第2章光纖傳輸基本理論

第2章光纖傳輸基本理論

2.1光纖傳輸基本方程及解

2.2多模光纖的光傳輸特性

2.3單模光纖的光傳輸特性

2.4光纖傳輸中的非線性現象

第2章光纖傳輸基本理論

2.1光纖傳輸基本方程及解

由于任何光信號都可分解成具有一定相對關系的

單色光的組合，為了得到光纖傳輸的特性，我們需要

導出在單色光輸入情況下光纖的輸出特性。本節分析

光纖中光的傳輸特性。

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2.1.1麥克斯韋方程與波動方程

光信號在光纖中的傳輸由麥克斯韋方程描述，可寫

bB(r,t)〕

Vx￡(/,')=-----------------

dt

dD(r,Z)

V義“(〃，，)=/0,，)+---------------i(2.1)

dt

V?D(r,t)=pf(r,t)

V?B5,t)=0

第2章光纖傳輸基本理論

式中乃&/）、H&,。分別為電場強度矢量和磁場強度

矢量；分別為電位移矢量和磁感應強度矢

量；4工。為電流密度矢量，/G，。為電荷密度分布，是

電磁場的源。

當介質內傳輸的電磁場強度風＞1）和H&J）增大時，

電位移矢量。億。和磁感應強度矢量5億。也隨之增大，

它們的關系通過物質方程聯系起來

D(r,t)=￡出(r,t)+P(r,t)]

第2章光纖傳輸基本理論

式中同為真空中的介電常數，g為真空中的磁導率;

Pg)、M&J)分別為感應電極化強度和磁極化強度。對

光纖這種無自由電荷的非磁性介質，,。=0,

2G/尸0,M=0,感應電極化強度可表示為

P(rJ)=PL(rJ)+PNL(rJ)(2.3)

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式中,&為電極化強度的線性部分，尸NL為電極化強

度的非線性部分，它們與電場強度的關系為

00

乙(/，/)=￡(4(t_t')?E(r

J—8

CO

pNI"，t)=￡f(t_一t、)?E(r,t)E(r,t)E)dtdtdt

1Vx-/vnI1/，1/DI/，

—00

(2.4)

第2章光纖傳輸基本理論

在本節，我們只考慮光纖為線性介質的情況，非

線性問題留在本章第4節中討論。假設光纖為各向同性

介質，則

D(r,t)=￡E(r,t)=￡O(l+%⑴)￡&/)

(2.5)

B(r,t)

第2章光纖傳輸基本理論

考慮上面所提到的光纖的一些特性，光信號在光

纖中傳輸的麥克斯韋方程可簡化為

dH(r,0〕

Vx￡(〃，/)=-ju-----------------

5t

SE(r,O|

Vx〃0,%)=￡----------------i(2.6)

dt

V.E=0

V.H(r,t)=0

第2章光纖傳輸基本理論

考察輸入為單色光的情況，光纖中任一點上的光

信號的場強分布可表示為

E(r,t)=E(r)exp(-cot)]

1(2.7)

H(F,t)=H(r)exp(-cot)J

將上式代入式(2.6),并作適當的變換可得

22V￡'

V(E(r)+G(r)+V(E-------)=0

￡卜(2.8)

?7VX(VX//)

▽一(“(廠)+@-4(/”(尸)+(----------------)=0J

第2章光纖傳輸基本理論

實際使用的光纖一般是弱導光纖，即纖芯和包層

的折射率非常接近，2在一個波長的空間范圍內的變化

非常緩慢，上式中的2/2可以忽略不計，則有

222

VE(r)+k/(/)=0(2.9。)

222

VH⑺+kon"(Q=0(2.9b)

