第十七章A卷

選擇題（共10小題）

1.（2024秋?重慶期末）若直角三角形的兩直角邊長分別為機，n,且滿足—3尸+下-4|=0,則該

直角三角形的第三邊長為（）

A.3B.4C.V7D.5

2.（2024秋?正定縣期末）以下列各組線段為邊，不能作出直角三角形的是（）

A.L2,V3B.6,8,10C.3,7,8D.3,4,5

3.（2024秋?無錫期末）在中，NC=90°,若AC=4,則人^一^^等于（）

A.4B.16C.20D.25

4.（2024秋?江陰市期末）滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（）

A.6=2,c—B.a=1,b1=2,c—

C.a：b：c=3：4：5D.NA：/B：NC=3：4：5

5.（2024秋?昆都侖區期末）如圖，正方形內的數字代表所在正方形的面積，則A所在的正方形的面積為

（）

A.—B.28C.128D.100

16

6.（2024秋?新華區期末）如圖，在RtZ\A8C中，ZACB=9Q°,分別以AC,8c為邊作正方形.若AB

=5,則正方形ADEC和正方形BCBG的面積和為（）

A.25B.36C.49D.64

7.（2024秋?嵩縣期末）如圖，在水塔。的東北方向32相處有一抽水站A,在水塔的東南方向24相處有一

建筑工地8,在AB間建一條直水管，則水管的長為（)

8.（2024秋?三水區期末）如圖，一棱長為3cm的正方體，把所有的面均分成3X3個小正方形，其邊長

都是1cm.假設一只螞蟻每秒爬行2c加，則它從底面A處沿表面爬行至側面的8處，最少要用時（）

3V2

A.3.5sB.-----sC.2sD.2.5s

2

9.（2024秋?羅湖區期末）如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個點，當擺錘靜止時，它離底座的垂直高度。石

=6cm,當擺錘擺動到最高位置時,它離底座的垂直高度BF=Scm,此時擺錘與靜止位置時的水平距離

BC=10cm時,鐘擺AD的長度是（）

An.VIcmB.24cmC.26cmD.28cm

10.（2024秋?雁塔區校級期末）如圖，在△ABC中，AB^AC,E是邊AB上一點，連接CE,在BC的左

側作2尸〃AC,5.BF^AE,連接CE若AC=26,BC=20,則四邊形E8FC的面積為（）

C

BEA

A.120B.240C.360D.480

二.填空題（共5小題）

11.（2024秋?無錫期末）在平面直角坐標系中，若點P坐標為（1,-2）,則點P到原點的距離

為.

12.（2024秋?橋西區期末）如圖，在直角三角形A8C中，ZA=90°,AB=10cm,AC=5cm,點、P從點、

A開始以2cm/s的速度向點B移動，點0從點C開始以的速度沿CfA-B的方向移動.如果點

P,。同時出發，點尸到達點2時，P,。兩點都停止運動.設移動時間為f（s）,當QA=A尸時，f=

13.（2024秋?長寧區校級期末）已知直角坐標平面上點P（-1,3）和點。（2,1）,則PQ的長

為.

14.（2024秋?嵩縣期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,平分/BAC交于點。，若。=9,則

點D到斜邊AB的距離為.

15.（2024秋?北京校級期末）如圖，已知AB^AC,B到數軸的距離為1,則數軸上C點所表示的數

16.（2024秋?大渡口區期末）某公園是人們健身散步的好去處.小明跑步的路線如圖，從A點到。點有

兩條路線，分別是A-8-D和4-C-D已知AB=90米，AC=150米，點C在點8的正東方120米

處，點。在點C的正北方60米處.

（1）試判斷AB與8C的位置關系，并說明理由；

（2）通過計算比較兩條路線誰更短.（參考數據：逐=2.2）

17.（2024秋?長寧區校級期末）如圖，在AABC中，的垂直平分線OE分別交BC、于點。、E,聯

結AD

9C7

（1）如果AC=6,BD=下,CD=4，求證：NC=90°；

（2）如果NC=90°,平分NC4B,AB=4,求AC的長.

