初等數(shù)學(xué)中“雞兔同籠”問題教學(xué)探究目錄TOC\o"1-2"\h\u6273緒論 152451“雞兔同籠”問題教材分析 168631.1不同教材的主要教學(xué)內(nèi)容 1138801.2不同教材的異同點(diǎn)與編排 2167182“雞兔同籠”問題主要數(shù)學(xué)思想分析 737842.1化歸思想 715642.2假設(shè)思想 7156262.3數(shù)學(xué)建模思想 8196922.4數(shù)形結(jié)合思想 874123“雞兔同籠”問題教學(xué)案例探究 853173.1列表法的教學(xué)探究 91983.2列表法和假設(shè)法的數(shù)學(xué)思想滲透教學(xué)探究 10247883.3方程法的教學(xué)探究 11146303.4翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)探究 12227024關(guān)于“雞兔同籠”問題的一些思考 1527674.1關(guān)于解題方法的教學(xué) 15255204.2關(guān)于不同學(xué)情的教學(xué) 16263555結(jié)論 17

摘要：“雞兔同籠”問題作為我國經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題之一，其中蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)思想，課程改革前后在各版本教材中都有它的一席之地．本文將從教材出發(fā)，分析不同教材的主要教學(xué)內(nèi)容，并根據(jù)不同的優(yōu)秀教案及教學(xué)片段，探究“雞兔同籠”問題的課堂教學(xué)實(shí)例，思考不同解題方法的教學(xué)與不同學(xué)情的教學(xué)．關(guān)鍵詞：雞兔同籠；數(shù)學(xué)思想；列表法；假設(shè)法；方程法緒論“雞兔同籠”問題作為我國流傳較廣、較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題，課程改革前后在各版本教材中都有它的一席之地，在人教版的中小學(xué)教材中也會(huì)經(jīng)常見到類似它的題型，可見其教學(xué)意義．新課改后，又在人教版中由六年級(jí)上冊(cè)調(diào)整到四年級(jí)下冊(cè)，其中用方程解答的方法被削弱，更強(qiáng)調(diào)用猜想、嘗試、驗(yàn)證、假設(shè)的數(shù)學(xué)方法；在北師大版中則調(diào)整到五年級(jí)上冊(cè)，強(qiáng)調(diào)用嘗試與猜測(cè)、列表的方法．這些方法有利于學(xué)生形成猜測(cè)結(jié)論、進(jìn)行驗(yàn)證、推理論證的數(shù)學(xué)思維；有利于學(xué)生改變固定思維，有助于發(fā)散思維的養(yǎng)成；其解題方法聯(lián)想豐富，想象奇特，有利于開發(fā)學(xué)生想象力，促進(jìn)學(xué)生推理及抽象思維能力發(fā)展．在教學(xué)中，它的解法形式多樣，常用的方法有假設(shè)法、列表法、方程法等．而在教的過程中，部分老師追求技巧解題直接灌輸解題方法，導(dǎo)致學(xué)生沒有對(duì)解決問題的方法進(jìn)行探索，這些巧妙的解題方法也無法展現(xiàn)整個(gè)的思維過程，對(duì)數(shù)學(xué)思想掌握不準(zhǔn)確，以至于問題沒有得到實(shí)質(zhì)的解決．本文將從教材出發(fā)，根據(jù)不同優(yōu)秀教案及教學(xué)片段，介紹“雞兔同籠”問題的課堂教學(xué)實(shí)例探究與教學(xué)思考．1“雞兔同籠”問題教材分析1.1不同教材的主要教學(xué)內(nèi)容人教版小學(xué)教材中“雞兔同籠”問題設(shè)在四年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)廣角單元，數(shù)學(xué)廣角的本質(zhì)是為了拓寬學(xué)生的視野，滲透數(shù)學(xué)思想方法，教材以學(xué)生能從數(shù)學(xué)的角度解決實(shí)際問題、啟迪學(xué)生智力為教學(xué)目的．首先采用一個(gè)經(jīng)典問題引入，由于原來題目數(shù)據(jù)比較大，對(duì)于第一次接觸該類問題的學(xué)生來說，進(jìn)行探究存在一定的困難，因此教材編排了例題，將原來題目的數(shù)據(jù)改小，引導(dǎo)學(xué)生先探索出解決該類問題的一般方法后，再解決原來的問題；其次教材展示了學(xué)生會(huì)用到的解題方法，如列表法和假設(shè)法，便于學(xué)生自己選擇多種解題方法，不是統(tǒng)一要求，每個(gè)學(xué)生都掌握學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際情況掌握選擇其中一種或者兩種即可；最后教材通過配備的習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生鞏固知識(shí)并發(fā)散思維探究抬腿法．