第5章代數結構(AlgebraicStructure)

5?1代數系統(AlgebraicSystems)

5?2二元運算(BinaryOperation)

5?3半群(Semigroups)

5?4群與子群(GroupsandSubgroups)

5.5阿貝爾1￡(AbeHan(commutative)

GroupsandCyclicGroups)

5.6代數系統的同態與同構

5.7環和域

這，大號J

[■第5章代數結構(AlgebraicStructure)

，■本章在集合、關系和函數等概念基礎上，研

究更為復雜的對象——代數系統，研究代數系統

的性質和特殊的元素，代數系統與代數系統之間

的關系。如代數系統的同態和同構，這些概念較

為復雜也較為抽象，是本課程中的難點。它們將

集合、集合上的運算以及集合間的函數關系結合

在一起進行研究。

前兩章內容是本章的基礎，熟練地掌握集合、

關系、函數等概念和性質是理解本章內容的關鍵。

第5章代數結構(AlgebraicStructure)

5」代數系統(AlgebraicSystems)

5.1.1n元運算(n-aryoperations)

5.1.2代數系統的概念(AlgebraicSystems)

(曲)

5.1代數系統(AlgebraicSystems)

5?1?1n元運算(n-aryoperations)

先考察下面的例子:

【例（1）在Z集合上（或?或火），則

於）=?式是將*映為它的相反數。4是由X唯一確定的，

它是對一個數施行求相反數運算的結果。

/：Z—Z是函數。

^卜5.1代數系統(AlgebraicSystems)

(2)在力={0,1}集合上，加尸F,

—?表示否定。則加尸F是將p映為它的否定。

F是由?唯一確定的，它是對Z中的一個元素

施行否定運算的結果。是函數。

5.1代數系統(AlgebraicSystems)

（3）在A+集合上，則/任尸1A是將*映為它的

倒數。1A是由x唯一確定的，它是對A+中的一個數

施行倒數運算的結果。（但在火上，倒數不是一元運

算，因為0無像）。/：甯一叱是函數。

（4）設凡則仙乃）=〃+以4也〃X力）是將兩個數用

〃映為火中的唯一的一個數，它是對火中的兩個數施行

加（減，乘）法運算的結果。/：火2一火是函數。

、j.l代數系統(AlgebraicSystems)

(5)設偈4貝!1/3仇c)=a+〃Xc是將R中

的三個數。亂c映為K中的唯一的一個數。

了:爐一&是函數。

上述例子都是我們熟悉的數與數的運算,

它們有一個共同特征，就是其運算結果都在

原來的集合中且運算結果是唯一的，它們都

是函數。

.1代數系統(AlgebraicSystems)

我們把這種數集中的代數運算,抽象概括推廣，可

得到一般集合上代數運算的概念。集合中的代數運算

實質上是集合中的一類函數。

定義5.1.1設4人是集合，函數r力〃一上稱為

集合力上的H元運算(n-aryoperation),整數〃

稱為運算的階(order)。若￡⑦或5=4則稱該

n元運算是封閉的，封閉的〃元運算又稱為〃元代

數運算。

代數系統(AlgebraicSystems)

當〃=1時，/：/?稱為集合力中的一元代數運算。

當〃=2時，稱為集合力中的二元代數

運算。

一般地，二元運算用符號“。”，

“*”66."66A”

嚎等援示：并將其寫于兩個元素之間，如

ZXZ—Z的力口法：

代〈2,3〉)=+(〈2,3〉)=2+3=5

通常我們將A〈2,3〉)寫成/(2,3)或2+3.

代數系統(AlgebraicSystems)

從〃元代數運算的定義可知它有三點涵義:

(1/中任意〃個元素都有運算結果；

(2)運算是封閉的，即運算結果仍在/中；

(3)結果是唯一的。

.1代數系統(AlgebraicSystems)

?5.1.2］下面均是二元運算的例子。

(1)4為集合，2.為其塞集。/:2，X2，T2/。

/可以是n、U、-o

(2)4={0,1}。/:力義/一力。/可以是八、V、一、一。

A4

(3)A={f\f:A-^A}9“。”(復合)是4上的二元運算。

當力是有窮集合時，運算可以用運算表給出。

如/={01234,5},二元運算。的定義見表5.1?1。

5」代數系統(AlgebraicSystems)

表5.1.1

o012345

0000000

1012012

2021021

3000000

4012012

5021021

、澄J；卜留和利?堂匕拈大，

，、丫,，、r1JFp*J/L3'*|J~U’1、

代數系統(AlgebraicSystems)

表5.1.2

*01

000

101

事實上，對于表5.1.1,我們可觀察看出其運算為

(〈W〉)=xp(mod3)

其中"?"是普通乘法。

代數系統(AlgebraicSystems)

而對于表5.1.2,此時的“*”運算應是在集合｛0,1｝上

的八(邏輯合取運算符)。

下面是非代數運算的例子。

【例5.1?3】

(1)A中的普通除法不是代數運算.

(2)N中的普通減法不是代數運算.