第2章光纖傳輸基本理論

其中，品=2兀2，是自由空間波數，入是波長，

〃=（乎）1/2是介質的折射率。這就是描述光纖中光場分布

的基本方程，稱為波動方程或亥姆霍茲方程。這是一

個矢量方程，〃只有在均勻介質中才是常數。

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2.1.2波動方程的近似解

根據光纖的具體結構，利用上述矢量波動方程，

原則上是可以得到某些少數特定結構的光纖中光場的

精確分布。但方法煩瑣，結果復雜，利用這些結果去

分析光纖的色散特性很困難。本節我們通過一種標量

的近似解法結合階躍光纖進行求解。給出一些物理意

義明確的結果。

第2章光纖傳輸基本理論

我們知道，對通信用光纖，纖芯、包層折射率相

差很小，A?lo在這種情況下，纖芯、包層界面上全

反射角的臨界角接近90。，光纖中導行波的射線幾乎

是與光纖軸平行傳播的。這種波接近TEN波。電磁場

的軸向分量很小，橫向分量占優勢，該橫向場的極化

方向在傳播過程中基本保持不變，橫向電場和磁場之

間的關系可用波阻抗ZMQ%)］。來表示。

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現在我們近似假定橫向場的極化方向保持不變，

這樣就可用一個標量來描述它，它將滿足標量亥姆霍

茲方程。由此我們可以通過解該橫向場的標量亥姆霍

茲方程求得解答。這種方法叫標量近似分析法。可以

看出，標量近似分析法是以〃戶改為前提的。下面我們

將用標量近似分析法推導出場方程、特征方程，介紹

標量解的模式分布，討論各模式的傳輸特性及光纖中

的功率分布等。

第2章光纖傳輸基本理論

1.標量場方程

由于假定了弱導波光纖中的橫向場的極化方向保

持不變，采用直角坐標系來表示場分量比較方便，因

此，分析問題時將同時采用直角坐標系和圓柱坐標系,

如圖2.1所示。假定折射率為〃2的包層無限大，在后面

我們將看出該假設的合理性。

第2章光纖傳輸基本理論

2

圖2.1光纖坐標

第2章光纖傳輸基本理論

選橫向場的極化方向與y軸一致，即電場只有y分

量，工分量為零，則式(2.9。)變為

V2E、(r)=k：n2E、(r)=0(2.10)

解此方程并滿足纖芯、包層交界面上的邊界條件,

就可得到光纖的標量解。將式(2.10)寫到圓柱坐標系

中，得到

222

合Ev(r)1dEv(r)15、,")22

----:---+-----:---+-------:----4-----:----+knE(/)

(2.11)

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根據光纖截面折射率分布的圓柱對稱性和軸向平

移不變性，在以光纖軸線為軸的柱坐標系統中，光纖

中光場的分布應有下列形式

￡丫億仇z)=7?(r)cos冽8exp(jA0(2.12)

這里昆是Z方向的傳播常數，如果Z方向有能量損失,

則為是復數，虛數部分代表單位距離的損失，實數部分

代表單位距離相位的傳播。將式(2.12)代入式

(2.11),整理后得

第2章光纖傳輸基本理論

dR(r)1dR(r)「22，m~~\〕

—

-----；-+---------+(左o-，二)一R(尸)=0(r<a)\

drrdr-----------------------------------r

>

2r-2n

dR(r)IdR(r)\22?mI

-----；―+---------+(4；一女o〃；)一~R(r)=0(r>a)

drrdr----------*—-------------------------r—>

(2.13)

上式中第一個式子是加階貝塞爾方程，第二個式子

是變質的貝塞爾方程。加、邑對應著方程的某一種解，

表示光場的某種特定分布，這種特定分布通常稱為某

種模式。為了方便起見，引入兩個有用的參量，令

第2章光纖傳輸基本理論

22222

u=a(nk-p)

'10尸z)

(2.14)

22222

CDa(尸］一〃23)

〃叫做導波的徑向歸一化相位常數，W叫做導波的

徑向歸一化衰減常數。它們各表示在纖芯和包層中導

波場沿徑向的變化情況。下面分析場方程的解。在纖

芯內，火⑺的解應是貝塞爾函數的組合

u

R(r)=AJ(——r)+BY(-r)(2.15)

mv7

aa

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其中，4?為貝塞爾函數，，為聶曼函數。火⑺在纖

芯處應為駐波解，由于7m(0)為無窮大，與場的實際情

況不符，因此B為0。在包層內，K&)的解應是修正貝

塞爾函數的組合

CD

(r)=(-r)+(—r)(2.16)

RCIDKm'7

aa

第2章光纖傳輸基本理論

其中，〃和K加分別為第一類和第二類修正的貝塞

爾函數。R&)在包層中隨〃的增加應減小，是衰減解，

而4在r趨近無窮時也趨于無窮，所以。應為0。于是火&)

可寫為

[U

AJm(——/)rr<a

a

火(尸)=<(2.17)

ICD

iDKm(x—)rr>a

第2章光纖傳輸基本理論

J與K兩種函數的曲線示于圖2.2中。利用上式，光

纖中耳的表示式可寫成

r<a

J(xw)

z

-jp.八m/

-ZA

Ey"，z)=eAsinn3<(2.18)

3

Km(—r)

r>a

Km(g)

