專項訓練3平行線的判定與性質提升練習

選擇題

1.如圖，在下列給出的條件中，不能判定尸的是（）

A./A=N3B.ZA+Z2=180°C.Nl=/4D.N1=NA

2.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同,

所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，Zl=53°,Z2=110°,則N3+N4=（）

A.164°B.117°C.123°D.107°

3.如圖，已知長方形紙片A5CD,點〃在AD邊上，點、F,G在BC邊上，分別沿ERG8折疊，使

點B和點。都落在點尸處，若/FEH+NEHG=118°,則NFPG的度數(shù)為（）

A.54°B.55°C.56°D.57°

./v\1^2TBFGC

第1題圖第2題圖第3題圖

4.在同一平面內，若AB，/,ACLI,且點A在直線/上,，則下列結論成立的是（）

A.AC//ABB.點B,C在直線/同側

C.點B,C在直線/兩側D.點A,B,C在同一條直線上

5.將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置,小明得到下列結論：

①如果N2=30°,則AC〃Z）E；②NBAE+NCA￡）=180°；

③如果BC〃A。，則/2=30°；④如果NCA￡）=150°,則N4=NC.

其中正確的結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

A_______B

A。

第5題圖第6題圖第7題圖

6.如圖，AB//CD,EG、EM、分別平分NAEF,NBEF,ZEFD,則圖中與/。EM相等的角（不含

它本身）的個數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

—.填空題

7.如圖所示，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角NA=110。，第二次拐的角

145°,則第三次拐的角NC=時，道路”才能恰好與4。平行.

8.如圖1,為響應國家新能源建設，樂清市公交站亭裝上了太陽能電池板.當?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行

光線）與水平線最大夾角為62°,如圖2,電池板A8與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，此時電池板

與水平線夾角為48°,要使A3〃C￡）,需將電池板逆時針旋轉a度，則a為.（0<a

<90）

9.如圖，ABLBC,AE平分交于點E,AE±DE,Nl+N2=90°,M、N分別是84,延長

線上的點，和/EOV的平分線交于點F.下列結論：?AB//CD-,②；③

平分NAOC；④/尸為定值.其中結論正確的有

<//Ml

上」___水平線

國＜48。」“Vr

己知：如圖，點E在直線。歹上，點2在直線AC上，N1=N2,/3=N4.

求證：ZA=ZF.

證明：VZ1=Z2(已知)

/2=/DGF()

：.Z1=ZDGF(等量代換)

//()

：.Z3+Z=180°()

又：/3=/4(已知)

.?.Z4+ZC=180°(等量代換)

//()

NF()

12.如圖,AC//FE,Nl+N3=180°.

(1)判定/朋8與/4的大小關系，并說明理由；

(2)若AC平分/朋2,EFLBE于點、E,N4=78°,求/BCD的度數(shù).

13.已知：直線EF分別與直線AB,C￡＞相交于點G,H,并且/AGE+/￡)HE=180°.

(1)如圖1,求證：AB//CD-,

(2)如圖2,點M在直線AB,C。之間，連接GM,HM,求證：ZM=ZAGM+ZCHM；

(3)如圖3,在(2)的條件下，射線G8是NBGM的平分線，在的延長線上取點N,連接GN,

1

若NN=NAGM,/M=NN+專/FGN,求的度數(shù).

14.“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照

燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至AN便立即回轉，燈3射線從開始順時針旋轉

至8。便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是每秒2度，燈8轉動的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即尸且NA4M：/BAN=2：1.

(1)填空：ABAN

(2)若燈3射線先轉動30秒，燈A射線才開始轉動，在燈2射線到達2。之前，A燈轉動幾秒，兩燈

的光束互相平行?

(3)如圖2,若兩燈同時轉動，在燈A射線到達AN之前.若射出的光束交于點C,過C作/交

尸。于點。，且NACD=120°,則在轉動過程中，請?zhí)骄?BAC與的數(shù)量關系是否發(fā)生變化?

若不變，請求出其數(shù)量關系；若改變，請說明理由.

