2024-2025學年高一數學下學期第一次月考卷

(湘教版2019必修第二冊)

(考試時間：120分鐘,分值：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：湘教版(2019)必修第二冊第1-2章平面向量+解三角形+三角恒等變換。

5.難度系數：0.68o

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設一書為非零向量,則“|司=同”是%=鏟的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【詳解】若同=|山，則乙刃模長相等，但它們的方向可以不同，故石=石不一定成立，

故同=國得不到五=b,

若五—b,則同=\b\,

故“|同=同”是％=例的必要不充分條件，

故選：B.

2.cosl05°cos45°+cosl5°sin45°=()

A--孚B-"C-1D?苧

【答案】C

【詳解】cosl05°cos45°+cosl5°sin45°=cos(90°+15°)cos45°+cosl5°sin45°

=—sinl50cos450+cosl50sin450=sin450cosl50—cos450sinl50

=sin(45°-15°)=sin30°=

故選：C.

3.在△ABC中，|四|=|而|=|說+而I，則△48。是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.鈍角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【詳解】由題意可得|同|=\BC\=\AC\,則△口(7為等邊三角形.

故選：B.

4.向量a=(sinx,cosx),b=(V3,l)>若五〃5,則tanx=()

A.V3B.-V3C.D.-

【答案】A

—>

【詳解】因為a=(sin%,cos%),b=(但1),a//b,

所以sirrr=A/^COSK,所以tanx=^.

故選：A.

5.在△ABC中，已知角4,B,。所對的邊分別為a,b,ca=2,b=46,A=45°,則滿足條件的三角

形有()

A.1個B.2個C.0個D.無法確定

【答案】B

【詳解】bsinA=莉X孝=^3,**-bsinA<a<b.

,滿足條件的三角形有2個.

故選：B.

,sin80°4.sc/\

6-要玄研Tsin40=()

A.-B.V3C.-1D.1

【答案】A

?、斗比rsf2sin40°cos40°...?sin40°…sin40O-2sin80°

【詳解】原式=2c-40。一—4sln4°o。=

cos40°—4sm40gw

sin4()o-2sin(60o+40。)_sin40°-2cos40°+|sin40°)_-Bos40。__

cos40°cos40°cos40°

故選：A

7.在△ABC中，4B=4,sinC=f,點D在線段AC上，AD=3,BD=V19,則BC=()

A.3B.3V3C.6D.3V5

【答案】D

【詳解】在△4DB中,由余弦定理可得cos/=-2AD-AB-

又/。=3,BD=月,AB=4,

ULr、IA9+16—1914/c、

所以C0S4=2X3X4=Z'又4e(0m)，

所以sin/=V1—cos2i4=

在△ZBC由正弦定理可得i^BC=AB--AT-sinA

sinAsmcsine

又sinC=逅，AB=4,sinA=叵，

34

所以BC=4x舊x羋=3V5.

4

故選：D.

8.如圖，NPOQ=》點4B為射線OP上兩動點，且力B=2,若射線0Q上至多有一個點C,使得N&CB=宏

則。4長度的取值范圍為（）

【答案】D

【詳解】以。為原點，0Q為x軸建立如圖所示平面直角坐標系,

K

因為"0Q=*所以設4(依⑷,B/b,b),C(c,O),(h>a>0),

由ZB=2可得J(Ea—Eb)?+(a—b)2=2,解得b=1+a,

因為C4=(遮。一c,a),CB=(V3h—c,b),Z-ACB—

所以乙4-CB=(V3a—c)(V3h—c)+ab=0,整理得c?—(V3a+V36)c+4ab=0,

由題意可得關于c的一元二次方程c2-(V3a+V3b)c+4ab=。至多有一個解，

2

所以△=(V3a+V3/J)-16ab<0,將b=1+a代入整理得—4。2-4a+3<0,

解得所以|。*>1,

故選：D

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.下列選項正確的是()

A.sinl00°cos40°-cosl00°sin40°^B.tan22°+ten3^^3

21—tan22tan38

C.sin22.5°cos22.5°D.cos215°-sin215°=1

【答案】AB

【詳解】對于A,sinl00°cos40°—cosl00°sin40°=sin(100°—40°)=sin60°^故A正確；

對于B，匿費黑=tan(22°+38°)=tan60°=百，故B正確；

對于C,sin22.5°cos22.5°=|-2sin22.5°cos22.5°=|sin45°=|x故C錯誤；

對于D,cos215°—sin215°=cos(2x15°)=cos30°=故D錯誤.