18.（2024秋?南通期末）如圖，在△ABC中，AB^AC,點、D,E分別是AB,BC上的點，連接瓦）并延

長交CA的延長線于點P,BD=3,BE=2,DE=底

（1）求證：EF±BC；

（2）求證：△AD尸是等腰三角形.

19.（2024秋?萊西市期末）如圖，在RtZXABC中，NC=90°.在邊BC上有一點P,連接AP,且B4=

20.（2024秋?榕城區期末）如圖，6義6網格中每個小正方形的邊長都為1,ZkABC的頂點均在網格的格點

上.

（1）AB=,BC—,AC—

（2）AABC是直角三角形嗎？請作出判斷并說明理由.

21.（2024秋?碑林區校級期末）如圖，一次臺風過后，一根垂直于地面的旗桿被臺風從離地面9m處吹斷,

倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部12根處，這根旗桿被吹斷前有多高？

22.（2024秋?建鄴區期末）如圖,是等邊△ABC的中線，。/LAC交A8的延長線于點E,垂足為點尸.（1）

求證：BD=BE-,

（2）連接CE,若AC=2,則CE的長度為.

23.（2024秋?建鄴區期末）如圖，把擺鐘的擺錘看作一個點，當它擺動到最低點時，擺錘離底座的垂直高

度DE=5cm,當它擺動到最高點時，擺錘離底座的垂直高度BF=7cm,且與擺錘在最低點時的水平距

離為BC=10cm,求鐘擺AD的長度.

第十七章A卷

參考答案與試題解析

題號12345678910

答案DCBDDABDCB

選擇題（共10小題）

1.（2024秋?重慶期末）若直角三角形的兩直角邊長分別為MI,n,且滿足—3尸+-4|=0,則該

直角三角形的第三邊長為（）

A.3B.4C.V7D.5

【考點】勾股定理；非負數的性質：絕對值；非負數的性質：算術平方根.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】D

【分析】根據題意先求出機和n的值，再根據勾股定理進行計算即可.

【解答】解：；nn滿足,（一一3乃+|九一4|=0,

'.m-3=0,n-4=0,

??771—■39

..?直角三角形的兩直角邊長分別為機，n,

...第三邊即斜邊的長為：-32+42=5.

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理，非負數的性質，正確記憶相關知識點是解題關鍵.

2.（2024秋?正定縣期末）以下列各組線段為邊，不能作出直角三角形的是（）

A.1,2,V3B.6,8,10C.3,7,8D.3,4,5

【考點】勾股定理的逆定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】C

【分析】根據勾股定理的逆定理判斷即可.

【解答］解：Vl2+（V3）2=22,

.?.以1,2,百為邊能作出直角三角形，不符合題意；

B、V62+82=102,

...以6,8,10為邊能作出直角三角形，不符合題意；

C、V32+72#82,

...以3,7,8為邊不能作出直角三角形，符合題意；

。、V32+42=52,

.?.以3,4,5為邊能作出直角三角形，不符合題意；

故選：C.

【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，如果三角形的三邊長。，b,C滿足。2+/=02,那么這個三

角形就是直角三角形.

3.（2024秋?無錫期末）在RtZkABC中，NC=90°,若AC=4,則等于（）

A.4B.16C.20D.25

【考點】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】B

【分析】根據勾股定理進行求解即可.

【解答】解：在Rt^ABC中，/C=90°,

：.AB是斜邊，AC和8C是直角邊，由勾股定理可得4爐-BC2=AC2,

：AC=4,

：.AB2-BC2=AC2=16.

故選：B.

【點評】本題考查勾股定理，正確進行計算是解題關鍵.

4.（2024秋?江陰市期末）滿足下列條件的△ABC不是直角三角形的是（）

A.a=l,6^2,c=B.b=2,c—

C.a：b：c=3：4：5D.ZA：ZB：NC=3：4：5

【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理.

【答案】D

【分析】根據勾股定理的逆定理對A、氏C進行逐一判斷，再利用三角形內角和定理可得。選項中最

大角的度數，進而可進行判斷.

