第七模糊計算7、1模糊邏輯得數學基礎7、1、1模糊集合一般而言,在不同程度上具有某種特定屬性得所有元素得總與稱為模糊集合。模糊集合得基本思想就就是把經典集合中得隸屬關系加以擴充,將元素對“集合”得隸屬程度由只能取０與１這兩個值推廣到取單位閉區間[0,1]上得任意數值,從而實現定量地刻畫模糊對象。隸屬函數用μA(x)表示,其中A表示模糊集合,隸屬函數滿足條件:0≤μA(x)≤17、1、1模糊集合有了隸屬函數以后,就可以把元素對模糊集合得歸屬程度恰當地表示出來。例如青年就是一個模糊集合,用普通集合A表示為:

A={x|15歲≤x≤35}如果用模糊集合A表示,并且有051015202530354045

1μA(x)051015202530354045

1μA(x)特征函數隸屬函數7、1、2模糊集合得表示方法定義7、1:設U就是論域,μA

(u)就是把任意u∈U映射到區間[0,1]上某個值得函數,即

μA:U→[0,1]

u

→μA(u)則稱μA為定義在U上得隸屬函數,由μA(u)(u∈U)所構成得集合A稱為U上得一個模糊集,μA表示u屬于模糊子集A得隸屬度。模糊集合A就是個抽象得概念,其元素就是不確定得,只能通過隸屬函數μA認識與掌握A,μA(u)得值越接近1,表示u隸屬于A得程度越高,μA(u)得值越接近0,表示u隸屬于A得程度越低。7、1、2模糊集合得表示方法例如對論域U={1,3,5,7,9},可用模糊集A與B分別把其中數據得模糊概念“大”與“小”表示出來。可以設:

A={0,0,0、2,0、6,1}

B={1,0、5,0、1,0,0}其中:μA(1)=0,μA(3)=0、05,μA(5)=0、2,μA(7)=0、6,μA(9)=1μB(1)=1,μB(3)=0、5,μB(5)=0、1,μB(7)=0、05,μB(9)=07、1、2模糊集合得表示方法模糊集合得三種表示方法:Zadeh表示法若給定有限論域U,

且U={u1,u2,····,un},用A(u)代替μA(u),則U上得模糊集合A可表示為:其中+就是集合項得累積分隔符,分母表示論域U中得元素,分子表示該元素相應得隸屬度。隸屬度為0得項可以不列出。7、1、2模糊集合得表示方法例如:考慮5個科研項目,分別記為u1,u2,u3,u4,u5,取論域U={u1,u2,u3,u4,u5},鑒定專家按各項技術指標給這些項目對“成果優秀”得符合程度打分,取其平均值除以100得結果為:

u1:87分,記A(u1)=87/100=0、87u2:73分,記A(u2)=73/100=0、73u3:94分,記A(u3)=94/100=0、94u4:85分,記A(u4)=87/100=0、87u5:79分,記A(u5)=79/100=0、79論域U上“成果優秀”得模糊集合A可以表示為:其中積分號只就是表示各元素與隸屬度對應得一個總括形式。例如以年齡作為論域,取U=[0,200],Zadeh給出“年輕”得模糊集合Y,其隸屬函數為:7、1、2模糊集合得表示方法若給定無限論域U,U取一連續實數區間,則U上得模糊集合A可表示為:7、1、2模糊集合得表示方法0≤u≤2525≤u≤200051015202530354045

1μY(u)用Zadeh得無限論域表示法表示如下:7、1、2模糊集合得表示方法(2)序偶表示法如考慮論域U={1,2,3,···,10}上“大”、“小”兩個模糊概念,并分別用模糊集合A、B表示如下:A={(4,0、2),(5,0、4),(6,0、5),(7,0、7),(8,0、9),(9,1),(10,1)}B={(1,1),(2,0、9),(3,0、6),(4,0、4),(5,0、2),(6,0、1)}(3)向量表示法

A=(A(u1),A(u2),········,A(un))將上面“大”、“小”兩個模糊集合用向量表示如下:

A=(0,0,0,0、2,0、4,0、5,0、7,0、9,1,1)

B=(1,0、9,0、6,0、4,0、2,0、1,0,0,0,0)定義7、2設U為論域,A與B就是U上得兩個模糊集合,則有以下運算:1)包含運算如果對任意u∈U,都有:A(u)≤B(u),則稱A包含于B,或稱B包含A,記為A?B,即

A?B?A(u)≤B(u)