*5.1代數系統(AlgebraicSystems)

5.1.2代數系統的概念(AlgebraicSystems)

定義5.1.2一個非空集合S和定義在該集合上的一個或

多個代數運算。1，。2/一，。〃所組成的系統稱為代數

系統。用記號(S；。］,。2,…，。〃〉表示，其中

腌為該代數系統的基集。各運算組成的集合成為

運算集，代數系統也稱為代數結構。

匕【例5.1.41

(1)以實數集R為基集，加法運算”+”為二

元，運算組成一代數系統，記為〈X,+〉。

(2)以全體〃X〃實數矩陣組成的集合拉為基

集，矩陣加“+”為二元運算，組成一代數系統，

記為〈陷+〉o

(3)設邑={"力是集合A上的關系},’6"

是求復合關系的運算。它們構成代數卷/,。〉

統。

Q.5.1代數系統(AlgebraicSystems)

(4)以集合力的塞集2%為基集，以集合并、交、補

為其二元運算和一元運算，組成一代數系統，記為

〈2",U,n,-〉。有時為了突出全集/及空集。在2"中

的特殊地位，也可將這一代數系統記為〈2",u,n,-,

A,)o這個系統就是常說的募集代數系統。以上

的(1),(2),(3),(4)均稱為具體代數系統。

5.1代數系統(AlgebraicSystems)

(5)設S為一非空集合，*為S上滿足結合律、交

換律的二元運算，那么〈S,*〉為代數結構，稱為一個

抽象代數系統，即一類具體代數結構的抽象。例如

〈A,+〉，<M,+>,〈24,U〉,〈2”,n〉都是

〈5,*〉的具體例子。

(6)</?,+,-,X>,<Z,+,-,X>均是代數系統，但

〈Z,+〉，〈R,+〉，〈N,-〉不是代數系統，它們的運

算不封閉。

54代數系統(AlgebraicSystems)

定義5.1.3設*是S上的〃元運算(〃=1,2,...),

7GS,如果對任意元素a，x2,xn"

*(a，x2,xn)GT,稱*運算對T封閉(closed)

或T關于*運算封閉。

【例5.1.5】設E為非負偶數集，M為非負奇數集，那

么定義于N上的通常數的加法運算對E封閉，對M不

封閉，乘法運算對E和M都封閉。

5.1代數系統(AlgebraicSystems)

尾義5.2.3設〈S,*〉是代數系統，如果有非空集合

磁足：

(1)I

(2)運算*對T封閉

則稱〈丁,*〉為代數系統〈S,*〉的子代數系統，或

子代數(subalgebra)。

根據定義，子代數必為一代數系統，*運算所

滿足的性質顯然在子代數中仍能得到滿足。

5.1代數系統(AlgebraicSystems)

【例5.1.6】在例5.1?5中,對〈N,+〉而言,

〈E,+〉為其子代數，〈N,+〉，＜{0},+〉

為其平凡子代數，〈M,十〉不構成其子代數。

小結：本節介紹了n元運算、n元代數運算及代數

系統的概念。

作業：Pgl34：1,2,5,6

<Back

5.2二元運算(BinaryOperation)

5.2.1二元運算的性質(PropertiesofOperations)

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

(Specialelementsinasetwithbinaryoperation)

5.2.3利用運算表判斷代數運算的性質

TOT

J漆球?大考二

15.2.1二元運算的性質(PropertiesofOperations)

定義521設“*”，“。”均為集合S上的二元運

打。VVV

(1)若xyzxj,z￡Sfc*(p*z)=(B7)*NI則稱

運算滿是結合律(associativity)。

(2)若xyx^yGS^x^y=y*x,則稱運算

滿足交換律(commutativity)。

5.2.1二元運算的性質(PropertiesofOperations)

(3)若vA：vyvz

Xy,z)=(x*j)o(x*z),

則稱“*”運算對“。”運算滿足左分配律；

若V*”VZ

MMzWS-&。z)*x=(j*x)o(z*x),

則稱運算對“。”運算滿足右分配律。

若二者均成立，則稱運算對“。”運算滿足分

配律_______

(distributivity)。

二元運算的性質(PropertiesofOperations)

囁)設…,”均可交捻若V*，*4

有

x*(xoy)=x

Xo(**7)=x

則稱運算“*”和“。〃運算滿足吸收律

(absorptive)o

(5)若X^A9廿l雙則稱運算滿足幕等律

(idempotence)。

[5.2.1二元運算的性質(PropertiesofOperations)

【例5.2.1】加法、乘法運算是自然數集上的

二元代數運算，減法和除法便不是。但是減法是

有理數集、實數集上的二元運算，除法卻仍不是。

加法、乘法滿足結合律、交換律，乘法對加法、

減法滿足分配律，但減法不滿足這些定律。加法

對乘法“。“運算不滿足分配律。

.5.2.1二元運算的性質(PropertiesofOperations)

【例5.2.2】設/是集合，在N的募集2%上的二元代

數運算并U、交n滿足交換律、結合律、吸收律、

幕等律且彼此滿足分配律。

【例5.2.3］設/={a/},月上的運算“*”、

分別如表5.2.1、5.2.2所示。

表5.2.1

*ab

aab

bba

從運算表可知，是可交換的。因為

(a*d)*b=a*b=ba女(a女b)=a女b=b

(a*b)*b=b*b=aa*(b佻b)=a*a=a

所以是可結合的。

從“。”運算表可知，”是可交換的。因為

（4。a）Qb=aQb=aao（a。b）=aoa=a

（a。b）。b=aQb=aao（bob）=aob=a

所以“。”是可結合的。

5.2.1二元運算的性質(PropertiesofOperations)

