專(zhuān)題L6含30度角的直角三角形五大題型

【北師大版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷題量適中，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強(qiáng)學(xué)生對(duì)含30度角的直角三角形的五大

題型的理解！

【題型1求長(zhǎng)度】

1.（2023春?福建寧德?九年級(jí)校考期中）如圖，已知△ABC中，乙4cB=60。，BC<AB<AC.

（1）在邊AC上求作一點(diǎn)P,使得NPBC=30。；（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若48=3&,/.A=45°,求4C的長(zhǎng)度.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）4C=6+2V3.

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作于P即可.

（2）利用等腰直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得BP、4P的長(zhǎng)，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以

及勾股定理求解即可.

【詳解】（1）解：如圖，NPBC即為所求；

（2）解：如圖，由（1）得N4PB=NBPC=90。,

1

?.Z=45°,

Z.Z.ABP=45°,

：.BP=AP,

在RtAABP中，AP=BP=yf2AB=3V2xV2=6,

在RtABPC中，/.PBC=30°,2PC=BC,

BC2=PB2+PC2,SP(2PC)2=62+PC2,

解得PC=2V3,

：.AC=AP+PC=6+2后

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，等腰直角二角形的性質(zhì)，含30度角的直角二角形的性質(zhì)以及勾股定理等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí).

2.(2023春?安徽亳州?九年級(jí)校考期中)如圖是某兒童娛樂(lè)休閑廣場(chǎng)上的一個(gè)滑梯的平面示意圖，若將滑

梯的滑道8。水平放置，則剛好與DE的長(zhǎng)度相同.已知滑梯的高度為4米，4E的長(zhǎng)為1米.其中E,A,

。三點(diǎn)在同一直線上，CE1DE,BA1DE.

(1)求滑梯的滑道8。的長(zhǎng)；

(2)若把滑梯的滑道BD改成BF,使NBF4=60。，求OF的長(zhǎng).(精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：,=1.732)

【答案】⑴葭米

(2)5.2米

【分析】(1)設(shè)滑道BD的長(zhǎng)為萬(wàn)米，則DE=尤米，即AD=CE-4E=(x—l)米，在RtzXABD中，由勾股

定理得力+4￡)2=BQ2,即有42+(%—1)2=%2,解方程即可求解；

(2)先求出乙4BF=30。，可得BF=24F.設(shè)4F=a米，貝何尸=2a米，即有2B=A/BF2一折=

V(2a)2-a2=V3a,即可得a=竽，即4F=竽，問(wèn)題隨之得解.

【詳解】(1)由題意，得△480是直角三角形，Z.BAD=90°,BD=DE,4B=4米，

設(shè)滑道BD的長(zhǎng)為x米，貝l|DE=x米，

2

\'AE=1米，

：.AD=DE-AE=（x-1）米，

在RtzkABD中，由勾股定理得ZB2+4￡）2=B￡）2,

即42+（X—l）2=X2,

解得X=葭.

答：滑梯的滑道8。的長(zhǎng)為葭米.

（2）/.BFA=60°,

???乙4BF=90°-4BFA=90°-60°=30°,

BF=2AF.

設(shè)4F=a米,則BF=2a米，

???AB=7BF2-AF2=7（2a）2-a2=倔1（米）.

4B=4米，

???V3a=4,

解得a=竽，即4尸=竽（米）.

由（1）可知，4。=DE-4E=BO—4E=”一1=弓（米），

：.DF^AD-AF=--—^5.2（米）.

23

答：DF的長(zhǎng)約為5.2米.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，還考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用勾股定理是解

得本題的關(guān)鍵.

3.（2023春?廣東佛山?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AABC是等邊三角形，4B=W,點(diǎn)尸是ABAC的平分線上

一動(dòng)點(diǎn)，將線段4F繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60。得到4E,連接CF、EF.

3

(1)尺規(guī)作圖：在4尸的上方找點(diǎn)。，使得DELAF且DE=AC；

(2)在(1)的條件下，連接CD、DF.

①求證：AE+CD>AC-,

②求證：△(?￡)?是等邊三角形；

③當(dāng)ADEF是等腰三角形時(shí)，求4尸的長(zhǎng)度？

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)①證明見(jiàn)解析；②證明見(jiàn)解析；③8或1

【分析】(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得2E=4F,^FAE=60°,貝！］△4EF是等邊二角形，由DE_LAF可知，。在4尸的

垂直平分線上，如圖1,分別以4、尸為圓心，大于之4尸的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交點(diǎn)為M,連接EM并延長(zhǎng)，以E為

圓心，AC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與EM的交點(diǎn)即為Q,則點(diǎn)。即為所求；