u∈U2)相等如果A?B且

B?A,則稱A與B相等,記為A=B,即

A=B?A(u)=B(u),

u∈U7、1、3模糊集合得運算12大家應該也有點累了，稍作休息大家有疑問的，可以詢問和交流7、1、3模糊集合得運算3)并運算A與B得并記作A∪B,其隸屬函數為

A∪B:(A∪B)(u)=A(u)?B(u)=max{A(u),B(u)}其中?表示取上確界。4)交運算A與B得交記作A∩B,其隸屬函數為

A∩B:(A∩B)(u)=A(u)?B(u)=min{A(u),B(u)}其中?表示取下確界。5)補運算A得補模糊集合記作A′,其隸屬函數為

A′:A′(u)=1-A(u)7、1、3模糊集合得運算例如設某油田有5個不同得采油廠,這些采油廠構成得論域為U={u1,u2,u3,u4,u5},并有:“產量高”A={0、9,0、5,0、6,0、8,0、8}“油質好”B={0、7,0、8,0、3,0、7,0、85}(1)“產量高且油質好”為A∩B=(0、9?0、7,0、5?0、8,0、6?0、3,0、8?0、7,0、8?0、85)=(0、7,0、5,0、3,0、7,0、8)(2)“產量高或油質好”為A∪B=(0、9?0、7,0、5?0、8,0、6?0、3,0、8?0、7,0、8?0、85)=(0、9,0、8,0、6,0、8,0、85)(3)“產量不高”為A′=(1-0、9,1-0、5,1-0、6,1-0、8,1-0、8)=(0、1,0、5,0、4,0、2,0、2)7、1、3模糊集合得運算模糊集運算得基本定理冪等律A∪A=A,A∩A=A(2)交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A(3)

結合律A∪(B∪C)=(A∪B)∪CA∩(B∩C)=(A∩B)∩C(4)

分配律A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)(5)同一律A∩U=A,

A∪Φ=A(6)吸收律A∩(A∪B)=A,A∪(A∩B)=A(7)

德、摩根律

(A∩B)′=A′∪B′(對偶律)(A∪B)′=A′∩B′(8)互補律A′∪A=U,A′∩A=Φ7、1、4隸屬函數得確定方法常用確定模糊隸屬函數得方法有模糊統計法、相對比較法與專家經驗法。模糊統計法對于模糊統計試驗,在論域U中給出一個元素u,再考慮n個具有模糊集合A屬性得經典集合A

,統計元素u對各個A

得歸屬次數。U對A

得歸屬次數與n得比值就就是u對A得隸屬函數。當n足夠大時,隸屬函數A(u)趨于穩定。7、1、4隸屬函數得確定方法例、已知20人得身高分別為1、50,1、55,1、56,1、60,1、61,1、64,1、65,1、69,1、70,1、71,1、73,1、75,1、77,1、78,1、80,1、84,1、90,1、91,1、94,1、98。考慮“中等身材”集合A以及1、71屬于A得隸屬度。現有20位評委分別給出得“中等身材”經典集合定義:1、60~1、691、63~1、701、65~1、751、56~1、701、62~1、731、65~1、721、64~1、731、60~1、691、69~1、751、69~1、781、60~1、711、63~1、731、65~1、781、61~1、721、64~1、721、67~1、781、60~1、701、68~1、781、61~1、731、62~1、72

在20人中身高落在這組A*內得人有12人,根據她們出現在A*各組中得頻率,可得取隸屬度為:7、1、4隸屬函數得確定方法A(1、56)=1/20=0、05A(1、60)=5/20=0、25A(1、61)=7/20=0、35A(1、64)=13/20=0、65A(1、65)=16/20=0、8A(1、69)=20/20=1A(1、70)=18/20=0、9A(1、71)=15/20=0、75A(1、73)=10/20=0、5A(1、75)=6/20=0、3A(1、77)=4/20=0、02A(1、78)=4/20=0、02顯然1、71屬于A得隸屬度為0、75,而A(1、90)=0。即7、1、5模糊截集及其性質定義7、3設A就是論域U上一個模糊集,任取

∈[0,1],記稱A

為A得

截集,而

稱為閾值或置信水平。以下稱AS

為A得

強截集。

截集就是由論域U中對于模糊集合A得隸屬度達到或超過閾值

得元素構成得集合。

強截集就是由論域U中對于模糊集合A得隸屬度超過閾值

得元素構成得集合。則A0=U,A0、2=U,A0、3={u2,u3,u4,u5,u6}A0、4={u2,u3,u4,u6},

A0、6={u3,u4,u6}A0、8={u3,u4},A1={u3}A0=U,A0、2={u2,u3,u4,u5,u6},A0、3={u2,u3,u4,u6},

A0、4={u3,u4,u6},A0、6={u3,u4},A0、8={u3},A1=Φ顯然A

與AS

均就是經典集合,且AS

?A

?U。7、1、5模糊截集及其性質例、設U={u1,u2,u3,u4,u5,u6},

截集與

強截集得性質定理7、1、設A為論域U上得任一模糊集,則

[0,1],AS

A

A0=U,AS1=Φ(3)

1,

2

∈[0,1]且

1≤

2,A

2

A

1(4)

1,

2

∈[0,1]且

1≤

2,AS

2

AS

1定理7、2、設A,B為論域U得兩個模糊集,

[0,1],則(1)(A∪B)

=A

∪B

(2)(A∩B)

=A

∩B

(3)(A∪B)S

=AS

∪BS

(4)(A∩B)S

=AS

∩BS

7、1、5模糊截集及其性質7、1、5模糊截集及其性質對于無限個模糊集得情形,有如下定理、定理7、3、設T為任意指標集,

t∈T,At為論域U上得任一模糊集,則7、1、6模糊集之間得貼近度定義7、4

設A與B就是論域U上兩個模糊集,則為Ａ與Ｂ得內積;為Ａ與Ｂ得外積。特別當U={u1,u2,

,un}時,有(1)(2)內積與外積得性質7、1、6模糊集之間得貼近度(1)設則(3)(4)(5)7、1、6模糊集之間得貼近度從模糊向量內積與外積得定義可以瞧出,內積尋求最小值中得最大值,外積尋求最大值中得最小值,當A與B越接近時,A?B越大,A