(1)bo(a*b)=bob=b(boa)*(bob)=a*b=b

(2)Uo(4*〃尸4。b=a,(a。a)*(aob)=a*a=a

bo(a*d)-boa=a,(boa)*(boa)=a*a=a

bo(b女b)=b。a=a,(boby(bob)=b"=a

Uo(a*a)=aoa=a,(aoa)*(aoa)=a*a=a

ao(b*b)=aoa=a,(a。b)*(aob)=a*a=a

所以”對是可分配的。（由于“。”運

算滿足交換律成立,因此右分配也成立。）

5.2.1二元運算的性質(PropertiesofOperations)

(3)b*(aob)=b*a=b(b*a)o(b*b)=boa=a

故“*”對”是不可分配的。

又由〃*(〃。〃尸〃*”=“可知"和“*”不

滿足吸收律。由運算表可知，“。〃滿足幕等

律，而不滿足塞等律。

下面我們來定義與集合力中的二元運算有關

的集合力中的特異元素。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

1.單位元(或幺元)

定義5.2.2設4”是集合S中的一種二元代數運算，對任意

元素

⑴如果存在元素昨5使e*x=x,則稱元素。/為S關于運算

的左幺元或左單位元。

(2)如果存在元素,VS使Be尸，則稱元素”為S關于運算

的右幺元或右單位元。

(3)如果存在元素使x*e=e*x=x,則稱元素。為S關于運算

“*”的幺元或單位元(identityelement)。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

~~---------------

定理5.2.1設*是S中的二元代數運算，且4.與分別是S對于的

右

幺元和左幺元，則/=e/=e,使對任意元素x￡S^x*e=e*x=x9

即元素。為S關于運算的幺元且S關于運算的幺元是唯一

的。

證明因為/和g分等整*用右幺元和左幺元，故有

e^e=ePe^e=er9所以e=eP

令其為有，x*e=e*x=x

設另有一幺元為一,那么

e=e*ef=ef

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

【例5.2.4］在實數集A中，對加法運算,0是幺元;

在實數集A中，對乘法"X”運算，1是幺元；

對于全集E的子集的并“U，，運算，0是幺元；

對于全集E的子集的交W運算，E是幺元；

在命題集合中，對于吸取"V"運算，矛盾式是幺元；

在命題集合中，對于合取"A"運算，重言式是幺元；

在/'=，1/：力—/｝中，對于復合明“運算，〃是幺元。

強調:幺元是針對于哪個運算的。

2.零元

鳧義5.2.3設是集合S中的一種二元代數運算，對任

息兀素

⑴如果存在元素，/使，/*x=d,則稱元素，/為S關于

運算的左零元。

(2)如果存在元素么￡S,使,則稱元素，，為S關于

運算的右零元。

⑶如果存在元素，WS使x*〃=，*x=〃，則稱元素，為S關于

運算的零元(zeroelement)。

區迫設*是S中的二元代數運算且%與%分別是S關于

;零元和左零元，則4=，尸仇使對任意元素X￡S有

%*，=，噓=仇即元素，是S中關于運算*的零元且是唯一的。

證明因為，，和，,分別是S關于的右零元和左零元，故有

，/*玲=，〃夕所以外=為。

令其為仇有廿，=，噓=仇所以，為S關于的零元.

設另有一零元夕，那么

夕=，*夕=夕

故夕是S關于運算的唯一零元。證畢

同樣，需強調零元是針對于哪個運算的。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

【例5.2.51

在實數集A中，對加法“+”運算，沒有零元；

在實數集A中，對乘法“X“運算，。是零元；

對于全集石的子集的并“U“運算，石是零元；

對于全集E的子集的交“n”運算，0是零元；

在命題集合中，對于吸取“V”運算，重言式是零元;

