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文檔簡介

教學大綱高等數學?一、課程基本信息1.課程名稱:高等數學2.課程代碼:[具體代碼]3.課程類型:公共基礎課4.授課對象:[專業及年級]5.學分/學時:[X]學分,[X]學時(其中理論課[X]學時,實驗課[X]學時)6.課程目標:本課程旨在使學生系統地獲得微積分、空間解析幾何與向量代數、級數等方面的基本概念、基本理論和基本運算技能,培養學生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運算能力和綜合運用所學知識分析問題與解決問題的能力,為后續專業課程的學習以及進一步深造奠定堅實的數學基礎。二、課程內容與要求(一)函數、極限與連續1.函數內容:函數的概念、函數的表示法、函數的有界性、單調性、奇偶性和周期性;反函數、復合函數、分段函數和隱函數;基本初等函數的性質及其圖形;初等函數。要求:理解函數的概念,掌握函數的表示法,會建立簡單應用問題中的函數關系;了解函數的有界性、單調性、奇偶性和周期性;理解復合函數及分段函數的概念,了解反函數及隱函數的概念;掌握基本初等函數的性質及其圖形,理解初等函數的概念;會求函數的定義域、值域。2.極限內容:數列極限與函數極限的定義及其性質;函數的左極限與右極限;無窮小量和無窮大量的概念及其關系,無窮小量的性質及無窮小量的比較;極限的四則運算法則;復合函數的極限運算法則;兩個重要極限:$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$,$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$。要求:理解極限的概念,理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關系;掌握極限的性質及四則運算法則;掌握極限存在的兩個重要準則,并會利用它們求極限;掌握利用兩個重要極限求極限的方法;理解無窮小量、無窮大量的概念,掌握無窮小量的比較方法,會用等價無窮小量求極限。3.連續內容:函數連續性的概念;函數間斷點的類型;連續函數的運算與初等函數的連續性;閉區間上連續函數的性質(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理)。要求:理解函數連續性的概念(含左連續與右連續),會判別函數間斷點的類型;掌握連續函數的性質和初等函數的連續性,了解閉區間上連續函數的性質(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理),并會應用這些性質。(二)導數與微分1.導數概念內容:導數的定義;導數的幾何意義和物理意義;函數的可導性與連續性之間的關系;平面曲線的切線和法線方程。要求:理解導數的概念及可導性與連續性之間的關系,了解導數的幾何意義與物理意義;會求平面曲線的切線方程和法線方程。2.導數的計算內容:基本初等函數的導數公式;導數的四則運算法則;復合函數的求導法則;反函數的求導法則;隱函數的求導方法;對數求導法;由參數方程所確定的函數的求導方法;高階導數的概念;高階導數的計算。要求:掌握基本初等函數的導數公式、導數的四則運算法則及復合函數的求導法則,會求反函數、隱函數和由參數方程所確定的函數的導數;會求分段函數的導數;掌握對數求導法;了解高階導數的概念,會求簡單函數的高階導數。3.微分內容:微分的定義;微分的幾何意義;函數可微的條件;微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性;微分在近似計算中的應用。要求:理解微分的概念,了解微分的幾何意義;掌握函數可微的條件,會求函數的微分;掌握微分的四則運算法則和一階微分形式的不變性,會求函數的近似值。(三)中值定理與導數的應用1.中值定理內容:羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。要求:理解并會用羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。