清單06銳角三角函數(10個考點梳理+題型解讀+提

升訓練)

正弦

余弦

正切

銳

角特殊角的三角函數值30°,45°,60°

角三邊關系

解

兩銳角關系

函直

角邊角關系-銳角三角函數

數三

角仰角和俯角

形

坡度和坡角

方位角

【清單01】銳角三角函數的概念

如圖所示，在RtZkABC中，NC=90°,NA所對的邊BC記為a,叫做NA的對邊，也

叫做/B的鄰邊，/B所對的邊AC記為b,叫做NB的對邊，也是/A的鄰邊，直角C

所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

/期對邊

銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即sinA=

斜邊

A

NA的鄰邊

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即cosA=

斜邊

/邢J對邊a

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=

/岫鄰邊~b

同理

NB的對邊的對邊b

sin5=tanB=

斜邊c斜邊cZB的鄰邊a

【清單02】銳角三角函數的增減性

(1)在o。一90。之間，銳角a的正弦值隨角度的增大而增大；

（2）在o。-90。之間，銳角a的余弦值隨角度的增大而減小；

（3）在0。-90。之間，銳角a的正切值隨角度的增大而增大.

【清單03】特殊角的三角函數值

利用三角函數的定義，可求出30。、45。、60°角的各三角函數值，歸納如下:

銳角asinacosatana

2

30°顯曲

223

1

45°戊星

~2~2

60°顯了

22

【清單04】解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形?已知條件解法步驟

兩兩直角邊（a,b）

□

邊由tanA--求NA,

b

NB=900-ZA,

RtAABCc-JJ+M

B

斜邊，一直角邊（如c,a）

由A='求NA,

c

ZB=90°-ZA,

A乙-------------1c

bb=JJ-J

一直角邊銳角、鄰ZB=90°-ZA,

邊和一銳角邊

（如NA,

角b)

,,b

a=btan力，c=

cosA

銳角、對ZB=90°-ZA,

邊

a,a

(如NA,c-------b=------

sinJ,tan力

a)

斜邊、銳角(如C,ZA)ZB=90°-ZA,

a-cs\nA,b-ccosA

【清單05】解直角三角形的應用

(1)坡度坡角

在用直角三角形知識解決實際問題時，經常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母a表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離’的比叫做坡度，用字母I

h

I=-=tana

表示，則>,如圖，坡度通常寫成】=為:?的形式.

(2)仰角俯角問題

仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下

方的叫做俯角，如圖.

⑶方位角問題

(1)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①

中，目標方向PA,PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，

如圖②中的目標方向線0A,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,

南偏西80°,北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏

東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1.解直角三角形實際是用三角知識，通過數值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的

大小，最好畫出它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角

形或矩形來解.

3.解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正

確畫出示意圖，進而根據條件選擇合適的方法求解.

力型陸單

【考點題型一】銳角三角函數的定義

【典例1］如圖，在△力BC中，若NC=90。，則()

【變式1-1］在AABC中，ZC=90°,設乙4,乙B,NC所對的邊分別是a,b,c,則下列

各等式中一定成立的是()

A

CB

A.a=c-sinXB.b=c?cosBC.c=—D.a=b-tanB

smA

【變式1-2］如圖，在RtAABC中，ABAC=90°,4。_L8C于點。，下列結論正確的是

（）

【變式1-3］在△4BC中，NC=90。，a、b、c分別為乙4、NB、NC的對邊，下列各式成

立的是（）

A.sinF=-B.cosB=-C.tanB=2D.tanB=-

ccba

【考點題型二】已知函數值求邊長

【典例2】在RtAABC中，NC=90。，AB=5,sinA=|,則邊4C的長為（）

A.3B.4C.V34D.V41

【變式2-1】在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,cosA=￡貝l|BC的長為（）

A.6B.8C.10D.12

【變式2-2】已知在RtAABC中，ZC=90°,tanX=2,AB=4A/5,典MC等于（）

A.6B.16C.12D.4

【變式2-3】在Rt△力BC中，ZC=90°,BC=6,AB=10,貝!JsinA=（）

3455

A.-B.-C.-D.-

5534

【變式2-4］在RtAABC中，Z,C=90°,如果sinA=3BC=6,那么48=.

