第十八章B卷

選擇題（共10小題）

1.（2024秋?重慶期末）如圖，已知四邊形ABCD下列條件不能判定四邊形ABC。是平行四邊形的是（）

C.NA=NC,/B=NDD.AB//CD,AD=BC

2.（2024秋?沙坪壩區校級期末）在四邊形A8CD中，AB//CD,以下條件不能判斷四邊形A8C。是平行

四邊形的是（）

A.ZA=ZCB.AD//BCC.AD=BCD.AB=CD

3.（2024秋?三水區期末）如圖，四邊形ABC。是菱形，CD=5,BD=8,AE_LBC于點E,則AE的長是

4.（2024秋?禪城區期末）以紅色和金色的絲線精心編織的菱形中國結裝飾，不僅展現了中國傳統手工藝

的精細與復雜，也蘊含著深厚的文化意義和美好的祝福.若最外層菱形的對角線長度分別為16c〃z、12c〃z,

則它的兩條對邊的距離應為（）

A.9.6cmB.10.8cmC.12cmD.4.8cm

5.（2024秋?海淀區校級期末）如圖，四邊形A8C0是菱形，ZBCD=60°,BD=8,則菱形ABC。的面

積是（)

C.32V3D.64

6.（2024秋?太原期末）如圖,矩形42。。的對角線交于點0,若/4。8=30°,42=2,則8。的長為（）

A.2B.3C.2V3D.4

7.（2024秋?章丘區期末）如圖，。后是△ABC的中位線，點F在。8上，DF=2BF,連接EF并延長，與

C8的延長線相交于點若8c=8,則線段CM的長為（)

C.9D.10

8.（2024秋?碑林區期末）如圖,E是矩形ABC。的對角線8。的中點，E是A8邊的中點，若AB=10,

EF=3,則線段CE的長為（)

A.7B.4C.2D.V34

9.（2024秋?章丘區期末）如圖,正方形ABCD的一條邊BC與等腰△（7￡1廠的一條邊3在同一直線上,

AF分別交CO,CE于點G,H.已知BC=CF=2,CE=EF=V5,則GH的長為（)

10.（2024秋?沙坪壩區校級期末）把5張完全相同的長方形紙片不重疊地放在正方形A8CD內，用陰影部

分表示，若長方形AGFE與長方形周長相等，記長方形AGFE周長為G,長方形G由/'周長為

Ci,則空的值為（）

C2

二.填空題（共5小題）

11.（2024秋?江陰市期末）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,BC=4,對角線AC、8。相交于點O,過點

。的直線交8的延長線于點G,交邊AD于點E,若AE=2.5,則。G的長為.

12.（2024秋?城關區校級期末）在菱形ABC。中，P、Q分別是A。、AC的中點，如果PQ=2,那么線段

CB=.

13.（2024秋?錦江區期末）如圖，在正方形ABCD的對角線上取點E使連接AE,過點E

作EF±AE交8c于點F,則ZEFC的大小為

14.（2024秋?西山區校級期末）如圖，若平行四邊形A8C。的周長為22c%,AC,BO相交于點。且

為5c加，則△43。的周長為.

15.（2024秋?城關區校級期末）如圖，矩形ABCD中，AB=遍,BC=\,動點、E,尸分別從點A,C同

時出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB,C。向終點修￡＞運動，過點E,尸作直線/,過點A作直

線/的垂線，垂足為G,則AG的最大值為.

16.（2024秋?鯉城區校級期末）如圖，在△4BC中，D、E分別是AB、AC的中點，F是DE延長線上的

點，MEF=DE.

（1）求證：四邊形AOCP是平行四邊形；

1

（2）求證：DE=^BC.

17.（2024秋?沙坪壩區校級期末）如圖，在平行四邊形中，AC與8D相交于點O,延長CD至點E,

使CD=DE,連接AE.

(1)求證：四邊形ABOE是平行四邊形；

(2)若AC平分/BAE,AC=8,AE=6,求△ACE的面積.

18.(2024秋?濟南期末)已知：如圖，菱形ABC。中，E,尸分別是邊AB,3c上的點，BE=BF.

求證：DE=DF.

19.(2024秋?金水區校級期末)如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,。為AB中點，過點。作

交BC于點、E,過點A作4尸〃3￡,交現)的延長線于點R連接AE,BF.

(1)判斷四邊形A防尸的形狀，并說明理由.

