資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】第第頁(yè)資料整理【淘寶店鋪：向陽(yáng)百分百】專題03空間幾何解答題考法一平行【例1-1】（2023春·河北邯鄲）如圖，在三棱柱中，G，O，H，M分別為DE，DF，AC，BC的中點(diǎn)，N為GC的中點(diǎn).

(1)證明：平面ABED.(2)證明：平面平面BCFE.【例1-2】（2023·青海）如圖，在四棱錐A-BCDE中，底面BCDE為矩形，M為CD中點(diǎn)，連接BM，CE交于點(diǎn)F，G為△ABE的重心，證明：平面ABC.【變式】1．（2023春·浙江金華）在正方體中，分別是和的中點(diǎn)，求證

(1)(2)平面．(3)平面平面．考法二垂直【例2-1】（2023秋·海南海口）已知三棱錐中，底面，，分別為，的中點(diǎn)，于．

(1)求證：平面；(2)求證：平面平面．【例2-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，三棱錐中，，均為等邊三角形，，O為AB中點(diǎn)，點(diǎn)D在AC上，滿足，且面面ABC．證明：面POD．

【變式】1．（2023秋·山東）如圖所示，在正方體中，為棱的中點(diǎn)，N為棱上的點(diǎn)，且，求證：.

考法三空間角之向量法【例3-1】（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）直三棱柱中，，D為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．【變式】1．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，，為的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．考法四空間角之幾何法【例4】（2023秋·四川遂寧）如圖，多面體中，四邊形為平行四邊形，，，四邊形為梯形，，，，，平面(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【變式】1．（2023春·福建寧德）四棱錐中，底面為平行四邊形，側(cè)面底面，已知，，，．

(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．考法五空間距離之向量法【例5】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在多面體中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若為AB的中點(diǎn)，求證：直線平面；(2)若點(diǎn)在棱上且，求點(diǎn)C到平面的距離．【變式】1．（2023·天津北辰·校考模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，底面，且，四邊形是直角梯形，且，，，，為中點(diǎn)，在線段上，且.

(1)求證：平面；(2)求直線PB與平面所成角的正弦值；(3)求點(diǎn)到PD的距離.考法六空間距離之幾何法【例6】（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖，等腰梯形ABCD中，，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，且.

(1)證明：平面平面；(2)若M為PD的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離.【變式】1．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖，等腰梯形ABCD中，，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，且.

(1)證明：平面平面；(2)若M為PD的中點(diǎn)，求點(diǎn)P到平面的距離.考法七折疊問(wèn)題【例7】（2023秋·山東泰安）如圖1，四邊形為矩形，，E為的中點(diǎn)，將、分別沿、折起得圖2，使得平面平面，平面平面．

(1)求證：平面；(2)若F為線段的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值．【變式】1．（2023·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校考一模）長(zhǎng)方形中，，點(diǎn)為中點(diǎn)（如圖1），將點(diǎn)繞旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)處，使平面平面（如圖2）．

(1)求證：；(2)點(diǎn)在線段上，當(dāng)二面角大小為時(shí)，求四棱錐的體積．考法八動(dòng)點(diǎn)【例8】（2023春·山西運(yùn)城·高一統(tǒng)考期中）如圖，正三棱柱中，E、F、G分別為棱、、的中點(diǎn)．

(1)證明：∥平面；(2)在線段是否存在一點(diǎn)，使得平面∥平面？若存在，請(qǐng)指出并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式】1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，在正四棱柱中，．點(diǎn)分別在棱,上，．

(1)證明：；(2)點(diǎn)在棱上，當(dāng)二面角為時(shí)，求．考點(diǎn)九外接球【例9】（2023湖南）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，.（1）求證：平面；（2）若直線與底面所成的角的余弦值為，求三棱錐的外接球表面積.【變式】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖矩形中，，沿對(duì)角線將折起，使點(diǎn)A折到點(diǎn)P位置，若，三棱錐的外接球表面積為．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊界及內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，若直線與直線與平面所成角相等，求點(diǎn)N軌跡的長(zhǎng)度．專題03空間幾何解答題鞏固練習(xí)1.（2023秋·云南）如圖，四棱錐的底面為平行四邊形．設(shè)平面與平面的交線為l，M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點(diǎn)．

(1)求證：平面平面；(2)求證：．2.（2023湖北）如圖，在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中，，是線段的中點(diǎn)，是線段靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，求證：3.（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點(diǎn)．

(1)證明：；(2)點(diǎn)F滿足，求二面角的正弦值．4．（2023秋·山東濰坊·高三校考階段練習(xí)）如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，且，，平面，，分別是線段，的中點(diǎn).

(1)證明：；(2)若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.5．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考三模）如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.

(1)證明：面面；(2)若為上的一點(diǎn)，點(diǎn)到面的距離為，求二面角的余弦值.6.（2023·新疆·統(tǒng)考三模）如圖，在四棱錐中，底面是長(zhǎng)方形，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且．

(1)證明：平面平