福建省三明二中2025屆寧夏銀川二中下學期高三年級統練三數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數，，的部分圖象如圖所示，則函數表達式為（）A． B．C． D．2．已知點P在橢圓τ：=1(a>b>0)上，點P在第一象限，點P關于原點O的對稱點為A，點P關于x軸的對稱點為Q，設，直線AD與橢圓τ的另一個交點為B，若PA⊥PB，則橢圓τ的離心率e=（）A． B． C． D．3．已知集合A，B=,則A∩B=A． B． C． D．4．要得到函數的導函數的圖像，只需將的圖像（）A．向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍B．向右平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍C．向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標縮短到原來的倍D．向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍5．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．6．集合，，則()A． B． C． D．7．已知雙曲線的右焦點為，過原點的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于兩點，延長交右支于點，若，則雙曲線的離心率是（）A． B． C． D．8．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．9．已知的值域為，當正數a，b滿足時，則的最小值為（）A． B．5 C． D．910．已知函數f（x）＝sin2x+sin2（x），則f（x）的最小值為（）A． B． C． D．11．某人用隨機模擬的方法估計無理數的值，做法如下：首先在平面直角坐標系中，過點作軸的垂線與曲線相交于點，過作軸的垂線與軸相交于點（如圖），然后向矩形內投入粒豆子，并統計出這些豆子在曲線上方的有粒，則無理數的估計值是（）A． B． C． D．12．國務院發布《關于進一步調整優化結構、提高教育經費使用效益的意見》中提出，要優先落實教育投入．某研究機構統計了年至年國家財政性教育經費投入情況及其在中的占比數據，并將其繪制成下表，由下表可知下列敘述錯誤的是（）A．隨著文化教育重視程度的不斷提高，國在財政性教育經費的支出持續增長B．年以來，國家財政性教育經費的支出占比例持續年保持在以上C．從年至年，中國的總值最少增加萬億D．從年到年，國家財政性教育經費的支出增長最多的年份是年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知均為非負實數，且，則的取值范圍為______．14．（5分）已知橢圓方程為，過其下焦點作斜率存在的直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，則面積的取值范圍是____________．15．已知數列滿足對任意，，則數列的通項公式__________.16．甲、乙、丙、丁四人參加冬季滑雪比賽，有兩人獲獎.在比賽結果揭曉之前，四人的猜測如下表，其中“√”表示猜測某人獲獎，“×”表示猜測某人未獲獎，而“○”則表示對某人是否獲獎未發表意見.已知四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的，那么兩名獲獎者是_______.甲獲獎乙獲獎丙獲獎丁獲獎甲的猜測√××√乙的猜測×○○√丙的猜測×√×√丁的猜測○○√×三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，將的圖象向左移個單位，得到函數的圖象.（1）若，求的單調區間；（2）若，的一條對稱軸是，求在的值域.18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，點、分別為，的中點，且平面平面.（1）求證：平面.（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）某房地產開發商在其開發的某小區前修建了一個弓形景觀湖．如圖，該弓形所在的圓是以為直徑的圓，且米，景觀湖邊界與平行且它們間的距離為米．開發商計劃從點出發建一座景觀橋（假定建成的景觀橋的橋面與地面和水面均平行），橋面在湖面上的部分記作．設．（1）用表示線段并確定的范圍；（2）為了使小區居民可以充分地欣賞湖景，所以要將的長度設計到最長，求的最大值．20．（12分）已知函數，（1）證明：在區間單調遞減；（2）證明：對任意的有．21．（12分）在直角坐標系中，曲線的標準方程為.以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在直線上，求的最小值.22．（10分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據圖像的最值求出，由周期求出，可得，再代入特殊點求出，化簡即得所求.【詳解】由圖像知，，，解得，因為函數過點，所以，，即，解得，因為，所以，.故選：A【點睛】本題考查根據圖像求正弦型函數的解析式，三角函數誘導公式，屬于基礎題.2．C【解析】

設，則，，，設，根據化簡得到，得到答案.【詳解】設，則，，，則，設，則，兩式相減得到：，，，即，，，故，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了橢圓的離心率，意在考查學生的計算能力和轉化能力.3．A【解析】

先解A、B集合，再取交集。【詳解】,所以B集合與A集合的交集為，故選A【點睛】一般地，把不等式組放在數軸中得出解集。4．D【解析】

先求得，再根據三角函數圖像變換的知識，選出正確選項.【詳解】依題意，所以由向左平移個單位長度，再把各點的縱坐標伸長到原來的3倍得到的圖像.故選：D【點睛】本小題主要考查復合函數導數的計算，考查誘導公式，考查三角函數圖像變換，屬于基礎題.5．A【解析】

本道題繪圖發現三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可．【詳解】結合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結合拋物線性質可知，PF=PN，所以，故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為，所以斜率為，故選A．【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質，難度中等．6．A【解析】

解一元二次不等式化簡集合A，再根據對數的真數大于零化簡集合B，求交集運算即可.【詳解】由可得，所以，由可得,所以,所以，故選A．【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，涉及一元二次不等式解法及對數的概念，屬于中檔題.7．D【解析】

設雙曲線的左焦點為，連接，，，設，則，，，和中，利用勾股定理計算得到答案.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連接，，，設，則，，，，根據對稱性知四邊形為矩形，中：，即，解得；中：，即，故，故.故選：.【點睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.8．A【解析】

首先找出與面所成角，根據所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據同角三角函數關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.9．A【解析】

利用的值域為,求出m,再變形,利用1的代換,即可求出的最小值.【詳解】解：∵的值域為,∴,∴,∴,當且僅當時取等號,∴的最小值為.故選：A.【點睛】本題主要考查了對數復合函數的值域運用,同時也考查了基本不等式中“1的運用”,屬于中檔題.10．A【解析】

