第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省廈門六中高一（下）3月月考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知a，b，c均為單位向量.若a=b+c，則b與cA.π6 B.π3 C.2π32.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是邊a，b，c，若a=33，c=2，A+C=5π6，則A.13 B.6 C.7 D.3.若向量a，b滿足|a|=3，|a?b|=5，A.2 B.32 C.24.已知圓柱的底面半徑與球的半徑均為1，且圓柱的側面積等于球的表面積，則該圓柱的母線長等于(

)A.1 B.2 C.3 D.45.在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=7，則△ABC的面積為(

)A.1532 B.66 6.若圓錐的軸截面是一個頂角為2π3，腰長為3的等腰三角形，則過此圓錐頂點的所有截面中，截面面積的最大值為(

)A.934 B.23 7.互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”.如圖，在斜坐標系中，過點P作兩坐標軸的平行線，其在x軸和y軸上的截距a，b分別作為點P的x坐標和y坐標，記P(a,b).若斜坐標系中，x軸正方向和y軸正方向的夾角為θ，則該坐標系中M(x1,y1)和A.(x1?x2)2+(8.湖北武漢的黃鶴樓是中國古代四大名樓之一，因唐代詩人崔顥的《黃鶴樓》而名揚天下，小張同學打算利用鏡面反射法測量黃鶴樓的高度.如圖所示，小張將平面鏡置于黃鶴樓前的水平地面上，他后退至從鏡中正好能看到樓頂的位置，測量出人與鏡子的距離m1.沿直線將鏡子向后移距離a，再次從鏡中觀測樓頂，并測量出此時人與鏡子的距離m2(m2>mA.H=a?m2?m1 B.H=二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法中，錯誤的是(

)A.有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺

B.正四面體是一種特殊的正三棱錐

C.平行六面體是一種特殊的斜四棱柱

D.一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出此平面圖形的直觀圖恰好是一個邊長為2的等邊三角形，則原平面圖形的面積是210.已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(

)A.若sinA>sinB，則A>B

B.若a2+b2<c2，則△ABC為鈍角三角形

C.若acosA=bcosB，則△ABC為等腰三角形

D.若11.已知點P在△ABC所在的平面內，λ∈R，則下列命題正確的是(

)A.若PA?PB=PB?PC=PC?PA，則點P是△ABC的垂心

B.若(PA+PB)?AB=(PB+PC)?三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a=(2,1)，b=(?1,3)，則b在a上的投影向量為______(結果用坐標表示)．13.在正四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，A114.已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB=120°，AD=2，CD=2BD.當ACAB取得最小值時，BD=______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知a=(?1,0)，b=(2,1)．

(1)若AB=2a?b，BC=a+mb且A、B、C三點共線，求m的值．

16.(本小題15分)

如圖，在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．

(1)若EF=xAB+yAD，求3x+2y17.(本小題15分)

海岸上建有相距403海里的雷達站C，D，某一時刻接到海上B船因動力故障發出的求救信號后，調配附近的A船緊急前往救援，雷達站測得角度數據為α=∠BCA=45°，β=∠ACD=30°γ=∠BDC=45°，δ=∠ADB=75°．

(1)救援出發時，A船距離雷達站C距離為多少？

(2)若A船以30海里每小時的速度前往B處，能否在3小時內趕到救援？18.(本小題17分)

現有一幾何體由上、下兩部分組成，上部是正四棱錐P?A1B1C1D1，下部是正四棱柱ABCD?A1B1C1D1(如圖所示)，且正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．

(1)若AB=6，PO1=2，求該幾何體的體積．

(2)若正四棱錐的側棱長為19.(本小題17分)

已知a，b，c分別為△ABC三個內角A，B，C的對邊，滿足A=π3，3acosC+asinC=23．

(1)求b；

(2)若△ABC為銳角三角形，且外接圓圓心為O．

(i)求BO?AC的取值范圍；

(ii)參考答案1.C

2.A

3.B

4.B

5.B

6.C

7.A

8.A

9.AC

10.ABD

11.ABD

12.(213.714.315.(1)a=(?1,0)，b=(2,1)，AB=2a?b，BC=a+mb，

則AB=(?4,?1)，BC=(2m?1,m)，且A、B、C三點共線，

則可得AB//BC，

即?4m?(2m?1)(?1)=0，解得m=?12；

(2)a=(?1,0)，b=(2,1)，AB=2a16.解：(1)因為在菱形ABCD中，BE=12BC,CF=2FD．

故EF=EC+CF=12AD?23AB，

故x=?23,y=12，所以3x+2y=?1．

(2)顯然AC=AB+AD，

所以AC?EF17.解：(1)測得角度數據為α=∠BCA=45°，β=∠ACD=30°γ=∠BDC=45°，δ=∠ADB=75°；

ACsin120°=403sin30?AC=120．

(2)AB2=18.解：(1)由條件可知，正四棱柱的高O1O=8，

所以正四棱柱的體積為6×6×8=288，

三棱錐P?A1B1C1D1的體積為13×6×6×2=24，

所以該幾何體的體積為288+24=312；

(2)(i)O1B1=62?22=42，

所以B1C1=42×2=8，

正四棱錐P?A1B1C1D1側面的高為62?42=25，

所以正四棱錐的側面積為4×12×8×25=325；

(ii)如圖，將長方形ABB1A1，△PA1B1和19.解：(1)由正弦定理得，asinA=bsinB，

所以a32=bsin(A+C)，即a=b?32sin(π3+C)①，

又3acosC+asinC=23，

所以2asin(C