第08講完全平方公式與平方差公式

01學習目標

課程標準學習目標

1、推導公式(0+_b)="2-62,并能用該公式進行計算。

1完全平方公式b)(a

2、經歷探索平方差公式的過程，培養觀察、交流、歸納、猜想、

2完全平方公式的幾何背景

驗證等能力，領悟數形結合、從一般到特殊數學思想方法。

3完全平方式

3、培養創新意識和合作精神，樹立實事求是的科學態度。

4平方差公式

【學習重點】平方差公式的應用

5平方差公式的幾何背景

【學習難點】對公式的理解及靈活應用

思維導圖

01完全平方公式

C02完全平方公式的幾何背景

剪空，03完全平方式

04平方差公式

[05平方差公式的幾何背景

完全平方公式與平方01運用平方差公式進行運算

1運用完全平方公式進行運算

差公式02

，03通過對完全平方公式變形求值

’04求完全平方式中的字母系教

遜y——-———.........................

05平方差公式與幾何圖形

、06完全平方公式在幾何圖形中的應用

\07完全平方式在幾何圖形中的應用

08整式的混合運算

「知識清單

03

知識點01完全平方公式

(1)完全平方公式：(a±6)2=a2±2ab+b2.

可巧記為：“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

(2)完全平方公式有以下幾個特征：①左邊是兩個數的和的平方；②右邊是一個三項式，其中首末兩項

分別是兩項的平方，都為正，中間一項是兩項積的2倍；其符號與左邊的運算符號相同.

(3)應用完全平方公式時，要注意：①公式中的a,6可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數和

(或差)的平方的計算，都可以用這個公式；③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后，也可以用完全

平方公式.

【即學即練1】

I.(2023春?青陽縣期末)已知(x+)y=7,(x-)r=5,則/+./=,.

【即學即練2】

2.(2023春?定遠縣校級期中)已知M=X2-2X+4,N=X2-4X+4,請比較M和N的大小.

以下是小明的解答：

?■?A/=(X-1)2+3^3,N=(X-2)220,

M^N.

小明的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，請寫出正確的解答.

知識點02完全平方公式的幾何背景

(1)運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做

出幾何解釋.

(2)常見驗證完全平方公式的幾何圖形

(a+6)2=a2+2ab+b2.(用大正方形的面積等于邊長為。和邊長為6的兩個正方形與兩個長寬分別是a,b

的長方形的面積和作為相等關系)

【即學即練1】

3.(2023春?宿州月考)如圖，長為“，寬為人的長方形的周長為16,面積為12,則的值為()

A.88B.70C.64D.40

【即學即練2】

4.(2023春?霍邱縣期末)閱讀材料并解答問題：我們已經知道，完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積

來表示，實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示，例如：2a(a+6)=2/+2"就可以用圖①的

面積來表示.

(1)請寫出圖②所表示的代數恒等式.

(2)請畫圖，用平面幾何圖形的面積來表示代數恒等式(a+6)(2a+b)=2/+3a6+〃.

知識點03完全平方式

完全平方式的定義：對于一個具有若干個簡單變元的整式4如果存在另一個實系數整式8,使4=爐，則

稱《是完全平方式.

a2+2ab+b2=(a±6)2

完全平方式分兩種，一種是完全平方和公式，就是兩個整式的和括號外的平方.另一種是完全平方差公式,

就是兩個整式的差括號外的平方.算時有一個口訣“首末兩項算平方，首末項乘積的2倍中間放，符號隨

中央.(就是把兩項的乘方分別算出來，再算出兩項的乘積，再乘以2,然后把這個數放在兩數的乘方的中

間，這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號，完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用后邊

的符號都用+)”

【即學即練1】

5.(2023春?肥西縣期末)下列多項式，為完全平方式的是()

A.1+4/B.4b2+4Z?-1C.a2—4a+4D.a2+ab+b2

【即學即練2】

6.(2023春?合肥月考)已知：Y+依+9是完全平方式，則左=.

知識點04平方差公式

(1)平方差公式：兩個數的和與這兩個數的差相乘，等于這兩個數的平方差.

(。+6)(a-b)—cr-b1

(2)應用平方差公式計算時，應注意以下幾個問題：

①左邊是兩個二項式相乘，并且這兩個二項式中有一項完全相同，另一項互為相反數；

②右邊是相同項的平方減去相反項的平方；

③公式中的。和6可以是具體數，也可以是單項式或多項式；

④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式，都可以運用這個公式計算，且會比用多項式乘以多項式法則簡便.

【即學即練1】

7.(2023春?廬陽區校級期中)下列多項式乘法中，不能用平方差公式計算的是()

A.(a2+b){a2—b)B.(2a+b)(2a-b)

C.(-3x-y)(-y+3x)D.(x+y)(-x-y)

【即學即練2】

8.(2023春?廬陽區校級期中)觀察下列等式：(x-l)(x+l)=x2-l；(x-l)(x2+x+l)=x3-l；

(x-l)(x3+x2+l)=x4-l,……，小明發現其中蘊含著一定的運算規律，并利用這個運算規律求出了式子

“39+38+...+3+1”的值，這個值為()

710_1I10-1

A.39-1B.310-1C.--------D.--------

23

知識點05平方差公式的幾何背景

(1)常見驗證平方差公式的幾何圖形(利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式).