(2)①如圖2,連接C。、DF、AD,記DE與4C的交點(diǎn)為N,DF與4C的交點(diǎn)為H,證明△C4F三△DEF(SAS),

則CF=DF,AACF=AEDF,由題意知NDN”=N4NE=180°—NAME-N4EN=60。，^ACF+/.CHF+

^.DFC=180°=Z.EDF+ADHM+/LDNH,貝IJNDFC=NDNH=60。，△CDF是等邊三角形，CD=CF,由

AF+CF>AC,可得4E+CD>AC；②由①可證△CD尸是等邊三角形；③由題意知，乙DEF=30°,Z.AFE=

60°,當(dāng)小DEF是等腰三角形時(shí)，分DE=DF,DE=EF,DF=EF,三種情況求解：情況一、當(dāng)DE=DF

時(shí)，由乙DFE=Z.DFA+/.AFE>60°>30°=Z.DEF,可知此情況不成立;情況二、當(dāng)DE=EF^i，AF=EF=

DE=AC=AB=8；情況三、當(dāng)OF=E尸時(shí)，4FDE=乙DEF=30°,如圖3,記4F與DE交點(diǎn)為P,貝必F=

2PF,PF=^EF,EP=?E=)C=手，由勾股定理得EP='EF?-PF2=aPF,則bPF=今解得

PF=5進(jìn)而可求4F的值.

【詳解】(1)解：如圖1,點(diǎn)。即為所求;

4

(2)①證明：如圖2,連接CD、DF、AD,記DE與力C的交點(diǎn)為N,DF與4c的交點(diǎn)為H,

由(1)可知，ACAF=30°,^AEN=^DEF=^AEF=30°,

J./-CAF=乙DEF,

"：AC=DE,ACAF=ADEF,AF=EF,

：.△CAF=ADEF(SAS),

：.CF=DF,乙ACF=￡EDF,

由題意知NONH=LANE=180°-乙NAE-/.AEN=60°,

/.ACF+乙CHF+乙DFC=180°=AEDF+/.DHM+乙DNH,

：.2LDFC=乙DNH=60°,

...△CDF是等邊三角形，

CD=CF,

"：AF+CF>AC,

：.AE+CD>AC；

②由①可證△CDF是等邊三角形；

③解：由題意知，4DEF=30°,乙AFE=60°,當(dāng)4OEF是等腰三角形時(shí)，分DE=DF,DE=EF,DF=EF,

三種情況求解：

情況一、當(dāng)DE=D9時(shí)，

J./-DFE=乙DEF,

,：Z.DFE=Z.DFA+Z.AFE>60°>30°=Z.DEF,

，此情況不成立；

情況二、當(dāng)DE=EF時(shí)，AF^EF=DE=AC=AB=V3,

5

.\XF=V3；

情況三、當(dāng)。F=EF時(shí)，Z.FDE=Z.DEF=30°,如圖3,記4F與DE交點(diǎn)為P,

圖3

則4F=2PF,PF=\EF,EP=\DE=\AC=^,

由勾股定理得EP=yjEF2-PF2=6PF,

:.gPF=*解得PF=0

：.AF=1；

綜上所述，當(dāng)AOEF是等腰三角形時(shí)，4月的值為8或1.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作垂線，垂直平分

線的性質(zhì)，勾股定理，含30。的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握

與靈活運(yùn)用.

4.(2023春?陜西咸陽(yáng)?九年級(jí)咸陽(yáng)彩虹學(xué)校校考期中)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

在數(shù)學(xué)課上，老師給出了如下情境：如圖1,△ABC是等邊三角形，點(diǎn)尸是4C邊的中點(diǎn)，點(diǎn)。在直線BF上

運(yùn)動(dòng)，連接4D,以4D為邊向右側(cè)作等邊三角形4DE,連接CE,直線CE與直線BF交于點(diǎn)試探究線段BD

與CE的數(shù)量關(guān)系及N8MC的大小.

(1)初步探究:

6

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段BF上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出：

①BD與CE的數(shù)量關(guān)系」

②LBMC=_°

(2)深入探究：

如圖2,當(dāng)點(diǎn)￡＞在線段BF的延長(zhǎng)線上時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不成立,

請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)拓展延伸：

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段FB的延長(zhǎng)線上時(shí)，若FM=2,BD=|,求出EM的長(zhǎng)度.

【答案】(1)①BD=CE,②60

(2)成立，證明見(jiàn)解析

⑶藍(lán)

【分析】(1)由題意易得A&BD三AaCE,然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解；

(2)由題意易證三ACAE,則有BD=CE,Z.ABD=/.ACE,然后問(wèn)題可求解；

(3)由題意易證△BADmAC4E,則有BD=CE=，4ABD=4ACE,然后可得

Z.ABF=^ABC=30%BF1AC,進(jìn)而問(wèn)題可求解.