在命題集合中，對于合取“人”運算，矛盾式是零元。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

定理523設*是S上的二元代數運算,e為幺元,

，為零元，并且|S|22,那么分

證明:用反證法.設Qe,則對任意〃￡S,有

0=O*a=e*a=a

與|$之2矛盾，故分《得證。

【例526］設5={%兒c},S上*運算由運算表

|（如表5.2.3所示）確定，那么〃是右零元，a是幺元。

'我們注意到，關于同一運算可能同時有幺元和零元，甚

至可能有這樣的元素，它關于同一運算既是左（右）幺元，

又是右（左）零元，例如表5.2.3第一行（不計表頭）改為三

個。時，那么運算有左零元。和右幺元服

表5.2.3

*abc

aabc

bbbc

ccbb

3.元素的逆元

定義5.2.4設*是集合S中的一種二元代數運算，且e為S關于

的幺元，對S中的元素2

⑴如果存在元素。尸￡￡使*a=e,則稱a關于是左

可逆的，且稱元素ar為〃(關于運算的)左逆元。

⑵如果存在元素叫"WS,使〃*〃丁=?,則稱〃關于是右

可逆的，且稱元素〃/為以關于運算的)右逆元。

(3)如果存在元素aIWS,使a*a1=a1*a=e,則稱。關于

是可逆的，且稱元素J為以關于運算的)逆元(inverse

element)。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

顯然對于二元代數運算若是可交換的,

貝！1

任何左（右）可逆的元素均可逆。G的逆元通常

記為、七但當運算被稱為“加法運算（記為+）時,

硬瓣元-由〃利〃/不一定都存在，若存在不

一定唯一，且不一定有。例如，在P182例9

=7

中，，〃不存在，P>6均為丫的右逆元；6Z-=Y，

6/=po

&522集合中關于二元代數運算的特殊元素

定理5.2.4設是集合S中的一個可結合的二元代數運

算，e為S關于“*”的幺元，若S的每一個元素都左可逆,

貝好的任何一個元素”的左逆元必定也是該元素的右逆

元，并且“是可逆的，"尸=且元素”對運算

的逆元是唯一的。

證明：

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

證明:對任意〃《S,存在〃￡S，使〃而對于存

在c《S,使c*力=4則由于*可結合，于是

k

a*b=e'a*b=c^b俁a*b=c*(A女研女b=c*e*b=c*A=e

故〃也是Q的右逆元，從而〃是”的逆元.

設瓦。是”的任意兩個逆元，那么

b=b*e=b女(a女c)=(b女研女c=e*c=c

故〃對運算的逆元是唯一的。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

定理525設*是集合S中的一個可結合的二元運算,

且《為S關于的幺元，x有逆元廠1,則

(XJ)-1=Xo

證明：住“)-1=住“)”

k

=(?￥/)/*(x“*x)=((x/)”快x"yx=e'x=xQ

A

注意：(1)e=eo

(2)并非每個元素均可逆。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

【例5.2.71

(1)在自然數集合N上，對于乘法“?“運算，只有數

1有逆元1,對于數加“+”運算，只有數0有逆元0。總

之，任何代數結構其幺元恒有逆元，逆元為其自身。

(2)在整數集合/上(+,?的定義同上)，/上每個

元素均有加法逆元，對任意x的逆元是-x。但除

1以外的數都沒有乘法逆元。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

II

?（3）在有理數集合Q上（+,?的定義同上），。上每個

元素X,都有加法逆元文,除0以外的每個元素X都有乘法逆

TUx"1=l/xo

（4）在2/中，對于U運算，其幺元為0,每個元素5

（B豐0）均無逆元；對于n運算，其幺元為4每個元素5

（為以）均無逆元。

（5）在集合上（其中4={/|/：A^A}）中，”

為函數的合成運算，恒等函數右為幺元，從而力中所有雙

射函數都有逆元，所有單射函數都有左逆元，所有滿射函

數都有右逆元。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

定理526設*是S上的二元運算遂為幺元，，為零

元，并且|5佇2,那么，無左（右）逆元。

證明首先，由定理523知，偽他

再用反證法證。無左（右）逆元，即可設夕有左

（右）逆元X,那么

O=x^0=e（O=e*x=e）

與存e矛盾，故步￡左（右）逆元。得證。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

【例528】有理數集合。上的加法運算與乘法

，，?，，運算J0的加法逆元是-10,乘法逆元是1/10;

而-10的加法逆元是10,乘法逆元是-1/10。

當一個集合中每一元素都有逆元時，可以認

為該集合上定義了一個一元求逆運算。與逆元概

念密切相關的是可約性概念。

定義525設*是集合S中的一個二元運算，存仇

|如果a滿足:對任意均有

1(1)a*x=a*y^x=y

(2)x*a=y'ka^x=y

則稱元素a對*是可約(可消去)的(cancelable),當a滿

足⑴式時，也稱a是左可約(左可消去)的，當僅滿足(2)

式時，也稱〃是右可約(右可消去)的。

特別地，若對任意有

(x*y=x*z)/\x^3產z

(y*x=z*x)j^z

則稱運算*滿足消去律(可約律)。

5.2.2集合中關于二元代數運算的特殊元素

定理527若*是S中滿足結合律的二元運算，且元素〃

有逆元(左逆元，右逆元)，則4必定是可約的(左可約的,

右可約的)。

證明設4的逆元為小,對任意元素XJ￡S,設4**=〃*7

及可得

a1^(a*x)=a-1(**〃)*〃“=(y*a)*〃“

-1

即(a-i*〃)*x=(4i*〃)*7x女(a女a/)

均可推得k可。因此，〃是可約的。

523利用運算表判斷代數運算的性質

a-----------

當S是有窮集合時,其上的二元運算常可用運算

表給出，運算的一些性質可直接由運算表看出。

⑴二元運算滿足可交換性的充分必要條件是

運算表關于主對角線對稱。

⑵二元運算滿足塞等性的充分必要條件是運

算表主對角線上的每個元素與它所在行、列的表

頭元素相同。

5.2.3利用運算表判斷代數運算的性質

(3)二元運算有幺元的充分必要條件是該元素

對應的行和列依次與該表表頭的行、列相一致。

(4)二元運算有零元的充分必要條件是運算表

中該元素所對應的行、列元素均與該元素相同。

(5)二元運算中"與〃互為逆元素的充分必要條

件是運算表中位于“所在行、〃所在列的元素及〃

所在行、”所在列的元素都是幺元。

n.5.2.3利用運算表判斷代數運算的性質

【例5.2.9】e是整數中模4同余關系產生的等價類

集合,N4={[0],[1],[2],[3]},

M上運算+4,X’定義為

\_m_\+4\_n~\=L(/w+n)mod41

\_m~\X4[n]=[(m-n)mod41

其中{0J23},運算表如表5.2.4、5.2.5所示。

5.2.3利用運算表判斷代數運算的性質

表5.2.4

大

5.2.3利用運算表判斷代數運算的性質

表5.2.5

X，[0]Ell⑵⑶

Lo][。][03[0][0]

