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文檔簡介
第08講完全平方公式與平方差公式
01學習目標
課程標準學習目標
1、推導公式(0+_b)="2-62,并能用該公式進行計算。
1完全平方公式b)(a
2、經歷探索平方差公式的過程,培養觀察、交流、歸納、猜想、
2完全平方公式的幾何背景
驗證等能力,領悟數形結合、從一般到特殊數學思想方法。
3完全平方式
3、培養創新意識和合作精神,樹立實事求是的科學態度。
4平方差公式
【學習重點】平方差公式的應用
5平方差公式的幾何背景
【學習難點】對公式的理解及靈活應用
思維導圖
01完全平方公式
C02完全平方公式的幾何背景
剪空,03完全平方式
04平方差公式
[05平方差公式的幾何背景
完全平方公式與平方01運用平方差公式進行運算
1運用完全平方公式進行運算
差公式02
,03通過對完全平方公式變形求值
’04求完全平方式中的字母系教
遜y——-———.........................
05平方差公式與幾何圖形
、06完全平方公式在幾何圖形中的應用
\07完全平方式在幾何圖形中的應用
08整式的混合運算
「知識清單
03
知識點01完全平方公式
(1)完全平方公式:(a±6)2=a2±2ab+b2.
可巧記為:“首平方,末平方,首末兩倍中間放”.
(2)完全平方公式有以下幾個特征:①左邊是兩個數的和的平方;②右邊是一個三項式,其中首末兩項
分別是兩項的平方,都為正,中間一項是兩項積的2倍;其符號與左邊的運算符號相同.
(3)應用完全平方公式時,要注意:①公式中的a,6可是單項式,也可以是多項式;②對形如兩數和
(或差)的平方的計算,都可以用這個公式;③對于三項的可以把其中的兩項看做一項后,也可以用完全
平方公式.
【即學即練1】
I.(2023春?青陽縣期末)已知(x+)y=7,(x-)r=5,則/+./=,.
【即學即練2】
2.(2023春?定遠縣校級期中)已知M=X2-2X+4,N=X2-4X+4,請比較M和N的大小.
以下是小明的解答:
?■?A/=(X-1)2+3^3,N=(X-2)220,
M^N.
小明的解答過程是否有錯誤?如果有錯誤,請寫出正確的解答.
知識點02完全平方公式的幾何背景
(1)運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程,通過幾何圖形之間的數量關系對完全平方公式做
出幾何解釋.
(2)常見驗證完全平方公式的幾何圖形
(a+6)2=a2+2ab+b2.(用大正方形的面積等于邊長為。和邊長為6的兩個正方形與兩個長寬分別是a,b
的長方形的面積和作為相等關系)
【即學即練1】
3.(2023春?宿州月考)如圖,長為“,寬為人的長方形的周長為16,面積為12,則的值為()
A.88B.70C.64D.40
【即學即練2】
4.(2023春?霍邱縣期末)閱讀材料并解答問題:我們已經知道,完全平方公式可以用平面幾何圖形的面積
來表示,實際上還有一些代數恒等式也可以用這種形式表示,例如:2a(a+6)=2/+2"就可以用圖①的
面積來表示.
(1)請寫出圖②所表示的代數恒等式.
(2)請畫圖,用平面幾何圖形的面積來表示代數恒等式(a+6)(2a+b)=2/+3a6+〃.
知識點03完全平方式
完全平方式的定義:對于一個具有若干個簡單變元的整式4如果存在另一個實系數整式8,使4=爐,則
稱《是完全平方式.
a2+2ab+b2=(a±6)2
完全平方式分兩種,一種是完全平方和公式,就是兩個整式的和括號外的平方.另一種是完全平方差公式,
就是兩個整式的差括號外的平方.算時有一個口訣“首末兩項算平方,首末項乘積的2倍中間放,符號隨
中央.(就是把兩項的乘方分別算出來,再算出兩項的乘積,再乘以2,然后把這個數放在兩數的乘方的中
間,這個數以前一個數間的符號隨原式中間的符號,完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用后邊
的符號都用+)”
【即學即練1】
5.(2023春?肥西縣期末)下列多項式,為完全平方式的是()
A.1+4/B.4b2+4Z?-1C.a2—4a+4D.a2+ab+b2
【即學即練2】
6.(2023春?合肥月考)已知:Y+依+9是完全平方式,則左=.
