2024-2025學年高二數學下學期第一次月考卷

(江蘇專用)

(考試時間：120分鐘，分值：150分)

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：蘇教版2019選擇性必修第二冊第6?7章。

5.難度系數：0.65o

第一部分(選擇題共58分)

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的。

1.設X/ER,向量〃=(X,1,1),B=(1J,1),C=(2,—4,2),且〃_1瓦3//。，則|a+B］等于()

A.272B.反

C.3D.4

【答案】C

【解析】向量Z=(x,l,l)》=(l),l)1=(2,-4,2),由g/兀，得;=：=；，解得片一2,

由得“?B=x+y+l=0,解得x=1,。+刃=(x+lj+1,2)=(2,—1,2),

所以R+年722+(-1)2+22=3.

故選：C

2.如圖，三棱錐O-/8C中，Q4=a>OB=b>OC=c，且兩=:厲，CN=^CB,則疝=（）

A.--a+-b+-cB.-a+-b+-c

433433

C.--a+-b+-cD.—a+—b+—c

422422

【答案】C

_____3,ik

【解析】MN=MO+OC+CN=~OM+OC+—CB=--OA+OC+-(OB-OC)

242

=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

422422

故選：C.

3.(2x-的展開式中的常數項為()

y/X

A.-60B.-20C.20D.60

【答案】D

【解析】（2x-；y的展開式中的常數項為C：（2尤）2（-；）4=60.

y/x

故選：D

4.要排出某班一天中語文、數學、政治、英語、體育和藝術6門課各一節的課程表，要求數學課排在前3

節，英語課不排在第6節，則不同的排法共有（）

A.75種B.144種C.288種D.360種

【答案】C

【解析】先排數學，有A；=3種不同的排法;

再排英語，有A；=4種不同的排法；

最后排剩余課程，有A：=24種不同的排法；

所以不同的排法共有3x4x24=288種.故選：C.

5.如圖，二面角々-/-方的棱上有兩個點42,線段/C與AD分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直

71

于棱/.若48=1,AC-2,BD-3,二面角6的平面角為§,則CZ>=（）

【答案】B

【解析】由條件知至.15=0，ABBD=O,CD=CA+AB+1D，

又二面角a-/-￡的平面角為貝M而，就）=；,

所以函2=|C3|2+|2B|2+函2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=22+12+32+2X2X3COSL-J|=8,所以|CO|=2拉.故選：B.

6.如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架NBC2/3E尸的邊長都是1,且它們所在的平面互相垂直.長

度為1的金屬桿端點N在對角線正上移動，另一個端點M在正方形/BCD內（含邊界）移動，且始終

保持1AB,則端點M的軌跡長度為（）

717T

A.-B.6C.1D.-

24

【答案】A

【解析】以8為坐標原點，A4,5E,2c分別為x/,z軸,建立空間直角坐標系,

則4（1,0,0）,3（0,0,0）,設7V（tz,a,0）,Af（x,0,z^,a,x,ze[0,1],

可得A4=(1,0,0),JW=(x-a,-a,z),

因為MN_LAB,即5Z-7W=lx(x—q)=0,可得％=Q,

則兩=(O,-X,2),則M=J(_X/+z2=1,整理可得x2+z2=l,

可知端點M的軌跡是以5為圓心，半徑r=l的圓的：部分，

1兀

所以端點初的軌跡長度為:X27IX1=￡.

42

故選：A.

7.將98個不同的小球全部放入99個不同的盒子中，共有沉種不同的方法，若加=100左+r,其中左eN,

0<r<100,貝什=()

A.99B.88C.12D.1

【答案】D

【解析】將98個不同的小球全部放入99個不同的盒子中，共有加種不同的方法，

則加=99"=(100-10=10()98+C%C0()97.(一1)+C；8c0096.(_]了十…十《卜]])97+(_1)98

989796

且100+c；8-i00?(-1)+C1100?(-1)2+…+C*100.(-1)智能被100整除,

所以，加除1除的余數為BPr=l.

故選：D.

8-這里所使用的方法，實際上是將一個量用兩種方法分別算一次，由結果相同得到等式，這是一種非常有

用的思想方法，叫作“算兩次”，對此我們并不陌生，如列方程時就要從不同的側面列出表示同一個量的

代數式，幾何中常用的等積法也是“算兩次”的典范，再如，我們還可以用這種方法，結合二項式定理得

到很多排列和組合恒等式，如由等式(1+x廣=(l+x)"(x+l)"可知，其左邊的X,項的系數和右邊的丁項

的系數相等，得到如下恒等式為()

A.?丫+?)2+?丫+…+(C：)2=Q"

B-AiAT=AN

c.c：q+c?T+c：c/+…+C?=C"

