2025年統計學期末考試題庫：數據分析計算題庫：隨機變量與概率密度試卷考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、隨機變量及其分布要求：掌握隨機變量的概念，熟悉離散型隨機變量和連續型隨機變量的概率分布。1.設隨機變量X服從參數為p的0-1分布，即P{X=k}=p^k(1-p)^(1-k)，k=0,1。求P{X=1}和P{X=0}的值。2.設隨機變量X的分布律為：X123P1/41/21/4求P{X≤2}和P{X>1}的值。3.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/51/31/51/5求P{1≤X≤3}和P{X≥2}的值。4.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/61/31/20求P{X=1}和P{X≤2}的值。5.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/41/21/40求P{X>2}和P{X≤1}的值。6.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/61/31/20求P{1≤X≤3}和P{X≥2}的值。7.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/41/21/40求P{X=1}和P{X≤2}的值。8.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/61/31/20求P{X>2}和P{X≤1}的值。9.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/41/21/40求P{1≤X≤3}和P{X≥2}的值。10.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/61/31/20求P{X=1}和P{X≤2}的值。二、連續型隨機變量及其分布要求：掌握連續型隨機變量的概念，熟悉均勻分布、正態分布、指數分布等連續型隨機變量的概率密度函數。1.設隨機變量X服從區間[0,1]上的均勻分布，求P{0.2≤X≤0.6}的值。2.設隨機變量X服從正態分布N(μ,σ^2)，其中μ=5，σ=2，求P{X≤7}的值。3.設隨機變量X服從參數為λ的指數分布，即f(x)=λe^(-λx)，x≥0，求P{0≤X≤1}的值。4.設隨機變量X服從參數為a的均勻分布，即f(x)=1/(2a)，a<x<a+1，求P{a/2≤X≤3a}的值。5.設隨機變量X服從參數為μ和σ的正態分布，即f(x)=1/(σ√2π)e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，求P{μ-σ≤X≤μ+σ}的值。6.設隨機變量X服從參數為λ的指數分布，即f(x)=λe^(-λx)，x≥0，求P{X>1}的值。7.設隨機變量X服從參數為a的均勻分布，即f(x)=1/(2a)，a<x<a+1，求P{X≤a}的值。8.設隨機變量X服從參數為μ和σ的正態分布，即f(x)=1/(σ√2π)e^(-(x-μ)^2/(2σ^2))，求P{X<μ}的值。9.設隨機變量X服從參數為λ的指數分布，即f(x)=λe^(-λx)，x≥0，求P{0≤X≤λ}的值。10.設隨機變量X服從參數為a的均勻分布，即f(x)=1/(2a)，a<x<a+1，求P{a≤X≤2a}的值。四、期望與方差要求：掌握隨機變量的期望和方差的計算方法。1.設隨機變量X服從參數為p的0-1分布，即P{X=k}=p^k(1-p)^(1-k)，k=0,1。求E(X)和Var(X)的值。2.設隨機變量X的分布律為：X123P1/41/21/4求EX和Var(X)的值。3.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/51/31/51/5求EX和Var(X)的值。4.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/61/31/20求EX和Var(X)的值。5.設隨機變量X的分布律為：X1234P1/41/21/40求EX和Var(X)的值。五、協方差與相關系數要求：理解協方差和相關系數的概念，并能計算其值。1.設隨機變量X和Y的聯合分布律為：XYP(X,Y)121/6211/6131/6321/6求Cov(X,Y)和ρ(X,Y)的值。2.設隨機變量X和Y的聯合分布律為：XYP(X,Y)121/3211/3331/3求Cov(X,Y)和ρ(X,Y)的值。3.設隨機變量X和Y的聯合分布律為：XYP(X,Y)111/4221/4331/4441/4求Cov(X,Y)和ρ(X,Y)的值。4.設隨機變量X和Y的聯合分布律為：XYP(X,Y)131/2211/2求Cov(X,Y)和ρ(X,Y)的值。5.設隨機變量X和Y的聯合分布律為：XYP(X,Y)121/4231/4311/4441/4求Cov(X,Y)和ρ(X,Y)的值。六、中心極限定理要求：理解中心極限定理的基本概念，并能應用其進行隨機變量分布的近似計算。1.設隨機變量X1，X2，…，Xn是相互獨立且同分布的隨機變量，且E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ^2，n足夠大時，隨機變量S_n/n的分布函數為F(x)。求隨機變量S_n/n的極限分布。2.設隨機變量X1，X2，…，X10是相互獨立且同分布的隨機變量，且E(Xi)=0，Var(Xi)=1，求隨機變量S_n/n的分布函數F(x)。3.設隨機變量X1，X2，…，X15是相互獨立且同分布的隨機變量，且E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ^2，n足夠大時，隨機變量S_n/n的分布函數為F(x)。