4

【考點題型三】求角的函數值

【典例3】如圖，4B,C,D都在正方形網格的格點上,4(7與BD交于點P,則tan乙4PB=()

【變式3-1】如圖，在RtAABC中，NB4C=90。,力D1BC于點。，若BD:CD=3:2,則

tan/ZMC的值為()

【變式3-2］在Rt△ABC中，己知NC=90。，sinA=3則tanB的值是()

A.管B.2&C.fD.|

【變式3-3］在正方形網格中，△ABC的位置如圖所示，則COST!的值為

【變式3-4］如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,點力、B、C都在格點上,

則tan/HCB的值是.

【考點題型四】同角三角函數的關系

【典例4】若NA是銳角，且cosA=|,則sinA=.

【變式4-1】若銳角A滿足tan〃=%則sino的值是（）

AV5oV10c3V10c3V5

A.—D.C.----U.

510105

【變式4-2】如果a是銳角，且cosa=￡那么sina的值是（）

A.—B.-C.-D.2V2

2555

【變式4-3】已知：sina=、則cosa=（）

A.-B.-C.-D.-V2

3393

【考點題型五】互余兩角三角函數的關系

【典例5】在放△ABC中，ZC=90°,若cosB=1,貝kind的值為

【變式5-1]在RSABC中，/C=90。，tanA=*貝！IsinB的值為

【變式5-2］在RtAABC中，ZC=90°,sinX=p貝IjcosB=

【變式5-3］在RtAABC中，ZC=90°,sinA=卷，則tanB的值為

【考點題型六】特殊角的三角函數值

【典例6】cos45。的值是（）

A.iB.在c.在D.1

222

【變式6-1]2sin30。的值為（）

A.-B.1C.V3D.2

2

【變式6-2】計算8cos30。的值是（)

1

A.-B.1c.-D.3

22

【變式6-3】計算：tan60。=（）

A.—B.V3c.—D.V2

23

【考點題型七】解直角三角形及應用

【典例7］如圖，在△力BC中，AB=AC=10,sinB=1.

⑴求BC的長;

(2)求cos4的值.

【變式7-1］已知：如圖，BD是△4BC的高，AB=6,AC=5V3,zX=30°.

(1)求BD和4D的長;

⑵求tanC的值.

【變式7-2】如圖，在RtAABC中，^ACB=90°,4。平分NBAC交8C于點￡),DE1AB=f-

點E.若BD=5,COSB=￡求AC的長.

【變式7-3】2001年竣工通車的湘潭三大橋是湘江上已建大橋中規模最大的雙塔垂直雙

索面三跨連續體系斜拉橋(如圖1),圖2是從圖1抽象出來的平面圖，已知：拉索48、

BD與橋面4C所成角度分別為37。、45°,若AD=210米，求立柱BC的高度.(參考數據:

tan37tM).75,sin37tM).6,cos37°?0.8,結果精確到1米)

圖1圖2

【考點題型八】解直角三角形的應用-坡度坡角

【典例8】如圖①是位于青島的山東省內最大的海景摩天輪“琴島之眼”，游客可以在碧

海藍天之間領略大青島的磅礴氣勢.圖②是它的簡化示意圖，點。是摩天輪的圓心，小

紅在E處測得摩天輪頂端A的仰角為24。，她沿水平方向向左行走122m到達點。，再沿

著坡度i=0.75的斜坡走了20米到達點C,然后再沿水平方向向左行走40m到達摩天輪

最低點2處（A,B,C,D,E均在同一平面內），求摩天輪AB的高度.（結果保留整數）

（參考數據：sin24°?0.4,cos24°?0.91,tan24°~0.45）

圖1圖2

【變式8-1］讓每一個孩子在家門口就能“上好學”，衡東某中學依山而建.校門A處，有

一斜坡48,長度為13米，在坡頂B處看教學樓CF的樓頂C的仰角NC8F=45°,離B

點4（3-米遠的E處有一花臺，在￡處仰望C的仰角NCEF=60。，CF的延長線交校

門處的水平面于。點，FD=5米.

（1）求斜坡48的坡度i.

⑵求DC的長.

【變式8-2】某通信公司欲在山上建設5G基站.如圖，某處斜坡CB的坡比為1:2.4,通

訊塔垂直于水平地面，在C處測得塔頂A的仰角為45。，在。處測得塔頂A的仰角為

53°,斜坡路段CD長26米.

⑴求點。到水平地面CQ的距離；

(2)求通訊塔4B的高度、(參考數據：sin53°-i,cos53°?|

【變式8-3】為了方便市民出行，建委決定對某街道一條斜坡進行改造，計劃將原斜坡

坡角為45。的BC改造為坡角為30。的力C,已知BC=10魚米，點4,B,C,D,E,F在同

一平面內.