(2)當Rt^ABC滿足條件時，四邊形AE8F是正方形.

20.(2024秋?章丘區期末)如圖，在回ABC。中，曲，A3交C。于點E,交BC的延長線于點尸，且CF

=BC,連接AC,DF.

(1)求證：四邊形ACFD是菱形；

(2)若AB=5,。尸=苧，求四邊形AC即的面積.

21.(2024秋?碑林區期末)如圖，E,尸分別是正方形A8CO的邊AS,的中點，連接CE,CF,求證:

CE=CF.

22.(2024秋?城關區校級期末)如圖，菱形4BCD的對角線AC,相交于點O,過點2作BE〃AC,過

點C作CE//DB,BE與CE相交于點E.

(1)求證：四邊形BEC。是矩形；

(2)連接QE,若AB=5,AC=6,求。E的長.

23.(2024秋?城關區期末)如圖，回ABC。對角線AC,BD相交于點。，過點。作。E〃AC且OE=OC,

連接CE,OE,OE=CD.

(1)求證：團ABCD是菱形；

(2)若A8=2,ZABC=60°,求AE的長.

BC

第十八章B卷

參考答案與試題解析

題號12345678910

答案DCAACDDDAA

選擇題（共10小題）

1.（2024秋?重慶期末）如圖，已知四邊形ABCD下列條件不能判定四邊形A8C。是平行四邊形的是（）

A.AB//CD,AD//BCB.AD^BC,AB=CD

C.ZA=ZC,NB=/DD.AB//CD,AD=BC

【考點】平行四邊形的判定.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】D

【分析】由AD//BC,根據平行四邊形的定義證明四邊形ABC。是平行四邊形，可判斷A不

符合題意；由AD=BC,AB=CD,根據“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形ABC。

是平行四邊形，可判斷8不符合題意；由/A=/C,ZB=ZD,推導出/A+/B=180°,ZA+ZD=

180°,則AO〃BC,AB//CD,再根據平行四邊形的定義證明四邊形ABC。是平行四邊形，可判斷C

不符合題意；由AB〃CD,AD=BC,可判定四邊形ABC。是平行四邊形或等腰梯形，可判斷。符合題

意，于是得到問題的答案.

【解答】解：?.,A8〃CD,AD//BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

故A不符合題意；

'：AD=BC,AB=CD,

/.四邊形ABCD是平行四邊形，

故8不符合題意；

VZA=ZC,NB=ND,且NA+NC+NB+/Z)=360°,

.-.2ZA+2ZB=360°,2ZA+2ZZ）=360°,

AZA+ZB=180°,NA+ND=180°,

：.AD//BC,AB//CD,

...四邊形ABCD是平行四邊形，

故C不符合題意；

'：AB//CD,AD=BC,

...四邊形ABCD是平行四邊形或等腰梯形，

...由AB//CD,AD=BC不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，

故。符合題意，

故選：D.

【點評】此題重點考查平行四邊形的定義及判定定理，適當選擇平行四邊形的定義或判定定理證明四邊

形ABCD是平行四邊形是解題的關鍵.

2.（2024秋?沙坪壩區校級期末）在四邊形A8C。中，AB//CD,以下條件不能判斷四邊形A8C。是平行

四邊形的是（）

A.NA=NCB.AD//BCC.AD=BCD.AB=CD

【考點】平行四邊形的判定.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】C

【分析】根據平行四邊形的判定定理即可得到結論.

【解答】解：

AZA+ZZ）=ZB+ZC=180°,

?.*ZA=ZC,

:.NB=ND,

四邊形ABC。是平行四邊形，故A不符合題意；

VAB//CD,AD//BC,

...四邊形A8C。是平行四邊形，故8不符合題意；

?：AB//CD,AD=BC,四邊形也可能是等腰梯形，故不能判定四邊形48。是平行四邊形，故符合題

思-zfe.；

U：AB//CD,AB=CD,

???四邊形A5CD是平行四邊形，故不符合題意；

【點評】本題考查了平行四邊形的判定，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵.

3.(2024秋?三水區期末)如圖，四邊形ABC。是菱形，CZ)=5,BD=8,AE_LBC于點E,則AE的長是

45

C.—D.12

5

【考點】菱形的性質；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】A

【分析】根據菱形的性質可得BC=C￡)=5,BO=DO=4,OA=OC,AC±BD,運用勾股定理可得OC,

AC的長，再根據菱形面積的計算方法S麥粉===即可求解.