專項訓練3平行線的判定與性質提升練習

一.選擇題

1.如圖，在下列給出的條件中，不能判定A5〃0月的是()

A.ZA=Z3B.ZA+Z2=180°

C.Z1=Z4D.Z1=ZA

【分析】利用平行線的判定定理，逐一判斷，容易得出結論.

【解答】解：A、因為NA=N3,所以尸（同位角相等，兩直線平行），故本選項不符合題意.

B、因為NA+/2=180,所以（同旁內角互補，兩直線平行），故本選項不符合題意.

C、因為/1=/4,所以A8〃。F（內錯角相等，兩直線平行），故本選項不符合題意.

D、因為=所以AC〃￡>E（同位角相等，兩直線平行），不能證出故本選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了平行線的判定；正確識別“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角是正確答題

的關鍵，只有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，才能推出兩被截直線平行.

2.光線在不同介質中的傳播速度是不同的，因此光線從水中射向空氣時，要發(fā)生折射，由于折射率相同，

所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，Zl=53°,Z2=110°,則N3+N4=（）

A.164°B.117°C.123°D.107°

【分析】根據(jù)平行可得N1=53°,Z2=110°,最后代入/3+N4計算即可.

【解答】解：???平行光線，水面和底平行，

.-.Z1=Z3,Z2+Z4=180°,

VZ1=53°,Z2=110°,

；./1=/3=53°,Z4=180°-Z2=70°,

...N3+N4=53°+70°=123°,

故選：C.

【點評】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.

3.如圖，已知長方形紙片ABCD,點E,H在AQ邊上，點尸，G在8C邊上，分別沿EF,GH折疊，使

點2和點C都落在點尸處，若/FEH+NEHG=118°,則NPPG的度數(shù)為（）

K

A.54°B.55°C.56°D.57°

【分析】根據(jù)四邊形ABC。是長方形，可得AO〃8C,得NFEH=NBFE,ZEHG=ZCGH,所以可得

NBFE+NCGH=NFEH+NEHG=118°,由折疊可得ERGH分別是48尸產(chǎn)和NCGP的角平分線，可

得NBFP+NCGP=2(ZBFE+ZCGH)=236°,進而可得/尸PG的度數(shù).

【解答】解：；四邊形ABC。是長方形，

J.AD//BC,

ZFEH=ZBFE,NEHG=ZCGH,

：.ZBFE+ZCGH=NFEH+/EHG=118°,

由折疊可知：

EF,GH分別是尸P和NCGP的角平分線，

ZPFE=ZBFE,ZPGH=ZCGH,

：.ZPFE+ZPGH=NBFE+NCGH=118°,

：.ZBFP+ZCGP=2CZBFE+ZCGH)=236°,

：.ZPFG+ZPGF=36Q°-(NBFP+/CGP)=360°-236°=124°,

AZFPG=180°-(NPFG+NPGF)=180°-124°=56°.

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的性質.

4.在同一平面內，若A8，/,AC±l,且點A在直線/上，則下列結論成立的是()

A.AC//AB

B.點B,C在直線/同側

C.點B,C在直線/兩側

D.點A,B,C在同一條直線上

【分析】A2，/,AC1Z,則過點A與直線/相垂直的直線有AB,AC,而過已知點與已知直線垂直的直

線有一條并且只有一條，由此即可得答案.

【解答】解：；42，/,ACLI,則過點A與直線/相垂直的直線有AB,AC,

又過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，

：.AC^AB重合,

A.AC與AB,不可能平行，錯誤，不符合題意；

氏點2,C在直線/同側，不能確定，錯誤，不符合題意；

C.點、B,C在直線/兩側，不能確定，錯誤，不符合題意；

D.因為AC與A2重合，故點A,B,C在同一條直線上，正確，符合題意.

故選：D.

【點評】本題考查了平行線的性質和垂線的定義，關鍵明白在同一平面內，經(jīng)過一點有且只有一條直線

與已知直線垂直.

5.將一副三角板的直角頂點重合按如圖放置，小明得到下列結論:

①如果N2=30°,則AC〃DE；

②NA4E+NCAZ)=180°；

③如果BC〃A。，貝1/2=30°；

④如果NCA￡)=150°,則/4=/C.其中正確的結論有()

A.1個

【分析】根據(jù)平行線的性質和判定逐個判斷即可.