2.洛必達法則內容:未定式極限的洛必達法則。要求:掌握用洛必達法則求未定式極限的方法。3.泰勒公式內容:帶有佩亞諾型余項的n階泰勒公式;帶有拉格朗日型余項的n階泰勒公式。要求:了解泰勒公式,會用泰勒公式進行近似計算。4.函數的單調性與曲線的凹凸性內容:函數單調性的判別法;函數極值的概念及判別法;函數的最大值和最小值及其應用;曲線凹凸性的概念和判別法;曲線的拐點及其求法。要求:掌握利用導數判別函數單調性的方法;理解函數極值的概念,掌握函數極值、最大值和最小值的求法及其應用;掌握曲線凹凸性和拐點的判別方法。5.函數圖形的描繪內容:函數圖形的描繪步驟。要求:會描繪簡單函數的圖形。(四)不定積分1.不定積分的概念與性質內容:原函數與不定積分的概念;不定積分的性質。要求:理解原函數與不定積分的概念,掌握不定積分的性質。2.換元積分法內容:第一類換元法(湊微分法);第二類換元法。要求:掌握不定積分的第一類換元法和第二類換元法。3.分部積分法內容:分部積分公式。要求:掌握不定積分的分部積分法。4.幾種特殊類型函數的積分內容:有理函數的積分;三角函數有理式的積分;簡單無理函數的積分。要求:會求有理函數、三角函數有理式和簡單無理函數的積分。(五)定積分1.定積分的概念與性質內容:定積分的定義;定積分的幾何意義;定積分的性質。要求:理解定積分的概念,了解定積分的幾何意義;掌握定積分的性質。2.微積分基本公式內容:變上限積分函數及其導數;牛頓萊布尼茨公式。要求:理解變上限積分函數,掌握牛頓萊布尼茨公式。3.定積分的換元法和分部積分法內容:定積分的換元法;定積分的分部積分法。要求:掌握定積分的換元法和分部積分法。4.反常積分內容:無窮限的反常積分;無界函數的反常積分。要求:了解反常積分的概念,會計算簡單的反常積分。(六)定積分的應用1.平面圖形的面積內容:直角坐標下平面圖形面積的計算;極坐標下平面圖形面積的計算。要求:掌握用定積分計算平面圖形面積的方法。2.旋轉體的體積內容:旋轉體體積的計算。要求:掌握用定積分計算旋轉體體積的方法。(七)空間解析幾何與向量代數1.向量及其線性運算內容:向量的概念;向量的線性運算;向量的坐標表示;向量的模、方向角與方向余弦。要求:理解向量的概念,掌握向量的線性運算及坐標表示;掌握向量的模、方向角與方向余弦的計算。2.數量積、向量積與混合積內容:向量的數量積;向量的向量積;向量的混合積。要求:理解向量的數量積、向量積和混合積的概念,掌握它們的運算性質和計算方法。3.平面與直線內容:平面方程(點法式、一般式、截距式);直線方程(點向式、參數式、一般式);平面與平面、直線與直線、平面與直線的位置關系。要求:掌握平面方程和直線方程的各種形式,會判定平面與平面、直線與直線、平面與直線的位置關系。4.空間曲面與曲線內容:曲面方程的概念;幾種常見的曲面(球面、柱面、旋轉曲面);空間曲線的參數方程和一般方程;空間曲線在坐標面上的投影。要求:了解曲面方程的概念,掌握幾種常見曲面的方程;了解空間曲線的參數方程和一般方程,會求空間曲線在坐標面上的投影。(八)多元函數微分法及其應用1.多元函數的基本概念內容:多元函數的概念;二元函數的定義域、極限、連續性。要求:理解多元函數的概念,了解二元函數的極限與連續性。2.偏導數內容:偏導數的定義;高階偏導數。要求:理解偏導數的概念,掌握偏導數的計算方法,了解高階偏導數。3.全微分內容:全微分的定義;全微分存在的必要條件和充分條件;全微分在近似計算中的應用。要求:理解全微分的概念,掌握全微分存在的條件,會求全微分,會用全微分進行近似計算。4.多元復合函數的求導法則內容:多元復合函數求導法則;全微分形式的不變性。要求:掌握多元復合函數求導法則,會求復合函數的偏導數。5.隱函數的求導公式內容:一個方程確定的隱函數的求導公式;方程組確定的隱函數的求導公式。要求:掌握隱函數求導公式,會求隱函數的偏導數。6.多元函數微分學的幾何應用內容:空間曲線的切線與法平面;曲面的切平面與法線。要求:會求空間曲線的切線與法平面方程,會求曲面的切平面與法線方程。7.方向導數與梯度內容:方向導數的概念;梯度的概念;方向導數與梯度的計算。要求:理解方向導數與梯度的概念,掌握它們的計算方法。