第2章光纖傳輸基本理論

在推導上式中利用了纖芯界面上的邊界條件,

E3GE既簡化掉了一個常數。

橫向磁場只包含4分量，根據月可寫成

G)

(2.19)

第2章光纖傳輸基本理論

1.0

0.5

-0.5

(b)

圖2.2貝塞爾函數和修正的貝塞爾函數圖形

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從麥克斯韋方程,可求出區和色的表示式：

uu

J.(—r)J(一r)

um+1\u"「I〃

cos(〃？+l)e+cos(m-1)^

-jpzj4nJ(it}nJ(u)

E_(r,3,z)-e<

r<a

2%UCD—

KKm,(—r)

/q/a

cos(/w+1)-cos(m-1)^

nK(M)nK(co)

L2m''2mV7

f>a

(2.20)

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Uli

.(一

J“,+l(一〃)Jm-\r')

a?/,1、八?/1'n

US111(///+1)C/~uasin(m—I)C7

〃)J(u)

“J-JAJm(、/

“二（/，e,z）=

2KaZCOCOr<—a

00K,(—r)K(—r)

Cl?/.i、na?/T、zi

COS1n(771+1)t/+CDsin(m—1)(/

、Km(co)Km(co)

r>a

(2.21)

第2章光纖傳輸基本理論

比較場的軸向和橫向分量的大小，可以發現，弱波

導光纖的軸向分量比橫向分量的值小得多。因為軸向

分量的表示式中含有M/QK。和w/aK。，而

Ua一。：

aKo.QKo八

222

-nk

z20n

aKo.aKo°

它們都在A數量級。所以合成場基本在光纖橫截面

上，近似一個TEA/波。

第2章光纖傳輸基本理論

2.標量解的特征方程

根據邊界條件可以導出特征方程，前面在求解場

的橫向分量的表示式時已用了纖芯界面上場的角向分

量連續的條件，現在再用界面上軸向分量連續的條件。

在處,Ezi=Ez2,則

uJ,(〃)、八uJ,(〃)

-------------------sm?/(m+1-1)0+-----------------sin(m-1)0

nJ(〃)nJ(〃)

1m'/1m'/

CDK,(69)coK,(〃)

---------------------sm(m+I)0-------------------sin(m-1)3

〃cK(69)n

2my72K.(U)

(2.23)

第2章光纖傳輸基本理論

利用弱導條件，上式可寫成下面兩個式子

UJ(〃)K(69)I

m+\v/〃？+1'z

---------------------=69-------------------

nJ(u)K(69)

1mm

(2.24)

JJ")K(co)

U——CD

J(u)K(co)

mm,

第2章光纖傳輸基本理論

1)LP.模的截止條件

我們先簡單分析一下光纖中傳輸的導行波的特性。

考察包層中的電場，我們有

co

EYocKmV(—r))(2.25)

a

根據修正貝塞爾函數的特性，上式近似為

(2.26)

第2章光纖傳輸基本理論

式中，C為比例常數。從上式可以看出，當w2>0時

（即W為實數時），場在纖芯外呈指數衰減型，在「相當

大處，￡⑺趨于零。這時光波封閉在光纖中傳輸，對應

為傳導模。根據式（2.14）,若

2222P2、/cc

co=a（p一幾？^。）<°（2.27）

第2章光纖傳輸基本理論

w成為虛數，包層中的場將成振蕩型，而振幅不減

小，意味著光能向外輻射，這時的光場為輻射模式。

顯然，w=0剛好是傳導模和輻射模的分界處，將汽=0

定義為傳導模的截止條件。

下面考察截止這種極端情況下特征方程的解。首

先我們引入一個有用的參量一歸一化頻率，定義為

2222222

V=U+co左(2.28)

第2章光纖傳輸基本理論

它與光纖的參數和傳導光波的波長有關，在Wc=O

時，Vc=%,分別稱為歸一化截止頻率和歸一化截止相

位常數。顯然，在截止條件下得到的特征函數的解利

就是所對應模式的截止條件Vc。

在截止條件下，w=0,K〃?(w)近似為

2〕

K.co)=In——8m=0

71卜(2.29)

12mI

K(①)=K(〃))=——(m-1)!(—)m>0

2co,

第2章光纖傳輸基本理論

可以證明，特征方程（2.23）的右端在任何值時都

為零。于是，截止時有

(2.30)

當小不為0時

(u)=0

C(2.31)