D.〃C=心；

【答案】A

【解析】對于A,在(1+工產展開式中，x”的系數為C：,,

(1+X)”(1+x)”=(C：+C%+C%2+…+C：x”)(《+C：x+C72+…+C：x”)，

其中X"的系數為C：c：+C；C；T+C；C；2+…+c吐=?)2+(C；)2+?)2+…+(C；)2,

?)2+(C：,)2+(C：)2+…+(C：)2=C；“，故A符合題意；

對于B,由“算兩次”的定義知，

從〃+1個不同的元素中取出加(加<〃)個元素的所有排列的個數為A：+1,

同時還可以分類考慮：

第一類：取出小個元素不包括元素甲，則所有排列的個數為A；,

第二類：取出機個元素包括元素甲，則先排元素甲，有加個位置，

然后從其余〃個元素中抽出機-1個元素全排列，則所有的排列個數為用,

綜上，從〃+1個不同的元素中取出加個元素的所有排列的個數為A：+mA：-1,

.?.A：+〃?A：i=A3,但是該等式不是由所給二項式得到，故B不符合題意；

對于C,對于(1+》產=(1+歲(1+月”，由“算兩次”的定義知,

(1+0小展開式中，N的系數為CM，

(i+S,(1+%)m=(c?+c>+cy+-+cx)(c?+C>+C>2+…+,

其中W的系數為C：Q+C：C廿+C：C；2+…+QC：,

???eg+C；CM+C；C；2+...+C?=C"故C不符合題意；

對于D,由組合數的運算性質知，

nC?k=n——-—,kC；k\=k-------------------------=k———,

k\(n-k)\"(*-l)!(w-l-A-+l)l(A--1)!(?-*)!)

當左=〃時，當％時，故D不符合題意，

故選：A.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

2024

9.已知(4-2x產*=/+/-+%胃2[-----Ha2024x,則()

A.旬=4皿4

B.=-4O48x42023

204

C.at+a2-\---F々2024=4"

D.展開式中所有項的二項式系數的和為22°24

【答案】ABD

【解析】對于A,令x=0,可得g=42°24,A正確.

對于B,展開式中的第二項為4M3(_2X)=-4048X42MX,--4O48x42023,B正確.

2024a-0-4-0-4

對于C,令x=1,可得2=a0+at+a2-\---+-(?2024,則%+出土---+20i4=2—4,C錯誤.

對于D,展開式中所有項的二項式系數的和為22024,D正確.

故選：ABD

10.現有4個編號為1,2,3,4的盒子和4個編號為1,2,3,4的小球，要求把4個小球全部放進盒子中，則下列結

論正確的有()

A.沒有空盒子的方法共有24種

B.有空盒子的方法共有256種

C.恰有1個盒子不放球的方法共有144種

D.沒有空盒子且恰有一個小球放入自己編號的盒子的方法有16種

【答案】AC

【解析】對于選項A,把4個小球全部放進盒子中，沒有空盒子，相當于4個小球在4個盒子上進行全

排列，故共有A：=24種方法，所以選項A正確，

對于選項B,有空盒子，因為有4個球，每個球各有4種放法，故共有44-24=256-24=232種方法，

所以選項B錯誤；

對于選項C,恰有1個盒子不放球，說明另外三個盒子都有球，而球共4個，則必有一個盒子放了2個

球，先將四盒中選一個作為空盒，再將4球中選出2球綁在一起，再對三個盒子全排共有C；C；A；=144

種方法，故C正確；

對于選項D,恰有一個小球放入自己編號的盒中，則從四盒四球中選定標號相同的球和盒有C：種，

另外三球三盒不能對應共2種，則共有C；x2=8種方法，故D錯誤.

故選：AC.

11.如圖，矩形3DE尸所在平面與正方形/BCD所在平面互相垂直，AE=BD=4C，P為線段/尸上的動

點（含端點），則（）

A.AELCF

B.平面尸8c與平面4DE可能平行也可能垂直

C.7^2+尸加的取值范圍是[32,64]

D.點2到平面CM的距離為迪

3

【答案】ABD

【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系.

>

y

因為AE=BD="i，所以AB=/Z)=4,所以。E=4,

則4(4,0,0),8(4,4,0),C(0,4,0),￡(0,0,4),尸(4,4,4).