圖(3)

(2)運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程，通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾

何解釋.

【即學即練1】

9.（2023春?包河區期中）從邊長為。的大正方形紙板中挖去一個邊長為6的小正方形后，將其裁成四個相

同的等腰梯形（如圖甲），然后拼成一個平行四邊形（如圖乙），那么通過計算陰影部分的面積可以驗證公

式（）

a

甲乙

A.(a—6)2-u~—2ab+b~B.(a+b)-=+2ab+b~

C.a2—b'=(a+a—b)D.(2a+b)(a-b)-a2+ab-2b2

【即學即練2】

10.（2023春?渦陽縣期中）如圖所示由圖1到圖2的變換.

（1）根據圖中的陰影部分的面積關系直接寫出等式是：

（2）根據（1）的等式計算：

①已知4/一/=25,2x-y=5,則2x+y=

②計算：(1-X(1-X(1-X(1-(1-20^32)?

題型精講

題型01運用平方差公式進行運算

1.（23-24七年級下?安徽淮北?期末）下列各式能用平方差公式計算的是（）

A.（3a-5b）（3〃-5b）B.（-3a-5b）（3a+5b）

C.（Q-26）（-Q+26）D.（-Q-2b）（a-2b）

2.（21-22七年級下?安徽宿州?期末）計算：（-1-?）（?-5）=

3.（23-24七年級下?安徽池州,期末）觀察下列等式：

①52-12=8x3;②62-22=8x4；③72-3?=8x5；

⑴寫出第"個等式，并說明等式的正確性;

（2）上述等式左邊都可以用前后兩個差為4的整數的平方差表示，問2024是否可以寫成兩個差為4的整數的

平方差？如果能，請寫出這兩個整數；如果不能，請說明理由.

題型02運用完全平方公式進行運算

4.（23-24七年級下?安徽淮北,期末）已知三個實數a,b,c滿足a+26+2c>0,a-26+2c=0,則

（）

A.b<0,b2-2ac>0B.b>0,b2-2ac>0

C.b<0,b2-7.ac<0D.b>Q,b2-2ac<0

5.（23-24七年級下?安徽馬鞍山?期末）已知（2018-a）（a-2021）=-4,則（a-2018）2+（0-2021『=.

6.（23-24七年級下?安徽六安?階段練習）我們容易發現：2。+5?>2x2x5,32+3?=2x3x3,F+3。>2x1x3.

⑴觀察以上各式，請判斷/+〃與2湖之間的大小關系，并說明理由；

722

（2）利用（1）中的結論，當。>0,6>0時，求勺+勺的最小值；

ab

⑶根據（1）中的結論猜想］與湖之間的大小關系，并說明理由.

題型03通過對完全平方公式變形求值

7.（23-24七年級下?安徽六安?期中）已知（x-2020）2-（尤-2028）2=18,貝-2024的值是（）

9

A.1B.-C.3D.4

8

8.（23-24七年級下?安徽安慶?期末）已知實數。滿足（。一2023）（。一2024）=3,則（°一2023『+（0-2024）2的

值是.

9.（23-24七年級下?安徽馬鞍山?期末）完全平方公式經過適當的變形，可以解決很多數學問題.

（1）若a+6=3,ab=l,求力+方？的值.

（2）若（9-x）（”6）=l,求（9-J+（6-才的值.

⑶根據上面的解題思路與方法解決下列題：如圖，C是線段上的一點，以/C,3c為邊向兩邊作正方

形，設45=6,兩正方形的面積和為20,求△4FC的面積.

題型04求完全平方式中的字母系數

10.（23-24七年級下?安徽蚌埠?期中）若使/+加x+81是一個完全平方式，那么整數加值為（）

A.±9B.±18C.18D.-18

11.（23-24七年級下?安徽亳州?期末）若4/_20x+加可以用完全平方公式來分解因式，則加的值為.

12.（23-24七年級下?安徽滁州?期中）利用乘法公式，解答下列問題：

⑴填空：若多項式4/+25是一個完全平方式，則加=;

（2）已知x+〉=A，xy=l,且0<x<l,求的值；

（3）已知（x-2023）2+（x-2025）2=100,求仁一2024）2的值.

題型05平方差公式與幾何圖形

13.（23-24七年級下?安徽安慶?期末）如圖①，從邊長為。的大正方形中剪去一個邊長為6的小正方形，再

將陰影部分沿虛線剪開，將其拼接成如圖②所示的長方形，則根據兩部分陰影面積相等可以驗證的數學公

式為（）

圖①圖②

A.（a-Z＞）2=a2-2ab+b2B.（a+b）（a-b）=a2-b2

C.a（a-b）^a2-abD.（a+Z?）2=a2+2ab+b2

14.（21-22七年級下?安徽合肥?期末）長方形的面積是212一/）,如果它的一邊長為x+y,則它的周長

是.

