第十八章平行四邊形

考點1平行四邊形的性質與判定

1.如圖1,在口48co中，以點2為圓心，適當長為半徑作弧，分別交48,BC于點

F,G,分別以點凡G為圓心，大于;EG的長為半徑作弧，兩弧交于點“，連接8"并延

長，交4D于點￡,連接CE.若48=10,DE=6,CE=8,則BE的長為.

圖1圖2圖3

2.在平面直角坐標系中，點/,B,C的坐標分別為(0,0),(4,0),(3,2),以/,B,C

三點為頂點畫平行四邊形，則第四個頂點不可能在第象限.

3.如圖2,在△NBC中，NA4c=45。，4B=4C=2,尸為邊48上一動點，以尸/,PC

為邊作口P4QC,則對角線尸。的最小值為.

4.如圖3,在口N5CD中，E是CD的中點，過點5作瓦U4D于點尸，連接EF.若48=

5,BC=4,DF=1,則BE的長為.

5.如圖4,在△4BC中，點。在邊48上，E是/C的中點，連接。E并延長到點尸，

使得CF〃曲連接/尸，CF,CD.

(1)求證：四邊形/FCD是平行四邊形；

(2)若△4DC為等邊三角形，40=6,求。尸的長.

B

圖4

6.如圖5,在。N8CO中，N3=5cm,BC=9cm,動點尸從點N出發，以2cm/s的速

度沿折線ABCDA勻速運動；同時動點。從點/出發，以3cm/s的速度沿折線ADCBA勻速

28

運動.設運動時間為

⑴當點尸在8c上運動時，BP=cm（用含t的代數式表示）.

（2）當/=時，P,。兩點相遇.

（3）是否存在/的值，使得以點ac,P,0為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在,

請求出，的值；若不存在，請說明理由.

備用圖

考點2三角形的中位線

7.如圖6,△4BC的中線AD,CE相交于點O,F,G分別是2。，CO的中點，連接

EF,DG.請判斷DG與所之間的位置關系和數量關系，并說明理由.

圖6

8.如圖7,在四邊形/BCD中，//=90。，48=3也，AD=?M,N分別為線段

BC,N8上的動點(含端點，但點M不與點8重合)，E,尸分別為DM,MN的中點，則線段

EF的最大值為.

9.如圖8,為AABC外角的平分線，BDLAD于點￡為8C的中點，DE=4,AC=

2,則N8的長為.

考點3矩形的性質與判定

10.如圖9,在矩形中,E為邊4B上一點,S.DE±CE,N4DE=30°,DE=4,

則這個矩形的面積是.

圖9圖10圖11圖

12

11.如圖10,兩個全等的矩形紙片重疊在一起，矩形的長和寬分別是8和6,則重疊部

分的四邊形/BCD的周長是.

12.如圖11,在矩形4BCD中，￡為邊8的中點，F為邊BC上一點,且NE4E=

/EAD.若BF=8,FC=2,則/尸的長為.

13.如圖12,NMON=90。,矩形48co的頂點/,3分別在射線(W,ON上,當點2

在射線ON上運動時，點/隨之在射線0M上運動，且矩形/BCD的形狀、大小均保持不

變，其中48=6,BC=3,則在運動過程中，點。到點。的最大距離是.

14.如圖13,將矩形/2CD折疊，使頂點C落在邊上，折痕為EF.若48=6,BC=

9,AC'^D'E.

(1)求證：LAC'G沿AD'EG；

(2)求3斤的長；

(3)求斯的長.

D'

圖13

15.綜合與實踐

(1)推理證明：如圖14①，在中，ZACB=90°,若。是斜邊上的中線,

則請你用矩形的性質證明這個結論的正確性.

2

(2)遷移運用：利用上述結論解決下列問題：

①如圖14②,在線段2。的兩側以8。為斜邊分別構造RtLABD與RtACJ9￡),其中ABAD

=NBCD=90。,E,尸分別是8。，NC的中點.請判斷EF與NC的位置關系，并說明理

由.

②如圖14③，在口N8CD中，對角線NC,8。相交于點O,分別以NC,8。為斜邊且在

同側構造RtZ\NCE與RtAftDE,其中//￡C=/B￡Z>=90。.求證：四邊形N8CD是矩形.

