第六章平面向量、復數章末檢測

(考試時間：120分鐘試卷滿分：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫

在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一'單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求.

1.若復數2)+(m②-3加+2)，是純虛數,則實數，"的值為

A.0或2B.2C.0D.1或2

【答案】C

【詳解】試題分析：因為復數加(加-2)+(加2_3加+2?,是純虛數，所以加(加-2)=0且/一3m+2片0,因此

m=0.注意不要忽視虛部不為零這一隱含條件.

考點：純虛數

2.在復平面內，復數z對應的點的坐標是(-3,1),則父=()

A.l+3iB.1—3iC.—l+3iD.-1—3i

【答案】D

【分析】由點的坐標確定z=-3+i,再利用復數乘法法則進行計算

【詳解】由題知，Z=—3+i,貝!lzi=(—3+i)i=—1—3i.

故選：D.

3.在平行四邊形力BCD中，石為對角線ZC上靠近點。的三等分點，延長。石交5C于尸，則麗=()

A.A.B—ADB.4BT—A.D

22

C.一A.B—ADD.—A,B+AD

22

【答案】A

【分析】根據三角形相似推出尸為3C的中點，再根據平面向量的線性運算可得答案.

CFCF11

【詳解】易知，！4DE=!CFE,所以三=三=彳，又BC=AD,所以C/=；BC,即尸為8c的中點,

ADAE22

____k1____._________?1____k

所以而=0一粉=彘+而'一髓=4B+]AD-AD=AB-萬15.

故選：A

4.已知同=1,|畫=2,c=25+36-d=14a-5b>若打2，則3與B的夾角為

A.30°B.60°C.120°D.150°

【答案】B

【分析】根據向量垂直可得兩向量數量積為零，從而構造出關于夾角余弦值的方程，求出余弦值后即可得

到所求角.

【詳解】-：cLd.,1/=（21+3孫（143-5町=28片+32鼠115廬=0

-1

即：28+64cos<3,6>-60=0,解得：cos<a,b>=-:.<a,b>=60°

本題正確選項：B

【點睛】本題考查向量夾角的求解問題，關鍵是能夠通過明確向量垂直與向量數量積之間的關系，利用數

量積為零構造關于夾角的方程.

5.AA8C中，內角A、B所對的邊分別為4、b,若6a.sin8='cos/,則角A等于（）

71717171

A.-B.—C.-D.—

34612

【答案】C

【分析】根據正弦定理邊角互化思想求出tanZ的值，再結合A的范圍可求出角A的值.

【詳解】?/y/ia-sinB=b-cosA,由正弦定理得Gsin4sin8=sin5cos4,

h

0<B<7r,sin5>0,則百sin4=cos4,可得tan/=——.

3

JI

又「0</<乃，因此，A=—.

6

故選：C.

【點睛】本題考查利用正弦定理邊角互化思想求角，在計算時要結合角的取值范圍來得出角的值，考查運

算求解能力，屬于基礎題.

6.如圖所示；測量隊員在山腳/測得山頂尸的仰角為a,沿著傾斜角為萬的斜坡向上走200m到達&處,

在3處測得山頂尸的仰角為？.若a=45°,/=34。，7=75。，（參考數據：sin34°?0.56,sin41°^0.66,

cos34°?0.83,cos41°?0.75,0=1.41,V3?1.73),則山的高度約為()

D.190.21

【答案】C

【分析】在ANBP中，利用正弦定理求4P,進而在Rt△尸中求山的高度.

【詳解】在A/5尸中，則

ZABP=18Q°-y+/3,ZBPA=1S0o-(a-/3)-ZABP=180o-(a-/3)-^0o-y+/3)=y-a,

因為w嬴工,則八ABsmAABP/8sin(y-/7)

sin/APBsin(7-a)

,200x0.66x^1

^5sin(/-y5)sin(z_200xsin41°xsin45°

在RtZXP/。中,貝！IPQ=APsina二-----j------么186.12.

sin(7-cr)sin30°

2

故選：C.

