2024-2025學(xué)年廣東省惠州市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)階段

檢測試題

第I卷（選擇題）

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合

題目要求的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.點尸（3,4,-5）關(guān)于xOz平面對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.（3,4,5）B.（3,—4,—5）C.（—3,4,—5）D.（—3,—4,5）

2.已知空間向量G=（-1,加,2）,b=（2,-1,2）,若萬.5=3，則cos〈原3〉=（）.

A.—B.—C.—D.—

6543

3.經(jīng)過圓/+/+例=0的圓心且與直線3x+4y+2=0垂直的直線方程是（）

A.3x+4v+8=0B.4x+3y+6=0C.4x-3j-2=0D.4x-3y-6=0

4.若直線/》+了_1=0的斜率大于_4,則。的取值范圍為（）

A.（-2,2）B.（―2,0）u（0,2）C.（—°°,2）D.—2）u（2,+s）

5.^（-1,-1）,5（3,1）,直線/過點（1,2）,且與線段N3相交，則直線/的斜率取值范圍是（）

A.mB.IT。

cK4]u[r+C0]D-+00）

6.已知直線4,4的斜率是方程/-川-2=0的兩個根，則（）

A./11Z2B.〃〃2

c.4與相交但不垂直D.4與4的位置關(guān)系不確定

7.二面角a—/為60。，/、8是棱/上的兩點，AC,AD分別在半平面a、△內(nèi)，AC11,

BDLl,S.AB=AC=a,BD=2a,則CD的長為（）

C

I)

A

A.GQB.2缶C.45aD.2a

8.已知在正方體ZBC。-44GA中,尸為線段CA上的動點，則直線3G與直線ZP所成角

余弦值的范圍是（）

V6@

D.

二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分.

9.以下四個命題中正確提（）

A.空間的任何一個向量都可用其它三個向量表示

B.若｛a,及曾為空間向量的一組基底，則Z，b＞，全不是零向量

C.縱坐標(biāo)為0的向量都共面

D.任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一個基底

10.下列說法錯誤的是（）

A.平面內(nèi)所有的直線方程都可以用斜截式來表示

B.直線了=航+6與y軸的交點到原點的距離為例

C.在x軸、y軸上的截距分別為a,6的直線方程為菱+5=1

D.兩條直線中，斜率越大則傾斜角越大

11.已知圓心為C的圓/+/-4x+6y+ll=0與點/（0,-5）,則（）

A.圓C的半徑為2

B.點A在圓C外

C.點A與圓。上任一點距離的最大值為3a

D.點A與圓C上任一點距離的最小值為④

第II卷(非選擇題)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12?點(1,2)到直線3x-4y-3=0的距離為.

13.已知平面。的法向量0=(1,-2,向，直線/的方向向量〃=(3」,-2),若/〃a,貝?。?/p>

m=.

14.若尸為圓C：/+/-取-67+9=0上任意一點，點。(1,2),則|尸。|的取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.(1)求直線3x-4y+l=0與x+y-2=0的交點的坐標(biāo)；

(2)求兩條直線3x-4y-6=0與6x-8y+14=0間的星巨離.

16.已知空間中三點次2,-1,1),5(1,1,0),。(4,-3,3).設(shè)萬=次,b=AC.

⑴求忸-可；

⑵若2標(biāo)與萬+小互相垂直，求實數(shù)上的值.

17.圓C過點/(6,0),5(1,5),且圓心在直線/:2x-7y+8=0上.

(1)求圓。的方程；

(2)P為圓C上的任意一點，定點。(8,0),求線段P。中點M的軌跡方程.

18.如圖，在三棱錐尸-48C中，尸/_L平面4BC,ZBAC=90°,D,E,尸分別是棱NB,

BC,C尸的中點，AB=AC=\,PA=2.

P

(1)求點尸到直線EF的距離

(2)求直線尸月與平面。斯所成角的正弦值；

(3)求點P到平面DEF的距離.

19.如圖，在四棱錐尸-/BCD中，底面N3C。為直角梯形，AD//BC,ZADC=90°,平面

底面48CD,0為4D的中點，M是棱尸C上的點，P4=PD=2,BC=^AD=1,

CD=y/3.

(1)求證：平面_L平面P4D；

(2)若尸”=；PC,求異面直線/P與3所成角的余弦值；

(3)在線段PC上是否存在一點M,使二面角W-8Q-C大小為30。？若存在，請指出點河的

位置，若不存在，請說明理由.

1.B

本題根據(jù)關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)直接求解即可.