(1)求的距離；(結果保留根號)

(2)一輛貨車沿斜坡從C處行駛到F處，貨車的高EF為3米，EF1AC,若CF=16米，求

此時貨車頂端E到水平線CD的距離DE.(精確到0.1米，參考數據：V2x1.41,V3?1.73)

【考點題型九】解直角三角形的應用-仰角俯角

【典例9］如圖，塔48前有一座高為DE的山坡，已知CD=8m,乙DCE=30。，點4,C,

E在同一條水平直線上.某學習小組在山坡C處測得塔頂部B的仰角為45。，在山坡。處測

得塔頂部8的仰角為27。.

⑴求DE的長.

(2)求塔4B的高度.(參考數據：tan27°?0.5,sin27°?0.45,cos27°?0.89,V3?1.7,

結果取整數)

【變式9-1】數學興趣小組到一公園測量塔樓高度.如圖所示，塔樓剖面和臺階的剖面

在同一平面，在臺階底部點A處測得塔樓頂端點E的仰角NG4E=50.2。，臺階長26

米，臺階坡面48的坡度i=5:12,然后在點B處測得塔樓頂端點E的仰角NEBF=63.4°,

則

⑴點8至U4G的距離為多少米？

(2)塔頂到地面的高度EF約為多少米？

(參考數據:tan50.2°?1.20,tan63.4°-2.00,sin50.2°-0.77,sin63.4°~0.89)

【變式9-2］如圖，為了測量無人機的飛行高度，在水平地面上選擇觀測點A,B.無

人機懸停在C處，此時在A處測得C的仰角為36。52,無人機垂直上升5m懸停在D處，

此時在8處測得。的仰角為63。26，，4B=10m,點A,B,C,。在同一平面內，A,

2兩點在CD的同側.求無人機在C處時離地面的高度.(參考數據：tan36O52,二

0.75,tan63026,-2.00)

【變式9-3】如圖，小明家所在居民樓高CD為30m,從樓頂C處測得另一座大廈頂部A

的仰角a是26.6。，大廈底部B的俯角乃是45。.

(1)求兩樓之間的距離8。；

(2)求大廈的高度4B.

(結果保留整數，參考數據：：sin26.6°?0.45,cos26.6°?0.89,tan26.6°?0.50)

【考點題型十】解直角三角形的應用-方向角

【典例10］為了維護海洋權益，新組建的國家海洋局加大了在南海的巡邏力度.一天，

我兩艘海監船剛好在我某島東西海岸線上的48兩處巡邏，同時發現一艘不明國籍的船

只停在C處海域.如圖所示，4B=60（遍+&）海里，在B處測得C在北偏東45。的方向

上，4處測得C在北偏西30。的方向上，在海岸線4B上有一燈塔。，測得45=120（乃-

魚）海里.

⑴求出A與C距離AC（結果保留根號）.

（2）已知在燈塔。周圍100海里范圍內有暗礁群，我在4處海監船沿AC前往C處盤查，途中

有無觸礁的危險（參考數據：V2=1.41,V3=1.73,遙=2.45）.

【變式10-1］如圖，一艘漁船位于小島B的北偏東30。方向，距離小島80海里的點A處,

它沿著點A的南偏東15。方向航行.（結果保留根號）

⑴漁船航行多遠與小島B的距離最近？

（2）漁船到達距離小島B最近點后，按原航向繼續航行40歷海里到點C處時突然發生事

故，漁船馬上向小島B上的救援隊求救，問：救援隊從8處出發沿著哪個方向航行到達

事故地點航程最短，最短航程是多少？

【變式10-2】小明和小紅相約周末游覽合川釣魚城，如圖，A,B,C,D,E為同一平面

內的五個景點.已知景點E位于景點2的東南方向400傷米處，景點。位于景點4的北偏東

60。方向1500米處，景點C位于景點8的北偏東30。方向，若景點48與景點C,。都位于

東西方向，且景點C,B,E在同一直線上.