北師大版小學(xué)教材中“雞兔同籠”問題設(shè)在五年級(jí)上冊(cè)嘗試與猜測(cè)單元，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)與生活經(jīng)驗(yàn)，題目用現(xiàn)代語言描述直接簡(jiǎn)化了問題數(shù)據(jù)．教材只向?qū)W生展示了列表法，并在簡(jiǎn)單問題中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行列表分析．后用列表法解決孫子算經(jīng)中數(shù)據(jù)較大的問題，依次展示了三種列表法(逐一列表、調(diào)整列表和取中列表)，這三種不同列表，即體現(xiàn)了猜測(cè)范圍的合理性，又體現(xiàn)了逐一嘗試驗(yàn)證完全性，這一方法論原則體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的優(yōu)化思想．蘇教版小學(xué)教材沒有直接講到孫子算經(jīng)中的雞兔同籠問題，是因?yàn)椤半u兔同籠”問題是以雞兔同籠為模型的一類問題的統(tǒng)稱．故而教材通過六年級(jí)上冊(cè)解決問題的策略專題，以倒果汁這種同類實(shí)際問題的形式出現(xiàn)．教材著重強(qiáng)調(diào)了假設(shè)法的運(yùn)用技巧并巧妙的把假設(shè)法和方程法結(jié)合解決問題，教材設(shè)計(jì)了兩個(gè)例題，第一個(gè)例題引導(dǎo)學(xué)生用假設(shè)、畫圖、方程的方法，學(xué)生通過直觀的畫圖感悟，找出其中的數(shù)量變化規(guī)律進(jìn)行推理來解決問題，第二個(gè)例題則加強(qiáng)了假設(shè)法的運(yùn)用．教材的解答過程沒有寫出，給學(xué)生留出了足夠的思考空間，使學(xué)生學(xué)會(huì)用多種方法進(jìn)行解答．人教版初中教材中，七年級(jí)上冊(cè)和七年級(jí)下次都有涉及到，在七年級(jí)上下冊(cè)中“雞兔同籠”問題分別設(shè)在一元一次方程實(shí)際問題的解決和二元一次方程組實(shí)際問題的解決這兩單元中，兩個(gè)單元在知識(shí)構(gòu)建上有銜接，本質(zhì)都是借助方程模型解決問題，其中雞兔同籠問題是二元一次方程組的最典型的模型題，教材對(duì)于“雞兔同籠”問題是直接以問題的形式出現(xiàn)在練習(xí)題的內(nèi)容中，讓學(xué)生直接通過方程思想建立模型解決問題.1.2不同教材的異同點(diǎn)與編排其相同在于“雞兔同籠"問題分別在人教版四年級(jí)、蘇教版六年級(jí)、北師大版五年級(jí)和人教版七年級(jí)教材四個(gè)版本中的“數(shù)學(xué)廣角”、“解決問題的策略”、“數(shù)學(xué)好玩”和“實(shí)際問題與方程”中．而這部分都是通過簡(jiǎn)單的例子滲透數(shù)學(xué)思想,或者介紹經(jīng)典數(shù)學(xué)問題,都注重了實(shí)際問題的編排和應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題能力的培養(yǎng);學(xué)生能夠經(jīng)歷猜想，探究，試驗(yàn)，推理論證等數(shù)學(xué)探索的過程,感知到這些數(shù)學(xué)思想方法的重要性,以此激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心和求知欲,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，還都注重了數(shù)學(xué)文化的滲透．其不同在于人教版四年級(jí)教材“雞兔同籠”問題內(nèi)容最為豐富,即有問題的來源又有多種解法，還安排大量同類問題進(jìn)行練習(xí);北師大版五年級(jí)教材則主要介紹列表法，并對(duì)幾種方法進(jìn)行比較和反思,讓學(xué)生會(huì)用列表法解決問題;蘇教版六年級(jí)教材則介紹“雞兔同籠”同類問題,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷問題的發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決過程,學(xué)會(huì)用多種方法進(jìn)行解答;人教版七年級(jí)教材則直接建立方程模型，運(yùn)用一元一次方程、二元一次方程組解決問題.雞兔同籠在以下三個(gè)版本中的編排，具體內(nèi)容見表1表1“雞兔同籠”問題在不同教材編排版本年級(jí)教材圖片人教版四年級(jí)（下）北師大版五年級(jí)（上）蘇教版六年級(jí)（上）人教版七年級(jí)(上冊(cè))七年級(jí)(下冊(cè))2“雞兔同籠”問題主要數(shù)學(xué)思想分析《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中指出教師應(yīng)該向?qū)W生講解各種知識(shí)中蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生體會(huì)和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法．