【詳解】(1)解：①ABC和AADE是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ABAC=ADAE=60°,

ABAD=乙BAC-/.DAC,/.CAE=/.DAE-Z.DAC,

：./.BAD=Z.CAE,

：.△ABD=△ACE(SAS),

：.BD=CE；

故答案為：BD=CE；

②：點(diǎn)F是AC邊的中點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，

：.AABD=ACBF=30。，乙ACB=60°,

由①可知4ABDACE,

：.AABD=^ACE=30°,

:.乙BCM=90°,

7

A/.BMC=90°-乙CBF=60°；

故答案為60；

(2)解：(1)中的結(jié)論還成立，理由如下：

是等邊三角形，

：.AB=AC,Z-BAC=60°,

???△4DE是等邊三角形，

：.AD=AE,/-DAE=60°,

：.Z.BAC=ADAE,

：.Z.BAD=/LBAC+Z-DAC,Z.CAE=Z-DAE+乙DAC,

即4=A.CAE,

在△BAD和△C4E中

(AB=AC

\^BAD=/.CAE,

(AD=AE

：.△BAD三△C4E(SAS),

：.BD=CE,乙ABD=/.ACE,

VAABD+乙DBC+乙ACB=120°,

A^ACE+Z.DBC+乙ACB=120°,

AZ.BMC=60°；

(3)解：是等邊三角形，

：.AB=AC,Z-BAC=60°,

,**△ADE是等邊三角形，

：.AD=AE,Z,DAE=60°,

：.Z-BAC=^DAE,

?"BAD=^DAE-/.BAE,^CAE=^LBAC-乙BAE,

即4BAD=Z.CAE,

在△84。和4G4E中，

(AB=AC

\z-BAD=/.CAE,

(AD=AE

：.△BAD=△C71E(SAS),

8

3

：.BD=CE=-,乙ABD=/.ACE,

2

???△ZBC是等邊三角形，尸是4c的中點(diǎn)

：./LABF=-^ABC=30%BFLAC,

2

Z./.CFM=90°,/.ACM=/.ABF=30°,

CM=2FM=4,

311

：.EM^CE+CM=-+4=—.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、含30度直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌

握等邊二角形的性質(zhì)、含30度直角二角形的性質(zhì)及全等二角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

5.（2023秋?福建福州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在等邊三角形48C中，點(diǎn)D、￡分別在邊BC、AC上，且=CE,連

接AD、BE交于點(diǎn)F.

（2）過(guò)點(diǎn)￡作EG，4。于點(diǎn)G.

①如圖2,若BF=11,FG=6,求AD的長(zhǎng)度；

②如圖3,連接8G、CG,若BG=EG,求證：CG1AB.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）①23,②見(jiàn)解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合已知證明AABOmABCE即可.

（2）①利用A4B034BCE,得證乙GFE=60°,結(jié)合已知得到NGEF=30°,得證EF=2FG,根據(jù)BF+EF=

BE=AD=BF+2FG計(jì)算即可.

②證明BG=4G,利用線段的垂直平分線性質(zhì)證明CG1AB.

【詳解】（1）?.,等邊三角形ABC,BD=CE,

：.AB=BC=CA,/.ABD=乙BCE=60°,

9

AB=BC

=乙BCE,

.BD=CE

△ABD=△BCE,

：.AD=BE.

(2)|艮據(jù)(1)得△480包BCE,

?"BAD=Z.CBE,AD=BE；

??,等邊三角形ABC,

：.Z.ABEZ.CBE=60°,

：.AABE+ABAD=60°,

■:(ABE+Z-BAD=乙GFE,

C.Z.GFE=60°,

'：EGLAD,

J.Z.GEF=30°,

：.EF=2FG,

：.BF+EF=BE=AD=BF+2FG,

■:BF=11,FG=6,

：.AD=BF+2FG=11+12=23.

A

②I艮據(jù)(1)得△480包BCE,

/.BAD=乙CBE,AD=BE；

??,等邊三角形/BC,

AZ-ABE^-Z-CBE=60°,

A/.ABE+/.BAD=60°,

■:乙ABE+/-BAD=乙GFE,

:.乙GFE=60°,

10

TEG14。,

C.Z.GEF=30°,

*；BG=EG,

：.LGBE=乙GEF=30°,

過(guò)點(diǎn)G作GM1BG交BE于點(diǎn)H,交BC于點(diǎn)M,則4=90。一4GBF=60。,

設(shè)4EBC=a,則ZJBZO=乙EBC=a,Z.GAE=60°-a

:?乙GBM=30。+a,乙GMB=乙GHB一乙EBM=60°-a,

在Rt△4GE中，^GEA=90°-匕GAE=90°-(60°-a)=30°+a,

/.Z.AEF=60°+a,

在^AGEAMGB中，

A.GAE=Z.GMB

乙AEG=Z.GBM,

GE=GB

：.^AGE三△MGB(AAS),

：.BM=AE,AG=MG,

連接ZM,如圖，

??,乙4GM=180°-乙FGH=120°

：.Z.GAM=AGMA=30°

又,.,。4=CB,

11

ACM=CE,

在△BE&ZkZMC中，

AC=BC

乙ACM=乙BCE

CM=CE

：.△BEC三△AMC（SAS）

Z-CAM=Z.EBC=a,

：.^MAG=60-2a=30°,

a=15°,

：.^GAE=60°-a=45°,

???△/GE是等腰直角三角形，

：.AG=GE,

：.BG=AG,

9：CA=CB,

???CG是線段/B垂直平分線，

：.CG1AB.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì),三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形

的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?江西吉安?九年級(jí)校聯(lián)考期中）將一副三角板ABC和DEF如圖（1）放置,其中乙4BC=乙EDF=90°,

乙4=30。，Z,E=45°,與。F共線，將△DEF沿C8方向平移，當(dāng)EF經(jīng)過(guò)AC的中點(diǎn)。時(shí)，直線E尸交于點(diǎn)

G［如圖（2）］,若BC=3,則此時(shí)線段。G的長(zhǎng)度為.

