試題PAGE1試題2024北京匯文中學高二（下）期中數學本試卷共6頁，試卷分值為150分.考試時長為120分鐘.請考生務必答案答在答題卡上，在試卷上作答無效.一、選擇題：本題共10個小題，每小題5分，共50分.1.集合，，則（）A. B. C. D.2.如圖，曲線在點處的切線l過點，且，則的值為（）A. B.1 C.2 D.33.下列函數中，的最小值是2的是（）A. B.C. D.4.已知，，，則（）A. B. C. D.5.已知函數，則（）A.是奇函數，且在上是增函數B.是奇函數，且在上是減函數C.是偶函數，且在上是增函數D.是偶函數，且在上是減函數6.7張卡片上分別寫有數字1234567從中隨機取出2張，記事件A＝“所取2張卡片上的數字之和為偶數”，事件B＝“所取2張卡片上的數字之和小于8”，則＝（）A. B. C. D.7.小明家里有一盆花交給鄰居幫忙照顧，如果鄰居記得澆水，那么花存活的概率為，如果鄰居忘記澆水，那么花存活的概率為.已知鄰居記得澆水的概率為，忘記澆水的概率為，那么李老師回來后發現花還存活的概率為（）A. B. C. D.8.被譽為信息論之父的香農提出了一個著名的公式：，其中為最大數據傳輸速率，單位為；為信道帶寬，單位為Hz；為信噪比.香農公式在5G技術中發揮著舉足輕重的作用.當，時，最大數據傳輸速率記為；當，時，最大數據傳輸速率記為，則為（）A. B. C. D.9.已知函數，則“”是“函數在處取得極小值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件10.設函數的定義域為，如果，，使得成立，則稱函數為“函數”.給出下列四個函數：①；②；③；④，則其中“函數”共有（）A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本題共6個小題，每小題5分，共30分.11.函數的定義域是____________．12.已知函數則________；的值域為_______．13.若函數存在極值點，則實數a的取值范圍為________．14.甲、乙兩人約定進行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率是______________．15.如圖，將一邊長為的正方形鐵皮四角各截去一個大小相同的小正方形，然后沿虛線折起，得到一個無蓋長方體容器，若要求所得容器的容積最大，則截去的小正方形邊長為___________.16.已知函數的定義域是，關于函數給出下列命題：①對于任意，函數存在最小值；②對于任意，函數是上的減函數；③存在，使得對于任意的，都有成立；④存在，使得函數有兩個零點.其中正確命題的序號是______.三、解答題：本題共5個小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知函數（1）求函數在上的最大值和最小值；（2）求證：當時，函數的圖象在的下方．18.某學校食堂為了解師生對某種新推出的菜品的滿意度，從品嘗過該菜品的學生和老師中分別隨機調查了20人，得到師生對該菜品的滿意度評分如下：教師：6063656769757777797982838687899293969696學生：4749525455576365666674747577808283849596根據師生對該菜品的滿意度評分，將滿意度從低到高分為三個等級：滿意度評分低于70分70分到89分不低于90分滿意度等級不滿意滿意非常滿意假設教師和學生對該菜品的評價結果相互獨立，根據所給數據，用事件發生的頻率估計相應事件發生的概率．（1）設數據中教師和學生評分的平均值分別為和，方差分別為和，試比較和，和的大小（結論不要求證明）；（2）從全校教師中隨機抽取3人，設X為3人中對該菜品非常滿意的人數，求隨機變量X的分布列及數學期望；（3）求教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級的概率．19.網購生鮮蔬菜成為很多家庭日常消費的新選擇.某小區物業對本小區三月份參與網購生鮮蔬菜的家庭的網購次數進行調查，從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取10戶，分別記為A組和B組，這20戶家庭三月份網購生鮮蔬菜的次數如下：A組：8，9，11，13，15，17，18，26，29，30B組：5，12，14，21，24，27，28，33，35，39假設用頻率估計概率，且各戶網購生鮮蔬菜的情況互不影響.（1）從一單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中隨機抽取1戶，估計該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的概率；（2）從一單元和二單元參與網購生鮮蔬菜的家庭中各隨機抽取1戶，記這兩戶中三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數為，估計的數學期望；（3）從組和組中分別隨機抽取2戶家庭，記為A組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，為B組中抽取的兩戶家庭三月份網購生鮮蔬菜次數大于20的戶數，比較方差與的大小.（結論不要求證明）20.已知函數.（1）若曲線在處的切線方程為，（ⅰ）求和的值；（ⅱ）求函數的單調區間和極值；（2）當時，求函數的極值點的個數.21.