15.（23-24七年級下?安徽滁州?期中）小玲是某校七年級的學生，她家有一塊正方形的菜地，因為修高鐵,

把這塊菜地的東邊縮短了10m.老村長建議在這塊菜地（縮短后）的南邊加長10m,小玲的父母認為得到

了合理的補償，于是就同意了，而小玲卻提出了反對意見，認為這樣她家這塊菜地的面積減少了lOOm?.你

認為小玲的說法正確嗎？為什么？

題型06完全平方公式在幾何圖形中的應用

16.（23-24七年級下?安徽合肥?期末）如圖，點3是線段上一點，以/8、8c為邊向外做正方形，面積

分別為H、邑，若岳+邑=25,DC=7,三角形/8C的面積是（）

17.（23-24七年級下?安徽安慶,階段練習）如圖1,有兩個正方形/,B,現將8放在/的內部得到圖2,

圖2中陰影部分的面積為4.將圖1中的兩個正方形48并排放置后構造新的正方形得到圖3,圖3中陰

影部分的面積為30,則圖1中兩個正方形/與B的面積之和為.

18.（23-24七年級下?安徽六安?期末）（1）如圖1,對一個正方形進行了分割，可得到我們學習過的一個乘

法公式，其為;

（2）利用（1）中等量關系解決下面的問題：

①。+6=3,ab=-2,求/+/的值；

②如圖2,點C是線段上的一點，分別以BC,NC為邊向線段兩側作正方形8CPG,正方形

AEDC,設N8=6,兩正方形的面積和為20,求的面積.

圖1圖2

題型07完全平方式在幾何圖形中的應用

19.（20-21七年級下?安徽合肥?期末）如圖，長方形/BCD的周長為16,以這個長方形的四條邊為邊分別向

外作四個正方形，若四個正方形的面積和等于68,則長方形/3CZ）的面積為（）

C.15D.12

20.（22-23七年級下?安徽宿州?期末）如圖1是一個長為4a、寬為6的長方形，沿圖中虛線用剪刀平均分

成四塊小長方形，然后用四塊小長方形拼成一個大正方形，如圖2所示，請直接寫出（a+b）2,（a-6）2,ab

之間的等量關系

b

aaaa

圖1圖2

23.（七年級下?安徽合肥?期中）如圖，將一張矩形大鐵皮切割成九塊，切痕如下圖虛線所示，其中有兩塊

是邊長都為加cm的大正方形，兩塊是邊長都為“cm的小正方形，五塊是長寬分別是加cm、ncm的全等小

矩形，且

（1）用含機，"的代數式表示切痕的總長為—cm-

（2）若每塊小矩形的面積為48c加"四個正方形的面積和為200c病，試求該矩形大鐵皮的周長.

題型08整式的混合運算

22.（22-23七年級下?安徽宿州,期末）觀察下列算式：①（叱1）（°+1）=/-1；②（a-1乂/+。；

③（。-1）（/+/+。+1）=。4_1；…結合你觀察到的規律判斷223+2皿2+...+2,+2+1的計算結果的末位數

字為（）

A.1B.3C.5D.7

23.（20-21七年級下?安徽合肥?期末）計算：（3X+2）（3X-2）-（3X-1）2=

24.（23-24七年級下?安徽宿州?期末）先化簡，再求值［（2q+b『-（q-b）（3a-6）-2。卜其中

a=…1.

2

05

一、單選題

1.若9a2+24ab+k是一個完全平方式，則k的值可能為（）

A.2b2B.4b2C.8b2D.16b2

2.運用乘法公式計算（4+月（》-4）的結果是()

A.X2-16B.x2+16

C.16-x2D.-X2-16

3.下列能用平方差公式計算的是（）

A.(-x+y)(x+y)B.(-x+y)(x-y)

C.(x+2)(2+x)D.(2x+3)(3x-2)

4.下列能用平方差公式計算的是（）

A.(-x+y)(x-y)B.(x-l)(-l-x)C.(2x+y)(2j?-jc)D.(%-+

5.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,則a?+b2的值為()

311

A.11B.3C.-D.

2~2

6.下列運算中，計算正確的是（

A.2a?3a=6aB.(2a2)3=8a6C.a8-?a4=a2D.(a+b)2=a2+b2

7.化簡(m+l)2—(1—m)(l+m)的正確結果是()

A.2m2B.2m+2

C.2m2+2mD.0

8.計算(x2+l)(x+1)(X—1)的結果是()

A.x'+1B.x4—1C.(x+1/D.(x-1產

9.計算1002-992+982-97?+…+22-1的值為()

A.5048B.50C.4950D.5050

、、?flbab

10.對于任何實數，我們規定符號’的意義是：/="-命.按照這個規定請你計算：當X2-3X+1=0

caca

x+1x

時，。,的值為（）

3x-1

A.-2B.-1C.0D.1

二、填空題

11.把102x98寫成公式的形式：102x98=.

12.若/一2承x+1是完全平方式，則加=