【答案】當(dāng)

【分析】過(guò)。作。H14G于"，Z.ABC=乙EDF=90°,乙4=30°,乙E=45°,得出乙0G4=45°,根據(jù)30。

12

所對(duì)直角邊等于斜邊的一半得出/C=2BC=6,由點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，得出4。=3,再根據(jù)勾股定理即可得

0G；

【詳解】^Z-ABC=90°,

???Z.FBG=90。，

???乙F=(FGB=45。,

Z.OGA=45。，

???44=30°,BC=3,

???AC-2BC=6,

???點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，

??.AO=3,

過(guò)。作。H14G于H,

???^AHO=乙OHG=90。，

13

OH=-AO=―,

22

???OG=V2OH=

故答案為：手

【點(diǎn)睛】該題主要考查了直角三角形30。所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，解答的關(guān)鍵是掌

握這些知識(shí)點(diǎn)并能夠熟練運(yùn)用

【題型2求最值】

1.（2023秋.福建龍巖.九年級(jí)龍巖二中校考期中）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，^ABC=30°,WAABC

繞頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為8（0。<8<180。），得到AMNC,P,。分別是AC、MN的中點(diǎn)，AC=2t,

連接PQ,則旋轉(zhuǎn)時(shí)PQ長(zhǎng)度的最大值是（）

13

M

A.2V6tB.2y/StC.V6tD.3t

【答案】D

【分析】當(dāng)尸、。、Q二點(diǎn)共線時(shí)，PQ最長(zhǎng)，根據(jù)圖形求出此時(shí)的旋轉(zhuǎn)角即可求出PQ的長(zhǎng).

【詳解】解：如圖，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到尸、C、。三點(diǎn)共線時(shí)，PQ最長(zhǎng),

VAN=Z.ABC=30°,Z.MCN=/-ACB=90°,Q是MN的中點(diǎn),

.?.CQ=MQ=CM,

??.△CMQ是等邊三角形，

???乙M=乙MCQ=Z-MCQ=60°,

???P、C、。三點(diǎn)共線，

??.e=乙ACM=180°-乙MCQ=180°-60°=120°,

vAC=23

1

??.CP=-AC=t,AB=MN=2AC=4t,

2

,??4。中點(diǎn)為P,MN中點(diǎn)為Q,^MCN=90°,

???CQ=-MN=23CP=-AC=t,

x22

PQ=CP+CQ=2t+t=3t,

故選：D.

14

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，直

角三角形30。角所對(duì)的邊是斜邊的一半，熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋

轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等是解題的關(guān)鍵.

2.（2023春?江蘇常州?九年級(jí)校考期中）閱讀：如果兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)的距離的比為定值，且這兩個(gè)動(dòng)

點(diǎn)與定點(diǎn)連線所成角的度數(shù)也為定值，那么這兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑相同.

應(yīng)用：如圖，點(diǎn)。是長(zhǎng)方形4BCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，BC=3,以。為直角頂點(diǎn)的Rt△OPQ的頂點(diǎn)P在

邊4D上，Z.BAC=^Q=60°,當(dāng)P在4。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，DQ的最大值為（）

A.1B.V3C.2D.2V3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，確定出點(diǎn)Q的軌跡為一條線段，確定出點(diǎn)P在4、D兩點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q的位置，即可求解.

【詳解】解：由題意可得：點(diǎn)Q的軌跡為一條線段，NQ=60。，APOQ=90°

：.AOPQ=30°

又.."aD=90。，ABAC=60°

：.^CAD=30°

RtAABC中，BC=3,ZC4D=30°

設(shè)AB=%,貝！MC=2x,由勾股定理可得：/+33=4/

解得x=V3

：.AB=V3,AC=2V3,

：.AO=V3

當(dāng)P與力重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作OF交4。于點(diǎn)F如下圖：

'：^CAD=30°,^.OPQ=30°

在線段4D上，AAFO=60°

15

，點(diǎn)Q與點(diǎn)尸重合

由勾股定理可得：0Q=1,PQ=2

當(dāng)P與。重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)。作0E1。。交BC于點(diǎn)E,連接DE,EF,如下圖：

D(P)

C

由題意可得：0D=0C,乙OCD=60°

.?.△ODC為等邊三角形，即OC=CD=OC=b，AODC=60°

"/.BCD=Z.EOD=90°,OD=CD,DE=DE

：.△ODEC￡)E(HL)

Z.ZODF=|z.ODC=30°,此時(shí)，點(diǎn)Q在射線DE上

J.Z.OED=60°,則點(diǎn)Q與點(diǎn)E重合，

點(diǎn)Q的軌跡為線段EF

由此可得，當(dāng)P與。重合時(shí)，OQ最大，為OE的長(zhǎng)度

在RtAOE。中，OD=遮,Z.ODE=30°,

可得：OE=1,DE=2

即。Q最大為2,

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，勾股定理，含30。直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解題

的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì)，確定出點(diǎn)Q的軌跡.