【詳解】解：因為點（x,%z）關(guān)于xOz平面對稱的點的坐標(biāo)是（x,-Hz）,

所以點尸（3,4,-5）關(guān)于xOz平面對稱的點的坐標(biāo)是（3,-4,-5）,

故選：B.

本題考查求點關(guān)于坐標(biāo)平面對稱的點的坐標(biāo)，是基礎(chǔ)題.

2.A

【分析】根據(jù)數(shù)量積求得/=-1,再根據(jù)向量的夾角公式求得答案.

【詳解】由展石=3得，-1x2-%+2x2=3,解得加=-1,

則同=（_］）2+22=瓜,問=商+㈠丁+22=3,

a-b_3旦

所以cos〈扇6〉=

\a\]b\~3而~6~

故選：A.

3.D

【分析】求出圓x2+y2+4y=0的圓心坐標(biāo)，根據(jù)所求直線與3x+4y+2=0垂直，求其斜率,

根據(jù)點斜式寫出直線方程.

【詳解】圓Y+/+4y=o的圓心的坐標(biāo)為（0,-2）,

設(shè)所求直線斜率為左，

因為所求直線與直線3x+4y+2=0垂直，

所以左義（_土］=_1,故左=g,

所以直線方程為y+2=］（x-0）,即4x-3y-6=0

故選：D.

4.A

【分析】化一般式為斜截式得到直線的斜率，進(jìn)而列出不等式求解即可.

【詳解】直線。2工+了-1=0,BPj;=-a2x+l,

則直線的斜率為-〃，

BP-a2>-4,解得-2<a<2.

所以。的取值范圍為(-2,2).

故選：A.

5.C

【分析】首先求出直線P/、必的斜率，然后結(jié)合圖象即可寫出答案.

【詳解】解：直線尸/的斜率后直線尸8的斜率〃=罟=-；,

結(jié)合圖象可得直線/的斜率上的取值范圍是匕1或鼠

故選：C.

P

B

-4-3-2-123

A

本題考查直線斜率公式及斜率變化情況，屬于基礎(chǔ)題.

6.C

【分析】由左/?=-2可知兩直線不垂直，且左二心知兩直線不平行，由此可得結(jié)論.

【詳解】設(shè)直線44的斜率為《&，則上住=-2,

?.?桃2片一1，不垂直，A錯誤；

若左=%2，則桃2=左；20,與桃2=-2矛盾，；.左產(chǎn)左2，不平行，B錯誤；

,?Y，不平行，也不垂直，，4,相交但不垂直，c正確，D錯誤.

故選：C.

7.D

【分析】由已知條件和空間向量加法可得麗=0+與+而，再根據(jù)向量模和數(shù)量積的關(guān)系

?uuruuruuu\2

可得\CDAB+BD],由此能求出CD的長.

【詳解】因為二面角a—/—。為60。，N、8是棱/上的兩點，AC.分別在半平面a、〃內(nèi),

AC11,BDLI,

uuuiuuu____kk?

所以</C,BQ〉=60。，ACBA=0^AB-BD=0

XCD=CA+AB+BD

lUUDTiI/TutrW~~uuarX2jdrr^~noon_uuor2""uuruur__uinruuur__uuruur

所以c。\=J\CA+AB+BD\<CA+AB+BD+￡A,AB+2ABBD+EABD

/uir^~~urn^~~uuruur=-^a2+a2+(2a)"+2-a-2acos120°=2a.

=\CA+AB+BD+2CABD

所以CD的長為2a.

故選：D.

本題考查空間線段長的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.

8.A

【分析】設(shè)正方體/BCD-44C4的棱長為1,以。4。。,他所在直線分別為x軸，y軸，z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，可設(shè)尸(0J,1)(0,,G),從而得到方=(-1/1),5Ci=(-1,0,1),再根

據(jù)向量的夾角公式即可求出cos〈后，畫〉=6^,求函數(shù)值域即可.

【詳解】設(shè)正方體/BCD-4gG4的棱長為1，如圖所示，以。4OC,Z)4所在直線分別為X

軸，y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則有41,0,0),3(1,1,0)6(0,1,1).

設(shè)尸(0,f,l)(0,J,1),則萬=(_"1),5CI=(-1,0,1),

—1x(—1)+，x0+lxl

所以cos〈4P,8C]〉=

7(-i)2+?2+i2x7(-i)2+o2+i2

又因為0,,t?1,所以，”cos<AP,SQ\,1.