（1）求景點力與景點B之間的距離.（結果保留根號）

（2）小明從景點4出發，從2到。到C,小紅從景點E出發，從E到B到C,兩人在各景點處停

留的時間忽略不計.已知兩人同時出發且速度相同，請通過計算說明誰先到達景點C.（參

考數據：V3?1.73）

【變式10-3］如圖，某小區有南北兩個門，北門A在南門B的正北方向，小紅自小區北

門A處出發，沿南偏西53。方向前往小區居民活動中心C處；小強自南門B處出發，沿

正西方向行走300根到達。處，再沿北偏西30。方向前往小區居民活動中心C處與小紅匯

合，兩人所走的路程相同，求該小區北門A與南門B之間的距離.（結果保留整數，參

考數據：sin53°-0.8,cos53°?0.6,tan53°-1.3,V3-1.73）

東

33°

清單06銳角三角函數（10個考點梳理+題型解讀+提

升訓【練）

考點儕單

正弦

定義一余弦

正切

銳

角特殊角的三角函數值30°,45°,60°

角三邊關系

解

兩銳角關系

函直

角邊角關系-銳角三角函數

數三

角仰角和俯角

形

坡度和坡角

方位角

【清單01】銳角三角函數的概念

如圖所示，在RtZXABC中，ZC=90°,NA所對的邊BC記為a,叫做/A的對邊，也

叫做NB的鄰邊，NB所對的邊AC記為b,叫做NB的對邊，也是NA的鄰邊，直角C

所對的邊AB記為c,叫做斜邊.

/朗勺對邊_a

銳角A的對邊與斜邊的比叫做NA的正弦，記作sinA,即sinA=

斜邊c

銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做NA的余弦，記作cosA,即cosA=/弊￥邊=-

斜邊c

/岫對邊a

銳角A的對邊與鄰邊的比叫做NA的正切，記作tanA,即tanA=

/岫鄰邊~b

同理的對邊b；ZB的鄰邊ZB的對邊b

sin5=cos5=tan5=

斜邊斜邊ZB的鄰邊a

【清單02】銳角三角函數的增減性

(1)在o。-90。之間，銳角a的正弦值隨角度的增大而增大；

(2)在0。-90。之間，銳角a的余弦值隨角度的增大而減小；

(3)在0。—90。之間，銳角〃的正切值隨角度的增大而增大.

【清單03】特殊角的三角函數值

利用三角函數的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數值，歸納如下:

銳角8sinacosatana

30°2在

2~23

1

45°

~2~2

工

60°V5

22

【清單04】解直角三角形的常見類型及解法

和解法

三角形類過已知條件解法步驟

兩兩直角邊（a,b）

邊由tan4=色求NA,

b

ZB=90°-ZA,

c-jm

斜邊，一直角邊（如c,a）

由sinA=9■求NA,

c

RtAABCNB=900-ZA,

B

b=

一直角邊銳角、鄰ZB=90°-ZA,

邊和一銳角邊

月”-------1c￡45

b（如NA,a-btanC=

角b）COSJ4

銳角、對ZB=90°-ZA,

邊

a.a

（如/A,c=-----b=------

tanJ4

a）smA,

斜邊、銳角（如c,ZA）ZB=90°-ZA,

a=csin/，b^ccosA

【清單05】解直角三角形的應用

（1）坡度坡角

在用直角三角形知識解決實際問題時，經常會用到以下概念:

（1）坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母a表示.

IT

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離/的比叫做坡度，用字母】

i=—=tana

表示，則:，如圖，坡度通常寫成7=方：？的形式.

(2)仰角俯角問題

仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下

方的叫做俯角，如圖.

/視線

眼睛4^^--水平線

、視線

(3)方位角問題

(1)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①

中，目標方向PA,PB,PC的方位角分別為是40°,135°,245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90。的水平角，叫做方向角，

如圖②中的目標方向線0A,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東30°,南偏東45°,

南偏西80°,北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°,東北方向指的是北偏

東45°,西南方向指的是南偏西45°,西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1.解直角三角形實際是用三角知識，通過數值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的

大小，最好畫出它的示意圖.

2.非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角

形或矩形來解.

3.解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正

確畫出示意圖，進而根據條件選擇合適的方法求解.

題型情單

【考點題型一】銳角三角函數的定義

【典例1】如圖，在A/IBC中，若NC=90。,則（）

A—/ib

A.sm-A4=-aB.sinZ=-D.cosB--

a

【答案】A

【分析】考查銳角三角函數的定義,熟練掌握正弦，余弦的定義是解題的關鍵.

【詳解】解：

sin?!=cosB=csinB=cosi4=c

故選A.