而數(shù)學(xué)思想是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中解決問題的基本觀點(diǎn)和根本想法,是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)過程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn),并在認(rèn)識(shí)活動(dòng)中被反復(fù)運(yùn)用,帶有普遍的指導(dǎo)意義,是建立數(shù)學(xué)和運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決問題的指導(dǎo)思想．化歸、假設(shè)、數(shù)形結(jié)合、數(shù)學(xué)模型、類比、比較、分類、整體、轉(zhuǎn)化、統(tǒng)計(jì)、極限、代換、可逆、對(duì)應(yīng)都是在中小學(xué)教材中常見的數(shù)學(xué)思想方法．其中“雞兔同籠”問題主要包含了化歸、假設(shè)、數(shù)學(xué)建模（方程思想）及數(shù)形結(jié)合思想．2.1化歸思想在問題的解決里，我們可以把化歸思想簡(jiǎn)單的看成對(duì)當(dāng)前的問題感到困難或陌生時(shí)，把該問題進(jìn)行由繁化簡(jiǎn)、由難化易、由生化熟，從而達(dá)到問題解決的目的．在人教版四年級(jí)教材中，首先引出了較為復(fù)雜的“雞兔同籠”的原題，由于原問題數(shù)據(jù)較大，又編排了一個(gè)例題，采用數(shù)據(jù)比較小的例子，幫助學(xué)生探索出解決該類問題的一般方法后再解決剛才的問題，體現(xiàn)了由繁化簡(jiǎn)的化歸思想．2.2假設(shè)思想文學(xué)家胡適曾說：“大膽的假設(shè)，小心的求證”．假設(shè)思想是針對(duì)題目中的已知條件或問題，大膽的進(jìn)行某種假設(shè)把未知變成相對(duì)應(yīng)的已知，再按照題目要求把假設(shè)內(nèi)容代入，突破思維的局限，豐富已知條件，最后解決問題．在人教版四年級(jí)教材中，例題一給了多種方法求解，其中一種就是假設(shè)思想，并完整的展示了假設(shè)過程，假設(shè)籠子里都是雞，代入題目推理，通過對(duì)比實(shí)際數(shù)量與計(jì)算數(shù)值，計(jì)算出了雞兔的只數(shù)．在閱讀資料給出了另一種解題的思路“抬腿法”，這也是一種假設(shè)思想，通過抬腿法引出假設(shè)思想的多樣性；北師大版五年級(jí)教材中，在列表法的選取當(dāng)中，借助了假設(shè)法，假設(shè)了雞和兔的只數(shù)差不多，采用取中列表的方法，化簡(jiǎn)了解題的步驟過程；蘇教版六年級(jí)教材中，嘗試解決問題中列出了包含假設(shè)思想等其他的方法，假設(shè)720毫升都倒入大杯中，通過假設(shè)轉(zhuǎn)化問題，使數(shù)量關(guān)系變得簡(jiǎn)單，巧妙的把假設(shè)法和方程法結(jié)合解決問題．由此可以看出假設(shè)思想不但能自己?jiǎn)为?dú)解決某類問題，還可以作為輔助方法，為其他方法提供捷徑．2.3數(shù)學(xué)建模思想哥尼斯堡七橋問題被構(gòu)建為一筆畫問題，清晰地展示了數(shù)學(xué)建模思想方法的應(yīng)用．對(duì)于實(shí)際生活中的部分問題，可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，根據(jù)題意（實(shí)際問題），利用數(shù)學(xué)模型直接解決實(shí)際生活問題．人教版四年級(jí)教材中安排了個(gè)題目，分別是龜鶴問題和植樹問題，它們與“雞兔同籠”屬于同一類問題，而植樹問題屬于實(shí)際生活里的問題，這里將“雞兔同籠”作為一種數(shù)學(xué)模型運(yùn)用，之后的練習(xí)題還包含了租船問題、投球問題，答題問題；蘇教版六年級(jí)教材中的果汁、船票問題；北師大版五年級(jí)教材中的存錢罐問題等，這些問題都屬于雞兔同籠問題，在解決實(shí)際問題之前需要把問題進(jìn)行模型的建立,把雞兔同籠作為模型解決實(shí)際問題．人教版七年級(jí)教材中以問題的形式出現(xiàn)在練習(xí)題的內(nèi)容中，直接安排在一元一次模型和二元一次模型問題中教學(xué).2.4數(shù)形結(jié)合思想數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)離形時(shí)少直觀,形離數(shù)時(shí)難入微”．簡(jiǎn)單的說，解題中的數(shù)形結(jié)合是指對(duì)問題進(jìn)行幾何直觀的呈現(xiàn)又包含代數(shù)形式的表達(dá)，一方面體現(xiàn)了抽象問題具體化，另一個(gè)方面從幾何和代數(shù)兩個(gè)角度分析問題，從而使復(fù)雜問題變簡(jiǎn)單．