知識點04平方差公式
(1)平方差公式:兩個數的和與這兩個數的差相乘,等于這兩個數的平方差.
(。+6)(a-b)—cr-b1
(2)應用平方差公式計算時,應注意以下幾個問題:
①左邊是兩個二項式相乘,并且這兩個二項式中有一項完全相同,另一項互為相反數;
②右邊是相同項的平方減去相反項的平方;
③公式中的。和6可以是具體數,也可以是單項式或多項式;
④對形如兩數和與這兩數差相乘的算式,都可以運用這個公式計算,且會比用多項式乘以多項式法則簡便.
【即學即練1】
7.(2023春?廬陽區校級期中)下列多項式乘法中,不能用平方差公式計算的是()
A.(a2+b){a2—b)B.(2a+b)(2a-b)
C.(-3x-y)(-y+3x)D.(x+y)(-x-y)
【即學即練2】
8.(2023春?廬陽區校級期中)觀察下列等式:(x-l)(x+l)=x2-l;(x-l)(x2+x+l)=x3-l;
(x-l)(x3+x2+l)=x4-l,……,小明發現其中蘊含著一定的運算規律,并利用這個運算規律求出了式子
“39+38+...+3+1”的值,這個值為()
710_1I10-1
A.39-1B.310-1C.--------D.--------
23
知識點05平方差公式的幾何背景
(1)常見驗證平方差公式的幾何圖形(利用圖形的面積和作為相等關系列出等式即可驗證平方差公式).
圖(3)
(2)運用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導過程,通過幾何圖形之間的數量關系對平方差公式做出幾
何解釋.
【即學即練1】
9.(2023春?包河區期中)從邊長為。的大正方形紙板中挖去一個邊長為6的小正方形后,將其裁成四個相
同的等腰梯形(如圖甲),然后拼成一個平行四邊形(如圖乙),那么通過計算陰影部分的面積可以驗證公
式()
a
甲乙
A.(a—6)2-u~—2ab+b~B.(a+b)-=+2ab+b~
C.a2—b'=(a+a—b)D.(2a+b)(a-b)-a2+ab-2b2
【即學即練2】
10.(2023春?渦陽縣期中)如圖所示由圖1到圖2的變換.
(1)根據圖中的陰影部分的面積關系直接寫出等式是:
(2)根據(1)的等式計算:
①已知4/一/=25,2x-y=5,則2x+y=
②計算:(1-X(1-X(1-X(1-(1-20^32)?
題型精講
題型01運用平方差公式進行運算
1.(23-24七年級下?安徽淮北?期末)下列各式能用平方差公式計算的是()
A.(3a-5b)(3〃-5b)B.(-3a-5b)(3a+5b)
C.(Q-26)(-Q+26)D.(-Q-2b)(a-2b)
2.(21-22七年級下?安徽宿州?期末)計算:(-1-?)(?-5)=
3.(23-24七年級下?安徽池州,期末)觀察下列等式:
①52-12=8x3;②62-22=8x4;③72-3?=8x5;
⑴寫出第"個等式,并說明等式的正確性;
(2)上述等式左邊都可以用前后兩個差為4的整數的平方差表示,問2024是否可以寫成兩個差為4的整數的
平方差?如果能,請寫出這兩個整數;如果不能,請說明理由.