【解答】解：A,Vl2+（百）2=22,.?.能構成直角三角形，故本選項不符合要求；

B,Vl2+22=（V5）2,.?.能構成直角三角形，故本選項不符合要求；

c、?；32+42=52,.?.能構成直角三角形，故本選項不符合要求;

D,V180°x￡^=5°,...不能構成直角三角形，故本選項符合要求.

J十41十3

故選：D.

【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+必=02,那么這個

三角形就是直角三角形.

5.（2024秋?昆都侖區期末）如圖，正方形內的數字代表所在正方形的面積，則A所在的正方形的面積為

（）

A.—B.28C.128D.100

16

【考點】勾股定理.

【專題】解直角三角形及其應用；運算能力.

【答案】D

【分析】由勾股定理即可求出答案.

【解答】解：由勾股定理可知："=36+64=100,

故選：D.

【點評】本題考查勾股定理，解題的關鍵是熟練運用勾股定理，本題屬于基礎題型.

6.（2024秋?新華區期末）如圖，在RtZiABC中，ZACB=90°,分別以AC,3C為邊作正方形.若A8

=5,則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）

A.25B.36C.49D.64

【考點】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】A

【分析】根據勾股定理進行計算即可.

【解答】解：正方形AOEC和正方形BC尸G的面積之和為AC2+BC2,

心△ABC中，ZACB=90°,

AC2+BC2=AB2,

'：AB=5,

：.AC2+BC2=52=25,

故選:A.

【點評】本題考查勾股定理，正確進行計算是解題關鍵.

7.（2024秋?嵩縣期末）如圖，在水塔。的東北方向32相處有一抽水站A,在水塔的東南方向24相處有一

建筑工地8,在A8間建一條直水管，則水管的長為（）

【考點】勾股定理的應用.

【答案】B

【分析】由題意可知東北方向和東南方向間剛好是一直角，利用勾股定理解圖中直角三角形即可.

【解答】解：已知東北方向和東南方向剛好是一直角，

AZAOB=90°,

又：04=32機，OB=24m,

.,.AB=yJOA2+OB2=40m.

故選：B.

【點評】本題考查的知識點是解直角三角形的應用，正確運用勾股定理，善于觀察題目的信息是解題以

及學好數學的關鍵.

8.（2024秋?三水區期末）如圖，一棱長為3c機的正方體，把所有的面均分成3X3個小正方形，其邊長

都是1￡7”.假設一只螞蟻每秒爬行2c小，則它從底面A處沿表面爬行至側面的8處，最少要用時（）

3V2

A.3.5sB.-----sC.2sD.2.5s

2

【考點】勾股定理的應用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；展開與折疊；幾何直觀；推理能力.

【答案】D

【分析】把此正方體的點A所在的面展開，然后在平面內，利用勾股定理求點A和B點間的線段長,

即可得到螞蟻爬行的最短距離.

【解答】解：分兩種情況討論：

圖1

由勾股定理得J(3+3尸+12=底(cm)；

，最短路徑長為5cm,用時最少：54-2=2.5(s),

故選：D.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，“化曲面為平面”是解答本題的關鍵.

9.（2024秋?羅湖區期末）如圖，有一只擺鐘，擺錘看作一個點，當擺錘靜止時，它離底座的垂直高度。E

=6cm,當擺錘擺動到最高位置時，它離底座的垂直高度此時擺錘與靜止位置時的水平距離

8C=10c機時，鐘擺的長度是（）

C.26cmD.28cm

【考點】勾股定理的應用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力；應用意識.

【答案】c

【分析】設A2=AO=尤根據題意可推出AC=（x-2）cm,然后在RtaABC中利用勾股定理列方

程求解即可.

