專題06正方形的性質和判定（三大類型）【題型1正方形的概念和性質】【題型2正方形的判定】【題型3正方形的性質與判定綜合】【題型1正方形的概念和性質】1．矩形、菱形、正方形都具有的性質是（）A．對角互補 B．對角線互相垂直C．對角線互相平分 D．四邊相等2．如圖，四邊形ABCD是正方形，△PAD是等邊三角形，則∠BPC等于()A．20° B．30° C．35° D．40°3．若正方形的對角線長為2cm，則這個正方形的面積為（）A．4 B．2 C． D．4．如圖，P是正方形ABCD內一點，連接PA、PB、PC、PD，若△PAB是等邊三角形，則∠DPA的度數是（）A．60° B．75° C．80° D．90°5．如圖，E是正方形ABCD的邊DC上一點，過點A作FA＝AE交CB的延長線于點F，若AB＝4，則四邊形AFCE的面積是（）A．4 B．8 C．16 D．無法計算6．如圖，以正方形的邊為一邊向內作等邊，連接，則的度數為（

）

A．60° B．45° C．75° D．67.5°7．如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別在邊AB，CD上，∠EFC=120°，若將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，則為（）A．70° B．65° C．30° D．60°8．如圖，以正方形ABCD的中心為原點建立平面直角坐標系，點A的坐標為(2，2)，則點D的坐標為（）A．(2，2) B．(﹣2，2) C．(﹣2，﹣2) D．(2，﹣2)9．如圖，O是正方形ABCD的兩條對角線BD，AC的交點，EF過點O，若圖中陰影部分的面積為1，則正方形ABCD的周長為（

）

A．2

B． C．8

D．410．如圖，在正方形中，，是線段上的動點，于點，于點，則的值為（

）A． B． C． D．11．如圖，在正方形中，邊長為2的等邊三角形的頂點E，F分別在上，則的面積為．

12．如圖，四邊形ABCD是一個正方形，E是BC延長線上一點，且AC＝EC，則∠DAE的度數為．【題型2正方形的判定】（2023春?浦東新區校級期末）13．如圖，已知四邊形是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形是正方形的是（

）

A．且 B．且和互相平分C．且 D．且（2023春?汝陽縣期末）14．小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為圖1所示菱形，并測得∠B＝60°，對角線AC＝20cm，接著活動學具成為圖2所示正方形，則圖2中對角線AC的長為（）

A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm（2023春?臨潁縣期中）15．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分線EF交BC于點D，交AB于點E，且BE=BF，添加一個條件，仍不能證明四邊形BECF為正方形的是(

)A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF（2023?順德區校級三模）16．在四邊形中，E，F分別是邊，的中點，G、H分別是對角線，的中點，依次連接E，G，F、H得到的四邊形一定是（）A．平行四邊形 B．菱形C．矩形 D．正方形（2023?雁塔區校級二模）17．如圖，在矩形中，對角線，交于點O，要使該矩形成為正方形，則應添加的條件是（

）

A． B．C． D．（2023春?黃岡期中）18．如圖，在△ABC中，O是AC上一動點，過點O作直線MN∥BC．設MN交∠BCA的平分線于點E，交∠BCA的外角平分線于點F，若點O運動到AC的中點，且∠ACB=(

)時，則四邊形AECF是正方形．A．30° B．45° C．60° D．90°（2023?合陽縣校級一模）19．如圖，四邊形的對角線、相交于點，下列條件中，能判定四邊形是正方形的是（

）A．B．，，C．，D．，（2023?原平市模擬）20．小華在復習四邊形的相關知識時，繪制了如下圖所示的框架圖，④號箭頭處可以添加的條件是．（寫出一種即可）

【題型3正方形的性質與判定綜合】（2022秋?朝陽區校級期末）21．如圖，已知，小紅作了如下操作：分別以，為圓心，的長為半徑作弧，兩弧分別相交于點，，依次連接，，，，則四邊形的形狀是(

)A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形（2023春?岱岳區期末）22．小明在學習了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個條件：①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD中選兩個作為補充條件，使?ABCD為正方形（如圖），現有下列四種選法，你認為其中錯誤的是（）