[0]⑴⑵[3]

[0][2ZC0]⑵

[0]二3]⑵[1]

TOT

5.2.3利用運算表判斷代數運算的性質

解由表524可知，[0]為幺元，

[1]4=[3],[2]/=[2],無零元。

由表5.2.5可知，[1]為幺元，

⑶“=[3],[0],[2]無逆元，[0]為零元。

5.2二元運算(BinaryOperation)

小結：本節介紹了二元（代數）運算的性質（交換、結

合性、分配、吸收、塞等性等），集合A關于二元

運算的特異性元素。重點理解和掌握吸收律、塞等

律和（左、右）幺元，（左、右）零元，（左、右）逆元及

其性質。

作業：Pgl44:1,2,57

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TOT

一大.以，火屏二

5.3半群(semigroups)

5.3.1半群及其性質(semigroupanditsproperties)

5.3.2含幺半群及其性質(monoidanditsproperties)

TOT

計算機矛

.5?3半群(semigroups)

半群與群都是具有一個二元運算的代數系統，群是半群的

特殊例子。事實上，群是歷史上最早研究的代數系統，它比

半群復雜一些，而半群概念是在群的理論發展之后才引進的。

群論在各種不同的領域(如量子力學、結晶學)中都有應用。

它有半群、含幺半群與群三個基本類型。在計算機科學的不

同領域，它們的應用越來越廣泛。

半群和含幺半群，在自動機理論、形式語言等方面的應用

已卓有成效。

群的概念在自動機理論、編碼理論和快速加法器的設計等

方面都有廣泛的應用。它們的邏輯關系見圖531。

含幺半群

半群

圖

5.3.1半群及其性質(semigroupanditsproperties)

下L半群的概念

定義531設〈S,*〉是代數系統，S#0,*是5

上的二元代數運算，如果*運算滿足結合律，則稱〈S,

*〉為半群(semigroups)。

換言之，非空集合S及其上的二元運算*構成半群

必須滿足：

(1)*是S上的封閉運算；

5.3半群(semigroups)

許多代數系統都是半群。例如，〈N,+〉，〈Z,X〉，

〈2%|J>,3°>(SS={/|/:SfS),。是復合運

算)均是半群。但〈ZQ不是半群。

再如，設N是有限字母表，》是力中的字母

串?={乃U型，其中幺是不含字母的空串，運算

工是字母串的“連接”運算，則〈二戶〉是半群。

如Com￡E*,puter￡2*,經工運算后，得

Computer仍是字母串。

\(ab\

【例5.3.1]S=1a/w凡awO，

.K0°Jf—

則〈凡?〉是半群。這里?代表普通的矩陣乘法運算。

證明對任意的

%勺￡邑卜2

因為

0000

4。2“2a{a2。也

oo0000且4次2#°，所以

22

axa2

e5，因此“?”運算封閉。

00

(a

【例5.3.2]S={\a.beR.a^O}

!■_______——'I。oJ.

，則〈叢+〉不是半群。這里+代表普通的矩陣加法運算。

證明對任意的彳jeS,￡”S取畋=4則

b[+b

2且僅1+〃2=0,所以

0

a+2h+4

xes因此*運算不封閉。

00

所以〈叢+〉不是半群。

(ab、

|【例5.3.3]S={a.b.c￡&

c

則〈￡?〉不是半群。這里?代表普通的矩陣乘法運算。

證明：取

(\1A(\1V11A(2n

￡S,￡S，則—

U°)人」U°川oju1)

(2

所以]]",

因此*運算不封閉。

所以〈凡?〉不是半群。

【例5.3.4】設3=｛虢"｝上的二元運算如下表:

*ab

aba

bab

則〈■*〉為半群。

證：只需驗證滿足結合律，由于"滿足交換律

所以僅需要考慮以下兩種情況：

(a*d)*b=b*b=b=a*a=a*(a*b)

(a*b)*b=a*b=a=a女b=a女(b女b)

故〈s,*〉為半群。

【例5.3.5］設S為任意非空集合,對任意

〃乃WS,規定〃則〈￡*〉為半群。

證明：Pa,b,cGS,有

=4*c=6q*(b*c)=a*b=a

所以(〃*力)*c=.

故〈S,*〉為半群。

【例5.3.6】對任意〃乃￡凡規定〃?=（〃+方）/2,則〈R產）

「是半群。

證明：對于1,2,3￡尺有

~+3

「小。1+2。29

(1*2)*3=-----*3=—-----

224

15

—、12+31+?7

1*(2*3)=1*------=———=—

224

所以不滿足結合律.

故6*〉不是半群。

【例537】S力也**運算的定義如表5.3.1

*所示，判斷〈￡*〉的代數結構?

解⑴是S上的二元代數運算，因為*運算

關于S集合封閉。

(2)從運算表中可看出見仇c均為左幺元

X*(F*Z)=**Z=Z

(x^y)*z=y*z=z

故*運算滿足結合律，從而〈S*〉為一半群.