角/,所對的邊分別為若￡='cos：jr

7.在“8C中,B,Ca,b,c,c=4,C=—,則^ABC的面積

a2-cosA

為（）

A.2A/3B.4拒C.12D.16

【答案】B

【分析】由正弦定理及兩角和的正弦公式得a+6=2c,再利用余弦定理得a6=16,從而求出。3C的面積.

上十分…舊“。1+cosCsinC1+cosC

【詳解】由正弦定理及1=^^'Z得R而

所以sin/+sin/cosC=2sinC-cos/sinC,

所以sin/+sinAcosC+cos/sinC=2sinC,

即sin/+sin(4+C)=2sinC,

所以sin4+sinB=2sinC.

由正弦定理得a+b=2c.

因為。=4,所以Q+6=2C=8,

又C=g所以由余弦定理得

「a2+b2-c2(a+bV-2ab-1648-2ib1

cosC=--------------=-----------------------=----------=-

2ablablab2

解得必=16,

所以&4BC的面積為—absinC=—absin—=^-ab=46.

2234

故選：B.

8.在直角梯形4BCQ中方?同=0,NB=30°,AB=2小,BC=2,點、E為BC邊上一點、，且彘=%方+yNB,

則孫的取值范圍是（）

A.卜,￡|B,[o,1D.-,273

2

【答案】B

【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式，結合配方法進行求解即可.

【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過C作垂足為尸,

因為48=30。取=2,

CFBFr-

所以有sinB=—,cosB=一CF=2sin30°=1,SF=2cos30°=V3,

A(0,0),5(273,0),C(A1),D(0,1),設E(a,6),BE=mBC(m[0,1]),

a-2>/3=-VJma=2A/3-gm

因此有(“-20力)=m(-V3,l)=<=>

b=mb=m

因為施=無益+了疝5,

所以有(a,6)=x(2j§,0)+y(0,l)=(Sx,y)川"*3"一6)

a=2A/3-V3m

而j,

b=m

所以肛=(2-73-4^m)m=(l--^-m)m=(加—Ip+；,

當加=1時，町有最大值;，當m=0,xy有最小值0,

所以孫的取值范圍是0,；

故選:B

【點睛】關鍵點睛：建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式是解題的關鍵.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全

部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知i為虛數單位，復數4=。-方，Z2=2+ai，(aeR),下列結論正確的有()

A.匕卜㈤

Zj

B.=z2

C.若2(Z1+Z2)=Z/Z2，則4=2

D.若Z2=-i,貝!J。=0

【答案】AC

【分析】根據復數運算、共輾復數、復數相等等知識確定正確答案.

【詳解】A選項，㈤="^="|,A選項正確.

B選項，Zi=a+2iwz2，B選項錯誤.

C選項，2(z+Z2)=2〃+4+(2〃-4)i,

z^z2=4Q+(Q2—4)i,

/、(2Q+4=4〃

若2Z1+Z2=Z/Z2,貝!J°/2，，解得。=2,所以c選項正確.

2。-4=。-4

D選項，當。=0時，z2=2^-if所以D選項錯誤.

故選：AC

10.已知。為“3C的外接圓圓心，AB+AC=2AO^d^^c\,下列說法正確的是（）

A.8,O,C三點共線

B.2=60°

C.AB=0AC

7UUT

D.向量強在向量數上的投影向量為:BC

4

【答案】ACD

【分析】作出圖，根據平面向量的基本定理運算判斷選項A,利用圓周角的性質判斷得NA4C=90。，再結

合力OC是等邊三角形，可判斷得N4c3=60。，從而得N/8C=30。可判斷選項B,在直角三角形中，利用

三角函數列式計算可判斷選項C,根據投影的概念，再結合三角函數計算可判斷選項D.