先通過降冪公式和輔助角法將函數轉化為，再求最值.【詳解】已知函數f（x）＝sin2x+sin2（x），=，=，因為，所以f（x）的最小值為.故選：A【點睛】本題主要考查倍角公式及兩角和與差的三角函數的逆用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.11．D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區域的面積，進而利用幾何概型的概率公式得出關于的等式，解出的表達式即可.【詳解】在函數的解析式中，令，可得，則點，直線的方程為，矩形中位于曲線上方區域的面積為，矩形的面積為，由幾何概型的概率公式得，所以，.故選：D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值，考查了幾何概型概率公式的應用，同時也考查了利用定積分計算平面區域的面積，考查計算能力，屬于中等題.12．C【解析】

觀察圖表，判斷四個選項是否正確．【詳解】由表易知、、項均正確，年中國為萬億元，年中國為萬億元，則從年至年，中國的總值大約增加萬億，故C項錯誤．【點睛】本題考查統計圖表，正確認識圖表是解題基礎．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設,可得的取值范圍,分別利用基本不等式和，把用代換,結合的取值范圍求關于的二次函數的最值即可求解.【詳解】因為,，令，則,因為,當且僅當時等號成立,所以,,即,令則函數的對稱軸為,所以當時函數有最大值為,即．當且，即，或，時取等號；因為,當且僅當時等號成立,所以,令,則函數的對稱軸為,所以當時,函數有最小值為,即，當,且時取等號，所以.故答案為:【點睛】本題考查基本不等式與二次函數求最值相結合求代數式的取值范圍;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;基本不等式:和的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于綜合型、難度大型試題.14．【解析】

由題意，，則，得．由題意可設的方程為，，聯立方程組，消去得，恒成立，，，則，點到直線的距離為，則，又，則，當且僅當即時取等號．故面積的取值范圍是.15．【解析】

利用累加法求得數列的通項公式，由此求得的通項公式.【詳解】由題，所以故答案為：【點睛】本小題主要考查累加法求數列的通項公式，屬于基礎題.16．乙、丁【解析】

本題首先可根據題意中的“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目分為四種情況，然后對四種情況依次進行分析，觀察四人所猜測的結果是否沖突，最后即可得出結果.【詳解】從表中可知，若甲猜測正確，則乙，丙，丁猜測錯誤，與題意不符，故甲猜測錯誤；若乙猜測正確，則依題意丙猜測無法確定正誤，丁猜測錯誤；若丙猜測正確，則丁猜測錯誤；綜上只有乙，丙猜測不矛盾，依題意乙，丙猜測是正確的，從而得出乙，丁獲獎.所以本題答案為乙、丁.【點睛】本題是一個簡單的合情推理題，能否根據“四個人中有且只有兩個人的猜測是正確的”將題目所給條件分為四種情況并通過推理判斷出每一種情況的正誤是解決本題的關鍵，考查推理能力，是簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）增區間為，減區間為；（2）.【解析】

（1）由題意利用三角函數圖象變換規律求得的解析式，然后利用余弦函數的單調性，得出結論；（2）由題意利用余弦函數的圖象的對稱性求得，再根據余弦函數的定義域和值域，得出結論．【詳解】由題意得（1）向左平移個單位得到，增區間：解不等式，解得，減區間：解不等式，解得.綜上可得，的單調增區間為，減區間為；（2）由題易知，，因為的一條對稱軸是，所以，，解得，.又因為，所以，即.因為，所以，則，所以在的值域是.【點睛】本題主要考查三角函數圖象變換規律，余弦函數圖象的對稱性，余弦函數的單調性和值域，屬于中檔題．18．（1）見解析（2）【解析】

（1）首先可得，再面面垂直的性質可得平面，即可得到，再由，即可得到線面垂直；（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法求出線面角；【詳解】解：（1）∵，點為的中點，∴，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，∴，又∵，分別為，的中點，∴，∴，又平面，平面，，∴平面.（2）過點做平面的垂線，以為原點，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，∵，∴，，，，∴，，，設平面的法向量為，由，得，令，得，∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定，面面垂直的性質定理的應用，利用空間向量法求線面角，屬于中檔題.19．（1），；（2）米.【解析】

(1)過點作于點再在中利用正弦定理求解,再根據求解,進而求得.再根據確定的范圍即可.(2)根據(1)有,再設,求導分析函數的單調性與最值即可.【詳解】解：過點作于點則,在中,,,由正弦定理得：,,,,,因為,化簡得,令,,且,因為,故令即,記,當時,單調遞增；當時,單調遞減,又,當時,取最大值,此時,的最大值為米．【點睛】本題主要考查了三角函數在實際中的應用,需要根據題意建立角度與長度間的關系,進而求導分析函數的單調性,根據三角函數值求解對應的最值即可.屬于難題.20．（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用復合函數求導求出，利用導數與函數單調性之間的關系即可求解.（2）首先證，令，求導可得單調遞增，由即可證出；再令，再利用導數可得單調遞增，由即可證出.【詳解】（1）顯然時，，故在單調遞減．（2）首先證，令，則單調遞增，且，所以再令，所以單調遞增，即，∴【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數證明不等式，解題的關鍵掌握復合函數求導，屬于難題.21．（1）（2）【解析】

（1）直接利用極坐標公式計算得到答案（2）設，，根據三角函數的有界性得到答案.【詳解】（1）因為，所以，因為所以直線的直角坐標方程為.（2）由題意可設，則點到直線的距離.因為，所以，因為，