求隨機變量S_n/n的極限分布。4.設隨機變量X1，X2，…，X20是相互獨立且同分布的隨機變量，且E(Xi)=0，Var(Xi)=1/2，求隨機變量S_n/n的分布函數F(x)。5.設隨機變量X1，X2，…，X25是相互獨立且同分布的隨機變量，且E(Xi)=μ，Var(Xi)=σ^2，n足夠大時，隨機變量S_n/n的分布函數為F(x)。求隨機變量S_n/n的極限分布。本次試卷答案如下：一、隨機變量及其分布1.解析：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p。2.解析：P{X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/4+1/2=3/4，P{X>1}=1-P{X=1}=1-1/4=3/4。3.解析：P{X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/4+1/2=3/4，P{X>1}=1-P{X=1}=1-1/4=3/4。4.解析：P{X=1}=1/6，P{X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/6+1/3=1/2。5.解析：P{X>2}=1-P{X≤2}=1-(1/4+1/2)=1/4，P{X≤1}=P{X=1}=1/6。6.解析：P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1/4+1/2+1/4=3/4，P{X≥2}=P{X=2}+P{X=3}=1/2+1/4=3/4。7.解析：P{X=1}=1/6，P{X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/6+1/3=1/2。8.解析：P{X>2}=1-P{X≤2}=1-(1/4+1/2)=1/4，P{X≤1}=P{X=1}=1/6。9.解析：P{1≤X≤3}=P{X=1}+P{X=2}+P{X=3}=1/4+1/2+1/4=3/4，P{X≥2}=P{X=2}+P{X=3}=1/2+1/4=3/4。10.解析：P{X=1}=1/6，P{X≤2}=P{X=1}+P{X=2}=1/6+1/3=1/2。二、連續型隨機變量及其分布1.解析：P{0.2≤X≤0.6}=(0.6-0.2)/1=0.4。2.解析：P{X≤7}=Φ((7-5)/2)=Φ(1)≈0.8413。3.解析：P{0≤X≤1}=∫[0,1]λe^(-λx)dx=[(-e^(-λx))/λ]from0to1=(1/e^λ-1)/λ。4.解析：P{a/2≤X≤3a}=(3a-a/2)/2a=1/2。5.解析：P{μ-σ≤X≤μ+σ}=Φ((μ+σ-μ)/σ)-Φ((μ-σ-μ)/σ)=Φ(1)-Φ(-1)≈0.6826。6.解析：P{X>1}=1-P{X≤1}=1-Φ((1-5)/2)=1-Φ(-2)≈0.0228。7.解析：P{X≤a}=Φ((a-5)/2)。8.解析：P{X<μ}=Φ((μ-5)/2)。9.解析：P{0≤X≤λ}=∫[0,λ]λe^(-λx)dx=[(-e^(-λx))/λ]from0toλ=(1/e^λ-1)/λ。10.解析：P{a≤X≤2a}=(2a-a)/2a=1/2。四、期望與方差1.解析：E(X)=0*p+1*p=p，Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=p-p^2。2.解析：E(X)=1*(1/4)+2*(1/2)+3*(1/4)=2，Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=14/3-4。3.解析：E(X)=1*(1/5)+2*(1/3)+3*(1/5)+4*(1/5)=2，Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=10/3-4。4.解析：E(X)=1*(1/6)+2*(1/3)+3*(1/2)+4*0=3/2，Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=11/12-9/4。5.解析：E(X)=1*(1/4)+2*(1/2)+3*(1/4)+4*0=1.5，Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=7/4-2.25。6.解析：E(X)=1*(1/6)+2*(1/3)+3*(1/2)+4*0=3/2，Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=11/12-9/4。五、協方差與相關系數1.解析：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(σ_X*σ_Y)，計算E(X),E(Y),Var(X),Var(Y),E(XY)。2.解析：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(σ_X*σ_Y)，計算E(X),E(Y),Var(X),Var(Y),E(XY)。3.解析：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(σ_X*σ_Y)，計算E(X),E(Y),Var(X),Var(Y),E(XY)。4.解析：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，ρ(X,Y)=Cov(X,Y)/(σ_X*σ_Y)，計算E(X),E(Y),Var(X),Var(Y),E(XY)。5.解析：Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)，ρ(X,