高考數學高考數學勤思篤學勤思篤學勤思篤學勤思篤學專題04三角函數新定義問題三角函數新定義問題；主要把握住三角函數與其它知識點之間的轉換關系即可，熟記三角恒等變換的有關公式；求取值范圍轉換為函數問題.特別注意：新定義“伴隨函數”得出函數的表達式，然后利用三角函數性質求解．對于函數一般借助輔助角公式進行變形，即，其中，．題型一新定義距離問題【例1】人臉識別就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份．在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離．已知二維空間兩個點、，則其曼哈頓距離為，余弦相似度為，余弦距離為．已知，、、、，若，，則．【答案】【解析】因為，，所以，因為，所以．因為，所以，因為，則，所以．因為，，所以．又因為，，所以，所以．【解題技法】新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉述新信息所表達的內容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發現新信息與所學知識的聯系，并從描述中體會信息的本質特征與規律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.【跟蹤訓練】人臉識別技術應用在各行各業，改變著人類的生活，而所謂人臉識別，就是利用計算機分析人臉視頻或者圖像，并從中提取出有效的識別信息，最終判別人臉對象的身份.在人臉識別中為了檢測樣本之間的相似度主要應用距離的測試，常用的測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.假設二維空間中有兩個點，O為坐標原點，余弦相似度similarity為向量夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，Q，R的余弦距離為，則（

）A．7 B． C．4 D．【答案】A【解析】由，，，，，所以，故，則，整理得，故選A題型二新定義函數【例2】已知為實數，用表示不超過的最大整數，例如，，．對于函數，若存在且，使得，則稱函數是函數．(1)判斷函數，是否是函數；（只需寫出結論）(2)已知，請寫出的一個值，使得為函數，并給出證明；(3)設函數是定義在上的周期函數，其最小周期為．若不是函數，求的最小值．【解】（1）對于，令，則，則，，所以存在，，使得，所以函數是“函數”.對于函數，函數的最小正周期為，不妨研究在這個周期的性質，當時，，則，當時，，則，綜上，，所以函數不是“函數”.所以得函數是“函數”，函數不是“函數”.（2）取，為函數，證明如下：令，則，又，此時，，則，所以是函數．（3）的最小值為1，理由如下：因為是以為最小正周期的周期函數，所以．假設，則，所以，矛盾；所以必有，而函數的周期為1，且顯然不是是函數，綜上，的最小值為1．【解題技法】關于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結合數學知識進行解答.【跟蹤訓練】定義函數為“正余弦”函數.結合學過的知識，可以得到該函數的一些性質：容易證明為該函數的周期，但是否是最小正周期呢？我們繼續探究：.可得：也為函數的周期.但是否為該函數的最小正周期呢？我們可以分區間研究的單調性：函數在是嚴格減函數，在上嚴格增函數，再結合，可以確定：的最小正周期為.進一步我們可以求出該函數的值域了.定義函數為“余正弦”函數，根據閱讀材料的內容，解決下列問題：(1)求“余正弦”函數的定義域；(2)判斷“余正弦”函數的奇偶性，并說明理由；(3)探究“余正弦”函數的單調性及最小正周期，說明理由，并求其值域.【解】（1）的定義域為.（2）對于函數，，所以是偶函數.（3），在區間上遞減，在區間上遞增，所以在上遞減.在區間上遞增，在區間上遞增，所以在上遞增.所以的最小正周期為，在上是嚴格減函數，在上是嚴格增函數.結合的單調性可知，的值域為.1．人臉識別中檢測樣本之間相似度主要應用距離的測試，常用測量距離的方式有曼哈頓距離和余弦距離.若二維空間有兩個點，，則曼哈頓距離為：，余弦相似度為：，余弦距離為.若，，則A，B之間的余弦距離為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題，，，所以A，B之間的余弦距離為.故選：A.2．已知是定義在上的函數，如果存在常數，對區間上任意劃分：，和式恒成立，則稱為上的“絕對差有界函數”，注：，若，，則關于函數、在上是否為“絕對差有界函數”的判斷正確的是（

）A．與都是B．是而不是C．不是而是D．與都不是【答案】B【解析】函數，顯然在上單調遞增，對區間上任意劃分：，則（），所以取，對區間上任意劃分：，恒成立，故在上是“絕對差有界函數”；對于函數，對區間上的劃分：，，所以，因此，不存在常數滿足條件，故在上不是“絕對差有界函數”.故選：B.3．在數學中，雙曲函數是與三角函數類似的函數，最基本的雙曲函數是雙曲正弦函數與雙曲余弦函數，其中雙曲正弦：，雙曲余弦函數：，則，無窮數列，，，若，則a的值為．【答案】【解析】，故；不妨設，其中則有，，……，所以，，，解得或則，因此4．平面直角坐標系中，將函數，上滿足，的點，稱為函數的“正格點”．若函數，，與函數的圖象存在正格點交點，則這兩個函數圖象的所有交點個數為個．【答案】5【解析】由已知，函數與函數的圖象存在正格點交點，而滿足，的點，稱為函數的“正格點”，所以兩函數的正格點交點只能是，則，所以，所以，而，所以，所以函數，，畫出兩函數圖象，可知：

由兩函數圖象可知，兩個函數圖象交點個數為5個（其中D、E兩點非常接近），5．對于函數，，如果存在一組正常數，，…，，（其中k為正整數），滿足使得當x取任意實數時，有，則稱函數具有“性質”.(1)求證：函數同時具有“性質”和“性質”；(2)設函數，其中b，c，d是不全為0的實數且存在，使得，證明：存在，使得.【解】（1）因為，所以具有“性質”；因為，所以具有“性質”；（2）①若，此時取即可；②若，采取反證法，若不存在，使得，則恒成立，因為，，，再由恒成立，故，進而，與，，是不全為0矛盾；故存在，使得．③若，由②中可知，因為所以，命題成立．綜上：原命題得證.6．設為坐標原點，定義非零向量的“相伴函數”為，向量稱為函數的“相伴向量”.記平面內所有向量的“相伴函數”構成的集合為.（1）設函數，求證：；（2）記的“相伴函數”為，若函數，與直線有且僅有四個不同的交點，求實數的取值范圍；（3）已知點滿足，向量的“相伴函數”在處取得最大值.當點運動時，求的取值范圍.【解】（1）∴取滿足條件，（2）由題知：.可求得在單調遞增，單調遞減，單調遞增，單調遞減且∵圖像與有且僅有四個不同的交點（3）其中∴當即時，取得最大值.此時令則由知解之得，因為在上單調遞增，所以在上單調遞減，從而7．對于函數，，如果存在一組常數，，…，（其中k為正整數，且）使得當x取任意值時，有則稱函數為“k級周天函數”.(1)判斷下列函數是否是“2級周天函數”，并說明理由：①；②；(2)求證：當時，是“3級周天函數”；(3)設函數，其中b，c，d是不全為0的實數且存在，使得，證明：存在，使得.【解】（1）令，，則，所以是“2級周天函數”；，不對任意x都成立，所以不是“2級周天函數”；（2）令，，，則所以是“3級周天函數”；（3）對其進行分類討論：1°若，則，此時取，則；2°若，采用反證法，若不存在，使得，則恒成立，由（2）可知是“3級周天函數”，所以，所以，因為，，，所以，再由恒成立，所以，進而可得，這與b，c，d是不全為0矛盾，故存在，使得；3°若，由，，得，所以存在，使得，所以命題成立.8．已知為實數，用表示不超過的最大整數，例如，，．對于函數，若存在且，使得，則稱函數是函數．(1)判斷函數，是否是函數；（只需寫出結論）(2)已知，請寫出的一個值，使得為函數，并給出證明；(3)設函數是定義在上的周期函數，其最小周期為．若不是函數，求的最小值．【解】（1）對于，令，則，則，，所以存在，，使得，所以函數是“函數”.對于函數，函數的最小正周期為，不妨研究在這個周期的性質，當時，，則，當時，，則，綜上，，所以函數不是“函數”.所以得函數是“函數”，函數不是“函數”.（2）取，為函數，證明如下：令，則，又，此時，，則，所以是函數．（3）的最小值為1，理由如下：因為是以為最小正周期的周期函數，所以．假設，則，所以，矛盾；所以必有，而函數的周期為1，且顯然不是是函數，綜上，的最小值為1．9．懸索橋（如圖）的外觀大漂亮，懸索的形狀是平面幾何中的懸鏈線.年萊布尼茲和伯努利推導出某鏈線的方程為，其中為參數.當時，該方程就是雙曲余弦函數，類似的我們有雙曲正弦函數.(1)從下列三個結論中選擇一個進行證明，并求函數的最小值；①；②；③.(2)求證：，.【解】（1）證明：選①，；選②，；選③，.，令，因為函數、均為上的增函數，故函數也為上的增函數，故，則，所以，所以，當且僅當時取“”，所以的最小值為.（2）證明：，，當時，，，所以，所以，所以成立；當時，則，且正弦函數在上