8.多元函數的極值及其求法內容:多元函數極值的概念;多元函數極值存在的必要條件和充分條件;條件極值與拉格朗日乘數法。要求:理解多元函數極值的概念,掌握多元函數極值存在的條件,會求多元函數的極值;掌握條件極值的拉格朗日乘數法。(九)重積分1.二重積分的概念與性質內容:二重積分的定義;二重積分的幾何意義;二重積分的性質。要求:理解二重積分的概念,了解二重積分的幾何意義;掌握二重積分的性質。2.二重積分的計算法內容:直角坐標下二重積分的計算;極坐標下二重積分的計算。要求:掌握二重積分在直角坐標和極坐標下的計算方法。3.三重積分內容:三重積分的概念;直角坐標下三重積分的計算;柱面坐標和球面坐標下三重積分的計算。要求:了解三重積分的概念,掌握三重積分在直角坐標、柱面坐標和球面坐標下的計算方法。(十)曲線積分與曲面積分1.曲線積分內容:對弧長的曲線積分的概念與計算;對坐標的曲線積分的概念與計算;格林公式及其應用;平面上曲線積分與路徑無關的條件。要求:理解兩類曲線積分的概念,掌握它們的計算方法;掌握格林公式,會應用格林公式計算曲線積分;理解平面上曲線積分與路徑無關的條件,并會判斷曲線積分與路徑是否無關。2.曲面積分內容:對面積的曲面積分的概念與計算;對坐標的曲面積分的概念與計算;高斯公式及其應用;斯托克斯公式及其應用。要求:理解兩類曲面積分的概念,掌握它們的計算方法;掌握高斯公式和斯托克斯公式,會應用高斯公式和斯托克斯公式計算曲面積分。(十一)無窮級數1.常數項級數的概念和性質內容:常數項級數的定義;級數的收斂與發散;級數的基本性質;級數收斂的必要條件。要求:理解常數項級數收斂、發散以及收斂級數的和的概念;掌握級數的基本性質及收斂的必要條件。2.常數項級數的審斂法內容:正項級數的審斂法(比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法);交錯級數的審斂法(萊布尼茨判別法);絕對收斂與條件收斂。要求:掌握正項級數的審斂法,會用比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法判別正項級數的斂散性;掌握交錯級數的萊布尼茨判別法,會判別交錯級數的斂散性;理解絕對收斂與條件收斂的概念,會判別任意項級數的斂散性。3.冪級數內容:冪級數的概念;冪級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域;冪級數的運算性質;函數展開成冪級數。要求:理解冪級數的概念,掌握冪級數收斂半徑、收斂區間和收斂域的求法;掌握冪級數的運算性質;會將一些簡單函數展開成冪級數。4.傅里葉級數內容:三角函數系的正交性;函數展開成傅里葉級數;正弦級數和余弦級數。要求:了解三角函數系的正交性,會將定義在$[\pi,\pi]$上的函數展開成傅里葉級數,會將定義在$[0,\pi]$上的函數展開成正弦級數和余弦級數。三、課程實施1.教學方法本課程采用課堂講授、討論、練習相結合的教學方法。課堂講授注重知識的系統性和邏輯性,突出重點、難點;討論環節鼓勵學生積極參與,培養學生的思維能力和表達能力;通過適量的練習及時鞏固所學知識,提高學生的運算能力和解題能力。同時,充分運用多媒體教學手段,增強教學的直觀性和趣味性。2.教學資源教材:選用[教材名稱]作為主教材,同時推薦相關的參考書籍和在線學習資源,供學生拓展學習。網絡資源:利用在線課程平臺,提供課程視頻、課件、作業、測試等教學資源,方便學生自主學習和復習。實驗教學:安排一定的實驗課,通過數學軟件(如Mathematica、Matlab等)輔助教學,讓學生直觀地感受數學知識的應用,提高學生運用數學軟件解決實際問題的能力。3.教學進度安排第一學期第16周:函數、極限與連續第712周:導數與微分第1318周:中值定理與導數的應用、不定積分第二學期第16周:定積分第712周:定積分的應用、空間解析幾何與向量代數第1318周:多元函數微分法及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數四、課

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