【解答】解：VZ2=30°,ZCAB=90°,

：.Z1=6Q°,

,：ZE=60°,

：.Z1=ZE,

：.AC//DE,故①正確；

"：ZCAB=ZDAE=9Q°,

：.ZBAE+ZCAD=90°-Zl+90°+Zl=180°,故②正確;

'：BC//AD,/2=45°,

.-.Z3=ZB=45°,

：N2+N3=NZME=90°,

.1.Z2=45°,故③錯誤;

VZCA￡）=150°,ZBAE+ZCAZ）=180°,

：.ZBAE=30°,

VZE=60°,

；.NBOE=NBAE+NE=90°,

.*.Z4+ZB=90°,

VZB=45°,

.*.Z4=45°,

VZC=45°,

Z4-ZC,故④正確；

所以其中正確的結論有①②④，3個.

故選：C.

【點評】本題考查了平行線的性質和判定，能靈活運用定理進行推理是解此題的關鍵.

6.如圖，AB//CD,EG、EM、尸M分別平分NAEF,ZBEF,ZEFD,則圖中與NO尸M相等的角（不含

它本身）的個數(shù)為（）

A.5B.6C.7D.8

【分析】由平分NEFD可知：與NOR0相等的角有NEfM；由于A3〃CO,EG、EM、分別平

分NAEF、NBEF、/EFD,根據(jù)平行線的性質和判定定理可以推導出FM//EG,由此可以寫出與NO尸M

相等的角.

【解答】解：平分NHD,

ZEFM=ZDFM=三/CFE,

"G平分NAER

???ZAEG=ZGEF=專/AEF,

?；EM平分NBEF,

NBEM=ZFEM=考/BEF,

1

/.ZGEF+ZFEM=~(ZAEF+ZBEF)=90°,即/GEM=90°,

i

ZFEM+ZEFM=1(/BEF+NCFE),

\'AB//CD,

：./EGF=ZAEG,ZCFE=NAEF

/.ZFEM+ZEFM=(/BEF+NCFE)(BEF+NAEF)=90°,

.?.在中，ZEMF=90°,

：.ZGEM=ZEMF,

：.EG//FM,

.?.與NDFM相等的角有：NEFM、ZGEF,ZEGF,/AEG以及NGEF、ZEGF,/AEG三個角的對

頂角.

故選：C.

【點評】重點考查了角平分線的定義，平行線的性質和判定定理，推導較復雜.

二.填空題

7.如圖所示，一條公路修到湖邊時，需要拐彎繞湖而過，第一次拐的角NA=110。，第二次拐的角

145°,則第三次拐的角/C=145°時,道路CE才能恰好與4。平行.

【分析】先做出輔助線，再根據(jù)平行線的性質對角度進行轉化，即可得到NBCE的度數(shù).

【解答】解：如圖，作2尸〃A。，則：BF//CE,

：.NABF=/A=110。，

ZCBF=ZABC-ZABF=35°

.,.NC=180°-ZCBF=145°,DBC

即第三次拐的角為145。時，道路CE才能恰好與平行.

故答案為：145°.

【點評】此題主要考查了平行公理的推論和平行線的性質，關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等.

8.如圖1,為響應國家新能源建設，樂清市公交站亭裝上了太陽能電池板.當?shù)啬骋患竟?jié)的太陽光（平行

光線）與水平線最大夾角為62°,如圖2,電池板A8與最大夾角時刻的太陽光線相垂直，此時電池板

CZ）與水平線夾角為48°,要使A3〃CD,需將電池板C￡）逆時針旋轉a度，則a為20.（0<a<

90）

（圖1）（圖2）

【分析】求出/EOF的度數(shù)，根據(jù)平行線的判定得出/MQO=NEOF=28°,再求出答案即可.

【解答】解:

'：EF±AB,

：.ZEFO=90°,

,：ZOEF=62°,

.,.ZE（?F=180°-90°-62°=28°,

'：AB//CD,

：.ZMQD=ZEOF=2S°,

,/要使AB〃C￡),需將電池板CD逆時針旋轉a度,

Aa°=48°-28°=20°,

故答案為：20.