題型02運用完全平方公式進行運算
4.(23-24七年級下?安徽淮北,期末)已知三個實數a,b,c滿足a+26+2c>0,a-26+2c=0,則
()
A.b<0,b2-2ac>0B.b>0,b2-2ac>0
C.b<0,b2-7.ac<0D.b>Q,b2-2ac<0
5.(23-24七年級下?安徽馬鞍山?期末)已知(2018-a)(a-2021)=-4,則(a-2018)2+(0-2021『=.
6.(23-24七年級下?安徽六安?階段練習)我們容易發現:2。+5?>2x2x5,32+3?=2x3x3,F+3。>2x1x3.
⑴觀察以上各式,請判斷/+〃與2湖之間的大小關系,并說明理由;
722
(2)利用(1)中的結論,當。>0,6>0時,求勺+勺的最小值;
ab
⑶根據(1)中的結論猜想]與湖之間的大小關系,并說明理由.
題型03通過對完全平方公式變形求值
7.(23-24七年級下?安徽六安?期中)已知(x-2020)2-(尤-2028)2=18,貝-2024的值是()
9
A.1B.-C.3D.4
8
8.(23-24七年級下?安徽安慶?期末)已知實數。滿足(。一2023)(。一2024)=3,則(°一2023『+(0-2024)2的
值是.
9.(23-24七年級下?安徽馬鞍山?期末)完全平方公式經過適當的變形,可以解決很多數學問題.
(1)若a+6=3,ab=l,求力+方?的值.
(2)若(9-x)(”6)=l,求(9-J+(6-才的值.
⑶根據上面的解題思路與方法解決下列題:如圖,C是線段上的一點,以/C,3c為邊向兩邊作正方
形,設45=6,兩正方形的面積和為20,求△4FC的面積.
題型04求完全平方式中的字母系數
10.(23-24七年級下?安徽蚌埠?期中)若使/+加x+81是一個完全平方式,那么整數加值為()
A.±9B.±18C.18D.-18
11.(23-24七年級下?安徽亳州?期末)若4/_20x+加可以用完全平方公式來分解因式,則加的值為.
12.(23-24七年級下?安徽滁州?期中)利用乘法公式,解答下列問題:
⑴填空:若多項式4/+25是一個完全平方式,則加=;
(2)已知x+〉=A,xy=l,且0<x<l,求的值;
(3)已知(x-2023)2+(x-2025)2=100,求仁一2024)2的值.
題型05平方差公式與幾何圖形
13.(23-24七年級下?安徽安慶?期末)如圖①,從邊長為。的大正方形中剪去一個邊長為6的小正方形,再
將陰影部分沿虛線剪開,將其拼接成如圖②所示的長方形,則根據兩部分陰影面積相等可以驗證的數學公
式為()
圖①圖②
A.(a-Z>)2=a2-2ab+b2B.(a+b)(a-b)=a2-b2
C.a(a-b)^a2-abD.(a+Z?)2=a2+2ab+b2
14.(21-22七年級下?安徽合肥?期末)長方形的面積是212一/),如果它的一邊長為x+y,則它的周長
是.
15.(23-24七年級下?安徽滁州?期中)小玲是某校七年級的學生,她家有一塊正方形的菜地,因為修高鐵,
把這塊菜地的東邊縮短了10m.老村長建議在這塊菜地(縮短后)的南邊加長10m,小玲的父母認為得到
了合理的補償,于是就同意了,而小玲卻提出了反對意見,認為這樣她家這塊菜地的面積減少了lOOm?.你
認為小玲的說法正確嗎?為什么?
題型06完全平方公式在幾何圖形中的應用
16.(23-24七年級下?安徽合肥?期末)如圖,點3是線段上一點,以/8、8c為邊向外做正方形,面積
分別為H、邑,若岳+邑=25,DC=7,三角形/8C的面積是()
17.(23-24七年級下?安徽安慶,階段練習)如圖1,有兩個正方形/,B,現將8放在/的內部得到圖2,
圖2中陰影部分的面積為4.將圖1中的兩個正方形48并排放置后構造新的正方形得到圖3,圖3中陰
影部分的面積為30,則圖1中兩個正方形/與B的面積之和為.