圖14

考點4菱形的性質與判定

16.如圖15,將兩張等寬且上下邊緣平行的紙條隨意交叉疊放在一起，重合部分構成

一個四邊形/BCD,其中一張紙條在轉動過程中，下列結論一定成立的是（）

A.四邊形4BCD的周長不變B.AB=BC

C.四邊形4BCD的面積不變D.AC=BD

圖15

17.中國結象征著中華民族的歷史文化與精神.小明家有一個中國結掛飾（圖16①），將

這個中國結掛飾抽象成如圖16②所示的菱形/BCD,連接對角線/C,BD,NC與3。相交

于點0,測得4C=16cm,BD=12cm,過點O作EFLAB分別交48,CD于點E,F,則EF

的長為cm.

圖16圖17圖18

18.如圖17,已知菱形/BCD的邊長為4,ZABC^60°,E為48的中點.若P為對

角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為.

19.（2024廣東）如圖18,菱形/BCD的面積為24,點E是N3的中點，點廠是3c上

的動點.若△?￡尸的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

20.如圖19,菱形/BCD的對角線NC,8。相交于點O,過點。作?！辍?C,且

2

AC,連接。E交CD于點尸，連接/尸，CE.

（1）求證：OE=CD；

AF

（2）連接/E,若菱形/BCD的邊長為4,ZABC=60°,求7的值.

圖19

考點5正方形的性質與判定

21.如圖20,在平面直角坐標系中，正方形/BCD的邊N5在無軸上，A(-2,0),

B(3,0).現固定點N,2在x軸上的位置不變，把正方形沿箭頭方向推，使點。落在y軸正

半軸上的點D'處,則點C的對應點。的坐標為.

圖23

22.如圖21,在正方形48co內有兩點E,F,若48=5,4E=FC=4,BF=DE=3,

則EF的長為.

23.如圖22,點/,B,E在同一條直線上，正方形N2CD、正方形2EFG的邊長分別

為6,8,〃為線段。尸的中點，連接由/,則的長為

24.如圖23,在正方形/BCD中，E為邊48上一點，過點。作。尸，交3c的延

長線于點尸，連接￡尸，與邊CO交于點G,與對角線功□交于點〃，DILEF交BC于點、I.

下列結論：①4E=CF；②即=啦。尸；?ZADE+ZEFB=45°；④若BF=BD=@則AE

=2—亞；⑤連接￡/,則￡/=/￡+C/.其中正確的是.(填序號)

25.如圖24①，正方形/BCD的邊長為4,點M,N分別在邊48,8c上，且BM=CN=

1,連接CM,DN,C"與DN相交于點。

(1)探究線段CM與DN之間的數量關系和位置關系，并說明理由；

(2)如圖24②，若E,尸分別是。N與CM的中點，求成的長；

(3)如圖24③，延長CM至點尸，連接AP,使/2PC=45。，請直接寫出線段尸”的

長.

①②③

圖24

第十八章平行四邊形

1.8小2.三3.^2

【提示】如答圖1,延長FE交8c的延長線于點G.易得LDEF咨ACEG,ABFG

是直角三角形.

5.⑴證明：是NC的中點,

?.CE=AE.

:CF//AB,ZCFE=ZADE.

,ZCFE=ZADE,

在△CFE和△/￡>￡中,NCEF=ZAED,

(CE=AE,

：.ACFE咨A^D^AAS).DE=FE.

又CE=AE,：.四邊形AFCD是平行四邊形.

(2)解：：△/DC為等邊三角形，

由(1)知，CE=AE.：.CE=AE=X-AC=3,S.DE1AC.

在中，由勾股定理，

得DE=^AD2一幺￡2=462—32=3g.

,/四邊形AFCD是平行四邊形，

:.DF=2DE=6&.：.DF的長是6g.

“28

6.解：(l)(2f—5).(2)y.

⑶存在.

①如答圖2,當四邊形4PC0為平行四邊形時，PC=AQ.

由題意，得尸C=(14—2f)cm,AQ=3tcm.

14—2f=3f.解得t——.

②如答圖3,當四邊形/QCP為平行四邊形時，AQ^PC.

由題意，得/0=(28—3f)cm,尸C=(2f—14)cm.

42、1442

?*.28—3t=2t—14.解得f=《.綜上，1的值為—或—.

7.解：DG//EF,且。G=￡F理由如下：如答圖4,連接/O.

是△/8C的中線，是的中點.

又尸是20的中點，尸是△48。的中位線.C.EF//AO,EF^-AO.

2

同理，得。G〃/。，DG^-AO.J.DG//EF,>DG=EF.