在人教版四年級(jí)教材中，則有部分老師通過畫簡(jiǎn)單圖形表示雞兔的頭和腳，學(xué)生通過圖形直觀感受雞兔的只數(shù)與腳數(shù)之間的關(guān)系，根據(jù)圖形列出相關(guān)算式，從而簡(jiǎn)化問題；在蘇教版小學(xué)教材中，由于問題中有兩個(gè)存在一定關(guān)系的量，通過結(jié)合畫線段圖簡(jiǎn)化兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生通過直觀的畫圖感悟，找出其中的數(shù)量變化規(guī)律進(jìn)行推理來解決問題．3“雞兔同籠”問題教學(xué)案例探究在《孫子算經(jīng)?卷下》中有這樣一問“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雉兔各幾何?”“雞兔同籠”問題作為我國流傳較廣、較為經(jīng)典的數(shù)學(xué)名題，從問題的表達(dá)到其解題方法樣式繁多，下面將解讀三個(gè)不同的案例，從方法引入、教學(xué)知識(shí)銜接、學(xué)生接受程度等方面探究“雞兔同籠”問題的不同教學(xué)方法.3.1列表法的教學(xué)探究3.1.1列表法教學(xué)設(shè)計(jì)案例《雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計(jì)片段教學(xué)過程1.導(dǎo)入新課教師提問：同學(xué)們喜歡小動(dòng)物嗎?那同學(xué)們都喜歡哪些小動(dòng)物呢?那同學(xué)們喜歡兔子和小雞嗎?（課件展示兔子和雞的圖片）（教師引出雞兔同籠問題）2.解決問題（小組討論，分享做法）3.解析原題（出示課件，展示原題.思考交流，解決這個(gè)“雞兔同籠”原題）教師提示，與前面的問題相比，問題就只改變了數(shù)據(jù)．教師巡視，學(xué)生做題．解法分析逐一列表法、跳躍列表法，取中列表法．匯報(bào)總結(jié)逐一列表法：這種試數(shù)方式?jīng)]有什么復(fù)雜的數(shù)學(xué)思想在里面，幾乎是所有學(xué)生都能接受的；跳躍列表法：雖然跳躍列表法描述起來比較麻煩，思想相對(duì)復(fù)雜，但試數(shù)的次數(shù)少，比較簡(jiǎn)單；取中列表法：起點(diǎn)與逐一列表和跳躍列表不同，在試數(shù)的過程中也用到前兩種．3.1.2教學(xué)評(píng)析首先，案例設(shè)計(jì)整體思路合理，注意展現(xiàn)知識(shí)的產(chǎn)生過程，揭示其中的數(shù)學(xué)思想方法．在課堂上，通過學(xué)生獨(dú)立思考，組內(nèi)交流，再到全班共同研究討論，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，體現(xiàn)了學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體．其次，根據(jù)課本進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)，讓學(xué)生通過表格解決該問題．又適當(dāng)?shù)卦黾淤N近現(xiàn)實(shí)生活的問題讓同學(xué)們自己試著解決并在鞏固訓(xùn)練中繼續(xù)用到．最后，通過“雞兔同籠”問題，學(xué)生能夠體會(huì)到數(shù)學(xué)同生活的緊密聯(lián)系，當(dāng)再遇到類似問題時(shí)，學(xué)生能夠運(yùn)用同樣的數(shù)學(xué)思想和方法去分析解決問題．優(yōu)化解題思路及方法，提高解題的效率．有些不足的是，案例引入的思路比較繁雜，也有些散亂，案例引入提問“同學(xué)們喜歡的小動(dòng)物有哪些?”看似是生活情景導(dǎo)入但是喜歡的動(dòng)物和今天所要探究的雞兔同籠問題在本質(zhì)上沒有直接聯(lián)系，不應(yīng)單純?yōu)榱速N近學(xué)生生活而在導(dǎo)入中生硬的引用一些情景．3.2列表法和假設(shè)法的數(shù)學(xué)思想滲透教學(xué)探究3.2.1《雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計(jì)部分教學(xué)過程教學(xué)過程(一)課前導(dǎo)入(1)出示問題；引導(dǎo)學(xué)生理解題目的含義；獨(dú)立猜想，大膽猜測(cè)．學(xué)生猜測(cè)出現(xiàn)許多問題，分析原因.(二)新授課(1)化歸思想是解決這個(gè)問題的突破口．嘗試從題目入手，我們通過替換題目里的頭和腳，化繁為簡(jiǎn)改成頭和腳．(2)大膽猜測(cè)問題：兔子和雞各有多少只呢?為什么？(3)驗(yàn)證猜測(cè)．問題：嘗試驗(yàn)證你的猜測(cè)的正確性?是正確的答案嗎?獨(dú)立思考，小組合作，驗(yàn)證猜測(cè)，分享正確答案方法.方法驗(yàn)證：分別用列表法和畫圖法來驗(yàn)證．