3.(2023春?陜西安康?九年級(jí)校考期中)如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊AB,AD±,折疊

△2EF使得點(diǎn)4落在CD上，若乙48c=120。，AD=4A/3,AB=8,貝I]BE長(zhǎng)度的最大值為.

【答案】2

【分析】由折疊的性質(zhì)可知4E=GE,當(dāng)GE14B時(shí)，GE的長(zhǎng)度取最小值，則4E的長(zhǎng)度取最小值，此時(shí)BE的

16

長(zhǎng)度取最大值，過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)“，則D”=GE=4E,由含30度角直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理

可得DH=AE=GE=6,從而即可得到答案.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知AE=GE,當(dāng)GE14B時(shí)，GE的長(zhǎng)度取最小值，則4E的長(zhǎng)度取最小值，此時(shí)

BE的長(zhǎng)度取最大值，

???四邊形48co是平行四邊形，

???ADWBC,

???Z.DAB+/.ABC=180°,

???^DAB=180°-4ABC=180°-120°=60°,

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CH_L4B于點(diǎn)兒貝!]DH=GE=4E,

在RtAADH中，ADAH=60°,

乙ADH=90°-ADAH=30°,

：.AH=^AD=2V3,

：.DH=>JAD2-AH2=6,

AE■和GE長(zhǎng)度的最小值為6,

故BE長(zhǎng)度的最大值為4B-AE=8-6=2,

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、含30度角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、折疊的性質(zhì)，熟練

掌握以上知識(shí)點(diǎn)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2023秋?天津和平?九年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，AC=2+2V3,ABAC=45°,乙4cB=30。,

將△ABC繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到△&BC「點(diǎn)E為線段4B中點(diǎn)，點(diǎn)尸是線段4C上的動(dòng)點(diǎn)，將AABC

繞點(diǎn)2按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P「

17

（1）如圖，線段AB=；

（2）則線段EPi的最大值為—，最小值為一.

【答案】2企4+V22-V2

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)B作BD14C于點(diǎn)D,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理即可得；

（2）當(dāng)P在4c上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D,AABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)心在線段48上時(shí)，EP1最小；當(dāng)匕,瓦8三

點(diǎn)共線，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，EPI最大.

【詳解】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)B作BO12C于點(diǎn)。，連接

???Z.BAC=45°,Z.ACB=30°,

是等腰直角三角形，BC=2BD,

AD=BD,

設(shè)/。=BD=%(%>0),則=2%,

???CD=yjBC2-BD2=1，

???AC=AD+CD=2+2V3,

x+V3x—2+2A/3,

解得x=2,

AB=<AD2+BD2=缶=2&,

故答案為：2金；

(2)?.?點(diǎn)E為線段ZB中點(diǎn)，

BE=^AB=V2,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BP=BP、,

EP1>BP1—BE=BP—BE,

則當(dāng)％,E,B三點(diǎn)共線，且P在4c上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D時(shí)，EPi的值最小，最小值為BP-BE=BD—BE=2-

V2,

又EP1<BP]+BE=BP+BE,BC=2BD=4,

.?.當(dāng)Pi，E,B三點(diǎn)共線，且P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，EPi的值最大，最大值為BP+BE=BC+BE=4+或，

18

故答案為：4+V2,2-V2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形

的性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用等等，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（2023春?江蘇?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在近△ABC中，乙4cB=90。，乙48c=30。，AC=2,點(diǎn)P是邊

AB上的一動(dòng)點(diǎn)，將AABC繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周得到△點(diǎn)E是邊4c的中點(diǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中

PE長(zhǎng)度的最大值為.

【答案】2g+1

【分析】先根據(jù)含有30。角的直角三角形的性質(zhì)可得48=4,由勾股定理可得BC=2次，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

A'C=AC=2,由點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)可得4E=CE=1,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P、C、E、4在同一直線上

時(shí)，PE最大，由PE=BC+CE,即可得到答案.

【詳解】解：???乙iCB=90°,4ABC=30°,AC=2,

AAB=2AC=2x2=4,

BC=y/AB2-AC2=V42-22=2墓,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：A'C=AC=2,

?.?點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，

11

A'ECE=-A'C=-x21,

22

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，點(diǎn)P、C、E、4在同一直線上時(shí)，PE最大，

此時(shí)PE=BC+CE=2V3+1,

故答案為：2V5+1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有30。角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握含有30。角的直

角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵.