【詳解】如圖，根據平行四邊形法則益+就=荏+而=而=2粉，即/。=2/。，

所以。為/。的中點，即。為/。與3C的交點，

所以。為8C的中點，所以2,O,C三點共線，故A正確；

因為。為“BC的外接圓圓心，所以BC為圓。的直徑，

所以NA4c=90。，所以所卜;因，

又|前卜|%],所以“OC是等邊三角形，

所以N/C3=60。，ZABC=30°,故B錯誤；

在Rd/BC中，—=tan600,所以|/同=百|/C|,故C正確;

作/E_LBC于點E,則向量而為向量防在向量數上的投影向量，

因為禺=sin60。，所以忸/|=亨怛C],|3￡|=|^|xcos300=^-\BA\=^\BC\,

—.3-?3utir

所以=即向量而在向量元上的投影向量為故D正確.

44

故選：ACD

A

D

11.在“3C中，角42,C所對的邊分別為a,6,c,已知8=60。,6=4,則下列判斷中正確的是（)

A.若則”早9

B.若“=5,則該三角形有兩解

C.周長有最大值12D.面積有最小值46

【答案】ABC

【分析】對于ABC,根據正、余弦定理結合基本不等式即可解決；對于D,由正弦定理得

S=—acsinB=x-smAsinC,根據三角恒等變換解決即可.

-ABC243

【詳解】對于A,5=60>=4,/=%由正弦定理得工=三，

4sinBsinA

4叵

bsinAX2476

所以Q=———=—7^~=—，故A正確;

sin5V33

~T

h9#

對于B,由正弦定理得號=號得，所以.,asinB于彳9M1,

smBsmAsin4=---==2—―=――<1

b416

因為〃〉6n4>5,則A有兩個解，所以該三角形有兩解，故B正確;

對于C,b2=a2+c2-laccosB,得

31

16—+，-cic—(a+c)2-3ac2(a+c)2一-(a+c)2——(a+c)2,

所以〃+cV8,當且僅當〃=c=4時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12,故C正確;

4b

4sin/,c=-^sinC,

對于D,由Gsin5sin4sinC得。二

V36

2

故S“5C-acsinB=—x—sinAsinC

243

16A/3

sin4sin(120°-A)

3

1673sinZ(立cosZ+』sin/)

322

16c一

—sin2^+J(1cos24)

34

16A/31Fl

cos(24+60)

322

=cos(2/-120。)+g

由于/e(0°,120°),2N-120°e(-120°,120°),cos(2N-120°)e^-1,l,無最小值，

所以“3C面積無最小值，有最大值為44，故D錯誤.

故選：C.

12.已知的內角4民。所對的分別是。也c,且。=6,。是外一點，若

省(acosC+ccos/)=2bsin5,DC=\,DA=3,則下列說法正確的是()

A.a=b=

2

B.若Z5=3,則4叢。,。四點共圓

C.AASC是等邊三角形

D.四邊形/BCD面積的最大值為亞+3

2

【答案】CD

【分析】利用三角函數恒等變換化簡已知等式可求sinB,再利用。=6,可知是等邊三角形，從而判

斷A、C；利用四點共圓，四邊形對角互補，從而判斷B；由余弦定理可得I。一6cosc,利用三角形

面積公式，三角函數恒等變換可求四邊形/BCD的面積，由正弦函數的性質求出最值，判斷D.

【詳解】因為6(acosC+ccos4)=2Z?sinB,

由正弦定理得力(sinAcosC+sinCcosA)=2sinBsinB,

即若sin(/+C)=2sin2B,因為sin(/+C)=sinB+0,

所以sin5=g,又340,兀)，且。=6,所以3=；.