5.3半群(semigroups)

表5.3.1

*abc

aabc

?4

babc

cabc

大

5?3半群(semigroups)

2.半群的性質

定義5.3.2設〈S,*〉為一半群，若51S,*在￡中封閉，

則〈￡,*〉也是一個半群，稱之為〈S,*〉的子半群。

例如，如果?表示乘法，代數系統〈［0,1］,?〉、

〈［0,1),?〉和〈2?〉都是半群,且都是〈凡?〉的子半

群。

5.3半群(semigroups)

對于半群中的元素，我們有一種簡便的記法。

設半群〈S,*〉中元素〃(簡記為的〃次然記

為遞歸定義如下：

a1=a僅"+1=。"*〃1Z+

即半群中的元素有時可用某些元素的事表示出來。

因為半群滿足結合律，所以可用數學歸納法證明

mnm+nmnmn

a*a=a9(a)=ao

普通乘法的塞、關系的塞、矩陣乘法的塞等具體

的代數系統都滿足這個塞運算規則。如果有。2=心則

稱。為半群中的等塞元。

定理5.3.1若〈S,*〉是半群，S是有限集合，貝！JS中

必含有等塞元。

*證明因為⑸*〉是半群，V。￡叢有*爐,

因為S是有限集合，所以必定存在/＞北使得浦=〃。

令P=/乜便有所以對任意qR有

〃q=/*妙,=qP女@女qq"=qP女a40

因為夕發,所以可找到后1,使得切R

akp=ap*akp—ap女（礎*qkp）

=〃20*〃仞=〃2A*。3）==4切*4切

即在S中存在元素〃使得〃*〃=瓦

?.5.3.2含幺半群及其性質(monoidanditsproperties)

口下面介紹一些特殊半群。

1.含幺半群的概念

定義5.3.3如果半群〈S,*〉中二元運算*是可交換的，則稱〈SJ

是可交換半群(commutativesemigroups)。如〈Z,+〉，

<Z,X,〉，〈25,十〉均是可交換半群。但S,。〉，〈型力

不是可交換半群。

定義5.3.4含有關于*運算的幺元的半群(S,*〉，稱它為獨異

點(monoid),或含幺半群，常記為(°是幺元)。

【例5.3?8】

〈Z,+〉是獨異點，幺元是0,〈片+,0〉；

<Z,X>是獨異點，幺元是1,〈Z,XJ〉；

〈25,十〉是獨異點，幺元是（p,〈25,①（p〉；

（卒而是獨異點，幺元南（空串），〈2*開工〉；

（SS,〉是獨異點，幺元是人，〈SS，4〉；

但〈ZE，X〉不是獨異點，因為無幺無，

E

（IZE,Z：偶數集）。

史

12.含幺半群的性質

定義5.3?5

設〈S,*〉為一獨異點，若T在7中封閉，

且幺元則〈T,*?〉也是一個獨異點，稱之

為〈S,*〉的子獨異點。

我們前面提過，對于有窮集合的二元運算,

可用運算表來給出

?5.3半群(semigroups)

%理5.3.2一個有限獨異點〈S,*,e〉的運算表中任

何兩行或兩列元素都不會相同。

證明設S中關于運算*的幺元是e。因為對于任意

的心力es且斫幼時，總有

e*a=a*b=e*b和心e=a*b=b*e。所以，在*的運算

表中不可能有兩行或兩列是相同的。

該定理容易理解，因為幺元所在的行、列均

與表頭相同，所以不會出現兩行(列)元素完全

相同的情況。

I5.3半群(semigroups)

W5.3.9]<Z4,+4>24={[0],[1],[2],[3]}=Z/A(A是

Z上的模4同余關系)，上運算+"定義為V[陽],

\_m~\+4[〃]=L(/w+H)(/wod4)],它由表5.3.2給出。判

斷〈ZQ+4〉的代數結構。

表5.3.2

+4m[2]

[0]工⑵

工[2][3]Lo]

[2][3]Eo]［口

[3][0]工⑵

］■解：⑴+4運算顯然封閉。

「■.(2)由+4的定義可知+4可結合。

(3)從運算表中可知［0］是幺元，所以〈24，+4〉

是獨異點。但在該表中沒有兩行(列)元素完全相同。

定理5.3.3設〈區*H〉是獨異點，對Va,beS,且見〃均

有逆元，則

(a)(a/)/=〃

(b)(〃*b)-i=bA*a'1

證明：

5.3半群(semigroups)

證明：

(1)(a1)1=(a-i)“*e

=(〃-i)-i*(〃/*〃)=((〃-i)/*a/)*〃=?*〃=%得證。

1

(2))=a*(b*b")*〃"=a女e*a』a*a=e

11

(b^a)*(〃*〃)=b"女(a"女a)女b=b*e*b=b"*b=e

1AA

故(a*b)'=b*a。

5.3半群(semigroups)

小結：本結介紹了半群與獨異點的概念及其性質。

Pgl49:126,7,12

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TOT

一大.以，火屏二

^色群與子群(groupsandsubgroups)

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

5.4.2群的基本'性質(Thepropertiesofgroups)

5.4.3子群(Subgroups)