【解答】解：設

根據題意可知，BC//EF,CELEF,BFLEF,BF=8cm,

CE=BF=8cm,

.\AC=AD+DE-CE=x+6-8=（x-2）cm,

在RtZXABC中，ZACB=90°,

：.AB1=AC2+BC2,即/=（x-2）2+102,

解得：x=26,

故選：C.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，平行線之間的距離處處相等，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

10.（2024秋?雁塔區校級期末）如圖，在△ABC中，AB^AC,E是邊A3上一點，連接CE,在的左

側作B尸〃AC,且連接CP.若AC=26,BC=20,則四邊形防FC的面積為（

c

【考點】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】B

【分析】將四邊形助FC的面積轉化為&CBF+S^CBE,然后進行求解.

【解答】解：：AB=AC,

ZABC^ZACB,

,JBF//AC,

：.ZACB=ZCBF,

：.NABC=NCBF,

；.BC平分/ABF,

過點C作CM1AB,CN±BF,

,$ACE=%E?CM,SACBF=3BF'CN,BF=AE,

??S/\CBF=S/^ACEf

四邊形EBFCStJ?=SACBF+SACBE=S^ACE+SACBE=S/^CBA,

VAC=26,

：.AB=26,

AM=x,J)OM=26-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM2=BC2-BM1,

.\262-?=202-(26-x)2,

解得x=等，

??.CM=j262-（普）2=告，

:.S&ABC=^AB-CM=Ix26x皆=240,

四邊形EBFC的面積為240,

故選：B.

【點評】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

二.填空題（共5小題）

11.（2024秋?無錫期末）在平面直角坐標系中，若點尸坐標為（1,-2）,則點P到原點的距離為—逐

【考點】勾股定理；兩點間的距離公式.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】V5.

【分析】利用勾股定理進行求解即可.

【解答】解：：點尸坐標為（1,-2）,

/.點P到原點的距離=V22+I2=亞,

故答案為：V5.

【點評】本題考查勾股定理，正確進行計算是解題關鍵.

12.（2024秋?橋西區期末）如圖，在直角三角形A8C中，ZA=90°,AB=10cm,AC=5aw,點尸從點

A開始以2cm/s的速度向點B移動，點。從點C開始以3cmis的速度沿C-A-B的方向移動.如果點

P,。同時出發，點P到達點8時，P,。兩點都停止運動.設移動時間為f（s）,當QA=AP時，/=_[

【考點】勾股定理；一元一次方程的應用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】1或5.

【分析】根據點Q從點C開始以3cmis的速度沿C-A-B的方向移動，移動時間用t（s）表示，可得

AQ=（5-3/）cm,當Q4=A尸時，分兩種情況列式計算即可.

【解答】解：因為點。從點C開始以3cMs的速度沿C-A-B的方向移動，移動時間用f（s）表示,

所以當點。在AC上運動時，CQ=3tcm,

所以AQ=AC-CQ=（5-3t）cm,

分兩種情況：

①當點。在AC上運動時，QA=AP,BP5-3t=2t,

解得Z=l；

②當點。在AB上運動時，Q4=AP,即3r-5=2r,

解得f=5,此時點尸與點。同時到達點B,

綜上所述，f的值為1或5.

【點評】本題考查勾股定理和一元一次方程，正確分情況討論是解題關鍵.

13.（2024秋?長寧區校級期末）已知直角坐標平面上點尸（-1,3）和點。（2,1）,則尸。的長為

【考點】勾股定理；兩點間的距離公式.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】V13.

【分析】根據平面直角坐標系中兩點的距離公式直接計算即可.

【解答】解：：直角坐標平面上點尸（-1.3）和點Q（2,1）,

：.PQ=V（-l-2）2+（3-l）2=V13.

故答案為：V13.

【點評】本題考查了平面直角坐標系中兩點的距離公式及勾股定理，熟知兩點的距離是解題的關鍵.

14.（2024秋?嵩縣期末）如圖，在△ABC中，ZC=90°,平分交于點。，若。=9,則

點D到斜邊AB的距離為9.

【考點】勾股定理；角平分線的性質.

【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力.

【答案】9.

【分析】作。于E,根據角平分線的性質解答.

【解答】解：作。ELA8于E,

:AD平分NBAC,NC=90°,DELAB,

：.DE=CD=9,

故答案為：9.