【點評】本題考查了平行線的判定，旋轉的性質，垂直的定義等知識點，能求出的度數(shù)是解此

題的關鍵.

9.如圖，ABLBC,AE平分交于點E,AE±DE,Zl+Z2=90°,M、N分別是84,CD延長

線上的點，/E4M和/EOV的平分線交于點F.下列結論：①AB〃CD；②NAE8+/AZ)C=180°；③

DE平分NAOC；④/P為定值.其中結論正確的有①③④

【分析】先根據(jù)A8_L8C,AE平分NBA。交BC于點E,AELDE,Zl+Z2=90°,/E4M和

的平分線交于點F,再由平行線的性質即可得出結論.

【解答】解：'：AB±BC,AELDE,

.'.Zl+ZAEB=90°,ZDEC+ZAEB=90°,

：.Z1=ZDEC,

又???N1+N2=9O°,

.\ZDEC+Z2=90°,

：.ZC=90°,

.\ZB+ZC=180°,

J.AB//CD,故①正確；

???ZADN=/BAD,

VZADC+ZADN=180°,

.'.ZBAD+ZADC=180°,

又??,NAEBWNBAD,

：.ZAEB+ZADC^180°,故②錯誤；

VZ4+Z3=90°,Z2+Zl=90°,而N3=N1,

???N2=N4,

???&）平分NAOC,故③正確；

VZ1+Z2=9O°,

ZEAM+ZEDN=360°-90°=270°.

??,NEAM和NEON的平分線交于點F,

1

ZEAF+ZEDF=x270°=135°.

\'AE±DE,

.,.Z3+Z4=90°,

：.ZFAD+ZFDA=\35°-90°=45°,

AZF=180°-(ZFAD+ZFDA)=180-45°=135°,故④正確.

故答案為：①③④

【點評】本題主要考查了平行線的性質與判定、角平分線的定義.

10.一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動，將含30°的三角尺ABC繞頂點

A順時針轉動至圖2位置的過程中，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行.如圖3：當/CAE=15°時，

8C〃。2則NC4E其余符合條件的度數(shù)為60°或105°或135°.

【分析】分四種情況進行討論，分別依據(jù)平行線的性質進行計算即可得到NC4E的度數(shù).

【解答】解：如圖3,當8C〃r）E時，ZCAE=45°-30°=15°；

如左圖，當時，ZCAE=90°-30°=60°；

如中圖，DE//AB（或AO〃BC）時，ZCAE=450+60°=105°；

如右圖，當。E〃AC時，ZCAE=450+90°=135°.

綜上所述，旋轉后兩塊三角板至少有一組邊平行，則NCAE（0°<ZCA￡<180°）其它所有可能符合

條件的度數(shù)為60°或105°或135°,

故答案為：60°或105°或135°.

【點評】本題考查的是平行線的判定與性質，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質及直角三角板的性

質求解是解答此題的關鍵.

三.解答題

n.閱讀理解，補全證明過程及推理依據(jù).

已知：如圖，點E在直線。f上，點8在直線AC上，Z1=Z2,Z3=Z4.

求證：ZA=ZF.

證明：VZ1=Z2（已知）

Z2=ZDGF（對頂角相等）

：./'=/DGF（等量代換）

BD//CE（同位角相等，兩直線平行）

N3+NC=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

又：/3=/4（已知）

.-.Z4+ZC=180°（等量代換）

AC//DF（同旁內角互補，兩直線平行）

/.ZF（兩直線平行，內錯角相等）

【分析】先證明BD〃CE,得出同旁內角互補N3+/C=180°,再由已知得出N4+/C=180°,證出AC

//DF,即可得出結論.

【解答】解:?.,/1=N2（已知）

N2=/DGF（對頂角相等）

.?./1=/OGP（等量代換）

J.BD//CE（同位角相等，兩直線平行）

.-.Z3+ZC=180°（兩直線平行，同旁內角互補）

又；/3=/4（己知）

.-.Z4+ZC=180°

.?.AC〃。F（同旁內角互補，兩直線平行）

AZA=ZF（兩直線平行，內錯角相等）；

故答案為：對頂角相等；BD；CE-,同位角相等，兩直線平行；C；兩直線平行，同旁內角互補；AC,

DF-,同旁內角互補，兩直線平行；兩直線平行，內錯角相等.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質、對頂角相等的性質；熟練掌握平行線的判定與性質是解決問

題的關鍵，注意兩者的區(qū)別.