【解答】解：:四邊形A3CD是菱形，CD=5,BD=8,

:?BC=CD=5,5。=。0=4,OA=OC,ACLBD,

：.ZBOC=90°.

在RtZkCOB中，由勾股定理，得。C=7BC2—BO2=?2-42=3,

???AC=2OC=2X3=6,

1

■:S菱形ABCD=BC-AE—qBD-AC=OB-AC,

.“LOBAC4x624

??力E=—^=丁=虧’

24

所以AE的長是三~.

故選：A.

【點評】本題主要考查菱形的性質，勾股定理，掌握菱形的性質是解題的關鍵.

4.（2024秋?禪城區期末）以紅色和金色的絲線精心編織的菱形中國結裝飾，不僅展現了中國傳統手工藝

的精細與復雜，也蘊含著深厚的文化意義和美好的祝福.若最外層菱形的對角線長度分別為16cm、12cm,

則它的兩條對邊的距離應為（）

A.9.6cmB.10.8cmC.12cmD.4.8cm

【考點】菱形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】A

【分析】設最外層菱形為菱形ABCD,它的對角線AC,BD相交于點E,AC=16cm,BD=l2cm,由

AC1BD,得NAEB=90°,而AE=CE=8c〃z,BE=DE=6cm,所以AB=7AE?+BE2=105,設菱

形ABC。兩條對邊的距禺/is,貝I10/z=16X12,解方程求出力的值即得到問題的答案.

【解答】解：如圖，菱形ABCD的對角線AC、5。相交于點E,AC=16cm,BD=12cm,

9

：AC±BDf

：.ZAEB=90°,

11

AE=CE=#C=8cm,BE=DE=-^BD=6cmf

：.AB=y/AE2+BE2=V82+62=10（cm）,

設菱形ABCD兩條對邊的距離hcm,

9

TS菱形ABCZ）=A3?/Z=^ACBDf

1

.*.10/1=^x16X12,

解得h=96,

二?它的兩條對邊的距離應為9.6cm,

故選：A.

【點評】此題重點考查菱形有性質、勾股定理、根據面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地求出

菱形的邊長是解題的關鍵.

5.（2024秋?海淀區校級期末）如圖，四邊形48。是菱形，NBCD=60°,BD=8,則菱形ABC。的面

積是（）

A.128V3B.64V3C.32百D.64

【考點】菱形的性質；等邊三角形的判定與性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】C

【分析】根據菱形性質和已知條件，判斷出△BCD是等邊三角形，求出OB,BC,根據勾股定理求出

OC,再根據菱形的面積公式列式計算即可得解.

【解答】解：：四邊形A3。是菱形，/BCD=60°,

:.BC=CD,OA^OC,扣。=/8=4,AC±BD,

是等邊三角形，

:.BC=BD=8,

：.OC=yjBC2-OB2=4V3,

.,.AC=OC=8后

四邊形ABCD的面積=^AC-BD=1x8\f3義8=32遍.

故選：C.

【點評】本題考查的是菱形的性質，勾股定理，直角三角形的性質，等邊三角形的性質和判定，熟練掌

握靈活掌握相關性質定理是解題的關鍵.

6.（2024秋?太原期末）如圖，矩形A8C。的對角線交于點。，若NAC8=30°,AB=2,則的長為（

A.2B.3C.2V3D.4

【考點】矩形的性質；等邊三角形的判定與性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力.

【答案】D

【分析】根據矩形的性質得NABC=90°,OA=OC=OB=OD,則NO8C=/ACB=30°,進而得/

AB0=6Q°,由此得△AOB是等邊三角形，則。4=02=42=2,據此可得的長.

【解答】解：???四邊形ABCL1是矩形，且對角線交于點O,

/.ZA5C=90°,OA=OC=OB=OD,

VZACB=30°,AB=2,

：.ZOBC^ZACB^30°,

AZABO^ZABC-ZOBC=900-30°=60°,

...△AOB是等邊三角形，

OA=OB=AB=2,

：.BD=2OB=4.

故選：D.

【點評】此題主要考查了矩形的性質，等邊三角形的判定與性質，熟練掌握矩形的性質，等邊三角形的

判定與性質是解決問題的關鍵.

7.（2024秋?章丘區期末）如圖，ZJE是△A8C的中位線，點/在。8上，DF=2BF,連接EF并延長，與

的延長線相交于點M.若8C=8,則線段CM的長為（）

A.7B.8C.9D.10

【考點】三角形中位線定理.