6.（2023春?陜西西安?九年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，AACB=90°,zB=30°,AC=4,D,E是

AB邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足AD=BE,連接CD、CE,求CD+CE的最小值____.

19

【答案】8

【分析】過(guò)點(diǎn)4B分別作AC的垂線和BC的垂線交于點(diǎn)M,連接MC,ME,先證△4CB?MBC,得AB=MC,

再證ACAD=△MBE,得CD=ME,進(jìn)而得出CD+CE=ME+CE,當(dāng)C,E,M三點(diǎn)不共線時(shí)，ME+CE>

MC-,當(dāng)C,E,M三點(diǎn)共線時(shí)，ME+CE=MC,然后根據(jù)直角三角形中，30。的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的

一半求出4B的值，從而得出結(jié)果.

【詳解】過(guò)點(diǎn)4B分別作4C的垂線和BC的垂線交于點(diǎn)M,連接MC,ME,

/.ACB=90°,MA1AC,

???AMWCB,

???MB1BC

???ACWMB,AC=MB,

???乙CAB=/.MBA,

vBC=CB,乙ACB=乙MBC=90°,

??.△ACB=△MBC,

??.AB=MC,

vAD=BE,

??.△CAD=△MBE,

??.CD=ME,

??.CD+CE=ME+CE,

當(dāng)C,E,M三點(diǎn)不共線時(shí)，ME+CE>MC；

當(dāng)C,E,M三點(diǎn)共線時(shí)，ME+CE=MC,

??.CD+CE的最小值是MC的長(zhǎng)，

20

???乙B=30°,Z-ACB=90°,

AB=ZAC,

???AC=4,

AB=8,

MC=AB=8,

?.CD+CE的最小值是8.

故答案為：8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線

找出恰當(dāng)?shù)娜榷切问墙獗绢}的關(guān)鍵.

【題型3求面積】

1.（2023春?湖南衡陽(yáng)?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4、&、&…/在X軸上，

%、83...371在直線'=?%上，若4（1,0）,且△42B2&…都是等邊三角形，從左到

SI52S2023

右的小三角形（陰影部分）的面積分別記為、、S3...Sn.則可表示為.

【分析】直線y=fx與x軸的成角=30°,可得4。%々=30°,^OBnAn=30°,/.OBrA2=90°,

^OBnAn+1=90°；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知A/i=1,B2A2=OA2=2,B3A3=4,BnAn=2^；

rt1

根據(jù)勾股定理可得Bi%=A/3,B2B3=2A/3,BnBn+1=2-V3,再由面積公式即可求解.

【詳解】解：???―仆△4殳43儲(chǔ)I"1都是等邊三角形,

114B2

???A^WAMA^W-n小瓦甸山甸。411…||B"4t+i，

?.?直線y=4刀與x軸的成角NB1O4=30°,/.OA1B1=120°,

???Z-OB1A1=30°,

???OAr=A1B1,

??4(L0)，

21

A1B1=1,

同理2082/2=30°,/-OBnAn=30°,

n1

:.B2A2=OA2=2,B3/3=4,…，BnAn=2~,

vZ-ABrO=30°,Z.A1B1A2=60°,

???Z.OBrA2=90°=Z-A2BrB2,

同理2082/3=90°,^OBnAn+1=90°,

n-1

???B]B2=V3,B2B3=2V3,…,BnBn+1=2V3,

71n_12n-3

=IX1xV3=y,S2=Ix2x2V3=2V3,Sn=|x2Tx2V3=2V3；

故答案是：泮-3聒

【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)；能夠判斷陰影三角形是直角三

角形，并求出每邊長(zhǎng)、應(yīng)用相似三角形規(guī)律求解是解題的關(guān)鍵.

2.(2023春?福建龍巖?九年級(jí)校考期中)如圖，在△ABC中，乙48c=60。，AB=6,BC=10,則△ABC面

積是;若以4C為邊向外作等邊AACD,連BD,則8D長(zhǎng)為.

【答案】15V314

【分析】過(guò)點(diǎn)4作4MLBC于M,由直角三角形的性質(zhì)求出=3,由勾股定理求出AM的長(zhǎng)，由三角形面

積公式可得出答案；以4B為邊作等邊三角形48E,連接EC,過(guò)點(diǎn)E作EF1BC,交CB的延長(zhǎng)線于F,證明

AEAC=AB71￡)(SAS),得出BO=EC,由勾股定理求出CE的長(zhǎng)，則可得出答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)4作4W1BC于M,

BM

22

???/,ABC=60°,BA=6,

???4BAM=30°,

???BM=3,

??.AM=7AB2-BM2=3V3,

???S?ABC=泗?=(x10x375=15V3；

以/B為邊作等邊三角形4BE,連接EC,過(guò)點(diǎn)E作EF1BC,交CB的延長(zhǎng)線于凡

???△ABE與八都為等邊三角形，

???Z,EAB=乙DAC=60°,AE=AB,

???/.EAB+/-BAC=/-DAC+/-BAC,即4E4C=4BAD,

在△EZC和△BAD中，

(AE=AB

\A.EAC=乙BAD,

(AD=AC

EAC三△BAD(SAS),

??.BD=EC,

v/-EBA=60°,Z.ABC=60°,

???(EBC=120°,

???乙EBF=60°,乙FEB=30°,

在△EBC中，BC=10,EB=6,

???EF=3V3,FB=3,FC=10+3=13,

???EC2=FC2+EF2=196,

???BD=EC=14.