B越小。定義7、5設A、B為兩個n維模糊集合得模糊向量,則A與B得格貼近度定義為:例、設A=(0、2,0、6,1,0、8,0、4),B=(0、3,0、5,1,0、7,0、3)(A

?B)=(0、20、3)(0、60、5)(11)(0、80、7)(0、40、3)=0、20、510、70、3=1(A

B)=(0、20、3)(0、60、5)(11)(0、80、7)(0、40、3)=0、30、610、80、4=0、3N(A,B)=(A?B)

(A

B)

=1(1-0、3)=0、77、1、6模糊集之間得貼近度對一般論域而言得幾種常用貼近度N得定義:給定論域U,設A、B為論域U得兩個模糊集,則

1、格貼近度2、平均貼近度3、最大-最小貼近度7、1、6模糊集之間得貼近度4、最小平均貼近度5、采用距離定義得貼近度當p=1時,Dm為海明距離,記為DH,當p=2時,Dm為歐幾里德距離,記為DE。7、1、7模糊模式識別1、最大隸屬原則定義7、6設論域U上n個模糊集Ai(i=1,2,···,n)為n個標準模式,任取u0∈U,若存在i∈{1,2,···,n},使得

則稱u0相對地屬于Ai例、設有6種商品得集合為U={u1,u2,u3,u4,u5,u6},

將這些商品分為滯銷商品、脫銷商品、暢銷商品三類,分別對應于模糊集A1,A2,

A3,且7、1、7模糊模式識別現根據最大隸屬原則判斷商品u2與u4屬于哪一類:由于A1(u2)

A2(u2)

A3(u2)=0、1

0、1

0、8=0、8=A3(u2)A1(u4)

A2(u4)

A3(u4)=0、6

0

0、4=0、6=A1(u2)所以u2屬于暢銷商品,u4屬于滯銷商品。滯銷商品脫銷商品暢銷商品7、1、7模糊模式識別2、擇近原則定義7、7設論域U上n個模糊集Ai(i=1,2,···,n)為n個標準模式,有U上得模糊集B為待識別對象,若存在i∈{i=1,2,···,n},使得則稱B與Ai最貼近,并判定B與Ai

一類。這里采用格貼近度N(A,B)。例、設論域U={u1,u2,u3,u4,u5,u6}上有五類模式A1、A2、A3、A4、A5與樣本B,判斷B得歸屬類。7、1、7模糊模式識別

A1=(0、6,0、3,0、2,0,0、5,0、1)A2=(0、7,1,0、3,0,0、8,0、9)A3=(0、2,1,0、8,0、4,0、5,0、1)A4=(0、8,0,0、4,0、5,0、7,0)A5=(0、5,0、3,0、6,1,0,0、4)B=(0、7,0、4,0、6,0、3,0、4,0、8)由于

A1?B=0、6,

A2?B=0、8,A3?B=0、6,A4?B=0、7,A5?B=0、7A1

B=0、3,

A2

B=0、3,A3

B=0、4,A4

B=0、4,A5

B=0、47、1、7模糊模式識別根據格貼近度公式:N(A1,B)=(A1?B)

(A1

B)

=0、60、7=0、6N(A2,B)=(A2?B)

(A2

B)

=0、80、7=0、7N(A3,B)=(A3?B)

(A3

B)

=0、60、6=0、6N(A4,B)=(A4?B)

(A4

B)

=0、70、6=0、6N(A5,B)=(A5?B)

(A5

B)

=0、60、6=0、6顯然

N(A2,B)=N(A1,B)

N(A2,B)

N(A3,B)

N(A4,B)

N(A5,B)根據擇近原則,可判定B歸屬第二類。7、2模糊關系7、2、1普通關系及其運算定義7、8

設U,V為兩個論域,U

V上普通冪集得一個子集R稱為U到V得一個普通關系,其中U

V為U與V得笛卡爾積,U

V={(u,v)|u∈U,v∈V}。對于任意u∈U,v∈V,若(u,v)∈R,則稱u對于v有關系R,記作uRv,若(u,v)R,則稱u對于v沒有關系R,記作。例、U表示全校學生得集合,V表示所開設課程得集合,令R={(u,v):v就是u所選課程},則R表示從U到V得“選課”關系。7、2、1普通關系及其運算定義7、9