A

【點評】本題考查的是角平分線的性質，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵.

15.（2024秋?北京校級期末）如圖，已知AB=AC,B到數軸的距離為1,則數軸上C點所表示的數為

1-V5.

C'-1012

【考點】勾股定理；數軸.

【專題】計算題.

【答案】1-V5.

【分析】先利用勾股定理求出A3的長從而得到AC的長，再根據數軸上兩點距離公式求解即可.

【解答】解：利用勾股定理算得4B=尸百=V5,

.'.i4C=V5,

數軸上C點所表示的數為：1-相.

故答案為：1一班.

【點評】本題主要考查了實數與數軸，勾股定理正確求出AB=“2+22=逐是解題的關鍵.

三.解答題（共8小題）

16.（2024秋?大渡口區期末）某公園是人們健身散步的好去處.小明跑步的路線如圖，從A點到。點有

兩條路線，分別是和A-C-O.已知A8=90米，AC=150米，點C在點8的正東方120米

處，點。在點C的正北方60米處.

（1）試判斷A3與8c的位置關系，并說明理由；

（2）通過計算比較兩條路線誰更短.（參考數據：V5?2.2）

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】（1）AB±BC,理由見解答過程；

（2）A-C-。路線更短.

【分析】（1）根據勾股定理的逆定理解答；

（2）根據勾股定理求出BD,比較大小得到答案.

【解答】解：（1）AB±BC,

理由如下：在△ABC中，AB=90米，AC=150米，BC=120米，

AB2+BC2=902+1202=22500,AC2=1502=22500,

:.AB2+BC2^AC2,

：.ZABC^90°,

（2）在RtZkBCZ）中，BC=120米，OC=60米，

由勾股定理得：BD=V1202+602=60V5（米），

48+2￡>=90+60代《222米，AC+C￡>=150+60=210（米），

V222>210,

?,?A-C-D路線更短

【點評】本題考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b,斜邊長為c,

那么a2+b2=c2.

17.（2024秋?長寧區校級期末）如圖，在△ABC中，A8的垂直平分線。E分別交BC、于點。、E,聯

結AD

7

（1）如果AC=6,BD=,CD=p求證：ZC=90°；

(2)如果/C=90°,平分/CAB,AB=4,求AC的長.

c

D

B

AE

【考點】勾股定理的逆定理；線段垂直平分線的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】(1)證明見解答過程；

(2)2.

【分析】(1)根據線段垂直平分線的性質得到根據勾股定理的逆定理證明NC=90°；

(2)根據三角形內角和定理、直角三角形的性質得到N2=30°,再根據含30°角的直角三角形的性

質計算即可.

【解答】⑴證明：???￡?￡：是AB的垂直平分線，&)=竽，

25

???A0=5Q=箸，

在△AC。中，AC2+CD2=62+(-)2=鬻，AD2=(―)2=翌，

416416

.'.AC2+CZ)2=AZ)2,

：.ZC=90°；

(2)解：???。后是A3的垂直平分線，

：.AD=BD,

；?NDAB=NB,

「A。平分NCA3,

：.ZDAB=ZCAD,

：.ZDAB=/B=/CAD,

VZC=90°,

ZDAB+ZB+ZCAD=9Q°,

：.ZB=30°,

1

：.AC=^AB=2.

【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理、線段垂直平分線的性質，如果三角形的三邊長a,b,c滿足

/+必=。2,那么這個三角形就是直角三角形.

18.(2024秋?南通期末)如圖，在△ABC中，AB^AC,點、D,E分別是AB,2C上的點，連接瓦)并延

長交CA的延長線于點RBD=3,BE=2,DE=V5.

(1)求證：EF±BC；

(2)求證：△ADF是等腰三角形.

【考點】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性質；等腰三角形的判定.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】(1)見解析；

(2)見解析.

【分析】(1)根據勾股定理的逆定理即可求證；

(2)由得NB=NC,再根據余角性質可得/歹=最后根據對頂角的性質可得/

FDA,據此即可求證.