這就是截止情況下的特征方程，由此可以解出七,

確定截止條件。氣是加-1階貝塞爾函數的根。

第2章光纖傳輸基本理論

當加=0時，/](%)=?/](%尸0,可解出%=〃i，〃-l=0,

3.83171,7.01559,10.17347,…，這里〃》叫是一階貝

塞爾函數的第個根，〃=1,2,3,…。顯然，IT。]模的截

止頻率為0,LP02模的截止頻率為3.83171,這意味著當

歸一化頻率V小于3.83171時，LP02模不能在光纖中傳

輸，而LPoi模總是可以在光纖中傳輸的。

當加刈時，4*](%)=o,可解出％=〃怔1，〃，它是加-

1階貝塞爾函數的第〃個根，〃=1,2,3,…。對于加=1,

%=&〃=2.40483,5.52008,8.65373,…。表2.1歹U出了

較低階LP皿模截止時的小值。

第2章光纖傳輸基本理論

表2.1截止時較低階LP.模的％值

771

1%a2

n

112.404833.83171

3.83171::5.520087,01559

37.015598.6537310.17347

第2章光纖傳輸基本理論

2)LP.模遠離截止時的解及其物理意義

從上面對模式截止條件的分析可以看出，在光纖

中，隨著歸一化頻率V的增大，它所截止的模式的階數

也增加，即傳播的模式增加。現在我們分析另一種極

端情況：遠離截止時的情況。隨著光纖歸一化頻率的

增加，導波的徑向歸一化衰減常數w越來越大，這意味

著導波在包層中徑向衰減加快，導波能量往光纖纖芯

中集中，當V和w足夠大時，除靠近V的幾個高階模外,

導波能量基本集中在光纖纖芯當中。我們把這種狀態

稱為遠離截止的情況。

第2章光纖傳輸基本理論

根據V的定義，當V—00時，比值〃/九一00,于是那

些遠離截止的較低階模的衰減常數W—00,這時K〃,（W）

可用大宗量下的近似式表示

(2.32)

將上式代入特征方程(2.24)可得

UJ,(〃)0)K(69)

-----------------=----------------------——COf—00

J(x〃)K(co)

m'm、/

第2章光纖傳輸基本理論

因而遠離截止時的特征方程可簡化為

/g)=0(2.34)

遠離截止時的特征值是加階貝塞爾函數的根斯〃

(片1,2,3,…)。表2.2中列出了〃〃較低階的值。

第2章光纖傳輸基本理論

表2.2遠離截止時LP加模的M值

m

012

nX

1i2.40483；3.831715.13562

25.520087.01559:8.41724

38.6537310.1734711.61984

第2章光纖傳輸基本理論

綜上所述，LPw模的〃值在截止時為冽-1階貝塞爾

函數的第〃個根，在遠離截止時為加階貝塞爾函數的第〃

個根，在一般情況下應在這兩者之間變化。由特征方

程式（2.24）并結合V的定義，用數值方法可作出一般

情況下M-V的關系曲線，如圖2.3所示。由該圖可清楚

地看出各模式的截止條件和允許的M值的范圍。

第2章光纖傳輸基本理論

TETMc.HE..(LP,.)

0A,20,22,2,127

EHHE(LP)

2,14,131

HE(LP)

1,2v027

EH.,.HE3.,『1)

TETMHE(LP)

0,10,12,111

HE

1,15J

567

圖2.3M-V關系曲線

第2章光纖傳輸基本理論

上面討論了沿y方向極化的L尸模，并假定它沿圓

周方向是cos加。變化的。實際上還存在著與鳥垂直的x

方向的極化場￡x。這兩種極化波又都有選取si〃加。和

cos加。的自由。盡管它們有形式上的差別，但在弱導近

似下的傳播常數是相同的，可用同一組標號加、〃表征,

統稱為LP.模，又稱之為簡并模。每一個叱加〃模一般

有四重簡并。當加=0時，si〃加0=0,LP（）九模只有兩重簡

并。圖2.4給出了IP。1模和LP”模的各種可能分布。

第2章光纖傳輸基本理論

X

(a)(b)

圖2.4LPoi和LPu模電場的可能分布

第2章光纖傳輸基本理論

在LP模分析法中，各LP〃?〃模的標號加、〃有明確的

物理意義，它們表示對應模場在光纖橫截面上的分布

規律。由式(2.18)可知，LP加模在纖芯中的橫向電場

分布為

U

Jm(—r)

E(r,3)=Asinm0-------------(2.35)

〃)