設U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R為U到V得一個普通關系,記作R=(rij)m

n

,其中

rij=R(ui,vj)i=1,2,···,m;

j=1,2,···,n由于R就是U

V得一個經典集合,故這時R=(rij)m

n

為一個mn階矩陣,或稱布爾矩陣。顯然有限論域間得普通關系可以用布爾矩陣表示。7、2、2模糊關系及其運算定義7、10

設U,V為兩個論域,U

V上模糊冪集得一個子集R稱為U到V得一個模糊關系,對(u,v)∈UV,稱R(u,v)為u對于v具有關系R得相關程度。R(u,v)反映了u對于v得相關程度(0R(u,v)1);若R(u,v)越接近1,則u與v對于R而言關系越密切;若R(u,v)越接近0,則u與v對于R而言關系越稀疏;若(u,v)∈UV,有R(u,v)=0,稱R為U到V得零關系;若(u,v)∈UV,有R(u,v)=1,稱R為全稱關系;若R(u,v)∈{0,1}時,u與v對于R具有明確關系。7、2、2模糊關系及其運算例、取U={部門1,部門2,部門3,部門4},V={優質產品,合格產品,不合格產品},通過對各自100件樣品得檢查,有以下結果。優質產品合格產品不合格產品部門182162部門278220部門384160部門4731512部門級別7、2、2模糊關系及其運算優質產品合格產品不合格產品部門10、820、160、2部門20、780、220、0部門30、840、160、0部門40、730、150、12部門級別若將各級別產品得數目折算成隸屬度來表示各生產部門屬于各等級產品標準得程度,下表可確定一個從U到V得模糊關系R。7、2、2模糊關系及其運算定義7、11設U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R為U到V得一個模糊關系,則R可以用一個m

n階矩陣表示,記作R=(rij)m

n,其中

rij=R(ui,vj)i=1,2,···,m;

j=1,2,···,n由于R(ui,vj)[0,1],故稱R=(rij)m

n為模糊矩陣。如區域與科學教育得關系人口素質高校數目科研機構數區域1556133區域2322918區域3474123區域4281811區域規格化指標區域與科學教育得關系模糊矩陣7、2、2模糊關系及其運算定義7、12設R與Q為從U到V得模糊關系,則(4)R得轉置(1)R與Q得并(2)R與Q得交(3)R得補7、2、2模糊關系及其運算(5)稱R

Q,如果(6)稱R=Q,如果(7)R得截關系與強截關系(經典集合)(8)

與R得模糊截積關系

R7、2、2模糊關系及其運算例、設R,Q均為U={u1,u2,u3}上得模糊關系,且7、2、2模糊關系及其運算7、2、2模糊關系及其運算7、2、2模糊關系及其運算定義7、13設U,V,W為三個論域,R為從U到V得模糊關系,Q為從V

到W得模糊關系,則R與Q合成就是U到W得一個模糊關系,記作R?Q,其中R?Q={(u,w)

U

W:存在v

V,使(u,v)

R且(v,w)

Q}用隸屬函數表示為:若R=(rij)m

n

,Q=(qjk)n

l

R?Q=(pik)m

l

7、2、2模糊關系及其運算例、設Ｕ={u1,u2,u3,u4} 為生產資料商品集,V={v1,v2}為兩種消費品得集合,W={w1,w2,w3}為三個市場得細分,以R表示U到V得原料供應關系,以Q表示V到W得市場占有關系,若取則生產資料對市場得間接占有關系即為R?Q。7、2、2模糊關系及其運算其中pik(i=1,2,3,4;k=1,2,3)表示第i種生產資料對市場k得間接占有關系。7、2、2模糊關系及其運算定理7、5

設P,Q,R為三個模糊關系,且可進行合成運算,則有結合率:R?(Q?P)=(R?Q)?P(2)

分配率:(R∪Q)?P=(R?P)∪(Q?P)P?(R∪Q)=(P?R)∪(P?Q)(3)單調性:R

Q

R?P

Q?P(4)

(R∩Q)?P

(R?P)∩(Q?P)P?(R∩Q)

(P?R)∩(P?Q)7、2、2模糊關系及其運算定理7、6

設R

F(UV),Q

F(VW),F為UV或VW上模糊關系冪集(模糊關系全體),則(1)(R?Q)T=QT

?RT(T表示轉置運算)(2)若R

F(UU),則(Rn)T=(RT)n例、對生產資料

消費品

市場得關系R與Q,有7、2、2模糊關系及其運算7、2、3模糊等價關系定義7、14設模糊關系R

F(UU),則如果I

R,即u

U,R(u,u)=1,則稱R為自反得;(2)如果u,v

U,R(u,u)≥R(u,v),則稱R為弱自反得;(3)如果

>0,

u

U,R(u,u)≥,則稱R為

自反得;(4)如果u

U,R(u,u)=0,則稱R為反自反得;(5)包含R最小得自反模糊關系為R得自反閉包,記作r(R)、1、模糊關系得自反性7、2、3模糊等價關系例、設U={u1,u2,u3},R

F(UU),有自反模糊矩陣弱自反模糊矩陣0、7自反模糊矩陣反自反模糊矩陣7、2、3模糊等價關系定理7、7

設R

F(UU),則下列結論成立:(1)R就是自反得當且僅當R

就是反自反得;(2)R就是反自反得當且僅當R∩I=

;(3)

