哈爾濱市第三中學2024-2025學年高三第二次適應性考試數學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某三棱錐的三視圖如圖所示，那么該三棱錐的表面中直角三角形的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．02．已知復數，，則（）A． B． C． D．3．已知復數z＝（1+2i）（1+ai）（a∈R），若z∈R，則實數a＝（）A． B． C．2 D．﹣24．已知函數且，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．5．數學中有許多形狀優美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一種，其方程為.給出下列四個結論：①曲線有四條對稱軸；②曲線上的點到原點的最大距離為；③曲線第一象限上任意一點作兩坐標軸的垂線與兩坐標軸圍成的矩形面積最大值為；④四葉草面積小于.其中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．①③ C．①③④ D．①②④6．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．7．已知是虛數單位，若，則（）A． B．2 C． D．38．已知雙曲線C：1（a＞0，b＞0）的焦距為8，一條漸近線方程為，則C為（）A． B．C． D．9．已知定義在上的奇函數滿足，且當時，，則（）A．1 B．-1 C．2 D．-210．已知，是函數圖像上不同的兩點，若曲線在點，處的切線重合，則實數的最小值是（）A． B． C． D．111．已知拋物線：的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，其中點在第一象限，若弦的長為，則（）A．2或 B．3或 C．4或 D．5或12．已知向量，，若，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數字作答）14．某種產品的質量指標值服從正態分布，且．某用戶購買了件這種產品，則這件產品中質量指標值位于區間之外的產品件數為_________．15．某中學數學競賽培訓班共有10人，分為甲、乙兩個小組，在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示，若甲組5名同學成績的平均數為81，乙組5名同學成績的中位數為73，則x-y的值為________．16．在正方體中，分別為棱的中點，則直線與直線所成角的正切值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,在四棱錐中,四邊形是直角梯形,底面,是的中點.（1）.求證:平面平面;（2）.若二面角的余弦值為,求直線與平面所成角的正弦值.18．（12分）設復數滿足（為虛數單位），則的模為______.19．（12分）記為數列的前項和，N.（1）求；（2）令，證明數列是等比數列，并求其前項和.20．（12分）年，山東省高考將全面實行“選”的模式（即：語文、數學、外語為必考科目，剩下的物理、化學、歷史、地理、生物、政治六科任選三科進行考試）.為了了解學生對物理學科的喜好程度，某高中從高一年級學生中隨機抽取人做調查.統計顯示，男生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人；女生喜歡物理的有人，不喜歡物理的有人.（1）據此資料判斷是否有的把握認為“喜歡物理與性別有關”；（2）為了了解學生對選科的認識，年級決定召開學生座談會.現從名男同學和名女同學（其中男女喜歡物理）中，選取名男同學和名女同學參加座談會，記參加座談會的人中喜歡物理的人數為，求的分布列及期望.，其中.21．（12分）已知△ABC三內角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面積．22．（10分）已知函數，.（1）當時，討論函數的零點個數；（2）若在上單調遞增，且求c的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

由三視圖還原原幾何體，借助于正方體可得三棱錐的表面中直角三角形的個數.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖，其中，，為直角三角形.∴該三棱錐的表面中直角三角形的個數為3.故選：C.本小題主要考查由三視圖還原為原圖，屬于基礎題.2．B【解析】分析：利用的恒等式，將分子、分母同時乘以，化簡整理得詳解：，故選B點睛：復數問題是高考數學中的常考問題，屬于得分題，主要考查的方面有：復數的分類、復數的幾何意義、復數的模、共軛復數以及復數的乘除運算，在運算時注意符號的正、負問題.3．D【解析】

化簡z＝（1+2i）（1+ai）=，再根據z∈R求解.【詳解】因為z＝（1+2i）（1+ai）=，又因為z∈R，所以，解得a＝-2.故選：D本題主要考查復數的運算及概念，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.4．B【解析】

構造函數，判斷出的單調性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數，由解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數，而，所以在定義域上為增函數，且.由得，即，所以.故選：B本小題主要考查利用函數的單調性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.5．C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數；②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值；③將面積轉化為的關系式，然后根據基本不等式求解出最大值；④根據滿足的不等式判斷出四葉草與對應圓的關系，從而判斷出面積是否小于.【詳解】①：當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；當變為時，不變，所以四葉草圖象關于軸對稱；綜上可知：有四條對稱軸，故正確；②：因為，所以，所以，所以，取等號時，所以最大距離為，故錯誤；③：設任意一點，所以圍成的矩形面積為，因為，所以，所以，取等號時，所以圍成矩形面積的最大值為，故正確；④：由②可知，所以四葉草包含在圓的內部，因為圓的面積為：，所以四葉草的面積小于，故正確.故選：C.本題考查曲線與方程的綜合運用，其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用，難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性，可通過替換方程中去分析證明.6．B【解析】

計算求半徑為，再計算球體積和圓錐體積，計算得到答案.【詳解】如圖所示：設球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.7．A【解析】

直接將兩邊同時乘以求出復數，再求其模即可.【詳解】解：將兩邊同時乘以，得故選：A考查復數的運算及其模的求法，是基礎題.8．A【解析】

由題意求得c與的值，結合隱含條件列式求得a2，b2，則答案可求.【詳解】由題意，2c＝8，則c＝4，又，且a2+b2＝c2，解得a2＝4，b2＝12.∴雙曲線C的方程為.故選：A.本題考查雙曲線的簡單性質，屬于基礎題.9．B【解析】