J(m'/

它沿圓周及半徑方向的分布規律分別為

(P(^)=sinm0(^)=cosmO(2.36)

u

R(/)=Jm(-r)(2.37)

第2章光纖傳輸基本理論

顯然，光場在圓周方向上的變化情況與加有關，當加=0時

ro（正弦規律）

"）='（2.38）

11,（余弦規律）

說明在圓周方向上無光場變化，在圓周方向上出現

最大值的個數為0。當加=1時

[sin0

(2.39)

[cos。

第2章光纖傳輸基本理論

由式（2.37）可見，光場沿徑向的變化與〃有關。

下面以加=0為例加以說明。這時LPo”模的場沿徑向按零

階貝塞爾函數的規律變化。在遠離截止的情況下，對

LPoi模〃=〃oi=2.4O483,它沿徑向的變化規律為

2.40483

⑺「）(2.40)

R=Jm

a

第2章光纖傳輸基本理論

在『0處，火(0尸1；在尸。處，火(。尸0,它沿尸的變

化情況如圖2.5(0所示。對LP02模"="02=5.52008,它沿

徑向的變化規律為

271

L—

A

在尸0處，火(0尸1；在尸0.4357處，火⑺=0；在尸。

處，R(a)=0,它沿〃的變化情況如圖2.5(b)所示，沿半徑

有兩個最大值。可見，〃表示沿半徑最大值的個數。

第2章光纖傳輸基本理論

2.1.3標量場模的光功率分布

計算各模式在纖芯和包層中的功率分布是有實際

意義的。首先，從計算結果可以看出功率在纖芯中的

集中程度。另外，實際光纖中存在損耗，這些損耗分

別產生在纖芯、包層及兩者的分界面上，而各部分的

衰減與各部分的傳輸功率成正比。因此，為了計算損

耗也需知道功率在光纖中的分布情況。

第2章光纖傳輸基本理論

將軸向玻印亭矢量分別在纖芯和包層橫截面上積

分，就可求出纖芯和包層中傳輸的功率分別為

]a27i

-EHrdrd0,r<a(2.42)

p=-[[yx

2九」0

joo271

EyHJdrde,r>a(2.43)

-1。J0

第2章光纖傳輸基本理論

將式(2.18)和式(2.19)代入式(2.42)得到纖

芯中傳輸的功率為

n71aA

EHrdrdO=---------------[1—

yx

4Z-

類似地，可得包層中的傳輸功率為(2.44)

一n產aA乙+】(〃)乙一

(2.45)

第2章光纖傳輸基本理論

對弱導光纖，〃產敢=〃，并令C=-71Q2A2/4Z。，則

2

VJ?(M)/(U)

P=P+P=-c---+--1-'--/加一1',(2.46)

totaIcorecI22

CDJ(u)

m、/

光纖纖芯中光功率與總功率之比為

22

PCDJm(U)

core「1

二[I-

2

PtotaI,VJ〃7+I9\i)"J〃7—I(\u

couK(co}

——[l+------------------------------------

22(2.47)

VcoK(〃)K(〃)

第2章光纖傳輸基本理論

在推導上式時利用了特征函數。光纖包層中光功

率與總功率之比為

22

P,coJ(u)

一^二1--[1------------------------](2.48)

尸…廣J…(……⑺

利用上式可求得包層中光功率與v的關系曲線，如圖

2.6所不。

第2章光纖傳輸基本理論

Q=HE2〃，TE°.,TM°,Q=H*i，EH-w（叱1）

圖2.6各模的包層功率與V值的關系

第2章光纖傳輸基本理論

下面我們討論V—00和V逐漸減小兩種情況下的光

功率分布。V一8時，LP皿模的M值對應加階貝塞爾函數

的根。＜4(0=0,且w=V,所以尸8"尸.1=1說明光功率

完全集中在纖芯中O隨著V值減小，高的模次逐漸截止,

即w―0,貝II

2

PK(①)

cove----------^―-------(2.49)

pK①)K(co)

totaI

第2章光纖傳輸基本理論

上式可進一步表示成

f

I0m0

PI

core:\［0八"7=1(2.50)

PtotaI|

1

11m>1

m

第2章光纖傳輸基本理論

2.1.4單模與多模光纖的分類及處理方法

上面我們在兩種極端情況下對光纖的傳輸特性進

行了分析，可以看出，光纖中傳輸的模式數由歸一化

頻率決定，當歸一化頻率確定后，光纖中所傳輸的模

式數和模式分布也就確定了。

一般情況下，光纖中有許多模式，每一模式有其

特定的傳播常數。由于模式之間的傳播常數不同，各

模式之間將有色散，這種色散稱為模間色散。光纖的

傳輸特性由所有能夠傳輸的模式疊加后確定。

第2章光纖傳輸基本理論

根據前面的分析，當光纖的歸一化頻率小于LP”