對于A,荏=（-4,0,4）,麗=（4,0,4）,^AECF=-16+16=0,

所以近，而，故A正確；

對于B,當點尸與點尸重合時，平面P8C〃平面4DE,

當點P與點A重合時，平面尸3C_L平面4DE,故B正確；

對于C,根據題意，可設點尸（4,44,42）,其中0481,

222

貝！］PC+PE=42+(42-4)+(4M+不+(例2+

(42-4)2=6422-642+64=64(22-A+1),

13「4-

當時，A2-A+1=(2--)2+~e—J,

所以64(萬-彳+1月48,64],即尸不+尸爐的取值范圍是[48,64],故C錯誤;

對于D,3=(0,-4,4),乙無=(0,-4,4),而=(4,0,0),

\m-~CE-0

設平面CE廠的法向量為成=(%)/),則有_,

m-CF=0

f-4y+4z=0

故[4x+4z=0取五=(1,—1,—1),

C5-m44JJ

所以點5到平面CE廠的距離為^^=義=墳，故D正確.

\m\也3

故選：ABD.

第二部分(非選擇題共92分)

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知｛癡,可是空間的一組基底，其中方=2@-3在，AC=a-c>AD=2b+Ac-若48,C,D四點共

面，貝!12=.

4

【答案】

【解析】由43,C,。四點共面，得而=x而+y就，尤jeR,

而向量次=2。一3很，AC=a-c>AD=2b+Ac，

則2b+Ac-x(2a—3b)+y(a—c)-(2x+y)a-3xb—yc，又口Ri不共面，

2x+y=0

244

因止匕＜—3x=2,解得x=一1,y==一§,

A=—y

4

所以4=—].

4

故答案為：-]

13.若"=2024,則5"+5"七：+5”2優+...+5(27除以7的余數是,

【答案】0

【解析】?.?"=2024,

5"+5"一C；+5飛；+…+SC/=5"+5“TC；+5,!-2《+???+5C^1+q-1=(5+1)"-1=(7-l)H-1,

(7-D--1=(7-產-=C￡7曲-C￡72%c基嚴一一C第7+C歌-1

_p072024_「1720230272022__「20237

=L2024/—^2024/十^2024'^2024'，

故展開式中的每一項都能被7整除，故余數為0.

故答案為：0

14.如圖，在三棱錐S-/3C中，平面S/3_L平面/8C,NS/8=120。，AC=4B=BC=SA=2,點￡在棱/C

上，且CE=3/E,側面“8內一動點P滿足CP=2PE,則點P的軌跡長度為,；直線C尸與直

線AB所成角的余弦值的取值范圍為

2〃04

【答案】y,

【解析】由CP=2P￡得，點夕軌跡是以/為球心，1為半徑的球面，又???點。在平面”3內，點夕

在以/為圓心，1為半徑，行為圓心角的圓弧上，因此點夕的軌跡長度為丁.

建系如圖，設尸(cos。,。,sin。)0e0,y,則方=(2,0,0),。=(cose—l,—JJ,sinO).

AB-CF||2(cos0-l)||cos0-l|

cos<AB.CP>|

AB\ICf\(cos0-1)2+3+sin20V5-2cos0

5-1

令/=V5-2cos9,tG[V3,V6],COS0二

2

|3I

.[cos〈麗麗〉卜?：2=亞.

0,

4

故直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.(13分)已知［2/+一］的二項展開式共有13項，完成以下問題：

(1)求展開式中二項式系數之和；

(2)展開式中是否存在常數項，若有，請求出常數項；若沒有，請說明理由；

(3)求展開式中的系數最大的項.

(注：結果用數字作答)

【解析】(1)根據題意(21的二項展開式共有13項，可知”=12,.........................................2分

所以12/+￡|的展開式中二項式系數之和為C*+C［+…+C：；=212=4096.....................................4分

(2)展開式中存在常數項，常數項為7920

的通項為C"(2x2產，(與=/2-鏟0,0<r<12,rGN,.............6分

X

令24-3/=0,得廠=8,

所以展開式中存在常數項，此時通項變為C：?24=7920............................................................................9分

(3)|2X2+-|的二項展開式中通項為C；2(2/產，(9=弓2"室"3’,

展開式中通項的系數為C；2212T,0<r<12,reN-

VC]?2-r

<解得￥以＜*當r=4時系數C^e最大,

Cr212-廠>^r+1r^\.\—r，

則展開式中的系數最大的項為C：22R2=126720X?13分

TT

16.（15分）在平行六面體/BCD-44G2中，AB=AD^l,AAt=2,ABAD=ABAAX=ZDAAt=-,M

是cq的中點.

⑴求3,的長；

(2)求西?瓦法.

方.15=?|McosNBAD=lxlxcosm=；,

而京=西網/"4=lx2xcosg=l,

方.戴=畫防ABAAX=1x2xC0Sy=1,............................................................................................5分

BD1—BD+DD]=BA+BC+DD1——AB+AD+AA^,

BDX=\-AB+AD+AAA=AB+AD+AAX-2AB-AD+2AD-AAX-2AB-AAX

=|Z8|2+|Zo|2+|Z^|2-2x1+2xl-2xl=l+l+4-l+2-2=5,

：.\BD\=J^=45,即8。的長為6....................................................................................................9分

（2）AM=AC+CM=AB+AD+-CC.=AB+AD+-AA.,..............................................................10分

2121

.?.西.而=卜刀+而+聞

---?2---*21----*21---?-----3---------?