故選：A.

本題主要考查利用向量解決直線與直線所成角問題，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)

題.

9.BC

【分析】根據(jù)空間向量的基底的定義:任何三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間向量的一組基底,

逐次分析A、B、D三個選項，可得出結(jié)論，縱坐標(biāo)為0的向量都在平面無。z中，可以判斷C.

【詳解】空間的任何一個向量都可以用其他三個不共面的向量表示，

A中忽略了基底必須為三個“不共面的向量”這個限制條件，故A錯誤；

若而石,"｝為空間向量的一組基底，則三者中任意兩個都不共線，

故任何一個都不能為零向量，選項B正確；

縱坐標(biāo)為0的向量都在平面xoz中，所以都共面，故選項C正確；

任何三個不共面的向量可構(gòu)成空間向量的一個基底，三個向量不共線時可能共面，

故D錯誤.

故選：BC.

10.ACD

【分析】對于A選項，利用垂直于x軸的直線；對于B選項，根據(jù)直線＞與y軸的交

點坐標(biāo)為(0,6)判斷；對于C選項，利用直線過坐標(biāo)原點時不滿足判斷；對于D選項，舉例兩

條直線的傾斜角分別為(，金判斷.

【詳解】解：對于A選項，垂直于x軸的直線不能用斜截式表示，故錯誤；

對于B選項，由于直線了=h+。與y軸的交點坐標(biāo)為(0,6),故原點的距離為例，故正確；

對于C選項，當(dāng)直線過坐標(biāo)原點時，直線在x軸、y軸上的截距均為0,不能用方程±+4=1表

示，故錯誤.

對于D選項，若兩條直線的傾斜角分別為引，則斜率分別為百廠6,顯然不滿足，故錯

誤.

故選：ACD

11.BCD

【分析】把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，寫出圓心和半徑，再逐一分析各選項并判斷作答.

【詳解】依題意，圓C：。-2)2+3+3)2=2,則圓心c(2,-3),半徑r=&,A不正確；

因點/(0,-5),貝IJMq=2JI>7^,點A在圓C外，B正確；

因點A在圓。外，在圓。上任取點P,貝1]|尸/|引尸。|+|。|=廠+&|=36',當(dāng)且僅當(dāng)點尸，C,

/共線，且P在線段NC延長線上時取“=”，C正確；

在圓C上任取點則|九回2口川-卜0，當(dāng)且僅當(dāng)點C,M,N共線，且M在

線段C4上時取“=”，C正確.

故選：BCD

8

12'?

【分析】利用點到直線的距離公式計算得解.

,|3xl-4x2-3|8

【詳解】點(1,2)到直線3x-4y-3=0的距離為d=飛不二廣=》.

痂8

故二

13.-##0.5

2

【分析】由線面位置關(guān)系和空間直線方向向量與平面法向量的定義可解.

【詳解】則￡￡=0，即lx3-2xl-2加=0,解得加=；.

答案：(

2

14.[2一行,2+用

【分析】判斷點與圓的位置關(guān)系，利用圓的性質(zhì)即可得解.

【詳解】圓C：/+/-4苫-67+9=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x-2『+(y-3『=4,

因為(l-2『+(2-3『=2<4,

所以點。(1,2)在圓的內(nèi)部，且|C0|=J(1-2丫+(2-3):后,

所以|尸。|的取值范圍為上一|。。|“+|。?？?[2—62+6].

故12-+y/2~^

13

15.(1)(1,1);(2)y.

【分析】(1)聯(lián)立直線方程求解即可得交點；

(2)將方程6x-8y+14=0化為3x-4y+7=0,由平行直線間的距離公式求解.

3%-4〉+1=0'曰Jx=l

【詳解】(1)聯(lián)立x+y-2=0'倚jy=]

故直線3x-4y+l=0與x+y-2=0的交點的坐標(biāo)為(1,1).

(2)方程61一8>+14=0可化為3%-4>+7=0,

13

所以兩條直線無一》一與間的距離

346=06x—8>+14=01=T,

16.(1)2717

(2)±告

【分析】(1)求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量模的計算公式求解即可;

(2)先求出兩向量的坐標(biāo)，再利用垂直的坐標(biāo)形式列式求解即可.

【詳解】(1),?1^(2,-1,1),5(1,1,0),C(4,-3,3),a=AB>b=AC，

5=(―1,2,—1),b=(2,—2,2)>

于是2G-B=(-2,4,-2)-(2,-2,2)=(-4,6,-4),

:.\2a-b\=7(-4)2+62+(-4)2=2后.