模的截止頻率時，光纖中將只有LP。］模能夠運行，我

們將

V<Vc=2.40483(2.51)

稱為光纖的單模傳輸條件。因為歸一化頻率是工

作波長和折射率分布的函數，當光纖參數確定后，只

有工作波長大于某一特定波長時，光纖才能實現單模

傳輸。我們稱這個特定波長為光纖的截止波長，可表

示為

?Baick<

第2章光纖傳輸基本理論

2.2多模光纖的光傳輸特性

在上一節我們指出，用波動理論研究多模光纖的

傳輸特性非常復雜，很難得到一些簡潔的、有意義的

結果。在多模光纖中，由于波長一般遠小于光纖的直

徑，可以用射線光學來研究它的傳輸特性。所謂射線

光學是波長趨于0時由波動理論近似后得到的一種描述

光波行為的理論。它的核心方程為射線微分方程，由

麥克斯韋方程在波長趨于0的情況下得到，可表示為

第2章光纖傳輸基本理論

ddr

[〃(尸)]=V7?(r)(2.53)

ds----------ds

這是矢量形式的射線微分方程，其中，〃是一條光

線上某代表點的矢量位置，S是該點在光線上從某固定

點量起的長度，上式右邊為折射率梯度。利用該方程,

原則上就可以對各種折射率分布情況下光線的傳輸特

性進行描述。但實際上在折射率分布復雜的情況下解

該矢量微分方程并不容易，一般不直接使用該方程，

第2章光纖傳輸基本理論

而是靈活使用由該方程在一些具體條件下得到的

更簡單的方程，如折射、反射定律等。下面我們利用

射線光學理論分析最常見的階躍光纖和梯度光纖的傳

輸特性。

第2章光纖傳輸基本理論

2.2.1階躍光纖的傳輸特性

階躍折射率分布的多模光纖是結構最簡單的多模

光纖，它的纖芯和包層的折射率分布都是均勻的，分

別為〃1和〃2,且〃1>〃2。通過這種光纖的光線有兩種：

子午光線和斜射光線，如圖2.7所示。所謂子午光線是

那些在光纖內的兩次全反射中通過光纖軸線的光線，

而斜射光線就是一些與光纖中心軸既不平行，也不相

交的光線。這兩種光線在光纖傳輸過程中具有不同的

性質。

第2章光纖傳輸基本理論

圖2.7子午光線和斜射光線

（。）子午光線及其入射條件；（b）斜射光線的概念

第2章光纖傳輸基本理論

1.階躍光纖中子午光線的傳輸特性

在光纖中，通過光纖中心軸的任何平面都稱為子

午面，而位于子午面內的光線就是子午光線。子午面

有無限多個，它在光纖端面上的投影即為光纖端面上

的直徑。根據光的反射定律，如果光纖是一個均勻的

直圓柱體，子午線將始終位于一個子午面內，且在光

纖入端的入射角等于光纖出端的出射角。所以，對子

午光線的研究可在子午平面內進行。如圖2.7(a)所示，

假定在某子午面內，光線以入射角。入射到光纖端面中

心再射入到光纖中，

第2章光纖傳輸基本理論

在光纖內，此光線與軸線的夾角為的。由式(2.53)可以

導出，在兩均勻介質的分界面處有

nQsin0-nxsinaQ(2.54)

上式為描述光在兩介質截面上折射行為的斯涅爾定

律，其中〃0為空氣中的折射率，其值一般取1。如果要

該光線能夠在光纖中傳播而不折射出去，則必須滿足在

纖芯、包層界面上產生全反射的條件，即

sina-cos*>—―(2.55)

第2章光纖傳輸基本理論

將上式代入式(2.54)就得到入射子午光線傳播的條件

sin8<J.2_J(2.56)

Y12

在上式中，當等號成立時對應的入射角稱為最大

入射角，以如“X表示。也就是說只有在光纖端面入射角

先配這的光線才能在光纖中傳播。對光纖而言，這個可

能的最大的入射角叫做光纖的接受角，它僅與為、敢有

關。習慣上，我們將接受角的正弦值定義為光纖的數

值孔徑，用N.A表示

N./=sin=業:-"I。/(2.57)

第2章光纖傳輸基本理論

式中,A為芯一包間相對折射率差，表示為

22

2〃]〃]

由于以小于光纖接受角進入光纖中的子午光線都

可以在光纖中傳輸，而這些光線所走的路徑不同，這

些光線之間將出現色散，這就是我們在上節中提到的

模間色散。下面我們計算軌跡不同的光線到達光纖輸

出端產生的傳輸時間差及相應的色散。

第2章光纖傳輸基本理論

在圖2.7(a)中，。=0時的入射光線傳播時間最短,

而傳播時間最長的光線對應于配.