A．①② B．②③ C．①③ D．②④（2022春?河西區期末）23．如圖，點E，F，P，Q分別是正方形ABCD的四條邊上的點，并且，則下列結論不一定正確的是（

）A． B．C．四邊形EFPQ是正方形 D．四邊形PQEF的面積是四邊形ABCD面積的一半（2022春?新泰市期中）24．如圖，在正方形中，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作射線OM、ON分別交BC、CD于點E、F，且，OC、EF交于點G．給出下列結論：①；②；③四邊形的面積為正方形面積的；④．其中正確的為．（將正確的序號都填入）（2023?貴陽模擬）25．如圖，點E是正方形對角線上一點，，垂足分別為F，G．(1)求證：四邊形是矩形；(2)若正方形的周長是，當時，求證：四邊形是正方形．（2022秋?綏德縣期中）26．如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在BC，CD邊上，且，．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)若，，求四邊形ABCD的面積．（2023秋?威寧縣校級期末）27．如圖1，四邊形ABCD為正方形，點E為線段AC上一點，連接DE，過點E作，交BC于點F，以DE，EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．(1)求證：矩形DEFG是正方形；(2)若，求CG的長；(3)當時，求的度數．（2022春?富縣期末）28．如圖，在中，，的平分線交于點D，，．(1)求證：四邊形為正方形；(2)若，求四邊形的面積．（2022春?嶧城區期中）29．問題解決：如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在AB，BC邊上，，于點G．(1)求證：四邊形ABCD是正方形；(2)延長CB到點H，使得，判斷的形狀，并說明理由．（2022春?東臺市期中）30．如圖，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF和∠CFE的外角平分線交于點A，過點A分別作直線CE，CF的垂線，點B，D為垂足．(1)∠EAF＝（直接寫結果）．(2)①求證：四邊形ABCD是正方形．②若BE＝EC＝2，求DF的長．參考答案：1．C【分析】A中菱形對角不互補，則錯誤，B中矩形對角線不互相垂直，則錯誤，C中平行四邊形的對角線互相平分，以上三個圖形都是平行四邊形，正確，D三個圖形中，矩形四邊不相等，錯誤．【詳解】解：A．菱形對角不互補，故本選項錯誤；B．矩形對角線不互相垂直，故本選項錯誤；C．平行四邊形的對角線互相平分，以上三個圖形都是平行四邊形，故本選項正確；D．三個圖形中，矩形四邊不相等，故本選項錯誤．故選C．【點睛】本題考查了正方形的性質，主要從對角線著手考查的，正方形是平行四邊形得最典型的圖形．2．B【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，△PAD是等邊三角形，∴∠BAP=∠BAD+∠PAB=90°+60°=150°．∵PA=AD，AB=AD，∴PA=AB，∴∠ABP==15°，∴∠PBC=∠ABC-∠ABP=90°-15°=75°，同理：∠PCB=75°，∴∠BPC=180°-75°-75°=30°．故選：B．3．B【分析】連接BD，利用正方形的面積等于對角線的積的一半計算即可．【詳解】如圖，連接BD，