若R就是自反得,則

n

N,Rn

Rn+1且Rn也自反;(4)若R就是弱自反得,則

n

N,Rn

Rn+1;(5)R得自反閉包r(R)=R∪I

;(6)R就是自反得當且僅當

[0,1],R

就是自反得、7、2、3模糊等價關系例、設U={u1,u2,u3},R

F(UU),有7、2、3模糊等價關系2、模糊關系得對稱性定義7、15設R

F(UU),若RT=R,則稱R為對稱模糊關系;而稱包含R得最小對稱模糊關系為R得對稱閉包,記作s(R)、定理7、8

設R

F(UU),則下列結論成立:(1)R?RT就是對稱且弱自反模糊關系;(2)若R就是對稱得,則

n

N,Rn也就是對稱得;(3)若R,Q就是對稱得,則當R?Q=Q?R時,

R?Q為對稱;(4)s(R)=R∪RT;(6)R就是對稱得當且僅當

[0、1],R

就是對稱得、7、2、3模糊等價關系例、U={u1,u2,u3,u4},R

F(UU),則下面R為對稱模糊矩陣7、2、3模糊等價關系例、U={u1,u2,u3},R

F(UU),且則其對稱閉包為7、2、3模糊等價關系關系合成R?RT呈現出對稱且弱自反得模糊關系:同樣對于U={u1,u2,u3},R

F(UU),且3、模糊關系得傳遞性定義7、16設R

F(UU),若R?R

R,則稱R為傳遞模糊關系;而稱包含R最小得傳遞模糊關系為R得傳遞閉包,記作t(R)、定理7、9

設U={u1,u2,…,un},R

F(UU),則有:(1)若R就是傳遞得,則

n

N,Rn也就是傳遞得;(2)R就是傳遞得當且僅當

[0、1],R

就是傳遞得;若R就是自反得,

m≥n,有t(R)=Rm

;(4)7、2、3模糊等價關系7、2、3模糊等價關系例、設U={u1,u2,u3},R

F(UU),且則由于R?R=R

R,故R為傳遞得模糊矩陣。例、設有R,求R得傳遞閉包t(R)。由于R2?

R2=R2,即R4

R2,所以t(R)=R27、2、3模糊等價關系4、模糊關系得相似性定義7、17

設R

F(UU),若R就是自反與對稱得,則稱R為相似模糊關系;而稱包含R得最小得相似模糊關系為相似閉包,記作a(R)、定理7、10

設R

F(UU),則有:(1)若R為相似模糊關系,則

n

N,Rn也就是相似得;(2)R為相似得當且僅當

[0、1],R

就是相似得、例、設U={u1,u2,u3},R

F(UU),且顯然R既就是自反得又就是對稱得,所以R為相似模糊矩陣7、2、3模糊等價關系5、模糊關系得等價性定義7、18

設R

F(UU),若R滿足自反性、對稱性與傳遞性,則稱R為模糊等價關系;而稱包含R得最小得模糊等價關系為R得等價閉包,記作e(R)、定理7、11

設R

F(UU),則有:(1)若R為等價得,則

n

N,Rn也就是等價得;(2)R為等價得當且僅當

[0、1],R

為等價得;(3)R為等價得當且僅當R為傳遞得模糊相似關系;(4)若R為模糊相似關系,則e(R)=t(R),即R得等價閉包等于R得傳遞閉包(由于t(R)相對容易獲得)、7、2、3模糊等價關系例、設U={u1,u2,u3,u4,u5},R

F(UU),且由于I

R,RT=R且R?R=R

R,即關系R滿足自反性、對稱性與傳遞性,故R為模糊等價關系、7、3基于模糊等價矩陣得模糊聚類分析模糊聚類分析就就是利用模糊數學方法,根據事物間得模糊關系及不同特征、親疏程度與相似性等,對事物進行分類得方法。由于模糊聚類分析更符合客觀實際,在天氣預報、災害預測、環境保護、資源勘探、圖像處理等領域得到廣泛應用。一個合適得分類應當具備下列三個條件:(1)自反性:任何一個對象必須與自己在同一類;(2)對稱性:若對象u與對象v同類,則v與u也同類;(3)傳遞性:若對象u與對象v同類,對象v與對象w同類,則u與w也應同類、7、3基于模糊等價矩陣得模糊聚類分析由于合適分類三個必備條件就就是一個等價關系,因此模糊聚類分析根據模糊等價關系進行。設被分類對象得集合為U={u1,u2,…,un},其中每個對象有m個特征指標(對象與特征間模糊關系得隸屬度),其向量為ui={ui1,ui2,…,uim}i=1,2,…,nU得特征指標矩陣7、3、1數據規格化為消除因特征指標單位得差異與特征指標數量級不同而可能造成得特征指標對分類作用影響尺度得不統一,需要對特征指標實施規格化處理。數據標準化(2)均值規格化7、3、1數據規格化(3)中心規格化(4)最大值規格化7、3、1數據規格化(5)極差規格化(6)對數規格化7、3、2構造模糊相似矩陣設數據ukl(k=1,2,…,n;l=1,2,…,m)均已規格化,用多元分析方法確定ui=(ui1,ui2,…,uim)與uj=

(uj1,uj2,…,ujm)之間得相似程度:

rij=R(ui,uj)[0,1],i,j=1,2,…,n從而構造出一個對象與對象之間得模糊相似矩陣其中rij得計算有多種方法7、3、2構造模糊相似矩陣相似系數法(1)數量積法i=ji

j其中M>0為適當選擇得參數且M≥max{uiuj|i

j}(2)夾角余數法其中模7、3、2構造模糊相似矩陣(3)相關系數法(4)指數相關系數法7、3、2構造模糊相似矩陣2、距離法利用對象ui與uj得距離d(ui,uj)確定相似程度,取

rij=1-c?d

(ui,uj)適當選取c與

使rij[0,1](1)Chebyshev距離(2)Hamming距離(3)Euclid距離(4)Minkowki距離7、3、2構造模糊相似矩陣(5)Lambert距離(6)Markov距離(7)絕對值指數法(8)絕對倒數法i=ji

j其中V=(vij)n

m為U*得協方差矩陣、7、3、2構造模糊相似矩陣(1)最大最小法3、貼近度法(2)算術平均法(3)幾何平均最小法7、3、3模糊分類1、模糊傳遞閉包法利用平方自合成方法求出模糊相似矩陣R得傳遞閉包t(R),即

R2

R4

???R2k=t(R)k≤[log2n]+1(2)適當選取置信水平值

[0,1],求出t(R)得

截矩陣t(R)

,然后按t(R)

進行分類,所得到得分類就就是

水平上得等價分類、(3)畫動態聚類圖將t(R)中所有互不相同得元素按降序排列得{

i}i=1,2,…,m,依次選遍

i,得到t(R)

i一系列分類、7、3、3模糊分類例、環保部門對某地區5個環境評價區域按污染情況進行分類,污染情況由污染物空氣、水、土壤、作物4個要素中含量得超標程度衡量。設5個環境評價區域為U={u1,u2,u3,u4,u5},各區域得污染數據為:u1=(80,10,6,2),u2=(50,1,6,4),u3=(90,6,4,6),u4=(40,5,7,3),u2=(10,1,2,4)、用模糊傳遞閉包法對U進行分類、7、3、3模糊分類特征指標矩陣為(1)數據規格化采用最大值規格化作變換得7、3、3模糊分類(2)構造模糊相似矩陣采用最大最小法構造模糊相似矩陣R=(rij)5

5,這里7、3、3模糊分類(2)利用平方自合成方法求構造模糊相似矩陣采用最大最小法R得傳遞閉包t(R)顯然R2

R不滿足顯然R4

R2不滿足7、3、3模糊分類顯然R8

R4成立,因此t(R)=R4(4)分別選取置信水平

[0,1],按t(R)

進行動態聚類、取

=1此時U被分成5類:{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}、7、3、3模糊分類取

=0、70此時U被分成4類:{u1},{u2,u4},{u3},{u5}、取

=0、63此時U被分成3類:{u1,u2,u4},{u3},{u5}、7、3、3模糊分類取

=0、62此時U被分成2類:{u1,u2,u3,u4},{u5}、取

=0、53此時U被分成1類:{u1,u2,u3

u4,u5}、7、3、3模糊分類(5)動態聚類圖u1

u2

u3

u4

u5

10、700、630、620、535類4類3類2類1類7、3、3模糊分類2、直接聚類法(1)將模糊相似矩陣R中所有不相同得元素按值降序排列,設為

1=1>2>…>m(2)選取

=k(k=1,2,…,m),直接在模糊相似矩陣R上找出

k水平上得相似類,并進行歸并,即得到得

k水平上得等價分類、直接聚類法與傳遞閉包法得分類結果被證明就是一致得。7、3、3模糊分類對模糊相似矩陣R中10個不同元素得降序排序為:1>0、70>0、63>0、62>0、56>0、55>0、54>0、53>0、38>0、37>0、24取

=1,因有u11=u22=u33=u44=u55=1,得相似類為

{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}7、3、3模糊分類取

=0、7,因有u24=u42=0、7,故得相似類為

{u2,u4},{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}合并所有相似類,即得等價類為

{u2,u4},{u1},{u3},{u5}取

=0、63,因有u14=u41=0、63,故得相似類為

{u1,u4},{u2,u4},{u1},{u3},{u5}合并所有相似類,即得等價類為

{u1,u2,u4},

{u3},{u5}取

=0、62,因有u13=u31=0、62,故得相似類為

{u1,u3},{u1,u2,u4},

{u3},{u5}合并所有相似類,即得等價類為

{u1,u2,u3,u4},

{u5}7、3、3模糊分類取

=0、56,因有u34=u43=0、56,故得相似類為

{u3,u4},{u1,u2,u3,u4},

{u5}合并所有相似類,即得等價類為

{u1,u2,u3,u4},

{u5}在0、56水平上得等價類與0、62水平上得等同、取

=0、53,因有u25=u52=0、53,故得相似類為

{u2,u5},{u1,u2,u3,u4},

{u5}合并所有相似類,即得等價類為

{u1,u2,u3,u4,u5}7、3、3模糊分類3、最大樹法(1)所有被分類對象作為最大樹得頂點;(2)按rij(1

rij

0)降序排列得順序,在不產生回路前提下,將頂點ui與頂點uj用一條線連接起來,并在線段上注明相關程度rij,直至將所有被分類對象頂點連接起來為止,從而構成最大樹;(3)適當選取

[0,1],刪除樹中線段值小于

得連線,剩下互相連通得對象歸為同一類,從而得到水平上得一種等價分類;(4)畫出動態聚類圖。7、3、3模糊分類例、利用最大樹法對環境區域U={u1,u2,u3,u4,u5}進行分類、首先構造出模糊相似矩陣R7、3、3模糊分類R中落在區間(0,1)上不同元素得降序排序為:

r24

r14

r13

r34

r23

r12r25

r45

r35

r150、70>0、63>0、62>0、56>0、55>0、54>0、53>0、38>0、37>0、24下面為構造最大樹得過程u2u4u2u4u1u2u4u1u30、700、700、700、630、630、62u2u4u3u1u50.700.630.620.537、3、3模糊分類u2u4u3u1u5u2u4u3u1u50、70u2u4u3u1u50、700、63u2u4u3u1u50、700、630、62u2u4u3u1u50、700、630、620、53

=1u2u4u3u1u50.700.630.620.53

=0、70

=0、63

=0、62

=0、537、3、3模糊分類取

=1,即得等價類為

{u1},{u2},{u3},{u4},{u5}取

=0、70,即得等價類為

{u2,u4},{u1},{u3},{u5}取

=0、63,即得等價類為

{u1,u2,u4},

{u3},{u5}取

=0、62,即得等價類為

{u1,u2,u3,u4},

{u5}取

=0、53,即得等價類為

{u1,u2,u3,u4,u5}7、3、3模糊分類其她得模糊聚類分析方法還有基于目標函數得模糊ISODATA聚類分析與基于攝動得模糊聚類分析。基于目標函數得模糊ISODATA聚類分析得基本思想就是在給定分類數條件下,利用ISODATA算法尋找出對事物得最佳分類方案,也稱迭代自組織數據分析技術或模糊C均值(FCM)聚類法。基于攝動得模糊聚類分析將求解等價矩陣與目標函數法相結合,在攝動有意義前提下給出了一種基于模糊相似矩陣得模糊聚類方法。7、4模糊邏輯推理簡介7、4、1模糊命題模糊命題就是清晰命題得推廣,清晰命題得真假相當于普通集合中元素得特征函數,而模糊命題與二值邏輯中得命題不同,模糊命題得真假難以明確判斷,其真值在[0,1]閉區間中取值,相當于隸屬函數值。模糊命題得一般形式:

A:eisF(或e就是F)其中e就是模糊變量,F就是某個模糊概念對應得模糊集合。7、4、1模糊命題例如:電動機轉速偏高;汽車速度過快;電視機得亮度比較低都就是模糊命題。這里“轉速”、“速度”、“亮度”為模糊變量,“偏高”、“過快”、“比較低”均為模糊集合。上述命題得真假由該變量對應得模糊集合得隸屬度表示,即

A=

F(e)當

F(e)=1時,命題A為全真;

F(e)=0時,命題A為全假。7、4、2模糊邏輯模糊命題得真值就是在[0,1]閉區間上得連續取值,因此稱研究模糊命題得邏輯為連續性邏輯。由于模糊命題得真值表現為其模糊變量對應模糊集合得隸屬函數值,模糊命題邏輯本質上就是模糊邏輯。設x為模糊命題A得真值,y為模糊命題B得真值,則模糊邏輯有以下運算規則:1)邏輯交:x

y=min(x,y)2)代數積:x·y=xy3)限界積:x

y=max{0,x+y-1}三角范式

x,y=14)強積:x

y=y,x=10,x<1,y<15)邏輯并:x

y=max(x,y)代數與:x+y=x+y-xy7)限界與:x

y=1

(x+y)三角協范式

x,y=08)強與:x

y=y,x=01,x>0,y>0

9)不相交與:xΔy=max{min(x,1-y),min(1-x,y)}10)邏輯非:

x=1-x11)限界差:x-y=0

(x-y)12)蘊涵:xy=1(1-x+y)13)等價:x

y=(1-x+y)(1-y+x)7、4、2模糊邏輯7、4、2模糊邏輯例、設x=0、7,y=0、8x

y=max(0、7,0、8)=0、8,x

y=min(0、7,0、8)=0、7x·y=0、7

0、8=0、56,x+y=0、7+0、8-0、56=0、94x

y=1

(0、7+0、8)=1,x

y=0

(0、7+0、8-1)=0、5x

y=0,x

y=1

x=1-0、7=0、3,x-y=0(0、7-0、8)=0xy=1(1-0、7+0、8)=1x

y=(1-0、7+0、8)(1-0、8+0、7)=0、97、4、3模糊語言

1、語言變量語言變量實際上就是一種模糊變量,它用語句而不就是用數學表達式來表達變量得值,通過引入語言變量構成模糊語言邏輯。定義語言變量就是由一個五元體(N,T(N),U,M,G)來表征得變量,五元體中個元素得含義為:1)N就是變量名稱;2)T(N)就是N得語言真值集合;3)U就是N得論域;4)M就是語義規則;5)G就是詞法規則、7、4、3模糊語言例如討論年齡問題語言變量N得名稱為年齡,其取值可以就是幼年、少年、青年、中年、老年、極老年等;語言真值集合T(N)=T(年齡)=“幼年”+“少年”+“青年”+“中年”+“老年”+“極老年”,顯然每個語言真值都就是論域U上得模糊集合;有關年齡得論域U可以取[0,120];語義規則表示為M(x),它規定了論域U中元素對語言真值集合T(N)得隸屬度詞法規則G規定原子詞以及原子項構成合成項得語義變化。如