18.(23-24七年級下?安徽六安?期末)(1)如圖1,對一個正方形進行了分割,可得到我們學習過的一個乘
法公式,其為;
(2)利用(1)中等量關系解決下面的問題:
①。+6=3,ab=-2,求/+/的值;
②如圖2,點C是線段上的一點,分別以BC,NC為邊向線段兩側作正方形8CPG,正方形
AEDC,設N8=6,兩正方形的面積和為20,求的面積.
圖1圖2
題型07完全平方式在幾何圖形中的應用
19.(20-21七年級下?安徽合肥?期末)如圖,長方形/BCD的周長為16,以這個長方形的四條邊為邊分別向
外作四個正方形,若四個正方形的面積和等于68,則長方形/3CZ)的面積為()
C.15D.12
20.(22-23七年級下?安徽宿州?期末)如圖1是一個長為4a、寬為6的長方形,沿圖中虛線用剪刀平均分
成四塊小長方形,然后用四塊小長方形拼成一個大正方形,如圖2所示,請直接寫出(a+b)2,(a-6)2,ab
之間的等量關系
b
aaaa
圖1圖2
23.(七年級下?安徽合肥?期中)如圖,將一張矩形大鐵皮切割成九塊,切痕如下圖虛線所示,其中有兩塊
是邊長都為加cm的大正方形,兩塊是邊長都為“cm的小正方形,五塊是長寬分別是加cm、ncm的全等小
矩形,且
(1)用含機,"的代數式表示切痕的總長為—cm-
(2)若每塊小矩形的面積為48c加"四個正方形的面積和為200c病,試求該矩形大鐵皮的周長.
題型08整式的混合運算
22.(22-23七年級下?安徽宿州,期末)觀察下列算式:①(叱1)(°+1)=/-1;②(a-1乂/+。;
③(。-1)(/+/+。+1)=。4_1;…結合你觀察到的規律判斷223+2皿2+...+2,+2+1的計算結果的末位數
字為()
A.1B.3C.5D.7
23.(20-21七年級下?安徽合肥?期末)計算:(3X+2)(3X-2)-(3X-1)2=
24.(23-24七年級下?安徽宿州?期末)先化簡,再求值[(2q+b『-(q-b)(3a-6)-2。卜其中
a=…1.
2
05
一、單選題
1.若9a2+24ab+k是一個完全平方式,則k的值可能為()
A.2b2B.4b2C.8b2D.16b2
2.運用乘法公式計算(4+月(》-4)的結果是()
A.X2-16B.x2+16
C.16-x2D.-X2-16
3.下列能用平方差公式計算的是()
A.(-x+y)(x+y)B.(-x+y)(x-y)
C.(x+2)(2+x)D.(2x+3)(3x-2)
4.下列能用平方差公式計算的是()
A.(-x+y)(x-y)B.(x-l)(-l-x)C.(2x+y)(2j?-jc)D.(%-+
5.已知(a+b)2=7,(a-b)2=4,則a?+b2的值為()
311
A.11B.3C.-D.
2~2
6.下列運算中,計算正確的是(
A.2a?3a=6aB.(2a2)3=8a6C.a8-?a4=a2D.(a+b)2=a2+b2
7.化簡(m+l)2—(1—m)(l+m)的正確結果是()
A.2m2B.2m+2
C.2m2+2mD.0
8.計算(x2+l)(x+1)(X—1)的結果是()
A.x'+1B.x4—1C.(x+1/D.(x-1產
9.計算1002-992+982-97?+…+22-1的值為()
A.5048B.50C.4950D.5050
、、?flbab
10.對于任何實數,我們規定符號’的意義是:/="-命.按照這個規定請你計算:當X2-3X+1=0
caca
x+1x
時,。,的值為()
3x-1
A.-2B.-1C.0D.1
二、填空題
11.把102x98寫成公式的形式:102x98=.
12.若/一2承x+1是完全平方式,則加=
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