正方形ABCD中，，則BD=AC=2，正方形的面積為=，故選B．4．B【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠CBA=90°，∵△PAB是等邊三角形，∴∠PAB=∠PBA=60°，PA=PB=AB，∴∠DAP=∠CBP=30°，AP=DA，，故選B5．C【分析】先證明可得從而可得答案.【詳解】解：正方形ABCD，AB＝4，故選C【點睛】本題考查的是小學涉及的正方形的性質，直角三角形全等的判定與性質，證明是解本題的關鍵.6．C【分析】在正方形ABCD中，△ABE是等邊三角形，可求出∠ABE的大小以及推斷出BC＝BE，從而可求出∠BEC．【詳解】在正方形中，．是等邊三角形，，，，故選：C．【點睛】本題考查了正方形的性質、等邊三角形的性質．根據正方形和等邊三角形的性質推知BE＝BC是解題的關鍵．7．D【分析】依據正方形的性質以及折疊的性質，即可得到=60°．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴ABCD，∠A=90°，∴∠BEF+∠EFC=180°，∵∠EFC=120°，∴∠BEF=180°-∠EFC=60°，∵將四邊形EBCF沿EF折疊，點B恰好落在AD邊上，∴∠BEF==60°，∴=180°-∠BEF-=60°，故選：D．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質等知識點，能綜合性運用性質進行推理是解此題的關鍵．8．B【分析】根據點A與點D關于y軸對稱以及關于y軸對稱的點的特點即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：∵以正方形ABCD的中心O為原點建立坐標系，點A的坐標為（2，2），點D與點A關于y軸對稱，∴點D的坐標分別為：（﹣2，2）．故選：B．【點睛】本題主要考查圖形與坐標，掌握關于y軸對稱的點的特點是解題的關鍵．9．C【分析】設正方形邊長為a，由△AOF≌△COE，可知陰影面積等于△DOC的面積，進而求出邊長a．【詳解】設正方形邊長為a，由題意可知，AO=OC，∠FAO=∠OCE，∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴陰影面積等于△DOC的面積，∴×a2=1，a=2，∴正方形ABCD的周長為8，故選C．【點睛】本題主要考查正方形的性質，還考查了三角形全等的判定和性質等知識點．10．D【分析】先利用正方形的性質證明四邊形為矩形和是等腰直角三角形，進而證得，利用勾股定理和正方形的性質求解即可．【詳解】解：在正方形中，，，，，∴四邊形為矩形，是等腰直角三角形，∴，∴，∵正方形的邊長為，∴．故選：D．【點睛】本題考查正方形的性質、矩形得判定與性質、等腰直角三角形的判定與性質、勾股定理，熟練掌握矩形的判定與性質，得到是解答的關鍵．11．1【分析】根據正方形的性質和等邊三角形的性質分別得到，，由此可證明得到，進一步證明是等腰直角三角形，得到，再利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∵是邊長為2的等邊三角形，∴，∴，∴，∴，即，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故答案為：1．【點睛】本題主要考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理，等腰直角三角形的性質與判定等等，證明是等腰直角三角形是解題的關鍵．12．22.5°【分析】由四邊形ABCD是一個正方形，根據正方形的性質，可得∠ACB=45°，又由AC=EC，根據等邊對等角，可得∠E=∠CAE，繼而根據等腰三角形的性質和三角形的內角和求得∠EAC的度數，進一步即可求得∠DAE的度數．【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，又∵，∴，則．故答案為：22.5°【點睛】此題考查了正方形的性質以及等腰三角形的性質．此題比較簡單，注意掌握數形結合思想的應用．13．D【分析】根據正方形的判定方法，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形，∴，不能證明四邊形是正方形，不符合題意；B、∵四邊形是平行四邊形，∴和互相平分，∵，∴四邊形是菱形，不能證明四邊形是正方形，不符合題意；C、∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，∴，不能證明四邊形是正方形，不符合題意；D、∵四邊形是平行四邊形，∴四邊形是矩形，又，∴四邊形是正方形，符合題意；故選D．【點睛】本題考查正方形的判定．熟練掌握正方形的判定方法：對角線相等的菱形是正方形，鄰邊相等的矩形是正方形，是解題的關鍵．14．D【分析】如圖1，圖2中，連接AC．在圖1中，證△ABC是等邊三角形，得出AB=BC=AC=20cm．在圖2中，由勾股定理求出AC即可．【詳解】解：如圖1，圖2中，連接AC．

圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠B＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝AC＝20cm，在圖2中，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠B＝90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC＝AB＝20cm；故選：D．【點睛】本題考查菱形的性質、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱形和正方形的性質，屬于中考常考題型．15．D【詳解】解：∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF；∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF；∴四邊形BECF是菱形．當BC=AC時，∠ACB=90°，∠A=45°，∴∠EBC=45°；∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°．∴菱形BECF是正方形．故選項A不符合題意．當CF⊥BF時，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項B不符合題意．當BD=DF時，BC=EF，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故選項C不符合題意．當AC=BD時，無法得出菱形BECF是正方形，故選項D符合題意．故選D．16．A【分析】本題考查了三角形的中位線，平行四邊形的判定．熟練掌握三角形的中位線的性質，平行四邊形的判定定理，是解決問題的關鍵．根據三角形中位線的性質可得，，進而根據一組對邊平行且相等，證明四邊形是平行四邊形，即可求解．【詳解】∵四邊形中，E、F、G、H分別是、、、的中點，∴，．，．∴，，∴四邊形是平行四邊形．故選：A．17．A【分析】根據矩形的性質及正方形的判定來添加合適的條件．【詳解】解：添加，則根據有一組鄰邊相等的矩形是正方形，能使矩形成為正方形．故選：A．【點睛】本題考查了矩形的性質，正方形的判定的應用，能熟記正方形的判定定理是解此題的關鍵．18．D【分析】根據正方形的判定定理去推理即可．【詳解】∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∵CE是∠BCA的平分線，∴∠ECB=∠ECA，∴∠ECA=∠OEC，∴OE=OC，同理OC=OF，∵O是AC的中點，∴四邊形AECF是平行四邊形，∵∠ACB=90°，∴AC=EF，AC⊥EF，∴邊形AECF是正方形．故選D．【點睛】本題考查了正方形的判定，熟練掌握正方形的判定定理是解題的關鍵．19．C【分析】根據正方形的判定方法對各個選項進行分析從而得到答案．【詳解】解：A、∵，∴四邊形是菱形，故本選項不符合題意；B、∵，，，∴四邊形是菱形，故本選項不符合題意；C、∵，，∴四邊形是正方形，故本選項符合題意；D、由，，不能判定四邊形是正方形，故本選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查正方形的判定，掌握特殊四邊形的判定方法是解題的關鍵．20．一組鄰邊相等（答案不唯一）【分析】根據正方形的判定定理進行解答即可．【詳解】有一組鄰邊相等的矩形是正方形，添加的條件是一組鄰邊相等，故答案為：一組鄰邊相等．【點睛】本題考查正方形的判定定理，有一組鄰邊相等的矩形是正方形；對角線互相垂直的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形；對角線相等的菱形是正方形；熟練掌握正方形的判定定理是解題的關鍵．21．D【分析】先根據“四邊相等的四邊形是菱形”判斷四邊形的形狀，再根據勾股定理的逆定理得出，最后根據“有一個角是直角的菱形是正方形”得出答案.【詳解】解：由題意得，cm，四邊形是菱形.∵，∴是直角三角形，∴，∴四邊形是正方形．故選：D．【點睛】本題主要考查了特殊平行四邊形的判定，靈活選擇判定定理是解題的關鍵．22．B【詳解】A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當②∠ABC=90°時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，當③AC=BD時，這是矩形的性質，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項錯誤，符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當①AB=BC時，平行四邊形ABCD是菱形，當③AC=BD時，菱形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴當②∠ABC=90°時，平行四邊形ABCD是矩形，當④AC⊥BD時，矩形ABCD是正方形，故此選項正確，不合題意．故選B．23．