=—AB+AD+-AA+-AB-AA+-ADAA

212121

=一|可+|珂+；M+；xl+|xl

一1c213

=-l+l+—x2+—+—=4yl............................................................................................................................15分

222

17.（15分）如圖，長方體/BCD-48GA中，AB=BB、=2,8c=4,點.在線段BG上，且用0=1.

7A

囪乙儲NT；

--------------------------1

⑴求證：/A/_L平面

（2）求點G到平面8D4的距離；

（3）求平面BDAX和平面QD4夾角的余弦值.

【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，

70'

*

/您--------------

山二一一一.

4c

一（0,0,0）,以2,0,0）,°（0,4,0），4（0,0,2）4（2,1,2）,..............................................................................2分

設平面8Z>4的法向量為麗=（x,%2）,

AM=（2,1,2）,SD=（-2,4,0）,A1D=（0,4,-2）,

m?BD=-2x+4y=0/、

則有.................................................................................................4分

in-AXD=4y-2z=0

顯然禮=而，因此平面BDAX...................................................................................................6分

（2）由。［2,4,2）0至=（0,-4,一2）,.......................................................................................................7分

設點G到平面BDAX的距離為d,

則有kos〈G民應〉卜

|1X(-4)+2X(-2)|_8

Us?-10分

（3）平面力斗的法向量為拓=（%，必，4），

布=（-2,0,-2）,麗=（0,4,-2）,

nC{D=一2再一24=0

則有?nn=(-2,1,2),...........................................................................................12分

n-AXD=4y1-2z1=0

設平面BDAX和平面qn4t夾角為

\m-n\|-4+l+4|]_

則有cose=kOS(流砌=

網同722+12+2^^(-2)2+12+22915分

18.（17分）萊布尼茨（德國數學家）三角（如圖1所示）是與楊輝（南宋數學家）三角數陣（如圖2所示）

相似的一種幾何排列，但與楊輝三角不同的是，萊布尼茨三角每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之

和.現記萊布尼茨三角第1行的第2個數字為q,第2行的第2個數字為%，…，第”行的第2個數字為

第0行1

第1行11

第2行

第3行

第4行1

圖1

（1）求4+電+。3■*的值；

1

⑵將楊輝三角中的每一個數c：都換成（〃+]）u就得到了萊布尼茨三角?我們知道楊輝三角的最基本的

性質C3=c：+c丁也是二項式系數和組合數性質，請你類比這個性質寫出萊布尼茨

三角的性質，并證明你的結論.

【解析】(1)由圖1可知：^1=-5^2=79^3=7T5^4=TT'..................................................................2分

261220

由每個三角形數組頂端的數等于底邊兩數之和，可得!+%=:，

65

11_1

故生同理。6=~~................................................................................................5分

5-63067~42

5111111

jWQi++QR+...+恁=--1------1--------1--------1--------1------

12362612203042

1111

=---+----+----+...+----

1x22x33x46x7

6

..9分

77

111/?*y,,\

⑵萊布尼茨三角的性質：='）

11分

1?1

1+

證明：(H+1)C：-(?+1)C：

1+1尸!(〃一尸)!

〃+1n\n+1n\

-+l-r+r)

(〃+1)加n\

(r-l)!x(尸-3！1

故結論正確..........................................................................17分

19.（17分）在直四棱柱43CD-4與。12中，底面45CD是菱形，NDAB=60。,&AAl=AB=2fM為

力。的中點，動點P滿足麗=%甌+歹而，且x/w[04].

DiCi

4

C

A

（1）若x+y=\■時，求證：APLBDl；

(2)若》=了，E為4M?上一動點，且EP〃平面N8CO,求EP的最小值；

(3)若y=2x(x#0),點。為三棱錐外接球的球心，求。尸的取值范圍.

【解析】(1)在底面菱形/BCD中，連接NC,記4。口即=。'，取用A的中點為。，連接。。，

在菱形48CD中，AC1BD,在直四棱柱/88-4耳4。|中，易知。。'，平面/BCD,

因為/C,8￡>u平面/BCD,所以0'Q_L/C,OQ_LAD,所以。4。'民。。兩兩垂直，........3分

以。'為坐標原點，分別以。'4。2。'。所在直線為》//軸，建立空間直角坐標系，如下圖：

可得5（0,1,0）典（0,1,2）,￡>（0,-1,0）,4（石,0,0）,A（0,-1,2）,

則函=（0,0,2）,彷=（0,-2