6max=arcsin-%(2.59)

通常用沿光纖單位長度傳播時間內所產生的信號

時延展寬A工來度量模間色散。用7和弓”分別表示。為0

和am兩條光線沿光纖單位長度傳播的時間，則時延

展寬為

1%

/7=-X一%=%(---------1)=%(—T)…/

cos。八n、

0max2

(2.60)

第2章光纖傳輸基本理論

顯然，時延展寬與A成正比。對多模光纖而言，A

一般為1%左右。設纖芯折射率為“1=1.5,則

T0=n1/c=5/Lis/km,當A=l%時，可算得△尸50〃s/碗，對應

的傳輸帶寬僅為2QMHz/km。

第2章光纖傳輸基本理論

2.階躍光纖中斜射光線的傳輸特性

入射到光纖端面的光束除了子午光線外，還有很

多斜射光線。斜射光線就是一些與光纖中心軸既不平

行，也不相交的光線。它們和光軸是異面直線，所以

對于斜射光線的討論必須在三維空間中以矢量方法進

行。由于斜射光線與光纖中心軸不在一個平面，斜射

光線在光纖內進行一次全反射，平面的方位就要改變

一次。其光路軌跡是空間的螺旋折線，其端面上的投

影如圖2.7所示。它可以是左旋折線，也可以是右旋折

線，并且這些螺旋折線和光軸是等距離的。

第2章光纖傳輸基本理論

在圖2.8中，方向矢量為跖女。汁MJ+No左的光線入射

到光纖端面的位置尸oUXol+yo/上（八j、左為單位矢量）。

設須為表示第掰次反射點的徑向矢量，而必為緊接第加

次反射前的光線方向矢量，根據反射前后光線共面的條

件有：

1)%x—0(2.61)

再由入射角等于反射角的條件有

(2.62)

"o，〃

o9A/

0'J.

0，。n）

/，JV

纖中

的斜射光線

第2章光纖傳輸基本理論

此外，在纖芯、包層交界面發生全反射的條件為

(2.63)

為了研究在光纖入射端什么樣的斜射光線可以在光

纖中傳播，我們將跖和尸。代入式（2.63）得

(2.64)

第2章光纖傳輸基本理論

稍作變化，上式可寫成

1

(「I”

22

nIZ+M-|^^^|I^N,A(2.65)

“0°7^>rr1

lLv°°Jj

這就是說，滿足上式的入射端的入射光線，都可以

成為斜射光線在光纖中傳輸。如果入射光線在Xo=〃，

先=0處入射，則

nxL^N.A(2.66)

第2章光纖傳輸基本理論

222梯度光纖的傳輸特性

由式（2.60）可知，階躍光纖模間色散很大，脈沖

展寬嚴重，傳輸帶寬很窄，限制了通信容量。為了盡

量減小模間色散，人們研制了梯度折射率分布的光纖。

所謂梯度折射率分布光纖是指光纖纖芯中折射率分布

是隨一變化的光纖。下面我們分析梯度折射率光纖的傳

輸特性。

第2章光纖傳輸基本理論

1.梯度折射率光纖中的光線

與階躍折射率分布光纖一樣，梯度光纖中的光線

也分子午光線和斜射光線兩種。由于梯度光纖中纖芯

折射率分布是隨一變化的，光纖中子午光線不是直線傳

播，而是曲線傳播。如圖2.9(a)所示。光線的彎曲是遵

循折射定律的。為了說明問題，我們將沿徑向〃方向連

續變化的折射率分為不連續變化的若干層表示，如圖

2.9(b)所示。假定一射線以入射角。射向光纖端面的K點,

進入纖芯后，它先是從光密介質向光疏介質傳播。

第2章光纖傳輸基本理論

(a)(b)