A且B=A

B7、4、3模糊語言年老0、70、80、91、0年齡年輕很年輕0152025306065758012010、90、8

10、80、7語言變量語法規則語言真值語義規則論域語言變量得五元體7、4、3模糊語言強化算子H4H3H2H1、5極其非常很相當淡化算子H0、8H0、6H0、4H0、2比較略稍許有點2、語言算子1)語氣算子:表示語氣程度得模糊量詞,有集中化算子與散漫化算子兩種語氣算子。用H

表示語氣算子,若模糊集為A,則H

將其映射為H

A:7、4、3模糊語言以“年老”一詞為例,考慮“年老”得隸屬函數:0≤x≤50x>50

極老(x)=

年老4(x)

很老(x)=

年老2(x)

較老(x)=

年老0、8(x)

略老(x)=

年老0、6(x)

年老(60)=0、8

極老(60)=

年老4(60)=0、41

很老(60)=

年老2(60)=0、64

較老(60)=

年老0、8(60)=0、84

略老(60)=

年老0、6(60)=0、87尖銳化平坦化7、4、3模糊語言2)模糊化算子:把明確得單詞轉化為模糊量詞,把絕對肯定得描述轉化為一定程度上肯定得描述,或使原本就不確切得語義更加模糊化得算子稱為模糊化算子,如“大約”、“大概”、“近似”、“可能”等。設映射F為模糊算子,將集合A映射為F(A)、其中模糊關系E屬于UU上得模糊關系集合,它惟一確定一個F變換,一般E為U上得相似關系,當U=R時,有|v-u|<

|v-u|

7、4、3模糊語言例、對100米跑道得實測只能得到大約得距離。對于普通集“100米”有1μ(u)100

1μ(u)

100-

100100+

u

u

u=100u

100|100-u|<

|100-u|

7、4、3模糊語言3)判定化算子:把一個模糊詞轉化為明確量詞得算子稱為判定化算子,如“屬于”、“接近于”、“幾乎”、“多半就是”等。對模糊事物經取一定得判定值,判定為具有某種意義得普通事物。設有模糊矩陣R,確定判定標準為0、5,R中大于等于0、5得元素為有效,通過對模糊矩陣得截運算將其變為普通矩陣。7、4、3模糊語言

3、模糊語句含有模糊概念得,按一定語法規則構成得語句稱為模糊語句,根據語義與構成語法得不同分為模糊陳述句與模糊判斷句。模糊判斷句就是模糊推理中得最基本得語句,其形式為:x

就是a當a所表示得概念就是清晰得、界限明確時,判斷結果取值要么為真(1),要么為假(0)。當a所表示得概念模糊、界限不明確時,判斷結果真值由x對模糊集合A得隸屬度給出。

T[(a),(x)]=

A(x)7、4、3模糊語言設(a)表示x就是a,(b)表示x就是b,則有邏輯運算如下:(1)邏輯交:(a)

(b)=(a

b),表示(a)且(b)、T[(a

b),(x)]=T[(a),(x)]

T[(b),(x)]=

A

(x)

B(x)(2)邏輯并:(a)

(b)=(a

b),表示(a)或(b)、T[(a

b),(x)]=T[(a),(x)]

T[(b),(x)]=

A

(x)

B(x)(3)邏輯非:(a)c=(ac),表示(a)不成立、T[(ac),(x)]=1-T[(a),(x)]=1-

A

(x)(4)邏輯蘊涵:(a)

(b)=(a

b),表示若(a)則(b)、T[(a

b),(x)]=[1-

A

(x)][

A

(x)

B(x)]7、4、3模糊推理模糊推理就是一類有效得不確定性推理方法,因為現實中人類往往依靠不精確、不完全或不完全可靠得信息進行推理。代表性得不確定性推理方法有信度理論(Belieftheory,G、Shafer,1976)與可能性理論(Possibilitytheory,L,A、Zadeh,1975),其中基于模糊系統得可能性理論在自動控制、人工智能、專家系統等領域得到非常成功得應用。7、4、3模糊推理1、模糊假言推理(ifAthenB)設事物ｘ屬于論域Ｘ,事物ｙ屬于論域Ｙ,Ａ、A*就是論域Ｘ上得模糊集,B、B*就是論域Y上得模糊集,模糊條件命題形式為“若????,則????”,則稱下面得模糊推理為模糊假言推理。前提1:若x就是A,則y就是B前提2:若x就是A*,結論y就是B*其中模糊條件命題(前提1)就是模糊子集A與B之間得一種模糊關系(模糊蘊涵關系),即

A

B屬于X

Y得模糊關系集合7、4、3模糊推理

A

B

A

B

按照Zadeh得推理合成規則,已知A

B與A

,則B

=A

?(A

B)部分常用得蘊涵算子對應模糊關系Raa

b=

1(1-a+b)

Ra

(x,y)=1(1-

A(x)+

B(y))

Rba

b=(1-a)b

Rb

(x,y)=(1-

A(x)

B(y)

Rca

b=a

b

Rc

(x,y)=

A(x)

B(y)

Rm