故答案為：15百，14.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌

23

握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2023春?陜西西安?九年級(jí)高新一中校考期末）如圖，平行四邊形ZBCO中，ZB=6O°,AB1AC,AB=3,

對(duì)角線/C繞著對(duì)稱中心。按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后，其所在直線分別交4）、BC于點(diǎn)、E、F,若BF=2CF,

則圖中陰影部分的面積是.

【答案】言

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及全等三角形的判定可知△ZOE=ACOF（ASA）,再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及

勾股定理即可解答.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)。作垂足為H,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.0A=OC,ABWCD,

J.^CAD=乙ACB,

V/-AOE=Z.COF,

???△/OEwzXCOF(ASA),

??SMOE=S^COF，4E=CF,

*：ABLAC,

?"B/C=90。，

VZ5=60°,AB=3,

：.^ACB=30°,

：.BC=6,

：.AC=y/BC2-AB2=3V3,

:.oc=—2,

?：0H1BC,

?"OHC=9。。,

?:乙ACB=30°,

24

/.OH,

4

\'BF=2CF,

：.BC=BF+CF=3CF,

YBC=6,

11

ACF=-BC=-x6=2,

33

:.SRCOFCF-OH=-X2X—^—,

△3卜2244

/.陰影部分的面積為2x乎=等，

4z

的面積，掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.(2023春?陜西咸陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期中)【問(wèn)題背景】

如圖1,在等腰直角AaBC中，AB=AC,AC=90°,貝！］邊BC與邊4B的數(shù)量關(guān)系為BC=

(1)如圖2,在等腰△ABC中，AB=4C/B4C=120。，作4D1BC于點(diǎn)。，則得到邊BC與邊4B的數(shù)量關(guān)

系為

【遷移應(yīng)用】

(2)如圖3,AABC和△ADE都是等腰三角形，Z.BAC=^DAE=120°,D、E、C三點(diǎn)共線，連接BD,

①求證：AADB^^AEC；

②求AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系；

【拓展延伸】

(3)如圖4,AABC與AADE都是等腰直角三角形，^BAC=^DAE=90°,連接BD并延長(zhǎng)，交4C于點(diǎn)R

連接EF、CE.若BF=6,ZCBF=15°,^BAD=30°,求AAEF的面積.

25

A

圖4

【答案】(1)BC=V3AB(2)①見(jiàn)解析②DC=BD+(3)9

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形三線合一，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，進(jìn)行求解即可；

(2)①利用SAS進(jìn)行證明即可；②由全等三角形的性質(zhì)可得BD=EC,由(1)可知：DE=^3AD,即可得

結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)E作EH14C于X,連接EF,由含30度角的直角三角形的性質(zhì)先求出的長(zhǎng)，再由三角形的

面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：(1)8C=百45,理由如下：

'：AB=AC,/.BAC=120°,AD1BC,

：

.ZB=NC=30°,BD=CD=-2BC,

：.AB=2AD,BD=<AB2-AD2=WAD,

：.BC=2也AD,

:.BC=6AB；

(2)?VzBXC=Z.DAE=120°,

：.^DAB=ACAE=120°-4BAE,

在AADB和AaEC中，

26

DA=EA

Z-DAB=Z.EAC,

.AB=AC

：.△ADB三△AEC(SAS)；

②DC=BD+遮AD,理由如下：

V△ADB=^AEC,

：.BD=EC,

由(i)可知：DE=WAD,

'：DC=DE+EC,

：.DC=BD+V3AD；

(3)如圖4,過(guò)點(diǎn)E作EH1ZC于H,連接EF,

???△ZBC是等腰直角三角形，

?\AB=AC=6vZ-ABC—Z-ACB=45。,

■:乙CBF=15°,

A/-ABD=30°,

/-BAD=30°,

?"ABD=2LBAD,Z.DAF=Z.AFD=60°,

：.AD=BD,△4DF是等邊三角形，

??AD=BD=DF=AF

?；UBD=30°fZ.BAC=90°,

：.BA=y[3AF=6后

>>AF=6=AD=BD=DF,

U

：^DAE=90。,40=AEf

：.AE=6/FAE=30°,

27

'：EH1AC,

：.EH=AE=3,

???SAAEF=次.EH=卜6x3=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，

等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.