2

8.2.5

9.6【提示】如答圖5,延長8。，CN交于點〃.易得是等腰三角形，D是BH

的中點，DE是ABCH的中位線.

答圖5

10.16g11.25

12.12【提示】如答圖6,延長2C,AE爻于點、H,易得AADE沿4HCE,叢AFH為

等腰三角形.

13.3也+3【提示】如答圖7,取的中點E,連接OD,OE,DE.易得OE,DE

的長為定值，根據三角形的三邊關系,得ODWOE+DE.

答圖7

14.(1)證明：：四邊形4BCD是矩形,

：.CD=AB=6,ZA=ZD=90°.

由折疊的性質，得/)=/。=90。.

ZA=ZD'.

,ZAGC'=ZD'GE,

在△/CG和△ZXE'G中，=

\AC'^D'E,

：.4ACG出AD'EG(AAS).

(2)解:由⑴,得△/CG絲△D￡G.

：.AG^D'G,C'G=EG.

由折疊的性質，得D'E=DE,CD'=CD,C'F=CF.

：.AE=AG+GE=D'G+C'G=C'D'=CD=6.

?四邊形/BCD是矩形，.

：.AC'=D'E=DE=AD-AE=3.：.BC'=AB-4C'=3.

在RtZXBCE中，由勾股定理，得C產=8嚴+8C%

即C7^=(9-CF)2+32.

CF=5BF=9-CF=4.

(3)解：如答圖8,過點E作8c于點“，則四邊形CDE”是矩形.

D'

答圖8

:.CH=DE=3,EH=CD=6.

：.FH=CF-CH=5—3=2.

在中，由勾股定理，得

EF^EH2+尸I/2=、62+22=2JT5.

15.⑴證明：如答圖9,延長CD到點E,使DE=C￡>,連接BE.

答圖9

,:CD是斜邊48上的中線,：.AD=BD.

又CD=DE,

.??四邊形/CBE是平行四邊形.

又/ACB=90。,

平行四邊形4C2E是矩形.

11

/.AB=CE.：.CD=-CE=TB.

22

(2)①解：斯，/C.理由如下：

如答圖10,連接ZE,CE.

A

答圖10

在RtAABD中，NB4D=90。,E為斜邊的中點,

1

；.AE=-BD.

2

在RtACBD中，ZBCD=90°,E為斜邊5。的中點,

：.CE=LBD.：.AE=CE.又產是NC的中點，C.EFLAC.

2

②證明：如答圖11,連接EQ

答圖11

:四邊形/BCD是平行四邊形，,。為NC,20的中點.

在RtZX/CE中，ZAEC=90°,O為斜邊/C的中點，

1

：.EO^-AC.

2

在RtZkBAE中，ZBED=90°,O為斜邊3。的中點，

：.EO=-BD.：.AC=BD.：.四邊形ABCD是矩形.

2

48廠

16.B17.y18.2V3

19.10【提示】如答圖12,連接BO,CE.根據菱形的性質，易得S/\BEC=SAAED=6.

根據S/XBEF=4,可得尸C=$C.

答圖12

20.(1)證明：四邊形是菱形，

1

；.CM=OC=TC,4D=CD.

2

1

,:DE〃AC,DE=-AC,；.DE=OA=OC.

2

...四邊形O/DE、四邊形OCED都是平行四邊形.

：.OE=AD.：.OE=CD.

(2)解：如答圖13,連接/￡.

答圖13

由⑴可知，四邊形OCED是平行四邊形.

二,四邊形48cZ)是菱形，

：.AC±BD.：.ZCOZ)=90°.

.??四邊形OCED是矩形.

CF=DF.

在菱形/BCD中，ZABC^60°,

11

：.AC=AB=CD=AD=4,CF=-CD=2,AO=-AC=2.

22

：.AF±CD.

在RtZ，4CF中，由勾股定理，得AF=4A。-0^=442—22=2后.

在中，由勾股定理，得。。=山。2—/02=142-22=2招.

在矩形OCED中，CE=OD=2g.

在Rt^/CE中，AE=?AO+C呼=^42+(2'3)占2年.

.AF_2^_yj2A

"AE~2^~~~

21.(5,A/21)22.也

23.5也【提示】如答圖14,連接瓦3,8足根據正方形的性質，得△瓦加是直角三角

ABE

答圖14

24.①②③④⑤

25.解：(1)CM=DN,且CM_LDN.理由如下:

:四邊形/BCD是正方形,

:.BC=CD,NB=/NCD=90°.

(BC=CD,

在△BCAf和△CD