【專題】三角形；推理能力.

【答案】D

【分析】根據三角形中中位線定理證得。E〃BC,求出。E,進而證得根據相似三角

形的性質求出即可求出結論.

【解答】解：是△ABC的中位線，

C.DE//BC,DE=1BC=1x8=4,

:.△DEFs^BMF,

DEDF2BF

?,?—-—-------—-乙7,

BMBFBF

:.BM=2,

：.CM=BC+BM^1Q.

故選：D.

【點評】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質和判定，熟練掌握三角形中位線定理和

相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵.

8.（2024秋?碑林區期末）如圖，E是矩形ABC。的對角線2。的中點，尸是邊的中點，若AB=10,

EF=3,則線段CE的長為（）

A.7B.4C.2D.V34

【考點】矩形的性質；三角形中位線定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】D

【分析】先證EF是△A3。的中位線，即可求出的長，再根據勾股定理即可求出8。的長，最后根

據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出CE的長.

【解答】解：連接EF

是矩形ABC。的對角線2。的中點，尸是AB邊的中點，

：.EF^AABD的中位線，

：.OE=^AD,

VEF=3,

.*.AD=6,

?.?四邊形ABC。是矩形,

ZA=ZBCD=90°,

在Rt/VIB。中，AD=6,AB=10,

由勾股定理得，BD=7AB2+4。2=V102+62=2回,

在RtZXBC。中，E是8。的中點，

1

CE=^BD=V34,

故選：D.

【點評】本題考查了矩形的性質，三角形中位線定理，直角三角形的性質，熟練掌握這些知識點是解題

的關鍵.

9.（2024秋?章丘區期末）如圖，正方形ABCZ）的一條邊BC與等腰的一條邊C尸在同一直線上,

AF分別交CO,CE于點G,H.已知8C=CF=2,CE=EF=V5,則GH的長為（）

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的性質；勾股定理.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】A

【分析】過E作EM±CF于M,根據等腰三角形的性質得到CM==1,根據勾股定理得到EM=

VC￡2-CM2=V5^1=2,根據正方形的性質得到AO=BC=2=EM,ND=/DCB=/DCF=90°,

根據全等三角形的性質得到OG=CG=1,AG=FG,NAGD=NECM=NCGF,AG=CE=FG=逐,

根據三角形的面積公式得到CH=噎=等，根據勾股定理得到GH=7CG2-CH2=爭.

【解答】解：過E作￡加，仃于加，

,:CE=EF=V5,

1

：.CM=^CF=1,

：.EM=yJCE2-CM2=近=1=2,

???四邊形ABC。是正方形，

:?AD=BC=2=EM,ND=NDCB=NDCF=90°,

在△AOG與△尸CG中，

AD=CF=2

乙D=乙DCF=90°,

ZAGD=乙FGC

：.AADG^AFGC(AA5),

：.DG=CG=1,AG=FG,

在△ADG與中，

AD=EM=2

乙D=Z.EMC=90°,

DG=CM=1

：.AADG^AEMC(SAS),

???ZAGD=ZECM=ZCGF,AG=CE=FG=V5,

VZCFG+ZCGF=90°,

：?NECF+/CFH=90°,

：.ZCHF=90°,

11

；&CGF=^CG-CF=/G?C”,

.“1x22V5

■■CH=1T=~'

：.GH=VCG2-CH2=W，

故選：A.

【點評】本題考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌

握全等三角形的判定和性質定理是解題的關鍵.

10.（2024秋?沙坪壩區校級期末）把5張完全相同的長方形紙片不重疊地放在正方形內，用陰影部

分表示，若長方形AGFE與長方形EHCD周長相等，記長方形AGFE周長為Ci,長方形GBHP周長為

C2,則吩的值為（）

【考點】正方形的性質；矩形的性質.

【專題】矩形菱形正方形；運算能力.

【答案】A

【分析】設小長方形的寬是無，正方形的邊長是。，由題意得小長方形的長是3尤，得到FG=5尤，AG^a

-3x,HC—a-5x,由長方形AGFE與長方形EHCD周長相等，得至（ja-3x+5x—a-5x+a,因此a—lx,

C9

求出Ci=18x,Q16x,即可得到二=一.