12.如圖,AC//FE,Zl+Z3=180°.

（1）判定/曲B與N4的大小關系，并說明理由；

（2）若AC平分EFLBE于點E,N4=78°,求/BCD的度數(shù).

【分析】（1）由已知可證得N2=N3,根據(jù)平行線的判定得到舊1〃CD,根據(jù)平行線的性質即可得到/

必2=/4；

（2）根據(jù)角平分線的定義和平行線的判定和性質定理即可得到結論.

【解答】解：（1）ZFAB=Z4,

理由如下：

VAC//EF,

???N1+N2=18O°,

又???N1+N3=18O°,

AZ2=Z3,

：.FA//CD,

???NE43=N4；

(2)〈AC平分NMB,

：.ZFAB=2Z2f

由(1)得：NE43=N4,

JN4=2N2,

1i

?"3=Z2="4=ix78°=39°,

VEF±BE,AC//EF,

：.ACLBE,

：.ZACB=90°,

AZBCD=9G°-Z3=51°.

【點評】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，正確的識別圖形是解題的關鍵.

13.已知：直線成分別與直線A—相交于點G,H,并且NAGE+NZ)HE=180°.

(1)如圖1,求證：AB//CD；

(2)如圖2,點M在直線AB,CQ之間，連接GM,HM,求證：ZM=ZAGM+ZCHM；

(3)如圖3,在(2)的條件下，射線GH是N3GM的平分線，在“〃的延長線上取點N,連接GN,

1

若NN=NAGM,ZM^ZN+^ZFGN,求NMHG的度數(shù).

【分析】(1)根據(jù)已知條件和對頂角相等即可證明；

(2)如圖2,過點M作〃/12,可得AB〃CD〃MR.進而可以證明;

(3)如圖3,令NAGM=2a,ZCHM=^,則/N=2a,ZM=2a+p,過點、H作HT〃GN,可得NMHT

=ZN=2a,NGHT=/FGN=2B，進而可得結論.

【解答】(1)證明：如圖1,?:/AGE+/DHE=180°,NAGE=/BGF.

：.ZBGF+ZDHE=180°,

：.AB//CD；

(2)證明：如圖2,過點M作MR〃A8,

又,：AB〃CD,

J.AB//CD//MR.

：.ZGMR=ZAGM,/HMR=ZCHM.

：.ZGMH=ZGMR+ZRMH=ZAGM+ZCHM.

(3)解：如圖3,令NAGM=2a,ZCHM^^,則NN=2a,/M=2a+0,

射線GH是ZBGM的平分線，

11

J.Z.FGM="BGM=.(180。一乙4GM)=90。一1，

AZAGH=ZAGM+ZFGM=2a+90°-a=90°+a,

1

??"M=NN+"FGN,

1

***2a+S=2a+aZ-FGN,

：.ZFGN=2^,

過點、H作HT〃GN,

則NMHT=NN=2a,/GHT=/FGN=2，,

：.ZGHM=ZMHT+ZGHT=2a+2p,

ZCHG=ZCHM+NMHT+ZGHT=0+2a+20=2a+30,

U：AB//CD,

：.ZAGH+ZCHG=1SQ°,

.*.90°+a+2a+30=18O°,

a+P=30°,

：.ZGHM=2(a+P)=60°.

【點評】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質.

14.“一帶一路”讓中國和世界更緊密，“中歐鐵路”為了安全起見在某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉探照

燈.如圖1所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉至4V便立即回轉，燈B射線從BP開始順時針旋轉

至便立即回轉，兩燈不停交叉照射巡視.若燈A轉動的速度是每秒2度，燈8轉動的速度是每秒1

度.假定主道路是平行的，即PQ〃MN,且NA4M：NBAN=2：1.

(1)填空：NB