圖2.9

第2章光纖傳輸基本理論

這時，每經過一個界面，它將折離法線，其軸向

角將逐漸減小，在某一半徑尸％處，射線與光軸平行。

在此以后，光線將由光疏介質向光密介質傳播，每經

過一個界面，它將折向法線，其軸向角逐漸增大。這

樣就形成了周期變化的子午線軌跡。顯然，折射率分

布不同的光纖，有不同的射線軌跡。同一光纖中，以

不同角度入射的光線的軌跡也將不同。

第2章光纖傳輸基本理論

斜射光線是不經過光纖軸心的空間曲線，射線軌

跡同樣按照折射定律發生彎曲，形狀比較復雜。圖2.10

中示出了不同光線在光纖端面上的投影。顯然，斜射

光線被限制在兩個圓柱面之間，這兩個圓柱面被稱為

焦散面。若兩個焦散面重合，就得到螺旋線，它在端

面上的投影為一個圓。斜射線情況很復雜，既不容易

激勵，也不容易傳播（衰減大），實際上傳播的光線

都是子午光線。下面的討論僅限于子午光線。

第2章光纖傳輸基本理論

(a)

圖2.10梯度光纖中的光線在端面上的投影

(a)子午光線；(b)斜射光線

第2章光纖傳輸基本理論

2.子午光線的軌跡方程

對非均勻折射率介質中光線軌跡的分析一般要利

用式(2.53)給出的射線方程。但是，采用該方程所做的

分析在數學上非常復雜。為了容易理解，在本問題中

我們直接應用折射定律給出一種簡潔的分析。

第2章光纖傳輸基本理論

圖2.H梯度光纖中子午光射線軌跡剖析

第2章光纖傳輸基本理論

圖2.11給出了梯度光纖中的一個子午面。纖芯折

射率分布〃（力隨半徑〃的增加而減小。子午光線的軌跡

由〃&）決定。由于射線是彎曲的，它的軸向角2隨坐標

而變化。在尸0處，射線離光纖軸的距離是勺，軸向角

為80,光纖在該點的折射率是“0，勺、幾0、%表示射

線的起始狀態。根據折射定律，該射線滿足下列條件

H(r)cos0z=nocos0zO(2.67)

第2章光纖傳輸基本理論

上式表明，射線上任一點軸向角的余弦與該點

的折射率的乘積等于一個常數〃ocos2o。令No=cos6zo,

則

〃&)COS2=〃OM)(2.68)

若在圖2.11中射線的軌跡上任取一單元長度ds,則

ds=7dz2+dr2(2.69)

dzdz

cos8=—

s/22(270)

ds7dz+dr

第2章光纖傳輸基本理論

代入式(2.68)得

n(r)dz

「——…。(2.71)

7dz+dr

經整理得

n卅

dzdr

-1222(2.72)

業⑺-〃0No

第2章光纖傳輸基本理論

這就是代表射線變化規律的微分方程。當光纖的

折射率分布及初始條件〃°、乂給定時，對該方程積分

就可求得射線的軌跡

〃o八N0八7

z.......二ar(2.73)

ro2/、22

(vr)7—noNo

第2章光纖傳輸基本理論

3.光纖的最佳折射率分布一自聚焦光纖

研制梯度折射率光纖的目的是降低多模光纖的模

間色散，那么，折射率分布〃任）為怎樣的函數時，才能

使多模光纖的模間色散最小呢？當然，最好的分布應該

使各射線在Z方向的傳播速度一樣，從而實現自聚焦。

只要所有的子午光線都具有相同的空間周期長度，就

說明這些子午光線能夠自聚焦。人們已經證明，雙曲

正割型折射率分布能夠實現自聚焦，即

〃（0）

〃（尸）=H（O）sec%//二---------------------（2.74）

cosAr

第2章光纖傳輸基本理論

式中，A是常數；〃(0)是纖芯中心處折射率。將〃⑺

代入式(2.73)就可求出子午光線的軌跡方程為

nNncosA

—arcsin

n(0)

QsAr

(2.75)

從上式可得

nNnsinAr

sinZ(Z-C)(2.76)

第2章光纖傳輸基本理論

由此可知，射線的軌跡是Z的周期函數。設射線的

空間周期長度為3則從上式可得

271

L=——(2.77)

A

由于A是表示光纖分布的參數，與初始條件無關，

因此￡也與初始條件無關。這說明當折射率分布為雙曲

正割型分布時，不同初始條件入射的子午光線有相同

的軸向速度，能得到自聚焦。

第2章光纖傳輸基本理論

4.拋物線分布光纖的傳輸特性

由于理想的雙曲正割分布是難以實現的，人們設

想用平方律分布去近似它。當把雙曲正割函數展開時,

發