【題型4含30度角的直角三角形在坐標(biāo)系中的運(yùn)用】

1.（2023春.河北保定.九年級(jí)校考期中）將AOBA按如圖方式放在平面直角坐標(biāo)系中，其中N0B4=90。,

乙4=30。，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（百,3）,將繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)60。，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí),

點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（-2V3,0）B.（2V3,0）C.（-V3,-3）D.（-V3,3）

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，可知6次旋轉(zhuǎn)為1個(gè)循環(huán)，故先需要求出前6次循環(huán)對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)坐標(biāo)即可，利用全

等三角形性質(zhì)求出第一次旋轉(zhuǎn)對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)坐標(biāo)，之后第2次旋轉(zhuǎn)，根據(jù)圖形位置以及。4長(zhǎng)，即可求出，第

3、4、5次分別利用關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，即可求出，最后一次和A點(diǎn)重合，再判斷第2023次屬于循環(huán)中的

第1次，最后即可得出答案.

【詳解】解：由題意可知：6次旋轉(zhuǎn)為1個(gè)循環(huán)，故只需要求出前6次循環(huán)對(duì)應(yīng)的A點(diǎn)坐標(biāo)即可

第一次旋轉(zhuǎn)時(shí)：過(guò)點(diǎn)4作x軸的垂線，垂足為C,如下圖所示：

28

由A的坐標(biāo)為（遮,3）可知：OB=?AB=3,

???乙4=30°

???BOB=90°-zX=60°,OA=2OB=2百

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：4AOB幺A'OB',

：.^A'OB'=AAOB=60°,OA'=OA,

：.NAOC=180°-Z.A'OB'-4AOB=60°,

在AAOC與AAOB中：

'/.A'OC=4AOB=60°

/.A'CO=Z.ABO=90°

OA'=OA

：.△A'OC三△AOB（AAS）,

oc=OB=V3,A'C^AB=3,

此時(shí)點(diǎn)4對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為（-四,3）,

當(dāng)?shù)诙涡D(zhuǎn)時(shí)，如下圖所示：

此時(shí)4'點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2舊,0）.

當(dāng)?shù)?次旋轉(zhuǎn)時(shí)，第3次的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)與A點(diǎn)中心對(duì)稱，故坐標(biāo)為（一百,-3）

當(dāng)?shù)?次旋轉(zhuǎn)時(shí)，第4次的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)與第1次旋轉(zhuǎn)的4點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)中心對(duì)稱，故坐標(biāo)為（百,-3）

29

當(dāng)?shù)?次旋轉(zhuǎn)時(shí)，第5次的點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)與第2次旋轉(zhuǎn)的&'點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)中心對(duì)稱，故坐標(biāo)為（2b,0）.

第6次旋轉(zhuǎn)時(shí)，與A點(diǎn)重合.

故前6次旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：（-b,3）、（-2四0）、（-低-3）、（倔-3）、（2日,0）、（聲,3）.

由于2023+6=337……1,

故第2023次旋轉(zhuǎn)時(shí)，A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（-B,3）.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要是考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)、中心對(duì)稱求點(diǎn)坐標(biāo)、三角形全等以及點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練利用條件證

明全等三角形，通過(guò)旋轉(zhuǎn)和中心對(duì)稱求解對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，是求解該題的關(guān)鍵.

2.（2023春?四川成都?九年級(jí)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OP與x軸的夾

角為30。，點(diǎn)Bi在x軸上，且OBi=2,過(guò)點(diǎn)Bi作JA】，OP交OP于點(diǎn)A「以A】Bi為邊在A$i右側(cè)作等邊三

角形A]B]Ci；過(guò)點(diǎn)。作0P的垂線分別交x軸、0P干點(diǎn)B2、A2,以A2B2為邊在A2B2的右側(cè)作等邊三角形

A2B2C2,過(guò)點(diǎn)C2作OP的垂線分別交X軸、0P于點(diǎn)B3、A3,以A3,B3為邊在A3B3的右側(cè)作等邊三角形

A3B3C3,....按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A3的縱坐標(biāo)為，點(diǎn)A2021的縱坐標(biāo)為.

【答案】手/誓

【分析】根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)，求出0A2,0A3,可得點(diǎn)A2,&的縱坐標(biāo)，從而得An的

縱坐標(biāo)，即可求出答案.

【詳解】解：???Bi&lOP,

=90°,

=30°,0Bi=2,

22

的邊長(zhǎng)=10B1=1,。&=V2-l=V3,

，點(diǎn)兒的縱坐標(biāo)為《。冬=子,

?.?等邊三角形Ci，

30

=241cl=1,4當(dāng)41cl=60°,

=60°,

Z.B1A1C1=Z-OBrAr,

??4]C]II%*由，

/.Z-A2A1C1=乙POB4=30°,

??"&42cl=90。，

、AC1..y/3

??42。1=2f=F

??。人2=。/1+^41^2=V3+，=

??點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為1%=，22c2=鼻2殳=~%=

同理得：=,，

OA3=OA2+A2A3=乎+(=苧，

???點(diǎn)4的縱坐標(biāo)為：。