【解答】證明：(1),:BD=3,BE=2,DE=V5.22+(V5)2=9=32,

△BOE是直角三角形，/BED=90°,

：.EF±BC；

(2)'：AB=AC,

：./B=NC,

'：DE±BC,

：.ZBDE+ZB^9Q°,ZF+ZC=90",

：.ZF=ZBDE,

,：ZBDE=ZFDA,

：.ZF=ZFDA,

：.AF^AD,

...△A。/是等腰三角形.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質和判定，勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理、等腰三角

形的性質和判定是解題的關鍵.

19.(2024秋?萊西市期末)如圖，在RtZkABC中，ZC=90°.在邊8c上有一點P,連接AP,且必=

【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】設B4=x=PB，則CP=5-x,在RtZXAPC中，利用勾股定理列式計算即可求解.

【解答】解：設24=x=PB,可得：CP=5-x,

:根據勾股定理可得：Ad+CP^^PA1,

22+(5-x)2=x2,

29

X=T0,

29

.'.PA的長為一.

10

【點評】本題主要考查了勾股定理，正確進行計算是解題關鍵.

20.(2024秋?榕城區期末)如圖，6X6網格中每個小正方形的邊長都為1,△ABC的頂點均在網格的格點

上.

(1)AB=_V5_,BC=_V20_,AC=5；

(2)ZkABC是直角三角形嗎？請作出判斷并說明理由.

【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)根據勾股定理計算即可求解.

(2)直接把三邊長度分別平方，可以發現AB2+BC2=AC2即可判定三角形的形狀；

【解答】解：(1)由題可知，AB=Vl2+22=V5；

AC=,42+32=5

BC=V22+42=V20,

故答案為：V5,V20，5；

(2)直角三角形，

'：AB2=5,BC2=20,AC2=25；

:.AB2+BC2^AC2；

.?.△ABC為直角三角形.

【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，熟知如果三角形的三邊長a,b,c滿足。2+k=

c2,那么這個三角形就是直角三角形是解題的關鍵.

21.(2024秋?碑林區校級期末)如圖，一次臺風過后，一根垂直于地面的旗桿被臺風從離地面9機處吹斷，

倒下的旗桿的頂端落在離旗桿底部12機處，這根旗桿被吹斷前有多高？

【考點】勾股定理的應用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識.

【答案】這根旗桿被吹斷裂前至少有24米高.

【分析】根據勾股定理，計算A3,后根據樹高為AB+AC計算即可.

【解答】解：根據題意，得AC=9w，BC=12m,ZACB=90°,

所以43=、92+122=15(米)，

所以這根旗桿被吹斷裂前高為AB+AC=(15+9)=24米，

所以這根旗桿被吹斷裂前至少有24米高.

【點評】本題考查了勾股定理的應用，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵.

22.（2024秋?建鄴區期末）如圖,是等邊△ABC的中線，。/J_AC交AB的延長線于點E,垂足為點尸.（1）

求證：BD=BE；

（2）連接CE,若AC=2,則CE的長度為_V7一

【考點】勾股定理；等邊三角形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【答案】（1）證明見解答過程；

（2）V7.

【分析】（1）根據等邊三角形的性質求出/CAB=/a?A=60°,結合直角三角形的性質、三角形外角

性質求出N8OE=30°=/AEF,再根據等腰三角形的判定定理即可得證；

（2）根據等邊三角形的性質、含30°角的直角三角形的性質求出AE=3,AF=|,再根

據勾股定理求解即可.

【解答】（1）證明：：△ABC是等邊三角形，

：.ZCAB^ZCBA^60°,

'：DF±AC,

ZAFE=ZCFE=90°,

：.ZCAB+ZAEF=90°,

：.ZAEF=30°,

ZAEF+ZBDE^ZCBA,

:.NBDE=30°=ZAEF,

：.BD=BE；

（2）解：：AD是等邊△ABC的中線，AC=2,

：.AB=BC=AC=2,BD=^BC=^AC=1,

:.BE=BD=l,

：.AE=AB+BE=3,

VZA￡F=30°,ZAFE=90°,

：.AF=1AE=I，

CF=AC-AF=I，EF=y/AE2-AF2=孥，

CE=VCF2+EF2=J（#+（竽=V7,

故答案為：V7.