所以“3C是等邊三角形，故C正確，

由于無法得到/C的值，故無法判斷A；

對于B：

在ANQ?中，由余弦定理得cos。='+1-J=」,則。片把，

2x3x163

即B+DHTI,所以A,B,C,。四點不共圓，故B錯誤；

對于D：

由余弦定理得NC?n/獷+czP—z/zrCDcosa

=32+12-2x3x1xcosa=10-6cosa,

+

所以四邊形面積BSADCABC=

/BCDSA/iJLD=VA℃1^vVABC—sinor+—\(10-6cosa/)

因為0<a<兀，所以一a~~^<9

所以當a-g=即時，S”⑺取得最大值拽+3,故D正確;

3232

故選：CD.

第n卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知復數2=l+i3,則目=.

【答案】V2

【分析】先化簡復數，然后由復數模的公式直接計算可得.

【詳解】因為Z=l+i'=l_i,所以目=，仔+(-1)2

故答案為：V2

14.已知非零向量入B的夾角為三，同=百，aV(a-b\則問=.

【答案】2g

【分析】根據向量垂直滿足的關系可得往石=3,進而根據數量積的定義即可求解.

【詳解】.?.5-(5-^)=0,a2=a-b，

:同=V3,a-b=3>

?.?非零向量aB的夾角為與，

故答案為：2M.

15.撫仙湖，位于澄江市、江川區、華寧縣之間，湖面積僅次于滇池和洱海，為云南省第三大湖，也是我

國最大的深水型淡水湖泊.如圖所示，為了測量撫仙湖畔跖N兩點之間的距離，現取兩點測得所=7

34Jr27r

公里，ZMFN=—,ZNFE=ZMEF=—,ZMEN=—,則M,N兩點之間的距離為公里.

【答案】7石

【分析】在AEFN中由正弦定理可得NF,在△①的中等邊對等角可得〃尸，則在N中由余弦定理可

得MN.

兀

【詳解】在AEFN中/FNE=71—/MEN—/MEF—/EFN=—

6

EFNF

由正弦定理可得:

sinZFNEsinZNEF

EF?sinNNEF=4x—=142

即歷二

sinZFNE12

2

在4EFM中ZFME=兀一ZMFN-ZNFE-ZMEF=展

jr

所以/FAfE=/AfEF=^,貝！)E尸=MF=7,

△MFN中由余弦定理可得：MN=y/MF2+NF2-2MF-NFcosZMFN

即MN=F+(76了+2x7x764：=7亞

故答案為：7石.

16.設芻4為單位向量，它們的夾角為『a=xe}+ye2,b=xex-ye2(x,yGR),若聞=6，則的最

小值為?

【答案】1

【分析】利用模的計算公式得到工2+/=蚱！和盯=土*，利用基本不等式求出W的最小值.

【詳解】???單位向量卬6的夾角為???94=3，

由「卜百，得(啊+琛2)=3,BPx2+y2+xy=3,①

則國=%2_孫+)2,②

①+②得上』2口

①一②得孫=3第?

2

又x2+y2N2xy,當且僅當x=y時』”成立，AH+\3-Ff,解得麻21因此，忖的最小值為1.

故答案為：1.

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18?22題12分。解答應寫出文字說明'證明

過程或演算步驟.

17.在A45C中，內角4伐。的對邊分別為〃也。，已知。=2,且滿足6cosC=d；-cosB).

(1)求邊長c；

(2)若A43C是銳角三角形，且面積之叱=后，求A48c外接圓的半徑入

【答案】(D4;(2)寸.

15

【詳解】試題分析：(1)由6cosc=c(g-cos3)結合正弦定理可得siiU=gsinC,可得c=2a=4.

（2）由5=—acsiiB=J15,和（1）中所得可求sinS=y又由余弦定理求得6=4,再用正弦定理求得

24

b48病

外接圓的半徑-2sin2岳一15.

2x-----

4

試題解析：（1）；6cosC=c（；-cos8；

:.siiiScosC=sinC|--cosB|,

（2J

sin5cosc+sinCcos5=—sinC,

2

:.sin（5+C）=gin。，

:.siih4=—sinC,

2

c=2。=4?