C28

【解答】解：設小長方形的寬是x,正方形的邊長是。，

由題意得：小長方形的長是3x,

FG=2x+3x=5x,AG=a-3x,HC=a-5x,

???長方形AGFE與長方形EHCD周長相等，

：.AG+FG=HC+DCf

/?a-3x+5x=a-5x+a,

??〃=7x,

Ci=2(AG+FG)=2(2x+〃)=18%,C2=2(FG+GB)=2(5x+3x)=16x,

..￡i=坨=2

C216%8

故選：A.

【點評】本題考查矩形和正方形的性質，關鍵是由題意得到a=7x.

二.填空題（共5小題）

11.（2024秋?江陰市期末）如圖，在矩形ABC。中，AB=2,BC=4,對角線AC、8。相交于點O,過點

。的直線交C￡）的延長線于點G,交邊AD于點E,若AE=2.5,則DG的長為3.

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；圖形的相似；幾何直觀；運算能力；推理能力.

【答案】3.

【分析】根據矩形的性質得C￡）=A8=2,AD=BC=4,OA=OC,AD//BC,進而得。E=1.5,證明△

AOE和△COF全等得AE=CF=2.5,設。G=a,則CG=2+〃，證明△GOE和△GCP相似，然后根據

相似三角形的性質求出。=3,進而可得。G的長.

【解答】解：設直線OG交8C于點R如圖所示：

:四邊形ABC。是矩形，AB=2,BC=4,

.?.CZ)=AB=2,4D=BC=4,AD//BC,

：.ZEAO=ZFCO,ZAEO=ZCFO,

：AE=2.5,

：.DE=AD-AE=1.5,

??,矩形A5C0的對角線AC、相交于點0,

：.0A=0Cf

在△A0E和△C0尸中，

fZEA0=ZFCO

'^AEO=乙CFO，

、。4=0C

：.AAOE^ACOF(A4S),

：.AE=CF=2.5,

設。G=〃，則CG=CD+DG=2+a,

9：AD//BC,

:.AGDES^GCF,

.DEDG

??=r

CFCG

.1.5a

**2.5—2+a

解得：a=3,

/.Z)G=?=3.

故答案為：3.

【點評】此題主要考查了矩形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質，理解矩形

的性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定和性質是解決問題的關鍵.

12.(2024秋?城關區校級期末)在菱形A8C。中，P、。分別是A。、AC的中點，如果PQ=2,那么線段

CB=4.

【考點】三角形中位線定理；菱形的性質.

【專題】三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】根據三角形中位線定理求出CD再根據菱形的性質求出C8

【解答】解：：尸、。分別是A。、AC的中點，

是△AOC的中位線，

：.CD=2PQ=2X2=4,

?.?四邊形ABCD為菱形,

:.CB=CD=4,

故答案為：4.

【點評】本題考查的是三角形中位線定理、菱形的性質，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的

關鍵.

13.（2024秋?錦江區期末）如圖，在正方形ABCD的對角線BD上取點E使BE=BA,連接AE,過點E

作EF±AE交BC于點F,則ZEFC的大小為67.5°.

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】67.5°.

【分析】由四邊形ABC。是正方形，得NBAO=/AEP=/C=90°,則/ZME+/8AE=90°,

NBEF+/BEA=90°,ZABD=ZADB=ZCBD=ZCDB=450,WBE=BA,則0A=BE,ZBAE=

/BEA=675°,所以/DAE=/BEF,可證明得NAED=/EFB,則NE尸C=NBEA

=67.5°,于是得到問題的答案.

【解答】解：：四邊形ABC。是正方形，EF±AE,

：.DA=BA=BC=DC,ZBAD=ZAEF=ZC=90°,

：.ZDAE+ZBAE=90°,ZBEF+ZBEA=90°,ZABD=ZADB=ZCBD=ZCDB=45°,

；BE=BA,

：.DA=BE,NBAE=NBEA=/(180°-45°)=67.5°,

ZDAE=ZBEF,

在△D4E和△BEE中，

rZDAE=/BEF

-DA=BE>

^ADE=Z.EBF

：.ADAE^ABEF(A5A),

???/AED=/EFB,

.,.Z￡FC=180°-ZEFB=180°-ZAED=ZBEA=61.5°,

故答案為:67.5°.

【點評】此題重點考查正方形的性質、全等三角形的判定與性質、三角形內角和定理等知識，證明△

DAE冬ABEF是解題的關鍵.