【點評】此題考查了勾股定理、等邊三角形的性質，熟記勾股定理是解題的關鍵.

23.（2024秋?建鄴區期末）如圖，把擺鐘的擺錘看作一個點，當它擺動到最低點時，擺錘離底座的垂直高

度DE=5cm,當它擺動到最高點時，擺錘離底座的垂直高度BF=7c〃z,且與擺錘在最低點時的水平距

離為BC=10cm,求鐘擺A。的長度.

圖1圖2

【考點】勾股定理的應用.

【專題】等腰三角形與直角三角形；應用意識.

【答案】鐘擺AD的長286cm.

【分析】根據勾股定理可知AB2=AC2+BC2列方程即可請求解.

【解答】解：設AB=xc〃z,依題意得：BC^lQcm,CD=CE-DE=7-5=2（cm）,AC=AD-CD=（無

-2）（cm）,

VZACB=90°,

：.AB1=AC1+BC2,即（％-2）2+102=/,

解得：％=26,

答：鐘擺AD的長26cM.

【點評】本題考查了利勾股定理解決實際問題，正確構造直角三角形利用勾股定理列方程是解題的關鍵.

考點卡片

1.數軸

(1)數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸.

數軸的三要素：原點，單位長度，正方向.

(2)數軸上的點：所有的有理數都可以用數軸上的點表示，但數軸上的點不都表示有理數.(一般取右方

向為正方向，數軸上的點對應任意實數，包括無理數.)

(3)用數軸比較大小：一般來說，當數軸方向朝右時，右邊的數總比左邊的數大.

2.非負數的性質：絕對值

在實數范圍內，任意一個數的絕對值都是非負數，當幾個數或式的絕對值相加和為0時，則其中的每一項

都必須等于0.

3.非負數的性質：算術平方根

(1)非負數的性質：算術平方根具有非負性.

(2)利用算術平方根的非負性求值的問題，主要是根據被開方數是非負數，開方的結果也是非負數列出

不等式求解.非負數之和等于0時，各項都等于0利用此性質列方程解決求值問題.

4.一元一次方程的應用

(一)一元一次方程解應用題的類型有：

(1)探索規律型問題；

(2)數字問題；

(3)銷售問題(利潤=售價-進價，利潤率=粵義100%)；(4)工程問題(①工作量=人均效率X人數

進價

X時間；②如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段的工作量的和=工作總量)；

(5)行程問題(路程=速度X時間)；

(6)等值變換問題；

(7)和，差，倍，分問題；

(8)分配問題；

(9)比賽積分問題；

(10)水流航行問題(順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度).

(二)利用方程解決實際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的己知量，直接設要求

的未知量或間接設一關鍵的未知量為x,然后用含x的式子表示相關的量，找出之間的相等關系列方程、

求解、作答，即設、歹!］、解、答.

列一元一次方程解應用題的五個步驟

1.審：仔細審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關系.

2.設：設未知數(x),根據實際情況，可設直接未知數(問什么設什么)，也可設間接未知數.

3.歹U：根據等量關系列出方程.

4.解：解方程，求得未知數的值.

5.答：檢驗未知數的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句.

5.兩點間的距離公式

兩點間的距離公式：

設有兩點A(xi,yi),B(x2,”)，則這兩點間的距離為AB=-無2尸+(為一月產

說明：求直角坐標系內任意兩點間的距離可直接套用此公式.

6.三角形內角和定理

(1)三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角.每個三角形都有三個內角，且每個內角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內角和定理：三角形內角和是180°.

(3)三角形內角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角.在轉化中借助平

行線.

(4)三角形內角和定理的應用

主要用在求三角形中角的度數.①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法

求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

7.角平分線的性質

角平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.

注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有

時不必證明全等；③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：如圖，:C

在/A08的平分線上，CD±OA,CE±OB：.CD=CE