（2）VS=—acsinB=yJ15,

2

—x2x4xsinB=V15,:.sinB=,

24

又B為銳角,

cosB——

4f

:'b?—a?+c?—2accosB-4+16—2x2x4x——16,

4

：.b=4,

b4_8岳

；?外接圓的半徑2sin3y/\515?

2x-----

4

TTjr

18.如圖，在“3C中，NABC=—,ZACB=~,BC=2,P是AA8C內一點，＞Z5PC=j.

23

A

(1)若乙婚產=?求線段/尸的長度；

0

271

(2)若//尸5=——，ZPBA=a,求sina.

3

【答案】(DV7;(2)叵.

7

【解析】(1)先由中條件，求出乙45尸=%尸5=1,AB=2^9再由余弦定理，即可得出結果；

(2)由NP2/=a(0<a<]J,得/PCB=a,根據題中條件，求出尸8=2sina,在△/尸8中，由正弦定理,

2sina2A/3

得到一^二一進而可求出結果.

sin——asm—

(3)3

jr

【詳解】(D因為4P3C=1,

所以在RtA&C中，NBPC=g,BC=2,ZPCB=-,所以尸8=1；

26

在AAP5中，/ABP=B，BP=T,AB=2V3,

o

由余弦定理，^AP2=AB2+BP2-2ABBP-cosZPBA=12+l-2xlx2^^~=l>

2

所以“尸=V7；

(2)由NPBN=<2[o<a<萬],得NPCB=a,

在RtAPBC中，NBPC=gBC=2,ZPCB=a,所以尸8=2sina,

,L271

在AAPB中,ZABP=a,BP=2sina,AB=273,ZAPB=—,

2sina_2^3

由正弦定理得.(兀、.2兀，

sin——asm——

(3)3

23

所以cosa=FSina,又sir?a+cos2a=1,所以5療。==，

由0<a<g,得sina=---

27

【點睛】思路點睛：

平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值，優化設計等問題，通常是轉化到三角形中，

利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然

后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使

用函數思想.

19.在①csinB=6cos[c-^],②,③b+bcosC=7§CSinB這三個條件中任選一個補充在

下面問題中，并解答.

問題：在“BC中，角48,C所對的邊分別為。也c,且.

(1)求C；

(2)若c=6,4仍。的面積為。為N2的中點，求CD的值.

【答案】選擇見解析；(DC=f；(2)CD=立.

【分析】(D選①，正弦定理化邊為角后，由三角恒等變換求得C；

選②，由正弦定理化邊為角，同時切化弦，轉化后可得C；

選③，由正弦定理化邊為角，然后由兩角差的正弦公式變形求得C；

(2)由面積求得而，從而可求得而.而，由向量數量積得0.瓦=而2_而2=°2_8。2,可計算CD.

【詳解】解：選①：

(1)因為csinB=6cos(c-,sinCsinB=sinBcos]c-f,三角形中sinB^O,

所以sinC=cosfC--=-cosC+isinC,

V6J22

所以tanC=G，又因為C為“3C的一個內角，所以C=g

(2)因為力8。的面積為3，C=-

23

所以S“BC=；奶sinCnab=2，所以G?.麗=仍cosC=1

因為D為N8的中點，所以

CACB=(CD+DA)-(CD+DB)=(CD-DB)-(CD+DB)=CD-DB=CD-BD2?

__,__,3田

從而CD2=CA-CB+BD?=1+—,所以CD=--

42

選②:

/、e〃1(tanC2sinAsinCcosB+cosCsinBsinA

(1)因為廠萬小+1所以，三角形中sinZwO,

sinBcosCsinBcosCsinB

1JT

所以cosC=j,又因為C為“3c的一個內角，所以C=q

(2)下同選①.

