福建省政和一中2025年高三TOP20九月聯考（全國II卷）數學試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)，其右焦點F的坐標為(c,0)，點A是第一象限內雙曲線漸近線上的一點，O為坐標原點，滿足|OA|=A．2 B．2 C．2332．若集合M＝{1，3}，N＝{1，3，5}，則滿足M∪X＝N的集合X的個數為()A．1 B．2C．3 D．43．若函數有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．4．如圖所示，三國時代數學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，取），則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．134 B．67 C．182 D．1085．某校在高一年級進行了數學競賽（總分100分），下表為高一·一班40名同學的數學競賽成績：555759616864625980889895607388748677799497100999789818060796082959093908580779968如圖的算法框圖中輸入的為上表中的學生的數學競賽成績，運行相應的程序，輸出，的值，則（）A．6 B．8 C．10 D．126．國務院發布《關于進一步調整優化結構、提高教育經費使用效益的意見》中提出，要優先落實教育投入．某研究機構統計了年至年國家財政性教育經費投入情況及其在中的占比數據，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經費的支出持續增長B．年以來，國家財政性教育經費的支出占比例持續年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經費的支出增長最多的年份是年7．已知函數的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，若定義，則函數，在區間內的圖象是()A． B．C． D．8．如圖，在中，點，分別為，的中點，若，，且滿足，則等于（）A．2 B． C． D．9．執行如圖所示的程序框圖，若輸入，，則輸出的值為（）A．0 B．1 C． D．10．已知的垂心為，且是的中點，則（）A．14 B．12 C．10 D．811．設為等差數列的前項和，若，，則的最小值為（）A． B． C． D．12．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積等于（）cm3A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線()的左右焦點分別為，為坐標原點，點為雙曲線右支上一點，若，，則雙曲線的離心率的取值范圍為_____.14．在某批次的某種燈泡中，隨機抽取200個樣品.并對其壽命進行追蹤調查，將結果列成頻率分布表如下：壽命（天）頻數頻率40600.30.4200.1合計2001某人從燈泡樣品中隨機地購買了個，如果這個燈泡的壽命情況恰好與按四個組分層抽樣所得的結果相同，則的最小值為______.15．已知是等比數列，且，，則__________，的最大值為__________．16．若，則的最小值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）若，且函數在區間上單調遞增，求實數a的范圍；（2）若函數有兩個極值點，且存在滿足，令函數，試判斷零點的個數并證明．18．（12分）已知滿足，且，求的值及的面積.（從①，②，③這三個條件中選一個，補充到上面問題中，并完成解答.）19．（12分）已知函數（1）若對任意恒成立，求實數的取值范圍；（2）求證：20．（12分）已知函數，.（1）若對于任意實數，恒成立，求實數的范圍；（2）當時，是否存在實數，使曲線：在點處的切線與軸垂直？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.21．（12分）記拋物線的焦點為，點在拋物線上，且直線的斜率為1，當直線過點時，.（1）求拋物線的方程；（2）若，直線與交于點，，求直線的斜率.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

計算得到Ac,bca【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A故Ac,bca，Fc,0，故Mc,故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.2、D【解析】可以是共4個，選D.3、A【解析】試題分析：由題意得有兩個不相等的實數根，所以必有解，則，且，∴．考點：利用導數研究函數極值點【方法點睛】函數極值問題的常見類型及解題策略（1）知圖判斷函數極值的情況.先找導數為0的點，再判斷導數為0的點的左、右兩側的導數符號.（2）已知函數求極值.求f′（x）―→求方程f′（x）＝0的根―→列表檢驗f′（x）在f′（x）＝0的根的附近兩側的符號―→下結論.（3）已知極值求參數.若函數f（x）在點（x0，y0）處取得極值，則f′（x0）＝0，且在該點左、右兩側的導數值符號相反.4、B【解析】

根據幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為，

故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.5、D【解析】

根據程序框圖判斷出的意義，由此求得的值，進而求得的值.【詳解】由題意可得的取值為成績大于等于90的人數，的取值為成績大于等于60且小于90的人數，故，，所以.故選：D【點睛】本小題考查利用程序框圖計算統計量等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力和數學應用意識.6、C【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．【點睛】本題考查統計圖表，正確認識圖表是解題基礎．7、A【解析】

由題知，利用求出，再根據題給定義，化簡求出的解析式，結合正弦函數和正切函數圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據題意，的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數和正切函數圖象可知正確.故選：A.【點睛】本題考查三角函數中正切函數的周期和圖象，以及正弦函數的圖象，解題關鍵是對新定義的理解.8、D【解析】

選取為基底，其他向量都用基底表示后進行運算．【詳解】由題意是的重心，，∴，，∴，故選：D．【點睛】本題考查向量的數量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明確，易于操作．9、A【解析】

根據輸入的值大小關系，代入程序框圖即可求解.【詳解】輸入，，因為，所以由程序框圖知，輸出的值為.故選：A【點睛】本題考查了對數式大小比較，條件程序框圖的簡單應用，屬于基礎題.10、A【解析】

由垂心的性質，得到，可轉化，又即得解.【詳解】因為為的垂心，所以，所以，而，所以，因為是的中點，所以．故選：A【點睛】本題考查了利用向量的線性運算和向量的數量積的運算率，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.11、C【解析】