故選：AB.

10.已知aABC的內角/,B,C的對邊分別為a,b,c,則下列說法正確的是().

A.若sinA>sinB,則4>B

B.若a2+62>c2,則△ABC為銳角三角形

C.若acosA=bcosB,則△ABC為等腰三角形

D.若b=2,4=會這樣的三角形有兩解，貝M的取值范圍為（8,2）

【答案】AD

【詳解】對于A,因為sin力〉sinB,由正弦定理可得a>b,所以4>B,故A正確；

對于B,由余弦定理cosC=>0,可知C為銳角，

但是無法判斷角/和角2是否為銳角，所以無法判斷△力BC是否為銳角三角形，故B錯誤；

對于C,因為acosA=bcosB,所以sin2cos4=sinBcosB,即sin22=sin2B,

又486（0萬），所以24286（0,2n）,所以24=2B或24+2B=m

即A=8或4+B=3即△ABC為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；

對于D,因為三角形有兩解，所以6sin4<a<b,即2x苧=VI<a<2,即a的取值范圍為（心2）,故D

正確.

故選：AD.

11.如圖，在四邊形A8CD中，~BC=2AD,E為CD的中點，BE與AC交于點F,BD與4C交于點G,設同=2,

AD=b,則下列結論正確的是（）

C.BE=——a+—b

D.若BF—A.CL+〃/?,貝—〃=—1

【答案】AC

【詳解】對于選項A,因為前=2而，所以AD〃BC,且4D=：BC,

所以GD=9BG所以方=河，故選項A正確，

對于選項B,若衣=元，貝肝為CG的中點，因為E為CD的中點,

所以EF〃DG,與EFQG相交于點B矛盾，故選項B錯誤，

對于選項C,因為后為⑺的中點，所以BE=*玩+而)=*2石+B—2)=—3+劣故選項C正確,

對于選項D,解法一：由題意可設/F=m/C,me(0,1),

所以BF=AF—AB=mAC—AB=m^AB+近)—AB=(m-1)AB+mBC=(m—1)2+2mh,

又3尸二強+而，所以4=1,[i=2m,所以24—〃=2(m—1)—27n=-2,故選項D錯誤，

解法二：因為4KC三點共線，所以麗=久瓦？+y前，且％+y=l,

5LXBA+yBC=-xa+2yb,BF=A.a+/zb,所以2=—%,〃=2y,24—〃=—2,故選項D錯誤，

故選：AC.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量五=(1,7)方=(—3,1),若(五+七石)13,則：=.

9

【答案】—p—0.4

【詳解】依題意，a+kb=(1-3/C.7+/C).貝+廟)?加=—3(1—3k)+7+k=0,所以k=—

故答案為：—(

13.已知sin(a+；)=：,貝!]sin(2a+,)=.

【答案】—：/0.5

【詳解】sin(2a+，)=sin[(2a+g)-1=—cos(2a+專)

=2sin2(a+])-1=2x(g)—1=—1.

故答案為：—g

14.在△ABC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,且B=?若點M是BC的中點，AM=\AC,則/=.

【答案】3

【詳解】

在△力BM中，因BM=；1a,B=T~T,由余弦定理可得：AM12=AB2+BM2-2AB-BMcosB=c2+"1-a2-^1-ac,

2342

在中，由余弦定理可得：

AC2=AB2+BC2—2AB?BCcosB=c2+a2—ac,

因為ZM=^AC,即=4/M2,

可得+a2—ac=4(c2+-a2--ac)=4c2+a2-2ac,解得孑=3.

'42，c

故答案為：3.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步聚。

15.(13分)已知ere2是平面內兩個不共線的非零向量，4B=2ei+e2，BE=—ei+%e2，EC=—2ei+02,

且4E,C三點共線.

(1)求實數4的值；

(2)已知瓦=(2,1),皈=(2,—2)，點。(3,5),若4B,C,D四點按逆時針順序構成平行四邊形，求點N的坐標.

