更多更新資料詳情加微：xiaojuzi9598或zhixing16881專題07全等三角形與相似三角形解答題匯編一、解答題1．（2024·福建·中考真題）如圖，在菱形中，點(diǎn)分別在邊上，，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)證得，，再根據(jù)全等三角形的判定證明即可．【詳解】證明：四邊形是菱形，，，，，．2．（2023·福建·中考真題）如圖，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)已知條件得出，進(jìn)而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證．【詳解】證明：，即．在和中，．【點(diǎn)睛】本小題考查等式的基本性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查幾何直觀、推理能力等，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建·中考真題）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點(diǎn)．于點(diǎn)，交于點(diǎn)．是由線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的，的延長線相交于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求的度數(shù)；(3)若是的中點(diǎn)，如圖2．求證：．【答案】(1)見解析(2)(3)見解析【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，再證明、，即可證明結(jié)論；（2）如圖1：設(shè)與的交點(diǎn)為，先證明可得，再證明可得，最后運(yùn)用角的和差即可解答；（3）如圖2：延長交于點(diǎn)，連接，先證明可得，再證可得；進(jìn)而證明即，再說明則根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．【詳解】（1）解：是由線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到的，，，．，．．，．．（2）解：如圖1：設(shè)與的交點(diǎn)為，

，，，．，，．又，．，．（3）解：如圖2：延長交于點(diǎn)，連接，

，，．是的中點(diǎn)，．又，，．，，．由（2）知，，．

，，，，即．，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、平行線的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形及直角三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合應(yīng)用所學(xué)知識成為解答本題的關(guān)鍵．4．（2023·福建·中考真題）閱讀下列材料，回答問題任務(wù)：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測量長度）；測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點(diǎn)處，對其視線可及的，兩點(diǎn)，可測得的大小，如圖3．

小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖4，測得，；（ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程：由測量知，，，，，∴，又∵①___________，∴，∴．又∵，∴②___________．故小水池的最大寬度為___________．(1)補(bǔ)全小明求解過程中①②所缺的內(nèi)容；(2)小明求得用到的幾何知識是___________；(3)小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數(shù)不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數(shù)最少，才能得滿分）．【答案】(1)①；②(2)相似三角形的判定與性質(zhì)(3)最大寬度為，見解析【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可；（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)進(jìn)行回答即可；（3）測量過程：在小水池外選點(diǎn)，用測角儀在點(diǎn)處測得，在點(diǎn)處測得；用皮尺測得；求解過程：過點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義推得，，，根據(jù)，即可求得．【詳解】（1）∵，，，，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴．故小水池的最大寬度為．（2）根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求得，故答案為：相似三角形的判定與性質(zhì)．（3）測量過程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)，如圖，用測角儀在點(diǎn)處測得，在點(diǎn)處測得；

（ⅱ）用皮尺測得．求解過程：由測量知，在中，，，．過點(diǎn)作，垂足為．在中，，即，所以．同理，．在中，，即，所以．所以．故小水池的最大寬度為．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型是解題的關(guān)鍵．5．（2021·福建·中考真題）如圖，在正方形中，E，F(xiàn)為邊上的兩個三等分點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于的對稱點(diǎn)為，的延長線交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求的大?。唬?）求證：．【答案】（1）見解析；（2）45°；（3）見解析【分析】（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)T，證明是的中位線即可；（2）連接，取的中點(diǎn)O，連接，證明點(diǎn)，F(xiàn)，B，G四點(diǎn)共圓即可；（3）設(shè)，則，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理找到k與a的關(guān)系，根據(jù)列比例求解即可．【詳解】解：（1）設(shè)直線與相交于點(diǎn)T，∵點(diǎn)A與關(guān)于對稱，∴垂直平分，即．∵E，F(xiàn)為邊上的兩個三等分點(diǎn)，∴，∴是的中位線，∴，即．（2）連接，∵四邊形是正方形，∴，∵，∴，∴，∴．∴，∴，又，∴，∴是等腰直角三角形，∴．∵，∴，∴．取的中點(diǎn)O，連接，在和中，，∴，∴點(diǎn)，F(xiàn)，B，G都在以為直徑的上，∴．（3）設(shè)，則．由（2）得，∴，即，∴．設(shè)，則，在中，由勾股定理，得，∴．在中，由勾股定理，得．又∵，∴，∴．∵，∴，∴．由（2）知，，又∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本小題考查正方形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、多邊形內(nèi)角與外角的關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、圓的基本概念與性質(zhì)、解直角三角形等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、運(yùn)算能力，考查空間觀念與幾何直觀，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．6．（2022·福建·中考真題）如圖，點(diǎn)C，F(xiàn)在BE上，，，．求證：．【答案】證明見解析【分析】利用得出，再利用SAS證明，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，即可得出．【詳解】證明：∵，∴，又∵，，∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．7．（2022·福建·中考真題）已知，AB＝AC，AB＞BC．(1)如圖1，CB平分∠ACD，求證：四邊形ABDC是菱形；(2)如圖2，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠BAC），BC，DE的延長線相交于點(diǎn)F，用等式表示∠ACE與∠EFC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，將（1）中的△CDE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于∠ABC），若，求∠ADB的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)，見解析(3)30°【分析】（1）先證明四邊形ABDC是平行四邊形，再根據(jù)AB＝AC得出結(jié)論；（2）先證出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和，得到，等量代換即可得到結(jié)論；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，證得，得到，設(shè)，，則，得到α+β的關(guān)系即可．【詳解】（1）∵，∴AC＝DC，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，AB＝DC，∵CB平分∠ACD，∴，∴，∴，∴四邊形ABDC是平行四邊形，又∵AB＝AC，∴四邊形ABDC是菱形；（2）結(jié)論：．證明：∵，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（3）在AD上取一點(diǎn)M，使得AM＝CB，連接BM，∵AB＝CD，，∴，∴BM＝BD，，∴，∵，∴，設(shè)，，則，∵CA＝CD，∴，∴，∴，∴，∵，

∴，∴，即∠ADB＝30°．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等，靈活運(yùn)用知識，利用數(shù)形結(jié)合思想，做出輔助線是解題的關(guān)鍵．8．（2021·福建·中考真題）如圖，在中，．線段是由線段平移得到的，點(diǎn)F在邊上，是以為斜邊的等腰直角三角形，且點(diǎn)D恰好在的延長線上．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）通過兩角和等于，然后通過等量代換即可證明；（2）通過平移的性質(zhì)，證明三角形全等，得到對應(yīng)邊相等，通過等量代換即可證明．【詳解】證明：（1）在等腰直角三角形中，，∴．∵，∴，∴．（2）連接．由平移的性質(zhì)得．∴，∴，∴．∵是等腰直角三角形，∴．由（1）得，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本小題考查平移的性質(zhì)、直角三角形和等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：正確添加輔助線、熟練掌握平移的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)．9．（2021·福建·中考真題）如圖，在中，D是邊上的點(diǎn)，，垂足分別為E，F(xiàn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】由得出，由SAS證明，得出對應(yīng)角相等即可．【詳解】證明：∵，∴．在和中，∴，∴．【點(diǎn)睛】本小題考查垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等基礎(chǔ)知識，考查推理能力、空間觀念與幾何直觀．一、解答題1．（2024·福建南平·二模）如圖，線段，相交于點(diǎn)，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用“”證明即可作答．【詳解】證明：在和中，，∴，∴．2．（2024·福建泉州·一模）如圖，在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)在BC上，且，連接．求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定．利用證明即可．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，．在和中，∵，∴．3．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，矩形中，過對角線的中點(diǎn)O作的垂線，分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查矩形性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，根據(jù)題意可得，再利用全等三角形判定，繼而得到本題答案．【詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴．4．（2024·福建廈門·二模）如圖，在和中，點(diǎn)，，，在同一直線上，，，，求證：．【答案】證明見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段的和差求出，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，利用證明全等即可得．【詳解】證明：∵，∴，即，∵，∴，在和中，，∴，∴．5．（2024·福建廈門·二模）如圖，求證：．【答案】見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定，根據(jù)，可知，再根據(jù)“”得出，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出，即可得出答案．【詳解】∵，∴，即．∵，，∴，∴，∴．6．（2024·福建寧德·一模）如圖，，，，求證：．【答案】見解析【分析】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．利用“”即可證明全等；【詳解】證明：∵，∴．∵，∴．7．（2024·福建寧德·二模）如圖，點(diǎn)在同一條直線上，，，．求證：．

【答案】見詳解【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識，證明是解題關(guān)鍵．利用證明，由全等三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”證明結(jié)論即可．【詳解】證明：在和中，，∴，∴，∴．8．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)，，，在同一直線上，已知，，．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，易證和，即可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可．本題中求證是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：，，，，即，在和中，，，．9．（2024·福建廈門·二模）在中，，平分，點(diǎn)是段上的動點(diǎn)（不與重合）(1)如圖，若，求證：．(2)如圖，點(diǎn)是線段延長線上的一點(diǎn)，且，求證：是的中點(diǎn)；將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接，求證．【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；證明見解析．【分析】（）證明即可求證；（）①設(shè)，，則，可得，，即得，即可求證證明，得到，再根據(jù)三線合一即可求證；本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，余角性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，中點(diǎn)的定義，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，平分，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）證明：設(shè)，，則，∴，，∴∴，∴是的中點(diǎn)；延長至使，連接，∵線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，∴，∴，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．10．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）如圖，中，，，為上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)得線段，沿方向平移得線段，連接．(1)求證：；(2)連接，若，求四邊形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）通過證明，得，則，即可解答；（2）根據(jù)沿方向平移得線段知：四邊形是平行四邊形，由（1）得：，則，得出和的長即可求出面積．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴；（2）解：連接，過點(diǎn)A作于H，∵，∴，∵沿方向平移得線段，∴，∴四邊形是平行四邊形，由（1）得：，∴，∵，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識，得出四邊形是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．11．（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，，E，F(xiàn)分別為線段上的兩點(diǎn)，于E，于F，且，交于點(diǎn)M．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：（1）先證明，再根據(jù)證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得出；（2）根據(jù)證明即可得出，代入數(shù)據(jù)可得結(jié)論．【詳解】（1）∵，∴，即在和中，∴∴；（2）∵，，∴,在和中,∴∴∴12．（2024·福建寧德·一模）如圖1，在中，，點(diǎn)在邊上（不與重合），點(diǎn)在邊上，且，過點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．(1)當(dāng)時，求證：；(2)判斷與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)如圖2，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：．【答案】(1)見解析；(2)，理由見解析；(3)見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得，，然后利用三角形外角的性質(zhì)分析可得，從而可得，然后根據(jù)“內(nèi)錯角相等，兩直線平行”進(jìn)行判定；（2）延長至點(diǎn)，使得，連接，，通過證明，，結(jié)合三角形中位線定理分析推理；（3）連接，通過證明，分析推理．【詳解】（1）證明：如圖．∵，∴．∵，，且，∴．∴．∵，∴．∴．∴．（2）解：，理由如下：如圖，延長至點(diǎn)，使得，連接，．∵，∴垂直平分．∴．∴．∵，∴．又∵，∴．∴．∵，∴．∵，∴．∴．∵，，∴是的中位線．∴．∴．∵，∴．即．（3）證明：如圖，連接．∵，，∴．∵，且，∴．∴．∴．∴，．∴．∴∴．∴．又∵，，∴．∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)定理，等腰三角形的性質(zhì)定理以及相似三角形判定和性質(zhì)，添加合適的輔助線，構(gòu)造等腰三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2024·福建南平·一模）如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測量旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面多出一段的長度為，小明同學(xué)將整條繩子斜拉直，測出繩子靠地面的末端C到旗桿底部B的距離為．

(1)小紅說測量出的數(shù)據(jù)b一定大于a，請判斷小紅的說法是否正確？并說明理由；(2)求旗桿的高度．（結(jié)果用含a，b的代數(shù)式表示）【答案】(1)小紅的說法正確，證明見解析(2)旗桿的高度為【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵；（1）如圖，在上截取，，設(shè)，而，證明，在的上方，即，從而可得答案；（2）設(shè)旗桿的長為，根據(jù)題意，得，，，再利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）解：小紅的說法正確，理由如下：如圖，在上截取，，

∴，設(shè)，而，∴，，∴，而，∴，∴在的上方，即，∴；（2）設(shè)旗桿的長為，根據(jù)題意，得，，，在中，，，解方程得：．∴旗桿的高度為．14．（2024·福建福州·三模）如圖，在中，，于點(diǎn)，為銳角．(1)將線段繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），在圖中求作點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)，使得；（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，若，求的值．【答案】(1)圖見解析(2)【分析】本題考查三線合一，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，斜邊上的中線：（1）分別以點(diǎn)，點(diǎn)為圓心，，的長為半徑畫弧，兩弧的交點(diǎn)即為所求；（2）證明，得到，再證明，得到，三角函數(shù)得到，設(shè)，則，斜邊上的中線得到，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)即為所求；∵，，∴，由作圖可知：，∴點(diǎn)即為所求；（2）如圖，連接，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴設(shè)，則，∵，∴，∴，∴．15．（23-24九年級上·福建三明·期末）如圖，中，分別為的中點(diǎn)，連接．(1)尺規(guī)作圖：在的延長線上確定點(diǎn)，使得．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)在（1）的條件下，若，求證：四邊形為菱形．【答案】(1)詳見解析（作圖方法不唯一）(2)詳見解析【分析】（1）在的延長線上截取，根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得到，再根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，進(jìn)而可得，作圖方法不唯一；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊中線性質(zhì)證得，然后根據(jù)菱形的判定可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)為所求作的點(diǎn)．作圖理由：在的延長線上截取，分別為的中點(diǎn)，為的中位線，，即由（1）作圖知，四邊形為平行四邊形．∴，即點(diǎn)為所求作的點(diǎn)；作圖方法不唯一，如圖，作，則四邊形為平行四邊形，∴，則點(diǎn)為所求作的點(diǎn)；；如圖，作，則，則點(diǎn)為所求作的點(diǎn)；（2）證明：由（1）知，四邊形為平行四邊形，，E為的中點(diǎn)．．四邊形為菱形．【點(diǎn)睛】本題考查尺規(guī)作圖、平行四邊形的判定與性質(zhì)、平行線的判定、三角形的中位線性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊中線性質(zhì)、菱形的判定，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運(yùn)用，正確作出圖形是解答的關(guān)鍵．16．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角中，，點(diǎn)在邊上，將線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．

(1)如圖1，若，求證∶；(2)如圖2，若點(diǎn)在邊上，與交于點(diǎn)，已知，，求的長；(3)如圖3，點(diǎn)F與點(diǎn)重合，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，且三點(diǎn)共線，以和為鄰邊作，連接，若，求的最小值．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）設(shè)，則，可推出，從而得出；（2）作于，可依次求得，，，，，，可證得，從而，從而得出，從而得出；（3）取的中點(diǎn)，作，截取，連接，可推出，從而得出點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動在時，最小，作，交的延長線于，根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）證明：設(shè)，∵則，，，，，；（2）解：如圖1，

作于，線段繞點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，，，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖所示，取的中點(diǎn)，作，截取，連接，以和為鄰邊作，∴四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，是的中點(diǎn)，，，，，，∵取的中點(diǎn)，作，截取，連接，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動在時，最小，

作，交的延長線于，與的交點(diǎn)記為，連接∵取的中點(diǎn)，作，此時點(diǎn)與重合∴∵，∴∴四邊形是矩形，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，確定圓的條件，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡．17．（2024·福建廈門·三模）（1）問題情境：“綜合與實踐”課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的翻折”為主題開展數(shù)學(xué)活動．第1步：有一張矩形紙片，在邊上取一點(diǎn)沿翻折，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)部處；第2步：再次翻折矩形，使與所在直線重合，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，折痕為．若翻折后的紙片如圖1所示，求的度數(shù)；（2）拓展應(yīng)用：若一張矩形紙片通過問題情境中的翻折方式得到如圖2所示的四邊形紙片，其中的一邊與矩形紙片的一邊重合，，，，求該矩形紙片的面積．【答案】（1）的度數(shù)為；（2）【分析】本題考查了矩形與折疊，勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）由折疊性質(zhì)得出，結(jié)合平角定義，化簡得，即可作答．（2）補(bǔ)全矩形，過點(diǎn)作，連接，由折疊得出，，運(yùn)用勾股定理，得，則，即可作答．【詳解】解：（1）如圖：∵點(diǎn)沿翻折，使點(diǎn)落在矩形內(nèi)部處，與所在直線重合，點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，∴，∵，∴，即的度數(shù)為；（3）如圖：補(bǔ)全矩形，過點(diǎn)作，連接由折疊情景，得出由勾股定理，得出∴∵∴18．（2024·福建三明·三模）綜合實踐：閱讀下列材料，解答問題．任務(wù)：如圖1，現(xiàn)要測量某校旗桿的高度（系在旗桿頂端的繩子垂到地面，并多出一小段）．工具：一把皮尺（測量長度達(dá)不到旗桿長一半）．李明學(xué)習(xí)小組測量過程和部分求解過程如下（如圖2）：測量過程：步驟1：測得多出一小段繩子的長度為；步驟2：將繩子拉直，繩子末端與地面接觸點(diǎn)為A，測得A點(diǎn)到旗桿底部C點(diǎn)距離．部分求解過程：設(shè)旗桿高度，∵在中，，．∵，(1)根據(jù)李明學(xué)習(xí)小組求解過程，請直接寫出旗桿高度（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)李明學(xué)習(xí)小組求解過程，所用到的幾何知識是；(3)請你利用所提供的工具，通過2次測量，設(shè)計另外一種方案，寫出你的測量和求解過程．（測量得到的長度用字母m，n表示）【答案】(1)(2)勾股定理(3)測量方案見解析，【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，勾股定理，把所求線段放在直角三角形中利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）把整理后可得h的值；（2）直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，是勾股定理；（3）可構(gòu)造一個以旗桿高為斜邊的直角三角形求解，先在旗桿底端的繩子上打一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到點(diǎn)D處，將繩結(jié)舉至離旗桿遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面遠(yuǎn)，根據(jù)勾股定理可得旗桿的高度．【詳解】（1）解：設(shè)旗桿高度，∵在中，，．∵，，∴，∴∴，故答案為：．（2）解：在（1）中知，在中，，根據(jù)勾股定理得：，即，∴所用到的幾何知識是勾股定理，故答案為：勾股定理．（3）解：測量方案如下：先在旗桿底端的繩子上打一個結(jié)，然后舉起繩結(jié)拉到點(diǎn)處，將繩結(jié)舉至離旗桿遠(yuǎn)，此時繩結(jié)離地面遠(yuǎn)，解答過程：作垂足為點(diǎn)E，如圖：由測量得，，在中，，，19．（2024·福建廈門·二模）根據(jù)以下思考，探索完成任務(wù)費(fèi)馬點(diǎn)的思考問題背景17世紀(jì)有著“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”美譽(yù)的法國律師皮耶·德·費(fèi)馬，提出一個問題：求作三角形內(nèi)的一個點(diǎn)，使它到三角形三個頂點(diǎn)的距離之和最小，后來這點(diǎn)被稱之為“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材1解決這種問題的經(jīng)典方法，就是利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段行轉(zhuǎn)化：如圖：把繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60度得到，連接，這樣就把確定的最小值的問題轉(zhuǎn)化成確定的最小值的問題了．當(dāng)，四點(diǎn)共線時，線段的長為所求的最小值，容易證明，此時點(diǎn)P為的“費(fèi)馬點(diǎn)”．

素材2圖中所示的是一個正方形的廠區(qū)，其中頂點(diǎn)A，B，C，D分別為辦公區(qū)、生產(chǎn)區(qū)、物流區(qū)和生活區(qū)，正方形邊長為，準(zhǔn)備在廠區(qū)內(nèi)修建一研發(fā)區(qū)E，且從研發(fā)區(qū)E修建三條直線型道路直通辦公區(qū)A，生產(chǎn)區(qū)B和物流區(qū)C修路的成本為200元/米．

任務(wù)一感悟證明定理請你根據(jù)素材1所給解決思路，證明所求線段轉(zhuǎn)化的正確性．證明：任務(wù)二初步探索位置在素材2中，請問研發(fā)區(qū)E建在哪片區(qū)域比較合適？（

）A．內(nèi)的