對(duì)比列表法和畫圖法，對(duì)比中發(fā)現(xiàn)問題，如果數(shù)據(jù)更大了該怎么辦?(4)探究假設(shè)法教師提問：為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔，你能用式子描述上面的算法嗎?……(5)對(duì)比這三種解題策略．（獨(dú)立思考）回顧反思，對(duì)比歸納，找到適合自己的辦法．3.2.2教學(xué)評(píng)析課堂上數(shù)學(xué)思想的滲透來源于教師的有效提問與學(xué)生的思考探究，案例所涉及的教學(xué)始終都是圍繞著數(shù)學(xué)思想的滲透展開的，最亮眼的地方就是滲透化歸思想的教學(xué)過程，案例直接引入題目，先讓學(xué)生分析，由于題目數(shù)據(jù)較大，對(duì)于現(xiàn)階段的學(xué)生來說，無法準(zhǔn)確的得出答案．案例便設(shè)計(jì)了大膽猜測(cè)的環(huán)節(jié)，隨即提出了兩個(gè)問題，有效的引導(dǎo)了學(xué)生將題目化簡(jiǎn)，學(xué)生通過簡(jiǎn)化題目后猜測(cè)出答案，又從猜測(cè)出的答案里尋找解題方法．整個(gè)環(huán)節(jié)銜接自然，在問題上學(xué)生就能直觀的感受到化歸思想的優(yōu)點(diǎn)，體驗(yàn)化歸思想由繁化簡(jiǎn)、由難化易、由生化熟決問題的過程．有些不足的是，首先列表法和畫圖法蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合思想，并且還為假設(shè)法鋪墊了一些思路．案例似乎只是突出了列表法和畫圖法對(duì)于解決該類問題的應(yīng)用．并未凸顯出數(shù)形結(jié)合在解題中抽象問題具體化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化的特點(diǎn)，因此學(xué)生無法直觀感受到這種思想方法的優(yōu)點(diǎn)．其次探究假設(shè)法，一是教會(huì)學(xué)生利用算式的方法解決此類問題，二是滲透假設(shè)思想，在探究過程中老師是這樣提問的“為了體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔，你能用式子描述上面的算法嗎?”有種本末倒置的感覺，假設(shè)法只是為了使數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔嗎?顯然不是，假設(shè)法是把未知假設(shè)為已知，以達(dá)到簡(jiǎn)化題目從而解決問題為目的一種方法．針對(duì)于雞兔同籠的問題來說，其假設(shè)法在形式上并沒有使答題變得簡(jiǎn)單，較為復(fù)雜的思想過程，使得許多學(xué)生在解題時(shí)常常因?yàn)榧?xì)節(jié)沒有思考到位而錯(cuò)誤，因此，假設(shè)法的探究更強(qiáng)調(diào)的是方法的探究、思想的滲透，而不是用數(shù)字去表達(dá)數(shù)學(xué)．3.3方程法的教學(xué)探究3.3.1方程法教學(xué)設(shè)計(jì)案例《雞兔同籠》教學(xué)設(shè)計(jì)片段教學(xué)設(shè)計(jì)片段列方程法：籠子里有雞和兔。共有個(gè)頭和只腳。問雞和兔各有多少只？教師提問：除了列表與假設(shè)法，是否還有其他解題的方法呢？找到等量關(guān)系式，根據(jù)例題信息，寫出關(guān)系式？;關(guān)系式中未知的量是雞和兔的只數(shù)。那我們可以怎么設(shè)未知數(shù)呢？設(shè)雞的只數(shù)或兔的只數(shù)為未知數(shù)，又如何把另一個(gè)未知量表示出來？數(shù)量關(guān)系一分析問題設(shè)出未知數(shù)解這個(gè)方程。解得,也就是有只雞，只兔。數(shù)量關(guān)系二同樣地，如果設(shè)兔有只，又該怎樣列方程呢？設(shè)兔有只，那么雞就有只，歸納：列方程的重點(diǎn)是找出等量關(guān)系，設(shè)頭數(shù)，以腳數(shù)相等來列出方程。3.梳理解決問題方法（過渡）.3.2.2教學(xué)評(píng)析案例在講解了列表法和假設(shè)法后又引導(dǎo)學(xué)生探究了方程法，直接引導(dǎo)學(xué)生探索等量關(guān)系，列出方程．教學(xué)過程簡(jiǎn)單明了，學(xué)生容易接受．由于雞兔同籠問題是最典型的方程模型題，在小學(xué)階段學(xué)習(xí)方程法會(huì)運(yùn)用一元一次方程求解，有利于“雞兔同籠”這一類問題的解題推廣．有點(diǎn)遺憾的是運(yùn)用一元一次方程列出的等量關(guān)系中有兩個(gè)未知數(shù)，設(shè)的未知數(shù)不同解方程的難度就大相徑庭，案例中首先設(shè)了雞的只數(shù)為未知量，列出方程：解方程的過程中就會(huì)出現(xiàn)小數(shù)減大數(shù)不夠減的情況，無疑增加了解題難度．