根據f（x）是R上的奇函數，并且f（x+1）=f（1-x），便可推出f（x+4）=f（x），即f（x）的周期為4，而由x∈[0，1]時，f（x）=2x-m及f（x）是奇函數，即可得出f（0）=1-m=0，從而求得m=1，這樣便可得出f（2019）=f（-1）=-f（1）=-1．【詳解】∵是定義在R上的奇函數，且；∴；∴；∴的周期為4；∵時，；∴由奇函數性質可得；∴；∴時，；∴.故選：B.本題考查利用函數的奇偶性和周期性求值，此類問題一般根據條件先推導出周期，利用函數的周期變換來求解，考查理解能力和計算能力，屬于中等題.10．B【解析】

先根據導數的幾何意義寫出在兩點處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關系樹，從而得出，令函數，結合導數求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當時，，則;當時，則.設為函數圖像上的兩點，當或時，，不符合題意，故.則在處的切線方程為；在處的切線方程為.由兩切線重合可知，整理得.不妨設則，由可得則當時，的最大值為.則在上單調遞減，則.故選:B.本題考查了導數的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數與方程、分類與整合、轉化與化歸等思想方法.本題的難點是求出和的函數關系式.本題的易錯點是計算.11．C【解析】

先根據弦長求出直線的斜率，再利用拋物線定義可求出.【詳解】設直線的傾斜角為，則，所以，，即，所以直線的方程為.當直線的方程為，聯立，解得和，所以；同理，當直線的方程為.，綜上，或.選C.本題主要考查直線和拋物線的位置關系，弦長問題一般是利用弦長公式來處理.出現了到焦點的距離時，一般考慮拋物線的定義.12．A【解析】

利用平面向量平行的坐標條件得到參數x的值.【詳解】由題意得，，，，解得.故選A.本題考查向量平行定理，考查向量的坐標運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．36【解析】

先優先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.14．【解析】

直接計算，可得結果.【詳解】由題可知：則質量指標值位于區間之外的產品件數：故答案為：本題考查正太分布中原則，審清題意，簡單計算，屬基礎題.15．【解析】

根據莖葉圖中的數據，結合平均數與中位數的概念，求出x、y的值.【詳解】根據莖葉圖中的數據，得：甲班5名同學成績的平均數為，解得；又乙班5名同學的中位數為73，則；.故答案為：.本題考查莖葉圖及根據莖葉圖計算中位數、平均數，考查數據分析能力，屬于簡單題.16．【解析】

由中位線定理和正方體性質得，從而作出異面直線所成的角，在三角形中計算可得．【詳解】如圖，連接，，，∵分別為棱的中點，∴，又正方體中，即是平行四邊形，∴，∴，（或其補角）就是直線與直線所成角，是等邊三角形，∴＝60°，其正切值為．故答案為：．本題考查異面直線所成的角，解題關鍵是根據定義作出異面直線所成的角．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）.【解析】試題分析：（1）根據平面有，利用勾股定理可證明，故平面，再由面面垂直的判定定理可證得結論；（2）在點建立空間直角坐標系，利用二面角的余弦值為建立方程求得，在利用法向量求得和平面所成角的正弦值.試題解析：（Ⅰ）平面平面因為,所以,所以,所以,又，所以平面.因為平面，所以平面平面．（Ⅱ）如圖，以點為原點，分別為軸、軸、軸正方向，建立空間直角坐標系，則.設，則取，則為面法向量．設為面的法向量，則，即，取，則依題意，則．于是．設直線與平面所成角為，則即直線與平面所成角的正弦值為．18．1【解析】

整理已知利用復數的除法運算方式計算，再由求模公式得答案.【詳解】因為，即所以的模為1故答案為：1本題考查復數的除法運算與求模，屬于基礎題.19．（1）；（2）證明見詳解，【解析】

（1）根據，可得，然后作差，可得結果.（2）根據（1）的結論，用取代，得到新的式子，然后作差，可得結果，最后根據等比數列的前項和公式，可得結果.【詳解】（1）由①，則②②-①可得：所以（2）由（1）可知：③則④④-③可得：則，且令，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列所以本題主要考查遞推公式以及之間的關系的應用，考驗觀察能力以及分析能力，屬中檔題.20．（1）有的把握認為喜歡物理與性別有關；（2）分布列見解析，.【解析】

（1）根據題目所給信息，列出列聯表，計算的觀測值，對照臨界值表可得出結論；（2）設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人，女同學有人，則，確定的所有取值為、、、、．根據計數原理計算出每個所對應的概率，列出分布列計算期望即可．【詳解】（1）根據所給條件得列聯表如下：男女合計喜歡物理不喜歡物理合計，所以有的把握認為喜歡物理與性別有關；（2）設參加座談會的人中喜歡物理的男同學有人，女同學有人，則，由題意可知，的所有可能取值為、、、、．，，，，.所以的分布列為：所以.本題考查了獨立性檢驗、離散型隨機變量的概率分布列．離散型隨機變量的期望．屬于中等題．21．（1）；（2）或．【解析】

（1）利用正弦定理對已知代數式化簡，根據余弦定理求解余弦值；（2）根據余弦定理求出b＝1或b＝3，結合面積公式求解.【詳解】（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化簡得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab