單自由度系統受迫振動2025/4/91<<振動力學>>教學內容單自由度系統受迫振動線性系統的受迫振動工程中的受迫振動問題任意周期激勵的響應非周期激勵的響應2025/4/92<<振動力學>>線性系統的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動穩態響應的特性受迫振動的過渡階段簡諧慣性力激勵的受迫振動機械阻抗與導納單自由度系統受迫振動2025/4/93<<振動力學>>線性系統的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動彈簧－質量系統設外力幅值外力的激勵頻率振動微分方程：x為復數變量，分別與和相對應

實部和虛部分別與和相對應m單自由度系統受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動受力分析kcx0m2025/4/94<<振動力學>>振動微分方程：顯含時間t非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減暫態響應持續等幅振動穩態響應本節內容單自由度系統受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動2025/4/95<<振動力學>>振動微分方程：設：代入，有：復頻響應函數

振動微分方程：引入：振幅放大因子相位差則：

：穩態響應的復振幅靜變形單自由度系統受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動2025/4/96<<振動力學>>穩態響應的實振幅若：則：無阻尼情況：單自由度系統受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動2025/4/97<<振動力學>>（1）線性系統對簡諧激勵的穩態響應是頻率等同于激振頻率、而相位滯后激振力的簡諧振動（2）穩態響應的振幅及相位只取決于系統本身的物理性質（m,k,c）和激振力的頻率及力幅，而與系統進入運動的方式（即初始條件）無關結論：單自由度系統受迫振動/簡諧力激勵的強迫振動2025/4/98<<振動力學>>線性系統的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動穩態響應的特性受迫振動的過渡階段簡諧慣性力激勵的受迫振動機械阻抗與導納單自由度系統受迫振動2025/4/99<<振動力學>>穩態響應的特性以s為橫坐標畫出曲線幅頻特性曲線簡諧激勵作用下穩態響應特性：（1）當s<<1（）激振頻率相對于系統固有頻率很低結論：響應的振幅A與靜位移B相當0123012345單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/910<<振動力學>>穩態響應特性（2）當s>>1（）激振頻率相對于系統固有頻率很高結論：響應的振幅很小0123012345單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/911<<振動力學>>穩態響應特性（3）在以上兩個領域s>>1，s<<1結論：系統即使按無阻尼情況考慮也是可以的對應于不同值,曲線較為密集，說明阻尼的影響不顯著0123012345單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/912<<振動力學>>穩態響應特性結論：共振振幅無窮大（4）當對應于較小值，迅速增大當但共振對于來自阻尼的影響很敏感，在s=1附近的區域內，增加阻尼使振幅明顯下降0123012345單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/913<<振動力學>>穩態響應特性（5）對于有阻尼系統，并不出現在s=1處，而且稍偏左0123012345單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/914<<振動力學>>穩態響應特性（6）當振幅無極值0123012345單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/915<<振動力學>>穩態響應特性記：品質因子在共振峰的兩側取與對應的兩點，帶寬Q與有關系：阻尼越弱，Q越大，帶寬越窄，共振峰越陡峭單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/916<<振動力學>>穩態響應特性相頻特性曲線（1）當s<<1（）以s為橫坐標畫出曲線相位差位移與激振力在相位上幾乎相同（2）當s>>1（）位移與激振力反相（3）當共振時的相位差為，與阻尼無關0123090180單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/917<<振動力學>>有阻尼單自由度系統外部作用力規律：假設系統固有頻率：從左到右：單自由度系統受迫振動/穩態響應的特性2025/4/918<<振動力學>>線性系統的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動穩態響應的特性受迫振動的過渡階段簡諧慣性力激勵的受迫振動機械阻抗與導納單自由度系統受迫振動2025/4/919<<振動力學>>受迫振動的過渡階段在系統受到激勵開始振動的初始階段，其自由振動伴隨受迫振動同時發生。系統的響應是暫態響應與穩態響應的疊加顯含t，非齊次微分方程非齊次微分方程通解齊次微分方程通解非齊次微分方程特解＝＋阻尼自由振動逐漸衰減暫態響應持續等幅振動穩態響應回顧：單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/920<<振動力學>>受迫振動的過渡階段考慮無阻尼的情況正弦激勵通解：齊次通解非齊次特解初始條件決定單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/921<<振動力學>>初始條件響應自由伴隨振動強迫響應特點：以系統固有頻率為振動頻率單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/922<<振動力學>>初始條件響應自由伴隨振動強迫響應如果是零初始條件自由伴隨振動強迫響應單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/923<<振動力學>>零初始條件(2)s>1(1)s<1穩態受迫振動進行一個循環時間內，自由伴隨振動完成多個循環自由伴隨振動進行一個循環時間內，穩態受迫振動完成多個循環受迫振動響應成為自由振動響應曲線上迭加的一個振蕩運動受迫振動響應成為穩態響應曲線上迭加的一個振蕩運動00穩態響應全響應單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/924<<振動力學>>零初始條件0單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/925<<振動力學>>由于系統是線性的，也可利用疊加定理求解＋＝通解：初始條件響應自由伴隨振動強迫響應單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/926<<振動力學>>即使在零初始條件下，也有自由振動與受迫振動相伴發生實際中總是存在著阻尼的影響，因而上式右端的暫態運動會逐漸衰減，進而消失，最終系統為穩態響應單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/927<<振動力學>>例：計算初始條件，以使的響應只以頻率振動解：的全解：如果要使系統響應只以為頻率振動必須成立：初始條件：單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/928<<振動力學>>例：計算初始條件，以使的響應只以頻率振動解：的全解：正確？全解：由求一階導數：由單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/929<<振動力學>>全解：因此：的全解：相同不同單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/930<<振動力學>>例：計算初始條件，以使的響應只以頻率振動全解：如果要使系統響應只以為頻率振動初始條件：＝0單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/931<<振動力學>>若激勵頻率與固有頻率十分接近令：ε

小量考慮零初始條件，有：單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/932<<振動力學>>代入：單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/933<<振動力學>>可看作頻率為但振幅按規律緩慢變化的振動這種在接近共振時發生的特殊振動現象稱為”拍”0拍的周期：圖形包絡線：單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/934<<振動力學>>當隨t增大，振幅無限增大，無阻尼系統共振的情形0響應曲線單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/935<<振動力學>>討論有阻尼系統在過渡階段對簡諧激勵的響應初始條件響應自由伴隨振動強迫響應利用前述相同的方法，有：單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/936<<振動力學>>初始條件響應經過充分長時間后，作為瞬態響應的前兩種振動都將消失，只剩穩態強迫振動自由伴隨振動強迫響應0強迫響應全響應單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/937<<振動力學>>初始條件響應自由伴隨振動強迫響應對于零初始條件：單自由度系統受迫振動/受迫振動的過渡階段2025/4/938<<振動力學>>線性系統的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動穩態響應的特性受迫振動的過渡階段簡諧慣性力激勵的受迫振動機械阻抗與導納單自由度系統受迫振動2025/4/939<<振動力學>>簡諧慣性力激勵的受迫振動背景：地基振動，轉子偏心引起的受迫振動特點：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例xfkcmx0mkxxfc單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動mxce2025/4/940<<振動力學>>簡諧慣性力激勵的受迫振動背景：地基振動，轉子偏心引起的受迫振動特點：激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例坐標：動力學方程：基座位移規律：x1