之后又設(shè)了兔的只數(shù)為未知量，列出方程：，這個(gè)方程解起來就容易許多，教師在探究過程中沒有對(duì)兩種方程進(jìn)行探討，這容易導(dǎo)致學(xué)生方法沒有完全掌握，解決問題時(shí)容易出現(xiàn)許多小錯(cuò)誤．3.4翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)探究3.4.1《雞兔同籠》課堂教學(xué)實(shí)錄片段課堂實(shí)錄（直接出示課題）師：“雞兔同籠”什么意思?……（課件出示問題）3．滲透化繁為簡(jiǎn)的數(shù)學(xué)方法設(shè)計(jì)兩道題目，除數(shù)據(jù)不同，其他全部教師提問：這兩道題目有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)?……4．動(dòng)畫演示列表法、假設(shè)法……一、視頻教學(xué)反饋１．歸納總結(jié)視頻方法跳躍列表法二、探究列表法跳躍列表法雞/只兔子/只腳/條252443206116逐一列表取中列表法雞/只兔子/只腳/條07281626252434224320521861167014雞/只兔子/只腳/條34224320觀察表格，總結(jié)表格選取的技巧三、探究假設(shè)法1．生1：師：對(duì)于他這種方法你有什么問題嗎?(只)表示什么意思？(只)中的表示什么意？為什么？師：這樣把雞和兔先變成雞就方便多啦!2．生2：師：追問(只)表示什么意思？(只)為什么？……3.比較并小結(jié)方法：根據(jù)數(shù)據(jù)大小，小數(shù)據(jù)優(yōu)先用列表法；大數(shù)據(jù)優(yōu)先用假設(shè)法.四、建模拓展1.有龜和鶴40只，腿共112條，龜、鶴各幾只?2.一隊(duì)獵人一隊(duì)狗，兩隊(duì)并成一隊(duì)走，數(shù)數(shù)一共八個(gè)頭，數(shù)腳一共二十六．各有多少人和狗?3.4.2教學(xué)評(píng)析翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)是以學(xué)生為主的新式教學(xué)，新課程改革要求以學(xué)生為本，呼喚個(gè)性化的學(xué)習(xí)，翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式同傳統(tǒng)的教學(xué)模式結(jié)合起不但有效地改進(jìn)教學(xué)質(zhì)量，還能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，提高自主學(xué)習(xí)能力．首先，視頻教學(xué)內(nèi)容為自學(xué)內(nèi)容，每位學(xué)生都是獨(dú)立的個(gè)體，課堂教學(xué)前學(xué)生能根據(jù)自己的學(xué)習(xí)狀況調(diào)整視頻的播放進(jìn)度，學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的學(xué)生可以加速學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生可以采取反復(fù)學(xué)習(xí)，直至最終明白為止．這樣課堂時(shí)間內(nèi)就能教授一些較為豐富的內(nèi)容，加之學(xué)生自學(xué)過程主動(dòng)地去經(jīng)歷、領(lǐng)悟、積極探索數(shù)學(xué)，更容易掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵．其次，案例中假設(shè)法是本課的教學(xué)難點(diǎn)，視頻可以清晰展示假設(shè)法的教學(xué)過程，通過課前視頻自學(xué)，有利于幫助學(xué)生掌握雞兔同籠的基礎(chǔ)知識(shí)，初步感知假設(shè)法，對(duì)假設(shè)法有一定的理解，在一定程度上使學(xué)習(xí)變得容易．案例中的提問層層遞進(jìn)，樸素而自然，引人思考．其中不足的地方在于，很多問題過于瑣碎和繁雜，給學(xué)生的思考空間不夠，其次沒有大框架的問題引導(dǎo)過渡，導(dǎo)致教學(xué)上整體缺乏連貫性．在列表法的教學(xué)過程中，值得肯定的是，案例中講授了逐一列表、跳躍列表、取中列表三種列表法解決此類問題，但這三種方法的使用特點(diǎn)沒有總結(jié)歸納，對(duì)于現(xiàn)階段的學(xué)生來說，歸納整理能力弱，知識(shí)尚未系統(tǒng)化，只是強(qiáng)調(diào)這三種列表法可以解決雞兔同籠問題的話，學(xué)生容易混亂，反而無法清晰理解解題技巧．4關(guān)于“雞兔同籠”問題的一些思考通過教材分析，感受了“雞兔同籠”問題的教學(xué)地位；通過數(shù)學(xué)思想分析，了解了“雞兔同籠”問題的教學(xué)意義；通過案例分析，認(rèn)識(shí)了教學(xué)過程的復(fù)雜性．在教的過程中，這些方法的講解與過渡顯得不是很自然；許多學(xué)生沒有對(duì)解決問題的方法進(jìn)行探索，這些巧妙的解題方法也無法展現(xiàn)整個(gè)的思維過程，對(duì)數(shù)學(xué)思想掌握不準(zhǔn)確，導(dǎo)致問題沒有得到實(shí)質(zhì)的解決.新課改后，“雞兔同籠”問題在教學(xué)中有必要對(duì)一些問題進(jìn)行深思．4.1關(guān)于解題方法的教學(xué)據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)“雞兔同籠”的解題方法多達(dá)三十多種，其實(shí)這三十多種方法中很多解法的本質(zhì)是一樣的，因此對(duì)于小學(xué)的教材編寫就較為側(cè)重于列表、假設(shè)和方程三種方法，三種方法的探究過程都是通過嘗試，而三種方法在嘗試探究中又各有特色．列表法在嘗試探究中，不斷試誤排除錯(cuò)誤答案一步步向正確答案靠近，最終拼湊出正確答案．它是解決“雞兔同籠”問題最容易理解的方法之一，由于該方法的解題過程繁雜、計(jì)算過程較多，因此大多數(shù)教師在方法講解的時(shí)候會(huì)更側(cè)重于其他方法．而列表法通過學(xué)生深入問題內(nèi)部不斷嘗試探究，明顯且具體的展示了嘗試與探究的過程．在教學(xué)，教師若能深入剖析列表法的解題過程，引導(dǎo)學(xué)生從問題的本質(zhì)出發(fā)，體會(huì)列表法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，才能滲透列表法的核心思想．在列表法的嘗試過程中，最重要的不是學(xué)生試幾次而是能根據(jù)結(jié)果進(jìn)行正確的推理，只有過程充分展開了，方法的滲透才有效．假設(shè)法解題過程十分巧妙，在教學(xué)過程中深受教師喜愛，但對(duì)于大多數(shù)學(xué)生來說，此方法晦澀難懂、難以掌握及理解．其難理解的原因在于學(xué)生是初次接觸系統(tǒng)的假設(shè)法，習(xí)慣了順向思維解決問題，去尋找問題里的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)題目已知對(duì)應(yīng)數(shù)量關(guān)系解決問題，很難想到超越題目改變現(xiàn)有條件去找答案，改變已知條件后又難以和原有條件建立聯(lián)系，因此在教學(xué)中應(yīng)該突出兩個(gè)方面，一方面是教學(xué)過程應(yīng)側(cè)重假設(shè)思想的建立，另一方面教學(xué)應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有效的建立假設(shè)后的條件與原有條件之間的關(guān)系，從而理解掌握假設(shè)法，理解假設(shè)思想．方程法有別于其他方法的地方在于，方程法是正向思維的解題方法，正向思維比逆向思維更容易列出算式，而方程法解決雞兔同籠問題是需要建立在能用方程解決一般問題的基礎(chǔ)上，教學(xué)過程中，學(xué)生應(yīng)具有一定的方程解決問題的基礎(chǔ)、教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生列出等量關(guān)系才是運(yùn)用方程法解決問題的關(guān)鍵．其次對(duì)于小學(xué)階段的學(xué)生來說，方程法解決“雞兔同籠”問題是不推薦教學(xué)的方法．眾所周知，雞兔同籠問題是二元一次方程組的最典型的模型題，在小學(xué)階段學(xué)習(xí)方程法會(huì)簡(jiǎn)化為一元一次方程，而一元一次方程教學(xué)會(huì)對(duì)問題的簡(jiǎn)化程度不高，導(dǎo)致在計(jì)算過程中出現(xiàn)“不夠減”或含有“負(fù)數(shù)”，這些小學(xué)階段無法解決的“難題”，這也是人教版在新課改后把雞兔同籠問題調(diào)到四年級(jí)下冊(cè)的原因之一．人教版中強(qiáng)調(diào)了列表法和假設(shè)法，這兩種方法是在方程思想前解決雞同籠問題最常見的方法，基于學(xué)生沒有方程思想的基礎(chǔ)，這兩種方法是符合學(xué)生現(xiàn)有水平．并且兩種方法之間有一定聯(lián)系，列表法是不斷嘗試探索，多次試誤后靠近答案，最開始也是全假設(shè)為雞或者為兔再從腳數(shù)的差別上調(diào)整頭數(shù)．假設(shè)法是在列表法的基礎(chǔ)假設(shè)全為雞或者全為兔看腳數(shù)的差別，通過雞兔腳數(shù)差直接算出假設(shè)誤差是多少算差別只數(shù)．簡(jiǎn)而言之，列表法可以看作非常詳細(xì)的假設(shè)法，其本質(zhì)上兩種方法經(jīng)歷嘗試探究，內(nèi)在又有一定聯(lián)系．教學(xué)中教師若能側(cè)重不同方法之間的聯(lián)系，在方法之間建起“橋梁”，學(xué)生才能建立系統(tǒng)的知識(shí)體系，而不只是覺得不同方法之間如同孤島一樣，這樣也能在講授列表法的同時(shí)簡(jiǎn)單的探索誤差原因，為假設(shè)法做鋪墊，這樣有助于提高學(xué)習(xí)興趣，不至于讓學(xué)生覺得是在學(xué)習(xí)兩種方法而感到學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)．4.2關(guān)于不同學(xué)情的教學(xué)正所謂會(huì)者不難，難者不會(huì)，但是如何把“雞兔同籠”問題“教會(huì)”一直是困惑教師們的一大難題，其“教”包含數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)情感等多個(gè)方面，但面對(duì)不同的學(xué)生，應(yīng)遵循學(xué)生的發(fā)展規(guī)律做到因材施教，因此在教學(xué)過程中應(yīng)根據(jù)學(xué)生情況合理調(diào)整教學(xué)過程，在有效時(shí)間內(nèi)引導(dǎo)學(xué)生理解并掌握教學(xué)主要內(nèi)容．小學(xué)階段可以一課時(shí)講授一種思想方法，對(duì)于低年級(jí)的學(xué)生可以用畫圖法解決問題；對(duì)于高年級(jí)的學(xué)生列表法、假設(shè)法、方程法都可以，但方程法需要經(jīng)歷過方程思想，因此方程法更適合于六年級(jí)以上的高年級(jí)的學(xué)生．而列表法和假設(shè)法則根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)較為薄弱來說，一節(jié)課的時(shí)間能掌握列表法；了解假設(shè)法；理解劃歸思想，假設(shè)思想，建模思想；會(huì)解決“雞兔同籠”這一類問題即可．雞兔同籠中富含數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，不論教會(huì)那一種都能有效的滲透數(shù)學(xué)思想，促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展、提升數(shù)學(xué)技能．小學(xué)階段還可以一課時(shí)講授多種思想方法，這就較為適合高年級(jí)基礎(chǔ)好的學(xué)生，一節(jié)課的時(shí)間能通過教師引導(dǎo)完全理解化歸思想，假設(shè)思想，建模思想；會(huì)用多種方法解決雞兔同籠問題．使學(xué)生經(jīng)歷各種探究過程，引導(dǎo)學(xué)生分析對(duì)比，掌握最合適自己的方法，并在不同方法之間建立聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)優(yōu)化．小學(xué)階段學(xué)生邏輯思維能力較弱、想象力不足，如“雞兔同籠”這些較為抽象的問題中，以及需要多個(gè)課時(shí)才能完整講解更多課程中，教師可以借助多媒體及其它現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)，讓抽象具體化，教學(xué)活動(dòng)不止于課堂，不止于教室．教學(xué)形式應(yīng)多樣，將翻轉(zhuǎn)課堂、小組課堂、智慧教室等多元化教學(xué)方式融入教學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，做到每次教學(xué)活動(dòng)學(xué)生都有收獲．初中階段學(xué)生邏輯思維能力有所提高，但抽象思維仍然較弱，尤其才剛接觸有理數(shù)運(yùn)算，運(yùn)算能力弱，在利用一元一次方程解決“雞兔同籠”問題時(shí)除了要引導(dǎo)學(xué)生列出方程，學(xué)生還要形成良好的計(jì)算思維；二元一次方程組中“雞兔同籠”問題最典型的模型題，是“雞兔同籠”問題眾多解題方法中最不容易出錯(cuò)的一種方法，在教學(xué)中，教師根據(jù)學(xué)生已有的二元一次方程模型，引導(dǎo)學(xué)生找準(zhǔn)等量關(guān)系，列出方程組．當(dāng)然一元一次方程與二元一次方程在知識(shí)結(jié)構(gòu)上存在極強(qiáng)的知識(shí)聯(lián)系，在針對(duì)能力強(qiáng)的學(xué)生可開展針對(duì)“雞兔同籠”問題不同模型選取的優(yōu)缺點(diǎn)探討課，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的聯(lián)系．5結(jié)論從教材中，了解“雞兔同籠”問題教學(xué)的重要性，其蘊(yùn)含了多種數(shù)學(xué)思想；通過案例，我們看到了當(dāng)前雞兔同籠問題在教學(xué)上仍然會(huì)存在一些問題，在新課改理念下，教師應(yīng)更側(cè)重于方法的形成與建立．解題方法的教學(xué)，其根本不是為了讓學(xué)生模式化的寫出正確答案，新課改下的教學(xué)觀強(qiáng)調(diào)“教會(huì)學(xué)生學(xué)習(xí)”應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生了解學(xué)科特征，掌握學(xué)科研究方法．教學(xué)本質(zhì)是引導(dǎo)學(xué)生感悟領(lǐng)會(huì)其中的思想方法，而不是單純的灌輸解題步驟，讓數(shù)學(xué)知識(shí)模式化、刻板化，讓學(xué)生失去對(duì)數(shù)