雪；二，

25二+一ab2

CDab

則a+2b=2(Q+2b)6+40,

當且僅當竺=3,即6=2+&,a=2+2&時，等式成立,

ab

故a+2Z＞的最小值為6+4＞歷.

考點四、三角函數值及最值

1.（2024?上海?三模）己知在，ABC中，角A,民C所對的邊分別為a,6,c,b=l,且滿足2acos3=cosC+eos,

（1）若“=生好，求的面積S；

(2)求“+2c的最大值，并求其取得最大值時cosC的值.

【答案】⑴制吟

⑵最大值券’f.

【分析】(1)首先由余弦定理求出C,再結合三角形面積公式即可求解；

(2)由正弦定理邊化角，結合三角恒等變換即可求解.

【詳解】(1)Qb=l,2acosB=cosC+ccosB,.\2acosB=bcosC-^-ccosB,

又=27?,/.2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB,

sinAsinBsinC

/.2sinAcosB=sin(B+C).

又?在AABC中，B+C=TI-A,AG(0,7i),2sinAcosB=sinA,

因為sinA>0,所以cos3=一,

2

又丁在一ABC中，BG(0,7T),:.B=^9

再由三角形的余弦定理得：b1=a2-^c2-2accosB,:.l=a2+c2-ac

45a=母或c=3A/13

BPc2----------c+—=0,解得c-------，

13131313

巫時，LesinB14萬岳66

當c=:.S==—X------------X---------X--------=--------,

3屈時,_1”4萬V133A/33如

當c—?s

132...........213'13"213

acb12石

._26.人_空sinC

(2)sinAsinCsinB"丁..。=---sinA,c—

33

.?.a+2c=^sinA+^sinC-^-sinfc+7-1K述sinC

33333

=^sinCcosC=^ll2回./工

+sinC+—cosC-y-sin(C+^)<^—.

3314

甘r+t.\/215-77

其中，sin67=-----cos(p=]4,9w

14

2兀

在，ABC中，B=y,.'.Ce0,

.?.當C+°=T時，a+2c取到最大值卓,

.A/21

此時，cosC=cosl-=sin0=---

14

2.(2024?全國?模擬預測)設」1BC的內角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若2sin2c=cosC^cos(A-B)+l.

⑴求《42的值;

C

(2)若2ABe為銳角三角形，求c