【變式1-1］在AABC中，ZC=90°,設乙4,乙8,NC所對的邊分別是a,b,c,則下列

各等式中一定成立的是（）

A.a=c-sinXB.b=c-cosBC.c=D.a=b-tanB

sinA

【答案】A

【分析】根據銳角三角函數的定義進行判斷即可.

【詳解】解：由題意可得：

sinX=cosB=tanB=

cca

.\a=c-sin/,c=,a=c-cosB,b=a-tanF,

sinA

故A選項成立，B,C,D不成立，

故選A.

【點睛】本題考查銳角三角函數，理解銳角三角函數的定義是正確解答的關鍵.

【變式1-2］如圖，在RtAZBC中，ABAC=90°,2。_LBC于點。，下列結論正確的是

()

A.sinC=——B.sinC=——C.sinC=——D.sinC=——

ACDCBCAB

【答案】c

【分析】根據垂直定義可得N4DB=N4DC=90。，然后在RtAADC中，利用銳角三角函

數的定義即可判斷A,B,再在RtAABC中，利用銳角三角函數的定義即可判斷C,最

后利用同角的余角相等可得NC=NBA。，從而在RtABAD中，利用銳角三角函數的定義

即可求出sin/BAD=—,即可判斷D.

AB

【詳解】解：YaDlBC,

：.^ADB=^ADC=90°,

在Rt△力DC中sinC=

故A、B不符合題意；

在RtA4BC中，sinC=—,

BC

故C符合題意；

?:（B+/-BAD=90°,ZB+ZC=90°,

Z.C=乙BAD,

在RtzkBAD中，sinzSXD=—,

AB

.'.sinC=sm/-BAD——,

AB

故D不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵.

【變式1-3］在AABC中，ZC=90°,a、b、c分別為乙4、乙B、NC的對邊，下列各式成

立的是（）

A.sinfi=-B.cosB=-C.tanB=-D.tanB=-

ccba

【答案】D

【分析】本題考查三角函數的知識，熟記正弦、余弦和正切的定義是解題的關鍵.正弦

是對邊比斜邊，余弦是鄰邊比斜邊，正切是對邊比鄰邊，據此可判斷.

【詳解】解：如下圖，

A.sinB=故該選項不成立，不符合題意;

B.cosB=q,故該選項不成立，不符合題意;

C

C.tanB=故該選項不成立，不符合題意;

a

D.tan^=故該選項成立，符合題意.

a

故選：D.

【考點題型二】已知函數值求邊長

【典例2】在RtAABC中，NC=90。，AB=5,sinA=|,則邊4C的長為（）

A.3B.4C.V34D.V41

【答案】B

【分析】本題考查了正弦，勾股定理.熟練掌握正弦的概念是解題的關鍵.

如圖，由題意知，sinX=^=|）可求BC=3,然后根據勾股定理求AC即可.

【詳解】解：如圖，

8

--------------

由題意知，sinTl=^=1，即當=3

AB555

解得，BC=3,

由勾股定理得，AC=7AB2-BC?=4,

故選：B.

【變式2-1]在RtAABC中，ZC=90°,AC=8,cos4=貝!JBC的長為（）

A.6B.8C.10D.12

【答案】A

【分析】本題考查了三角函數的變形計算，根據cos4=哼=2=3求得AB,再利用

ABAB5

勾股定理計算BC即可.

【詳解】：NC=90°,AC=8,COST!=I，

,.AC84

??C0Si4——―—,

ABAB5

解得=10,

：.BC=7AB2—AC2=6,

故選A.

【變式2-2】已知在中，ZC=90°,tanA=2,AB=475,貝i]4C等于（

A.6B.16C.12D.4

【答案】D

【分析】本題主要考查了正切值的定義.根據題意作圖，由正切值的定義可得,tanA=竿

結合勾股定理，即可求得4C的值.

【詳解】解：如圖，

???在中，ZC=90°,

tanX=—,

AC

*.*tanA=2,

.?筆=2,BPBC=2AC,

\"AB=4V5,

2

：.AC2+BC2=AB2,即AC?+（2XC）2=（4曲），

：.AC=4,

故選：D.

【變式2-3】在Rt△力BC中，ZC=90°,BC=6,AB=10,貝UsinA=()

3455

-B.-C.-D.-

5534

【答案】A

【分析】本題考查求正弦值，根據正弦的概念，即可解答.

【詳解】

由題意得：sin/=*=2=|.

AB105

故選：A.