14.（2024秋?西山區校級期末）如圖，若平行四邊形ABC。的周長為22cwi,AC,2。相交于點。且

【考點】平行四邊形的性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；幾何直觀；推理能力.

【答案】16crn.

【分析】根據平行四邊形的性質得到CD=AB,求出AZ）+AB=11C7W,再結合80=5c機即可

解答.

【解答】解：二.平行四邊形ABCD的周長為22cm,

.'.AD=BC,CD—AB,AD+AB+BC+CD=22cm,

.\AD^-AB=llcm,

VAC,BD相交于點。且BD為5cm,

.?.△ABO的周長為：AD+AB+BD=11+5=16（cm）,

故答案為：16cm.

【點評】本題考查了平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形的對邊相等.

15.（2024秋?城關區校級期末）如圖，矩形ABC。中，AB=陰,BC=1,動點E,尸分別從點A,C同

時出發，以每秒1個單位長度的速度沿AB,CZ）向終點2,D運動，過點E,尸作直線/,過點A作直

線/的垂線，垂足為G,則AG的最大值為1.

【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力.

【答案】1.

【分析】由勾股定理可求AC的長，由“A4S“可證經△AOE,可得AO=CO=1,由AG_LEF,

可得點G在以AO為直徑的圓上運動，則AG為直徑時，AG有最大值為1,即可求解.

：.AB//CD,ZB=90°,

'：AB=V3,BC=1,

：.AC=yjAB2+BC2=VT+l=2,

:動點E,歹分別從點A,C同時出發，以每秒1個單位長度的速度沿42,CD向終點8,。運動，

CF=AE,

'JAB//CD,

：.ZACD=ZCAB,

5L"：ZCOF=ZAOE,

：.^\COF^/\AOE（A4S）,

：.AO=CO=1,

；AG_LEF,

點G在以AO為直徑的圓上運動，

；.AG為直徑時，AG有最大值為1,

故答案為：1.

【點評】本題考查了矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，確定點G的運動軌跡是解答

本題的關鍵.

三.解答題（共8小題）

16.（2024秋?鯉城區校級期末）如圖，在△ABC中，。、E分別是A3、4c的中點，尸是DE延長線上的

點，且所=￡）￡.

(1)求證：四邊形AZXT是平行四邊形;

【考點】平行四邊形的判定與性質；三角形中位線定理.

【專題】多邊形與平行四邊形；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)證明見解答.

【分析】(1)由點E是AC的中點，得AE=CE,而EF=DE,即可根據“對角線互相平分的四邊形是

平行四邊形”證明四邊形ADCF是平行四邊形；

(2)由。是A8的中點，得AD=BD,由四邊形AOCF是平行四邊形，得AD〃CF,且AO=CF,則

BD//CF,^.BD=CF,所以四邊形8。尸C是平行四邊形，則DF=8C,TfffDE=^DF,所以。￡=扣心

【解答】證明：(1)是AC的中點，

：.AE=CE,

:尸是DE延長線上的點，MEF=DE,

四邊形AOCF是平行四邊形.

(2)..?。是A3的中點，

：.AD=BD,

:四邊形ADCF是平行四邊形，

J.AD//CF,且AZ)=CE,

J.BD//CF,且BD=CF,

.,?四邊形BDFC是平行四邊形，

:.DF=BC,

1

?：EF=DE=*F,

1

：.DE=.BC.

【點評】此題重點考查平行四邊形的判定、三角形中位線定理的證明等知識，證明四邊形BDFC是平

行四邊形是解題的關鍵.

17.(2024秋?沙坪壩區校級期末)如圖，在平行四邊形中，AC與BD相交于點O,延長CD至點E,

使C￡)=OE,連接AE.

(1)求證：四邊形ABOE是平行四邊形；

(2)若AC平分NBAE,AC=8,AE=6,求的面積.

【考點】平行四邊形的判定與性質；角平分線的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)ZkACE的面積是84.

【分析】(1)由平行四邊形的性質得CO,AB=CD,因為延長CD至點E,使CD=DE,所以AB

//DE,AB=DE,則四邊形A8DE是平行四邊形；

1

(2)連接OE,由回ABC。的對角線AC與3。相交于點。，得。4=OC=1AC=4,由AC平分/BAE,

得N8AC=/EAC,由AB//CD,得/BAC=/ECA,則/EAC=/ECA,所以AE=CE=6,貝UOE±

__________1

AC,所以NAOE=90°,求得OE=迎5一。。2=2遍,貝!JS^ACE=^4C?OE=8曲.