TOT

J漆球?大考二

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

獨異點中含有幺元。前面曾提到，對于含有幺元的

運算可考慮元素的逆元，并不是每個元素均有逆元的，

這一點引出了一個特殊的獨異點群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

定義5.4.1如果代數系統〈G,*〉滿足

(1)〈G,*〉為一半群；

(2)〈G,*〉中有幺元e；

(3)〈G,*〉中每一元素都有逆元xL

則稱代數系統〈G,*〉為群(groups)。或者說，

群是每個元素都可逆的獨異點。群的基集常用字

母G表示，因而字母G也常用于表示群。

.【例541】

I)〈z,+〉，〈0+〉，〈凡+〉，C+〉均為群(加群)，數o

為其幺元。

(2)〈凡?〉，〈Z,?〉，〈0?〉都不是群。因為0沒有逆元。

(3)5?{0},?〉，〈。-{0},?〉，〈Q+U〉(正有理數與數乘)

均為群，1為其么元。但＜z-{o},-＞不是群。

(4)〈NQ+P為一4階群，數0為其么元。

⑸A#0(2A,U)是半群，幺元為0,非空集合無逆元,

所以不是群。

]5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

(6)A#0,<2A,n>是半群，幺元為任意A的真子集無逆

元，所以不是群。

⑺A#0,〈23④的幺元為0\/Se2AySe2A.

S十①二(S—①)u(①—S)=①十S)，s的逆元

是s(S十S=(S—S)u(S—S)=①)，所以

〈2%十〉是群。

因為零元無逆元，所以含有零元的代數系統(除，〈｛**〉

外)就不會是群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

【例5.4.21設且={〃也c/}/為G上的二元運算,

它由表541給出，不難證明G是一個群。且e是G

中的幺元；G中任何元素的逆元就是它自己，

在見仇c三個元素中，任何兩個元素運算的結果

都等于另一個元素，這個群稱為左加加四元群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

表5.4.1

*eabc

e1eabc

aaecb

bjb.cea

ccbae

大

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

B--------------

【例546】設尹{見仇c/},*為G上的二元運算，它由

表5.4.2給出，不難證明G是一個群，且e是G中的幺元;

G中元素力的逆元就是它自己，。與c互逆。在見仇c三

個元素中，任何兩個元素運算的結果都等于另一個

元素，這是除了A加加四元群外的另一個四階群。

5.4.1群的基本概念(Theconceptofgroup)

表5.4.2

*eabc

eeabc

aabce

bbcea

cceab

大

【例543】設〈G*)是一個獨異點，并且每個

*元素都有右逆元，證明〈a*〉為群。

證明設e是〈&*〉中的幺元。每個元素都有右

逆元，即3y￡G使得**y=?,而對于

此了，又使得y*z=e。由于均有

x女。=e女x=e,因此

即x*y=e=y*z=y*x=e

丁既是*的右逆兀，又是x的左逆兀，故

均有逆元，〈&*〉為群。

■5.4.2群的基本性質（Thepropertiesofgroups）

?對群〈G,*〉的任意元素”,我們可以同半

群一樣來定義它的塞：

n1=n

a°=e,對任何正整數"a^a^a9群的幕

運算有下列性質：

定理5.4.1對群（G,*〉的任意元素a,〃，有

（1）（優1尸=4

（2）（4*。尸=。-1*〃/

（3）⑷尸=（/）〃（記為叱）（〃為整數）

5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

一

(1)因為〃”的逆元是即所以

(4"尸=4。

(2)因為

(b-i*屋)*(a女b)=b-i*(屋*a)*b=e

所以4*〃的逆元為尸*4“，即（〃*力尸=尸*4-1

(3)對〃進行歸納。群首先是獨異點，所以

n+in〃

=a*aQ=1時命題顯然真。設〃=4時(a")”是/

的逆元為真，即(/尸=(〃")3那么

4*+1*(〃-1)九+1=/*(4*〃-1)*(4-1)〃

=/*(〃")"=?

=(aA)k*ak=e

故/+i的逆元為(a,)A+i,即(〃A+i)-i=(〃")A+io歸

納完成，得證。

5.4.2群的基本性質（Thepropertiesofgroups）

題5.4.2當Gr{e}時，群〈G,*〉中不可能有零元.

證明：由GW{e}知，|G}1,反設〈G,*〉中有零元，，則對

（見定理5.1.3）.

故夕無逆元，與〈G,*〉是群矛盾.

（注意，G={e}時,e既是幺元，又是零元。）

5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.3對群〈G,*〉的任意元素及任

何整數股，?有

(1)amMn=am+n

(2)(am)n=amn

證明留給讀者。

群的下列性質是明顯的。

5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.4設〈G,*〉為群，則對任意的

方程a*x=〃，都有解且有唯一解。

.證明：

免證小力是方程4氣=〃的解。將小林代入方程左邊

的心得

a*(a4*b)=(a*a")*b=e*b=b

所以小*方是該方程的解。下面證明唯一性。

假設C是方程=〃的解，必有4*c=〃,從而有

c=e*c=(4?i*a)*c=〃-i*(a*c)=4-i*A

唯一^性得證。同理可證〃是方程=〃的唯一k

解。

5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.5設〈G,*〉為群，則G的所有元素都

是可約的。因此，群〈G,*〉滿足消去律，

即對任意即￥JWS

a*x=a*yQx=y

x*a=y*a=>x=y

注:上述蘊涵式等價于對任意“Kj￡S,若xWy

則有心x*心y

x*a*y快a

5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

飛義5.4.2設〈G,*〉是一個群，

(1)若G是一個有限集合，則稱〈G,*〉為一個有限

群(finitegroup)，且稱\G\為群〈G,*〉的階

(order)。

(2)若G是一個無限集合，則稱〈G,*〉為一個無限

群(infinitegroup)。

例如，〈Z,+〉，〈凡+〉是無限群I加加四元群是

有限群。

]|_5.4.2群的基本'性質(Thepropertiesofgroups)