根據已知條件求得等差數列的通項公式，判斷出最小時的值，由此求得的最小值.【詳解】依題意，解得，所以.由解得，所以前項和中，前項的和最小，且.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數列通項公式和前項和公式的基本量計算，考查等差數列前項和最值的求法，屬于基礎題.12、D【解析】解：根據幾何體的三視圖知，該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據，計算它的體積為：V=V三棱柱+V半圓柱=×2×2×1+?π?12×1=（6+1.5π）cm1．故答案為6+1.5π．點睛：根據幾何體的三視圖知該幾何體是三棱柱與半圓柱體的組合體，結合圖中數據計算它的體積即可．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

法一:根據直角三角形的性質和勾股定理得，，,又由雙曲線的定義得,將離心率表示成關于的式子,再令，則，令對函數求導研究函數在上單調性，可求得離心率的范圍.法二：令，，，，，根據直角三角形的性質和勾股定理得，將離心率表示成關于角的三角函數，根據三角函數的恒等變化轉化為關于的函數，可求得離心率的范圍.【詳解】法一:，，，,，,設，則，令，所以時，，在上單調遞增，，，.法二：，，令，，，，，，，，，.故答案為：.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率的范圍的問題，關鍵在于將已知條件轉化為與雙曲線的有關，從而將離心率表示關于某個量的函數，屬于中檔題.14、10【解析】

先求出a，b，根據分層抽樣的比例引入正整數k表示n，從而得出的最小值.【詳解】由題意得，a=0.2，b=80，由表可知，燈泡樣品第一組有40個，第二組有60個，第三組有80個，第四組有20個，所以四個組的比例為2:3:4:1，所以按分層抽樣法，購買的燈泡數為n=2k+3k+4k+k=10k()，所以的最小值為10.【點睛】本題考查分層抽樣基本原理的應用，涉及抽樣比、總體數量、每層樣本數量的計算，屬于基礎題.15、5【解析】，即的最大值為16、8【解析】

根據，利用基本不等式可求得函數最值.【詳解】，，當且僅當且，即時，等號成立.時，取得最小值.故答案為：【點睛】本題考查基本不等式，構造基本不等式的形式是解題關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）函數有兩個零點和【解析】試題分析：（1）求導后根據函數在區間單調遞增，導函數大于或等于0（2）先判斷為一個零點，然后再求導，根據，化簡求得另一個零點。解析：（1）當時，，因為函數在上單調遞增，所以當時，恒成立．[來源:Z&X&X&K]函數的對稱軸為．①，即時，，即，解之得，解集為空集；②，即時，即，解之得，所以③，即時，即，解之得，所以綜上所述，當函數在區間上單調遞增．（2）∵有兩個極值點，∴是方程的兩個根，且函數在區間和上單調遞增，在上單調遞減．∵∴函數也是在區間和上單調遞增，在上單調遞減∵，∴是函數的一個零點．由題意知：∵，∴，∴∴，∴又=∵是方程的兩個根，∴，,∴∵函數圖像連續，且在區間上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增∴當時，，當時，當時，∴函數有兩個零點和．18、見解析【解析】

選擇①時：,，計算，根據正弦定理得到，計算面積得到答案；選擇②時，，，故，為鈍角，故無解；選擇③時，，根據正弦定理解得，，根據正弦定理得到，計算面積得到答案.【詳解】選擇①時：,，故.根據正弦定理：，故，故.選擇②時，，，故，為鈍角，故無解.選擇③時，，根據正弦定理：，故，解得，.根據正弦定理：，故，故.【點睛】本題考查了三角恒等變換，正弦定理，面積公式，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.19、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）將問題轉化為對任意恒成立，換元構造新函數即可得解；（2）結合（1）可得，令，求導后證明其導函數單調遞增，結合，即可得函數的單調區間和最小值，即可得證.【詳解】（1）對任意恒成立等價于對任意恒成立，令，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；有最大值，.（2）證明：由（1）知，當時，即，，，令，則，令，則，在上是增函數，又，當時，；當時，，在上是減函數，在上是增函數，，即，．【點睛】本題考查了利用導數解決恒成立問題，考查了利用導數證明不等式，考查了計算能力和轉化化歸思想，屬于中檔題.20、（1）；（2）不存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直.【解析】

（1）分類時，恒成立，時，分離參數為，引入新函數，利用導數求得函數最值即可；（2），導出導函數，問題轉化為在上有解．再用導數研究的性質可得．【詳解】解：（1）因為當時，恒成立，所以，若，為任意實數，恒成立.若，恒成立，即當時，，設，，當時，，則在上單調遞增，當時，，則在上單調遞減，所以當時，取得最大值.，所以，要使時，恒成立，的取值范圍為.（2）由題意，曲線為：.令，所以，設，則，當時，，故在上為增函數，因此在區間上的最小值，所以，當時，，，所以，曲線在點處的切線與軸垂直等價于方程在上有實數解.而，即方程無實數解.故不存在實數，使曲線在點處的切線與軸垂直.【點睛】本題考查不等式恒成立，考查用導數的幾何意義，由導數幾何把問題進行轉化是解題關鍵．本題屬于困難題．21、（1）（2）0【解析】

（1）根據題意，設直線，與聯立，得，再由弦長公式，求解.（2）設，根據直線的斜率為1，則，得到，再由，所以線段中點的縱坐標為，然后直線的方程與直線的方程聯立解得交點H的縱坐標，說明直線軸，直線的斜率為0.【詳解】（1）依題意，，則直線，聯立得；設，則，解得，故拋物線的方程為.（2），因為直線的