(2)2加-5=(-2左,4左,一2左)一(2,-2,2)=12左一2,4k+2,-2左一2),

a+kb=(-1,2-1)+(2k,-2k,2k)=(2k-1,2-2k,2k-1),

又2版-分與N+序互相垂直，二(2版+威=0,

即(-2k-2)(2左-1)+(4k+2)(2-2k)+(-2k-2)(2左-1)=0,

.#=?，解得左=±變.

22

B

17.(1)(x-3>+(y-2>=13；(2)+QT)2=

4

【分析】（1）求得線段垂直平分線的方程，與直線/方程聯(lián)立，求得圓心C的坐標(biāo)，由|C4|

求得半徑，由此求得圓C的方程.

（2）設(shè)出M點坐標(biāo)，由此求得尸點坐標(biāo)，將尸點的坐標(biāo)代入圓C的方程，化簡求得M點的

軌跡方程.

【詳解】（1）直線的斜率后=—=-1,

1-6

所以的垂直平分線m的斜率為1.

48的中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為x=W=（,y=W=2

2222

因此，直線冽的方程為=.即x-y-1=0.

又圓心在直線/上，所以圓心是直線加與直線/的交點.聯(lián)立方程組

x-y-1=0

2%—7y+8=0

[x=3

解得c

[y=2

所以圓心坐標(biāo)為C（3,2）,又半徑r=|C4上而,

則所求圓的方程是（x-3）2+0-2）2=13_

（2）設(shè)線段尸。的中點M（x,y）,P（x0,v0）

x+8

--n--二x

2

M為線段尸。的中點，貝！I

2

x=2x-8

解得0

乂=2y

/(2x-8,2y)代入圓C中得(2x-8-3y+(2y-2y=13,

22

即線段P。中點M的軌跡方程為+(y-D=y

4

本小題主要考查圓的方程的求法，考查動點軌跡方程的求法，屬于中檔題.

?/s

18.（1）—；

10

⑵%

⑶冬

【分析】(1)根據(jù)給定條件，求出等腰三角形腰尸8上的高即可求出點尸到直線所的距離.

(2)依題意建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線P4的方向向量及面。EF的法向量，利用向量的

夾角公式，即可求出直線及與平面DE廠所成角的正弦值;

(3)利用向量法可求出點P到平面。斯的距離.

【詳解】(1)三棱錐尸-N8C中，尸/，平面A8C,A8,NCu平面A8C,則尸/，A8,P/，/C,

又NBAC=9Q°,AB=AC=\,PA=2,則BC=C,PB=PC=也,

-BCi3

/219sinZ.PBC=--j=

cosZPBC=——二r='Jfo

PB癡

3

于是等腰八PBC腰5。上的高〃=8CsinZPBC=,

由￡,尸分別是棱BC,C尸的中點，得EF//PB,跖是△尸3C的中位線,

所以點尸到直線川的距離為工"=拽

210

(2)依題意：以/為坐標(biāo)原點，直線分別為xj,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

又。，E,尸分別是棱N8,BC,C尸的中點，AB=AC=1,PA=2,

得/（0,0,0）,P（0,0,2）,C（0』,0）,尸（0,；』）,￡＞（；,0,0）,5（1,0,0）,E（；,g,0）,

則=（0,0,2）,而=（一；,g,1）,反=（0,；,0）,設(shè)平面DEF的法向量為元=（x,y,z）,

_—?11

n-DF=——xH-y+z=0

22

則,-，取z=l,則為=（2,0,1）,

-----I

n?DE=—y=0

2

\n-AP\2

設(shè)直線PA與平面DEF所成角為6，則sin。=|cos〈萬,AP)|=

|列西-V5x2-5'

所以直線尸”與平面DM所成角的正弦值為。

—1/、

（3）由（2）知尸尸=（0,5，-1）,萬=（2,0,1）,

點P到平面DEF的距離d=底m=J==正,

\n\A/55

所以點尸到平面DEF的距離為也.

5

19.（1）證明見解析

⑵工

10

（3）存在，點M位于靠近點C的四等分處

【分析】（1）由面面垂直證8。，平面尸4D,再證平面平面P4D；

（2）以。為原點，QA,QB,。尸所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角

坐標(biāo)系.由向量法求線線角；

（3）設(shè)兩=2定，0W4W1,由向量法利用二面角建立方程求解.

【詳解】（1）證明：因為ND〃3C,BC=^AD,0為ND