由定理5.4.5可知，特別地，當G為有限群時,

*運算的運算表的每一行（列）都是G中元素的一

個全排列。對于有限群，運算可用表給出,稱為群

表。從而有限群〈G,*〉的運算表中沒有一行

（列）上有兩個元素是相同的。因此，當G分別為

L2,3階群時「運算都只有一個定義方式（即不計

元素記號的不同，只有一張定義*運算的運算表，分

別如表543、544和5.4.5所示），于是可以說,1,2,3階

的群都只有一個。

表5.4.5

*:eab

eeab

aabe

bbea

【例5.4.4］在下表的空白處填入適當的元素，使

〈{見仇c},*〉構成群。

【例544】在下表的空白處填入適當的元素，使

〈｛〃?**〉構成群。

*

abc

aca_b

bab_c

cbca

K例545】設〈G,*〉為有限獨異點，適合消去律，證

'■明〈G,*〉為群。

證明設《是〈a*〉中的幺元。由〈G,*〉適合消去律，

即W%b,c￡G均有

a女b=a*c=b=c

b*a=c*a^/)-c

又由于〈G,*〉為有限獨異點，所以

3正整數〃使得

an=e,^a'kanA=e=anA*a

故V"￡G,三型-l￡G是4的逆元，故〈G,*〉為群。

5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

定理5.4.6設〈G,*〉為群，則幺元是G的

唯一的等塞元素。

證明：設G中有等塞元r,那么廿又

x=x*e9所以

由定理5.4.5得x=e。故得證。

設〈G,*〉為群，如果我們用“G和G”分別表

示下列集合

aG={a^g\g￡G}Ga={g^a\g￡G}

那么我們有以下定理。

I5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

置理5.4.7設〈G,*〉為一群，”為G中任意元素，

那么aG=G=G〃。

特別地，當G為有限群時，*運算的運算表

的每一行(列)都是G中元素的一個全排列。

證明：aG是顯然的。

設那么從而

即因此G=〃G。〃G=G得證。

G〃=G同理可證。

5.4.2群的基本性質(Thepropertiesofgroups)

對群還可以引入元素的階的概念。

為群，滿足等式

a1l=e的最小正整數"稱為a的階(order),記作同。

若不存在這樣的正整數名稱〃是無限階。

【例547】

⑴任何群G的幺元e的階為1,且只有幺元e的階為1。

(2)〈Z,+〉中幺元0的階為1,而整數Q=10時,“有無限階。

(3)<Z4,+4>中［口的階是4,［2］的階是2,［3］的階

TIITA是4。

關于元素的階有以下性質:

定理5.4.8有限群G的每個元素都有有限階，且

其階數不超過群G的階數|G|。

證明：設。為G的任一元素，考慮斫劭八%…/?這13+1個

G中元素，由于G中只有|G|個元素，它們中至少有兩個

是相同的,不妨設

m=相0<s<t<|(7|

于是，-s=G因此僅有有限階，且其階數至多是靜，不超過群

G的階數|G|。

5.4.2群的基本'性質(Thepropertiesofgroups)

*定理5?4.9設〈G,*〉為群,G中元素。的階為r,那

么M〃=e當且僅當r整除〃。

證明先證充分性。

設歹整除〃，那么設〃=切（A為整數），因為社

=e,所以a〃=i="）"=M=e。再證必要性。

設=n=mr+k,其中陽為〃除以r的商，A為余數，

因此OWAVr。于是

nmr+k

e=a=a=冊女qk=ak

因此，由，的最小性得仁0,一整除〃。

i定理5.4.10設〈G,*〉為群，。為G中任一元素,

?個口么同=依1|。

證明設。的階為/由他”)〃=便尸=/1=6可知4”的階

是存在的。只要證。具有階〃當且僅當小具有階〃。由

于逆元是相互的，即(。-1尸=%因此只需證：當〃具有

階〃時，也具有階〃。

設4的階是〃，小的階是，。由于

Ann11

(a)=(a)-=e=e9故也〃。又因為

■=(“1力1=/1=?,故舊。因此，

〃=，，即同=依1|。

【例5.4.8】設G是〃階有限群，證明:

*(1)G中階大于2的元素個數一定是偶數；

(2)若〃是偶數，則G中階等于2的元素個數一定

是奇數。

證明

(1)設，={x|x￡G,x的階大于2},則

ar'*a,否則解=?與a^A矛盾。

因為4與小的階相同，且小相對于〃是唯一的，所

以小與〃成對出現，故G中階大于2的元素個

數一定是偶數。

.5.4.2群的基本性質(Th