相對基座位移mm受力分析xfkcmx0mkxxfcD：基座位移振幅單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/941<<振動力學>>回顧：令：有：其中：單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動xfkcmx02025/4/942<<振動力學>>0.250.50.751.02.010100190180幅頻曲線相頻曲線單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/943<<振動力學>>系統固有頻率從左到右：單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動0.250.50.751.02.010100190180支撐運動：DD如何分析s>1，s<1，s=1?2025/4/944<<振動力學>>若以絕對位移x為坐標其中：則有：xfkcmx0mkxxfc單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/945<<振動力學>>單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/946<<振動力學>>代入：無阻尼情況：xfkcmx0mkxxfc單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/947<<振動力學>>幅頻曲線010100.10.250.350.51.0可看出：當時，振幅恒為支撐運動振幅D當時，振幅恒小于D增加阻尼反而使振幅增大xfkcmx0mkxxfc單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/948<<振動力學>>例：汽車的拖車在波形道路上行駛已知拖車的質量滿載時為m1=1000kg空載時為m2=250kg懸掛彈簧的剛度為k=350kN/m阻尼比在滿載時為車速為v=100km/h路面呈正弦波形，可表示為求：拖車在滿載和空載時的振幅比l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/949<<振動力學>>解：汽車行駛的路程可表示為：路面的激勵頻率：得：c、k

為常數，因此與成反比因此得到空載時的阻尼比為：滿載和空載時的頻率比：因為有：單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動l=5mmk/2cx0k/2xfalxfz滿載:

m1=1000kg空載:m2=250kg車速:v=100km/hk=350kN/m2025/4/950<<振動力學>>滿載時頻率比記：滿載時振幅

B1，空載時振幅B2有：滿載時阻尼比空載時阻尼比空載時頻率比因此滿載和空載時的振幅比：單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動l=5ml=5mmk/2cx0k/2xfalxfz2025/4/951<<振動力學>>例：已知梁截面慣性矩I，彈性模量E，梁質量不計支座B不動求：質量m的穩態振動振幅單自由度系統受迫振動/工程中的受迫振動問題/振動的隔離支座A產生微小豎直振動ambAB解：固有頻率：簡化圖在質量m作用下，由材料力學可求出靜撓度mk：因yA的運動而產生的質量m處的運動動力學方程：振幅：桿做剛性處理，其柔性由彈簧表示2025/4/952<<振動力學>>支承運動小結相對位移基座位移規律：絕對位移xfkcmx0mkxxfc單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/953<<振動力學>>高速旋轉機械中，偏心質量產生的離心慣性力是主要的激勵來源。旋轉機械總質量為M，轉子偏心質量為m，偏心距為e，轉子轉動角速度為x：機器離開平衡位置的垂直位移則偏心質量的垂直位移：由達朗伯原理，系統在垂直方向的動力學方程：簡化圖形mxce單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動McxMcxem激振慣性力的幅值與頻率的平方成正比例2025/4/954<<振動力學>>me

：不平衡量：不平衡量引起的離心慣性力設：得：單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動Mcx2025/4/955<<振動力學>>B又寫為：單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動2025/4/956<<振動力學>>例：偏心質量系統共振時測得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動測得阻尼系數為假定求：（1）偏心距e，（2）若要使系統共振時振幅為0.01m，系統的總質量需要增加多少？mxce單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動Mcx2025/4/957<<振動力學>>解:（1）共振時測得最大振幅為0.1

m由自由衰減振動測得阻尼系數為共振時最大振幅（2）若要使系統共振時振幅為0.01mmxce單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動Mcx2025/4/958<<振動力學>>單自由度系統受迫振動/簡諧慣性力激勵的受迫振動mxceMcxMcxem偏心質量小結解1：解2：2025/4/959<<振動力學>>線性系統的受迫振動簡諧力激勵的強迫振動穩態響應的特性受迫振動的過渡階段簡諧慣性力激勵的受迫振動機械阻抗與導納單自由度系統受迫振動2025/4/960<<振動力學>>機械阻抗與導納工程中常用機械阻抗來分析結構的動力特性機械阻抗定義為簡諧激振時復數形式的輸入與輸出之比動力學方程：：輸入：輸出代入，得：復頻響應函數根據定義，位移阻抗：單自由度系統受迫振動/機械阻抗和導納2025/4