第十三章第4講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2016年寶雞一模)已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(5－x).(1)求證：f(x)≤5，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|m－2|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解析】證明：(1)由柯西不等式可得(2eq\r(x)＋eq\r(5－x))2≤(22＋12)[(eq\r(x))2＋(eq\r(5－x))2]＝25，∴f(x)＝2eq\r(x)＋eq\r(5－x)≤5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(\r(x),2)＝eq\f(\r(5－x),1)，即x＝4時(shí)等號(hào)成立．(2)解：關(guān)于x的不等式f(x)≤|m－2|恒成立，等價(jià)于|m－2|≥5，∴m≥7或m≤－3.2．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x－4|＋|x－3|，f(x)的最小值為m.(1)求m的值；(2)當(dāng)a＋2b＋3c＝m(a，b，c∈R)時(shí)，求a2＋b2＋c2的最小值【解析】(1)f(x)＝|x－4|＋|x－3|≥|(x－4)－(x－3)|＝1，故函數(shù)f(x)的最小值為1，即m＝1.(2)(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2故a2＋b2＋c2≥eq\f(1,14)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(1,14)，b＝eq\f(1,7)，c＝eq\f(3,14)時(shí)取等號(hào)．故a2＋b2＋c2的最小值為eq\f(1,14).3．(2016年長(zhǎng)春質(zhì)檢)(1)已知a，b都是正數(shù)且a≠b，求證：a3＋b3>a2b＋ab2；(2)已知a，b，c都是正數(shù)，求證：eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a＋b＋c)≥abc.【證明】(1)(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝(a＋b)(a－b)2.因?yàn)閍，b都是正數(shù)，所以a＋b>0.又a≠b，所以(a－b)2>0.于是(a＋b)(a－b)2>0，即(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，所以a3＋b3>a2b＋ab2.(2)因?yàn)閎2＋c2≥2bc，a2>0，所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.c2(a2＋b2)≥2abc2.③①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，從而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(由a，b，c都是正數(shù)，得a＋b＋c>0，因此eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a＋b＋c)≥abc.[B級(jí)能力提升]4．不等式|x－eq\f(1,4)|≤eq\f(1,12)的解集為{x|n≤x≤m}．(1)求實(shí)數(shù)m，n；(2)若實(shí)數(shù)a，b滿足：|a＋b|＜m，|2a－b|＜n，求證：|b|＜eq\f(5,18).【解析】(1)由|x－eq\f(1,4)|≤eq\f(1,12)得－eq\f(1,12)≤x－eq\f(1,4)≤eq\f(1,12)，即eq\f(1,6)≤x≤eq\f(1,3)，∵不等式|x－eq\f(1,4)|≤eq\f(1,12)的解集為{x|n≤x≤m}，∴n＝eq\f(1,6)，m＝eq\f(1,3).(2)證明：3|b|＝|3b|＝|2(a＋b)－(2a－b)|≤2|a＋b|＋|2a－b∵|a＋b|＜m，|2a－b|＜n∴|a＋b|＜eq\f(1,3)，|2a－b|＜eq\f(1,6)，則3|b|≤2|a＋b|＋|2a－b|＜2×eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,6)，即|b|＜eq\f(5,18).5．已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋3|－m(m∈R)，不等式f(x)＜5的解集為(－4,2)．(1)求m的值；(2)實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2＋eq\f(b2,4)＋eq\f(c2,9)＝m，求證：a＋b＋c≤eq\r(14).【解析】(1)∵f(x)＝|x－1|＋|x＋3|－m，∴當(dāng)x＜－3時(shí)，由不等式－2x－2－m＜5，得x＞－eq\f(m＋7,2).當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，4－m＜5.當(dāng)x＞1時(shí)，由不等式2x＋2－m＜5，得x＜eq\f(3＋m,2).∵不等式f(x)＜5的解集為(－4,2)，∴eq\b\lc\{\rc\|(\a\vs4\al\co1(x\o(\s\up7(0),\s\do5(0))))－eq\f(m＋7,2)＜xeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(＜\f(3＋m,2)))＝{x|－4＜x＜2}，∴m＝1.(2)證明：由(1)知，a2＋eq\f(b2,4)＋eq\f(c2,9)＝1，∴(a＋b＋c)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1×a＋2×\f(b,2)＋3×\f(c,3)))2≤(12＋22＋32)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(b2,4)＋\f(c2,9)))＝14，∴a＋b＋c≤eq\r(14).6．(2016年湖南一模)已知實(shí)數(shù)m，n滿足：關(guān)于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集為R.(1)求m，n的值；(2)若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝m－n，求證：eq\r(a)＋eq\r(b)＋eq\r(c)≤eq\r(3).【解析】(1)∵不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集為R，令3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，故x＝－1或x＝3時(shí)，x2＋mx＋n＝0，則x＝－1和x＝3為方程x2＋mx＋n＝0的兩根，故－1＋3＝2＝－m，－1×3＝－3＝n，解得m＝－2，n＝－3，當(dāng)m＝－2，n＝－3時(shí)，不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|即為|x2－2x－3|≤3|x2－2x－3|，即有|x2－2x－3|≥0，則解集為R.故m＝－2，n＝－3.(2)證明：若a，b，c均為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝m－n＝1，由a＋b≥2eq\r(ab)，b＋c≥2eq\r(bc)，c＋a≥2eq\r(ca)，累加得，2a＋2b＋2c≥2eq\r(ab)＋2eq\r(bc)＋2eq\r(ca)，兩邊同時(shí)加a＋b＋c，可得3(a＋b＋c)≥a＋b＋c＋2eq\r(ab)＋2eq\r(bc)＋2eq\r(ca)，即有3(a＋b＋c)≥(