由個正整數構成的有限集（其中），記，特別規定，若集合滿足：對任意的正整數，都存在集合的兩個子集，使得成立，則稱集合為“滿集”.（1）分別判斷集合與是否為“滿集”，請說明理由；（2）若集合為“滿集”，求的值；（3）若是首項為，公比為的等比數列，判斷集合是否為“滿集”，并說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共10個小題，每小題5分，共50分.1.【答案】D【分析】先求得集合，再根據補集及并集的定義即可求解.【詳解】由題意，解得集合，又因為集合，所以，所以.故選：D.2.【答案】C【分析】利用已知條件求出切線方程，然后利用切點既在曲線上又在切線上，將代入切線方程可求得．【詳解】由題意可得在處的切線方程為：因為切點在曲線上也在切線上，所以本題正確選項：【點睛】本題考查曲線的切線方程的求法與應用，是基本知識的考查，關鍵是明確切點既在切線上又在曲線上．3.【答案】C【分析】對于A：取特殊值，代入后否定結論；對于B：取特殊值，代入后否定結論；對于C：利用導數判斷單調性，求出最小值；對于D：根據基本不等式利用的條件“一正二定三相等”進行判斷.【詳解】對于A：的定義域為.取特殊值，代入得y=-2<2.故A錯誤；對于B：的定義域為.取特殊值，代入得y=e-1<2.故B錯；對于C：的定義域為R..令，解得；令，解得；所以在上單減，在上單增，所以當時，y取得最小值2.故C正確；對于D：.令，則.所以，當，記時取最小值，但是，所以的最小值不能取得.故D錯誤.故選：C4.【答案】A【分析】利用指數函數和對數函數的單調性以及它們經過的定點，就可以作出判斷.【詳解】由指數函數的單調性可知：，且，再由對數函數的單調性可知：，由此可知，故選：A.5.【答案】C【分析】利用奇偶性的定義判斷函數的奇偶性，再利用復合函數單調性法則判斷單調性，結合選項可得結果.【詳解】，是偶函數；當時，，設，則在上單增，又為增函數，所以在上單增，是偶函數，且在上是增函數.故選：C.【點睛】本題主要考查函數奇偶性的判斷以及函數單調性的判斷，屬于中檔題.判斷函數的奇偶性首先要看函數的定義域是否關于原點對稱，如果不對稱，既不是奇函數又不是偶函數，如果對稱常見方法有：（1）直接法，(正為偶函數，負為減函數)；（2）和差法，（和為零奇函數，差為零偶函數）；（3）作商法，（為偶函數，為奇函數）.6.【答案】A【分析】可將事件A＝“所取2張卡片上的數字之和為偶數”的所有情況全部列出來，再找出其中滿足事件B＝“所取2張卡片上的數字之和小于8”的數目，然后求出概率.【詳解】解：所取2張卡片上的數字之和小于8的情況有（1,3）、（1,5）、（1,7）、（3,5）、（3,7）、（5,7）、（2,4）、（2,6）、（4,6），共9種，其中和小于8的情況有（1,3）、（1,5）、（2,4），共3種所以故選A.【點睛】本題主要考查條件概率的求法，事件A發生的條件下，事件B發生的條件概率公式為，不過對于一些情況總數不多的情況采用窮舉法更加方便.7.【答案】C【分析】由全概率公式即可得到答案.【詳解】設事件：鄰居記得澆水，事件：鄰居忘記澆水，事件：花存活，則有，，，，由全概率公式可得，故選：C.8.【答案】D【分析】根據定義，代入數據分別求和，再根據換底公式計算的值.【詳解】由條件可知，，.故選：D9.【答案】A【分析】對求導，分a＝0和a≠0討論的單調性，即可求出a≠0時，在x＝－1處取得極小值，再結合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】.①當a＝0時，，故在R上單調遞增，無最小值.②當a≠0時，令，得x＝－1或.又，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.故在x＝－1處取得極小值.綜上，函數在x＝－1處取得極小值.所以“”是“函數在x＝－1處取得極小值”的充分不必要條件.故選：A。10.【答案】D【分析】利用已知條件可知滿足“函數”的條件是值域關于原點對稱，從而研究四個基本函數的值域就可以作出判斷.【詳解】由函數的定義域為，如果，，使得成立，可知：“函數”的值域關于原點對稱，由于的定義域為，值域為，所以它是“函數”；由于的定義域為，值域為，所以它是“函數”；由于的定義域為，值域為，所以它是“函數”；由于的定義域為，值域為，所以它是“函數”；故選：D.二、填空題：本題共6個小題，每小題5分，共30分.11.【答案】【分析】由被開方數大于等于0與對數真數大于0即可得到結果.【詳解】要使函數有意義，則滿足：，解得：所以函數的定義域為故答案為：12.【答案】①.1②.【分析】第一空直接代入即可；第二空需分情況討論（1）求當時的值域，（2）求當時的值域，最后取兩值域的并集即可．【詳解】解：；當時，，當時，，所以的值域為故答案為：1；．13.【答案】【分析】求導，根據題意知方程有兩個不等的實根，可得出，從而得解.【詳解】因為，可得，因為函數存在極值點，所以有兩不等實根，則，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：.14.【答案】【分析】判斷甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸第三局勝或第一局輸第二局勝第三局勝，根據互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【詳解】因為乒乓球比賽的規則是三局兩勝制（無平局），由題意知甲每局比賽獲勝的概率都為，因此甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸第三局勝或第一局輸第二局勝第三局勝，所以最后甲獲勝的概率,故答案為：15.【答案】1【分析】根據題意先設小正方形邊長為x，計算出容器體積的函數解析式，再利用導數研究此函數的單調性，進而求得此函數的最大值即可.【詳解】設剪去小正方形的邊長為x，則容器的容積為：，.令，則(舍去)，.當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減，所以當時鐵盒的容積最大，故截去的小正方形邊長為1m.故答案為：1.16.【答案】①④【分析】求出函數的導函數，即可得到函數的單調性與最值，從而判斷即可；【詳解】解：定義域為，．當時單調遞增，值域為R，所以存在，使，當時，時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，則為函數的最小值，故①正確；若最小值，即，又，即，即時函數有兩個零點，令，則，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以存在使得，即存在，使得函數有兩個零點，故④正確.當時，恒成立，故是上的增函數，故②錯誤；因為，當時，當時，則，且當時，所以不存在，使得對于任意的，都有成立，故③錯誤；故答案為：①④．三、解答題：本題共5個小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.【答案】（1）的最小值是，最大值是；（2）證明詳見解析.【詳解】試題分析：（1）先求導數，確定導函數恒大于零，即得函數單調遞增，最后根據單調性確定最值，（2）先作差函數，利用導數研究函數單調性，再根據單調性去掉函數最值，根據最大值小于零得證結論.試題解析：(1)因為f(x)＝x2＋lnx，所以因為x>1時，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函數，所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.(2)證明：令，所以因為x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是減函數，所以.所以f(x)<g(x)．所以當x∈(1，＋∞)時，函數f(x)的圖象在的下方．18.【答案】（1）>，<；（2）分布列見解析，數學期望；（3）.【分析】（1）直接判斷>，<；（2）經分析X服從二項分布，利用公式求出概率，寫出分布列，計算數學期望即可；（3）利用相互獨立事件的概率計算公式進行計算.【詳解】（1）>，<，，.（2）教師對菜品滿意的概率,則隨機變量X服從二項分布，即X可取0,1,2,3，且，所以，，，，所以分布列為：X0123P所以數學期望,即數學期望為.（3）記事件C:教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級，用A1、A2、A3分別表示教師對該菜品“不滿意”、“滿意”、“非常滿意”，用B1、B2、B3分別表示學生對該菜品“不滿意”、“滿意”、“非常滿意”，且A1、A2、A3、B1、B2、B3相互獨立，則所以.即教師的滿意度等級高于學生的滿意度等級的概率為.【點睛】(1)求離散型隨機變量的分布列，應按以下三個步驟進行：①明確離散型隨機變量的所有可能取值以及取每個值所表示的意義；②利用概率的有關知識求出隨機變量每個取值的概率；③）按規范形式寫出分布列并用分布列的性質進行檢驗.(2)求離散型隨機變量的分布列時，要特別注意.隨機變量是否服從二項分布、超幾何分布等特殊的分布.19.【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）根據古典概型的概率公式即可求出；（2）由題可知，X的可能取值為0，1，2，再分別求出對應的概率，由期望公式即可求出；（3）根據方差公式計算可知，．【小問1詳解】設“該戶三月份網購生鮮蔬菜次數大于20”為事件，在組10戶中超過20次的有3戶，由樣本頻率估計總體概率，則.【小問2詳解】由樣本頻率估計總體概率，一單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為，二單元參與網購家庭隨機抽取1戶的網購生鮮蔬菜次數超過20次概率為，可知：X的可能取值為0，1，2，則有：，，，所以．【小問3詳解】依題可知，，的可能取值為0，1，2，且，服從超幾何分布，，，，，，，因為，，可得，，所以．20.【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）答案見詳解（2）答案見詳解【分析】（1）（ⅰ）求導，結合導數的幾何意義列式求解即可；（ⅱ）求導，利用導數判斷的單調性和極值；（2）分和兩種情況，令整理可得，構建，利用導數分析的單調性，結合的圖象分析的極值點的個數.【小問1詳解】因為函數的定義域為，且，（ⅰ）由題意可知：，解得，（ⅱ）此時，，若，則，可得，可知在內單調遞減；若，令，解得；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增；綜上所述：的單調遞減區間為，，單調遞增區間為，極小值為，無極大值.【小問2詳解】由（1）可知：函數的定義域為，且，若，則，可知在內單調遞減，無極值點；若，令