【詳解】(1)由題意，族=四+左=(2萬+無)+(-瓦+4*)=瓦+(1+4)專，

由4E,C三點共線，存在實數上，使得族=k或，(3分)

即方+(1+4)*=fc(-2萬4-杳),得(1+2k)瓦=(k-l-4)變,

???由,專是平面內兩個不共線的非零向量，

?-?{\t2fc=i°，解得k=-1,2=-|.(6分)

(2)BC=BE+EC=-3e^-^=(-6,-3)+(-1,1)=(-7,-2),(7分)

由4BCD四點按逆時針順序構成平行四邊形，則而=就，(9分)

設4(x,y),則前=(3—x,5—y),BC=(-7,-2),(11分)

所以怎二:二二，，解得{官學即點/的坐標為(10,7).(13分)

16.(15分)在△ABC中，角4B,C的對邊分別為火瓦c,且V^asinB+bcosA=2b

(1)求4

(2)若a=2,求△ABC面積的最大值.

【詳解】(1)因為gasiriB+bcosA=2b,

所以由正弦定理得A/^siiVlsinB+sinBcosA=2sinB,(2分)

因為sinB片0,所以d^sin4+cos4=2,(3分)

整理得2sin[+S=2,即sin(a+3=l.(5分)

因為ae(0,71),所以4+'9,?),(6分)

所以a+?=*即(7分)

(2)在△48C中，a=2,由余弦定理得a2=爐+c2—2bccos4,(9分)

所以4=b2+c2—be>2bc—be=be,

當且僅當b=c=2時等號成立，(11分)

所以S44BC=/csinA=fbcW苧x4=俗(14分)

即△4BC面積的最大值為g.(15分)

17.(15分)己知函數/'(x)=2?sin久cos(x+)+1.

⑴求/(?

(2)把y=f(x)圖象上的所有的點向右平移的單位，得到函數y=g(X)的圖象，求y=g(x),xe碌，弱的值域.

【詳解】(1)

/(%)=27^皿2"+a}1"-7)十1=魚sin(2x+)(4分)

/6)=V2sin(1+^)=V2(sin^cos^+cos^sin^)=^±^/2=(7分)

(2)g(x)=V2sin(2(x—+^)=V2sin(2x—^TT),x6,(10分)

二2工一工e￡等，sin(2x+)e[孝,1](13分)

■1?/W=V2sin(2x+^)6[1,V2].(15分)

18.(17分)如圖，點G是△OAB重心，P、Q分別是邊。4、。8上的動點，且P、G、Q三點共線.

(1)設麗=4萬，將耐用2、OP,而表示；

(2)設方=久萬tOQ=yOB,1^：3+；是否是定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由;

T

⑶在(2)的條件下，記△OAB與△OPQ的面積分別為S、T,求I的取值范圍.

【詳解】(1)OG^~OP+PG^OP+APQ-OP+2(OQ-OP)=(1-X)OP+WQ,(3分)

（2）^1+-1=3,理由如下：

由（1）可知無=（1—冷而+2而，又加=而2,0Q=yOB,

所以而=（I—2）無萬？+旬而，（5分）

因為點G是△Q4B重心，

所以無=|由=|x*方+而）=河+到，（8分）

(1—A)x=1i=3-3A

而04,。8不共線，所以解得xi1=3A

y

所以!+；=3；（10分）

/r、7畫質|sinzPOQ\op\[OQ\

（3）?=:詞|函sin〃OB=兩*同=町'

由（2）知y=晟p

所以孫=w=梟-"—）+Y（D+馬+a?分）

由點P、Q分別是邊。4、。8上的動點，G為重心且P、G、Q三點共線,

所以3WxWl,|<y<1,貝咕Wx—岸|,（10分）

設。=%一』則￡=短+9,ae[|<|l,

因為當。喂小時，函數單調遞減，當aeg|]時，函數單調遞增，（13分）

當。號時，即x=|,y=|,5有最小值，最小值為

a=：時，即％='|,y=1,當a=（時，即久=1,y=|,*=（15分）

所以！的最大值為《（16分）

所以白牌].⑴分）

19.（17分）在平面直角坐標系久0y中，對于非零向量五=（%i，yi）3=（%2，丫2），定義這兩個向量的“相離度”

為以五3）=容易知道五萬平行的充要條件為以林）=0.

vxi+yi'vx2+y2

（1）已知五=（1,2）3=（4,—2）,求d@B）；

（2）①已知4的夾角為和遍的夾角為。2,證明：d（a,b）=或泡）的充分必要條件是sin?=sin02；

②在△4BC中，AB=2,AC=4,角/的平分線與8c交于點。，且力。=$若方+而+元=6,求

d（PA,PB）.

【詳解】（1）因為五=（1,2）3=（4,一2）,

.|lx（-2）-2x4|10

所以