D【分析】根據正方形的性質可證得△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，再根據全等三角形的性質和勾股定理，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠B=90°，又CQ=BP，∴AB-BP=BC-CQ，即AP=BQ在△AFP和△BPQ中，∵AF=BP，∠A=∠B，AP=BQ，∴△AFP≌△BPQ（SAS），∴∠AFP=∠BPQ，故A選項正確，不符合題意；同理：△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF，∴PF=PQ=QE=EF，∴四邊形EFPQ為菱形，∴EF∥QP，故B選項正確，不符合題意；∵△AFP≌△BPQ∴∠BPQ=∠AFP，又∵∠A=90°，∴∠AFP+∠APF=90°，∴∠AFP+∠APF=∠BPQ+∠APF=90°，∴∠FPQ=180°-（∠BPQ+∠APF）=90°，∴四邊形EFPQ是正方形，故C選項正確，不符合題意；設正方形ABCD的邊長為a，BP=AF=x，則，∴AB=a，∴，∴正方形EFPQ的面積為，而x的值無法確定，∴四邊形PQEF的面積不一定是四邊形ABCD面積的一半，故D選項錯誤，符合題意；故選：D【點睛】本題主要考查了正方形的性質，全等三角形的性質和勾股定理，熟練掌握正方形的性質，全等三角形的性質和勾股定理是解題的關鍵．24．①②③【分析】利用正方形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理計算判斷即可．【詳解】∵正方形，，∴，，∴，，∴，∴，，故①②正確；∵，∴，∴，∴，∵正方形，∴，∴，故③正確；∵正方形，∴，∴，無法判定，故④錯誤．故答案為：①②③．【點睛】本題考查了正方形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理，熟練掌握正方形的性質，三角形全等的判定和性質是解題的關鍵．25．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查正方形的判定和性質，矩形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質．掌握相關判定和性質，是解題的關鍵．（1）根據三個角是90度的四邊形是矩形，即可得證；（2）根據正方形的周長，求出的長，進而求出的長，再證明為等腰直角三角形，得到，推出，即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴．∵，∴．又∵，∴四邊形是矩形；（2）∵正方形的周長是，∴．∵，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴四邊形是正方形．26．(1)見解析(2)【分析】（1）根據AE=AF，可得∠AFE=∠AEF，再由∠CEF=45°，可得∠CFE=∠CEF=45°，從而得到∠AFC=∠AEC，進而得到∠AFD=∠AEB，可證得ΔABE≌ΔADF，從而得到AB=AD，即可求證；（2）根據全等三角形的性質可得，再由勾股定理可得，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠D=∠C=90°，∵AE=AF，∴∠AFE=∠AEF，∵∠CEF=45°，∠C=90°，∴∠CFE=∠CEF=45°，∴∠AFC=∠AEC，∴∠AFD=∠AEB，∴ΔABE≌ΔADF（AAS），∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形．（2）解：∵由（1）可知：，又，，由勾股定理得：，∵四邊形ABCD是正方形，∴．【點睛】本題主要考查了正方形的判定，矩形的性質，勾股定理，全等三角形的判定和性質，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．27．(1)見解析(2)2(3)【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，證明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根據正方形的判定定理證明即可；（2）通過計算發現E是AC中點，點F與C重合，△CDG是等腰直角三角形，由此即可解決問題．（3）根據角之間的關系解答即可．【詳解】（1）證明：過點作于，于，如圖，∵四邊形為正方形，.，，，.∵，，∴.在和中，∴，∴，∴矩形是正方形．（2）解：如圖，在中，，∵，∴，∴點與重合，此時是等腰直角三角形，．（3）解：當時，，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查正方形的性質、矩形的性質、勾股定理，全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．28．(1)見解析(2)512【分析】（1）先證明四邊形是平行四邊形，然后利用角平分線和平行線的性質證明，再利用等角對等邊得出，最后利用正方形的判定即可證明；（2）利用正方形的性質得出，然后利用菱形的面積公式求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴四邊形是平行四邊形．∵平分，∴．∵，∴．∴．∴．∴四邊形是菱形．∵，∴四邊形是正方形．（2）解：連接，∵四邊形是正方形，，∴，，∴．即四邊形的面積為512．【點睛】本題考查了正方形的判定與性質，平行線的性質等知識，證明是解第（1）問的關鍵，熟記菱形的面積公式是解（2）問的關鍵．29．(1)見解析(2)△AHF是等腰三角形，利用略【分析】（1）通過證明△ADE≌△BAF得到AD=AB，結合矩形ABCD得到結論；（2）利用垂直平分線的性質得到AH=AF，得出結論．【詳解】（1）證明：在矩形ABCD中，∠DAE=∠ABF=90°，∵DE⊥AF，∴∠ADG+∠GAD=90°，又∵∠BAF+∠DAG=90°，∴∠BAF=∠ADE，在△ADE和△BAF中∴△ADE≌△