【解答】(1)證明：：四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AB//CD,AB=CD,

:延長C￡＞至點E,使CD=DE,

J.AB//DE,AB=DE,

四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)解：連接OE,

;回ABC。的對角線AC與a)相交于點。，AC=8,

1

：.OA=OC=^AC=4.

〈AC平分N3AE,

：.ZBAC=ZEAC,

'：AB//CD,

：.ZBAC=ZECA,

J.ZEAC^ZECA,

：.AE=CE=6,

：.OE±AC,

：.ZAOE=90°,

OE=yjAE2-OA2=V62-42=2后

：.S^ACE=^AC-OE=1X8X2V5=8底

/XACE的面積是8V5.

【點評】此題重點考查平行四邊形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確地

作出輔助線是解題的關鍵.

18.（2024秋?濟南期末）已知：如圖，菱形A8C。中，E,尸分別是邊AB,3C上的點，BE=BF.

求證：DE=DF.

【考點】菱形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】證明見解答.

【分析】由菱形的性質得A8=C8=AO=C。，ZA=ZC,而貝UAE=CT,即可根據“SAS”

證明△&〃￡1會△CDF,得DE=DF.

【解答】證明：?..四邊形ABC。是菱形，

：.AB=CB=AD=CD,ZA=ZC,

;BE=BF,

：.AB-BE=CB-BF,

：.AE=CF,

在△AOEt和△口）產中，

AD=CD

zX=zC,

AE=CF

：.AADE^/\CDF（SAS）,

:.DE=DF.

【點評】此題重點考查菱形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，推導出AE=CR進而證明△ADE

絲△CQF是解題的關鍵.

19.（2024秋?金水區校級期末）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,。為AB中點，過點。作DE_LAB,

交BC于點、E,過點A作A歹〃BE,交即的延長線于點F，連接AE,BF.

（1）判斷四邊形A仍尸的形狀，并說明理由.

（2）當Rt^ABC滿足條件AC=BC時,四邊形尸是正方形.

【考點】正方形的判定；全等三角形的判定與性質；線段垂直平分線的性質.

【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】（1）

（2）AC=BC.（答案不唯一，如：ZABC=45°）

【分析】（1）由得/FAD=NEBD,而AD=BD,ZADF^ZBDE,即可根據“ASA”證明△

ADF^ABDE,得AF=BE,則四邊形AE3尸是平行四邊形，因為EF_L4B,所以四邊形AE2尸是菱形；

（2）當NAE8=90°時，四邊形尸是正方形，由NC=NAEB=90°,點C與點E重合，則AC=

AE=BE=BC,所以當AC=BC或/ABC=45°時，四邊形尸是正方形，于是得到問題的答案.

【解答】解：（1）四邊形AEBF是菱形，

理由：'.'AF//BE,

:.NFAD=/EBD,

?.?。為AB中點，

：.AD=BD,

在/和△8DE中，

'ZADF=/BDE

,AD=BD，

/FAD=Z.EBD

：.AADF^/XBDE(ASA),

；.AF=BE,

/.四邊形AEBF是平行四邊形，

\'DE±AB,AF//BE,交ED的延長線于點F,

：.EFLAB,

四邊形AEBE是菱形.

(2):四邊形AEB歹是菱形，

...當/AE8=90°時，四邊形AE8F是正方形，

VZC=ZAEB=90°,

.,.點C與點E重合，

：.AC^AE=BE^BC,

...當AC=8C時，四邊形AE8F是正方形，

故答案為：AC=BC.

注：答案不唯一，如：ZABC=45°.

【點評】此題重點考查全等三角形的判定與性質、菱形的判定、正方形的判定等知識，證明△AQ尸且△

8OE是解題的關鍵.

20.(2024秋?章丘區期末)如圖，在回ABC。中，FA±AB交CD于點E,交BC的延長線于點F,且CF

=BC,連接AC,DF.

(1)求證：四邊形ACFD是菱形；

【考點】菱形的判定與性質；勾股定理；平行四邊形的性質.

【專題】多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；運算能力；推理能力.

【答案】(1)證明見解答；

(2)四邊形ACFD的面積為30.

【分析】（1）由平行四邊形的性質得AO〃BC,AD=BC,而CF=BC,則AO〃CFAD=CF,所以四

邊形ACF￡）是平行四邊形，因為NCEB=N43P=90°,所以硒_LCD則四邊形ACTO是菱形；

C_______________1

（2）由CD=AB=5,得DE=CE=訝，求得FE=VDF2-DE2=6,則FA=2FE=12,則S四邊形ACFD=^FA

?C￡）=30.

【解答】（1）證明：：四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AD//BC,AD=BC,

:點尸在8c的延長線上，且CF=BC,

：.AD//CF,AD=CF,

四邊形ACFD是平行四邊形，

'JCD//AB,陰_LA8交CZ）于點E,

：.ZCEF=ZABF=9Q°,

J.FALCD,

四邊形ACBD是菱形.

（2）解：：四邊形ACT*是菱形，CD=AB=5,

15

：.DE=CE=AE=FE,

13

VZDEF=90°,。尸=今，

：.FE=y/DF2-DE2=J（竽/一（1尸=6,

：.FA=2FE=12,

11

:.S四邊形ACFD=《FA*CD=xl2X5=30，

四邊形ACFD的面積為30.

【點評】此題重點考查平行四邊形的判定與性質、菱形的判定與性質等知識，推導出AD//CF,AD=

CF,進而證明四邊形ACED是平行四邊形是解題的關鍵.

21.（2024秋?碑林區期末）如圖，E,尸分別是正方形ABCQ的邊AB,AO的中點，連接CE,CF,求證：

CE=CF.

EB

A

DC

【考點】正方形的性質；全等三角形的判定與性質.

【專題】圖形的全等；矩形菱形正方形；幾何直觀；推理能力.

【答案】證明見解答過程.

【分析】根據正方形性質得，AB=CB=CD=AB,ZB=ZD=90°,再根據E,尸分別是邊AB,AD

的中點得由此可依據“SAS”判定ACBE和尸全等，然后根據全等三角形的性質即可得

出結論.

【解答】證明：?..四邊形42。是正方形，

：.AB=CB=CD=AB,ZB=ZD=9Q°,

■:E,尸分別是正方形ABC。的邊4B,的中點，

：.BE=^AB,DF=^AD,

：.BE=DF,

在△CBE和△CDF中，

CB=CD

,NB=ND=90°,

BE=DF

.?.△CBE咨ACDF(SAS),

：.CE=CF.

【點評】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質，全等三角

形的判定與性質是解決問題的關鍵.

22.(2024秋?城關區校級期末)如圖，菱形ABCD的對角線AC,8。相交于點。過點8作BE〃AC,過

點C作CE//DB,BE與CE相交于點E.

(1)求證：四邊形BEC。是矩形；

(2)連接。E,若4B=5,AC=6,求。E的長.

A

【考點】矩形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】見試題解答內容

【分析】(1)先說明四邊形是平行四邊形，再根據菱形的性質得NBOC=90°,即可得出答案;

(2)根據菱形得性質得O4=0C=3,OB=OD,AC±BD,再根據勾股定理得OB=<AB2-OA2=4,

進而得出BD然后根據矩形的性質，結合勾股定理求出答案.

【解答】(1)證明：,：BE//AC,CE//DB,

四邊形BECO是平行四邊形.

?.?四邊形ABCO是菱形，

：.AC1BD,

:./BOC=90°,

，平行四邊形8ECO是矩形；

(2)解:如圖,

:四邊形ABC。是菱形，AC=6,

11

：.OA=OC=^AC=^x6=3,OB=OD,ACLBD,

：.0B=7AB2一。9=4,

：.BD=2OB=S.

,/四邊形BECO是矩形，

：.BE=OC=3,

：.DE=yjBD2+BE2=V64+9=V73.

【點評】本題主要考查了矩形的性質和判定，菱形的性質，勾股定理，理解特殊平行四邊形之間的關系

是解題的關鍵，勾股定理是求線段長的常用方法.

23.(2024秋?城關區期末)如圖，回ABC。對角線AC,BD相交于點。，過點。作。E〃AC且。E=OC,

連接CE,OE,OE=CD.

(1)求證：EL4BC。是菱形；

(2)若AB=2,ZABC=60°,求AE的長.

【考點】菱形的判定與性質；平行四邊形的性質.

【專題】等腰三角形與直角三角形；多邊形與平行四邊形；矩形菱形正方形；推理能力.

【答案】V7.

【分析】(1)先證四邊形OC即是平行四邊形.再證平行四邊形OCE。是矩形，則NCOD=90°,得

ACL