【變式2-4】在Rt△力BC中，ZC=90°,如果sinA=三，BC=6,那么AB=

4

【答案】8

【分析】本題考查了解直角三角形，利用直角三角形的邊角間關系，可得結論.

【詳解】解：???sinAw空=三,BC=6,

AB4

AB=8.

故答案為：8.

【考點題型三】求角的函數值

【典例3】如圖都在正方形網格的格點上,4C與BD交于點P,則tan/APB=()

【答案】B

【分析】本題主要考查了求角的正切值，勾股定理和勾股定理的逆定理，取格點E,連

接BE,DE,由網格的特點可知BE||4C,貝|乙4PB=NEBD,利用勾股定理和勾股定理

的逆定理證明△BDE是直角三角形，且NBED=90°,則tan/EBD=-=tan/.APB=

BE2

5

2,

【詳解】解：如圖所示，取格點E,連接BE,DE,

由網格的特點可知BEIIAC,

：.AAPB=乙EBD,

;BE=V22+22=2vLDE=V52+52=5&,BD=V32+72=V58,

：.BE2+DE2=BD2,

，△BDE是直角三角形，且ABED=90°,

/.tanzESO=-=

BE2

.'.tanz/PB=

2

故選：B.

【變式3-1］如圖，在RtAABC中,NB4C=90。,4￡?1BC于點D,若BD:CD=3:2,則

tanAEMC的值為（）

B.造D.手

AC

-I3-T

【答案】B

【分析】先根據題目已知條件推出△ABDSACAD,貝I可得NQ4C=NB,然后根據

BD-.CD=3:2,設BO=3x,CD=2x,利用對應邊成比例表示出力。的值，進而得出

tan/EMC的值,

【詳解】I在RtZk—BC中,ABAC=90°,

+"=90°,

9：AD1BC于點D,

：./-B+Z.BAD=90°,Z-C+Z.DAC=90°

Z.BAD=Z-C,Z-B=Z.DAC,

:,RtAABDS^CAD,

即，AD?=BD?CD,

ADCD

?；BD:CD=3:2,

???設=3%,CD=2x,

.\AD=V3x-2x=V6x,

tanzB=tanZ-DAC=—=,

BD3x3

故選：B.

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、相似比、銳角三角函數的定義、直角三

角形的性質，解題的關鍵是根據垂直證明三角形相似，根據對應邊成比例求邊長.

【變式3-2］在RtAABC中，已知NC=90。，sinX=貝UtanB的值是（）

A.—B.2V2C.—D.-

343

【答案】B

【分析】本題考查了一個銳角的正弦與正切值.根據題意設BC=x,貝|4B=3x,得出

AC=2V2%,再利用正切的定義求解即可.

【詳解】解：：在Rt△力BC中，"=90°,sinX=~=^

設BC=x,貝l|AB=3x,

：.AC=7AB2—BC2=2缶，

AtanB=—=—=2V2

BCx

cA

故選：B.

【變式3-3］在正方形網格中，AABC的位置如圖所示，則cosA的值為

【分析】本題考查了銳角三角函數的定義，過C作CD14B于D,利用勾股定理可以求出

&C的長，再根據余弦的定義即可求出cos4的值，正確理解銳角三角函數的定義是解題的

關鍵.

【詳解】如圖，過C作CD14B于D,

:.乙D=90°,

由網格可知：AD=4,AC=V32+42=5,

AD4

???C0Si4A=——=一

AC5

故答案為：--

【變式3-4］如圖，在正方形網格中，每個小正方形的邊長為1,點兒B、C都在格點上,

則tanN力CB的值是

【答案】?

【分析】本題考查了解直角三角形和勾股定理，能求出乙4DB=90。是解此題的關鍵.根

據已知圖形得出41DC=90。，再求解即可.

【詳解】解：如圖，連接ZD,

由勾股定理得：AD=BD=Vl2+I2=V2,CD=V32+32=3vL

???/。2+8。2=4=，乙BAD=幺B,

???乙ADB=90°,

：.^BAD=乙ABD=45°,

：./-ADC=180°-90°=90。,

???tanZ-ACB=烏=-.

3A/23

故答案為：I.

【考點題型四】同角三角函數的關系

【典例4】若NA是銳角，且cosA=|,則sinA=.

【答案】玄0.8

【分析】根據COSA=￡設出關于兩邊的代數表達式，再根據勾股定理求出第三邊長的表

達式即可推出sinA的值.

【詳解】解：如圖，在RMA