選③:

（1）因為b+6cosC=J§csin5，所以sin5+sinBcosC=J^sinCsinH三角形中sinBwO,

所以l=AinC—cosC=2sinCj

所以sin[c_^|又因為c為“6C的一個內角，所以c=qJT

(2)下同選①.

20.在AABC中，/，，NB,4C的對邊分別為。，b,c,已知3sinC+4cosc=5.

3

⑴求證：tanC=—；

⑵若/+〃=1,求邊。的最小值.

【答案】⑴證明見解析

43

【分析】⑴根據3sinC+4cosC=5,移項后平方消元,求出ssC二，再應用同角三角函數關系求出tanCR

即可;

(2)因為cos。=14,再應用余弦定理結合基本不等式求出c的最小值.

【詳解】（1）依題意cosCwO,否則cosC=0,貝！|sinC=l,3sinC+4cosc工5矛盾,

由3sinC+4cosc=5得3sinC=5-4cosC,即得（3sinCj=（5-4cosC）2

故9sin2C+9COS2C=（5—4cosc『+9cos2C=9,

43

整理得（5cosC-4）9=0,從而cosC=1,又因為cos2（7+sin2c=1可得sinC=『

1H「smC3

從1而tanC=------=-

cosC4

4

（2）由/+〃=1,由（1）可得cosC=1,

故。為銳角，a2+b2=l>c2,

故a2+b22

cosC=3-1-c>

52ablab/+廿

C的最小值為。.

從而，N±C2且，當且僅當°=6=正時取等號,

552

21.在“8C中，角45,C所對的邊分別為a,6,c,且滿足.(sin5+2sinC)布?就+sin5?麗?就=0

⑴求角A；

(2)若。為3c的中點，且=的角平分線交3C于點￡,且/￡=：,求邊長

【答案】⑴及與

,八2庖

(2)q=---

3

【分析】(1)利用向量的數量積定義結合正弦定理對已知等式化簡可求得角A；

—1——

(2)根據已知條件，得4D=5(/8+/C)，兩邊平方化簡，可得62+02一兒=12,再結合等面積法可得

b+c=3bc,則可求出b+c,bc,用余弦定理即可求得結果.

【詳解】(1)因為(sin5+2sin。)4?％+sin5京灰=0,

所以(sin5+2sinC)-becosA+sinS?accosB=0,

因為cwO,

所以(sin5+2sinC)-bcos4+sin5?acos5=0,

所以由正弦定理得(sin5+2sinC)-sinBcosA+sin5-sinAcosB=0,

因為sinBwO,所以(sinB+2sinC)cos4+sin/cos5=0,

所以sin3cos4+2sinCcos/+sin/cosB=0,

所以sin(/+5)+2sinCcos4=0,所以sinC+2sinCcos4=0,

所以sinCwO,所以cos/=-；,

因為北(0,兀)，所以/=會，

(2)因為4=笄，AR4c的角平分線交于點E,所以=

因為S.ABE+S.CAE=S/BC，所以gN8./EsinNBAE+g/E./CsinZCAE=^AB-ACsmABAC，

17rljr27r

所以一csin—+—bsin—=besin——,所以b+c=3bc,

因為。為BC的中點，且40=6,

------?1??,’21"■一c1，2----------------??2

所以4。=一(/5+/。)，所以4。=—(AB+ACy=—(AB+2ABAC+AC),

244

127r

所以3=產+/+26回5)，所以〃+c2-6c=12,

所以(6+C)2-36C=12,所以S+C)2-(6+C)-12=0,解得6+c=4或6+c=-3(舍去),

4

所以兒=§

444

所以由余弦定理得“2=/+/—2bccos4=/+c2+bc=(b+c)2—左=16—§=彳，

所以咤結1

3

22.如圖，某公園內有兩條道路45,AP,現計劃在ZP上選擇一點C,新建道路BC,并把ZUBC所在的

TT

區域改造成綠化區域.已知/B/C=—,AB=2km.