教學(xué)大綱高等數(shù)學(xué)?一、課程基本信息1.課程名稱(chēng)：高等數(shù)學(xué)2.課程代碼：[具體代碼]3.課程類(lèi)型：公共基礎(chǔ)課4.授課對(duì)象：[專(zhuān)業(yè)及年級(jí)]5.學(xué)分/學(xué)時(shí)：[X]學(xué)分，[X]學(xué)時(shí)（其中理論課[X]學(xué)時(shí)，實(shí)驗(yàn)課[X]學(xué)時(shí)）6.課程目標(biāo)：本課程旨在使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、級(jí)數(shù)等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及進(jìn)一步深造奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、課程內(nèi)容與要求（一）函數(shù)、極限與連續(xù)1.函數(shù)內(nèi)容：函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性；反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù)；基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形；初等函數(shù)。要求：理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示法，會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系；了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性；理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念；掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形，理解初等函數(shù)的概念；會(huì)求函數(shù)的定義域、值域。2.極限內(nèi)容：數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì)；函數(shù)的左極限與右極限；無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系，無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較；極限的四則運(yùn)算法則；復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則；兩個(gè)重要極限：$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$。要求：理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則；掌握極限存在的兩個(gè)重要準(zhǔn)則，并會(huì)利用它們求極限；掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法；理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的比較方法，會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限。3.連續(xù)內(nèi)容：函數(shù)連續(xù)性的概念；函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型；連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理）。要求：理解函數(shù)連續(xù)性的概念（含左連續(xù)與右連續(xù)），會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型；掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理），并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。（二）導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)概念內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的定義；導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義；函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系；平面曲線的切線和法線方程。要求：理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系，了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義；會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程。2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算內(nèi)容：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則；復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；反函數(shù)的求導(dǎo)法則；隱函數(shù)的求導(dǎo)方法；對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法；高階導(dǎo)數(shù)的概念；高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。要求：掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)法；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。3.微分內(nèi)容：微分的定義；微分的幾何意義；函數(shù)可微的條件；微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性；微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。要求：理解微分的概念，了解微分的幾何意義；掌握函數(shù)可微的條件，會(huì)求函數(shù)的微分；掌握微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性，會(huì)求函數(shù)的近似值。（三）中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.中值定理內(nèi)容：羅爾（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。要求：理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。2.洛必達(dá)法則內(nèi)容：未定式極限的洛必達(dá)法則。要求：掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。3.泰勒公式內(nèi)容：帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式；帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式。要求：了解泰勒公式，會(huì)用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算。4.函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)性的判別法；函數(shù)極值的概念及判別法；函數(shù)的最大值和最小值及其應(yīng)用；曲線凹凸性的概念和判別法；曲線的拐點(diǎn)及其求法。要求：掌握利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法；理解函數(shù)極值的概念，掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用；掌握曲線凹凸性和拐點(diǎn)的判別方法。5.函數(shù)圖形的描繪內(nèi)容：函數(shù)圖形的描繪步驟。要求：會(huì)描繪簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。（四）不定積分1.不定積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容：原函數(shù)與不定積分的概念；不定積分的性質(zhì)。要求：理解原函數(shù)與不定積分的概念，掌握不定積分的性質(zhì)。2.換元積分法內(nèi)容：第一類(lèi)換元法（湊微分法）；第二類(lèi)換元法。要求：掌握不定積分的第一類(lèi)換元法和第二類(lèi)換元法。3.分部積分法內(nèi)容：分部積分公式。要求：掌握不定積分的分部積分法。4.幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分內(nèi)容：有理函數(shù)的積分；三角函數(shù)有理式的積分；簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。要求：會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。（五）定積分1.定積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容：定積分的定義；定積分的幾何意義；定積分的性質(zhì)。要求：理解定積分的概念，了解定積分的幾何意義；掌握定積分的性質(zhì)。2.微積分基本公式內(nèi)容：變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)；牛頓萊布尼茨公式。要求：理解變上限積分函數(shù)，掌握牛頓萊布尼茨公式。3.定積分的換元法和分部積分法內(nèi)容：定積分的換元法；定積分的分部積分法。要求：掌握定積分的換元法和分部積分法。4.反常積分內(nèi)容：無(wú)窮限的反常積分；無(wú)界函數(shù)的反常積分。要求：了解反常積分的概念，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的反常積分。（六）定積分的應(yīng)用1.平面圖形的面積內(nèi)容：直角坐標(biāo)下平面圖形面積的計(jì)算；極坐標(biāo)下平面圖形面積的計(jì)算。要求：掌握用定積分計(jì)算平面圖形面積的方法。2.旋轉(zhuǎn)體的體積內(nèi)容：旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算。要求：掌握用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的方法。（七）空間解析幾何與向量代數(shù)1.向量及其線性運(yùn)算內(nèi)容：向量的概念；向量的線性運(yùn)算；向量的坐標(biāo)表示；向量的模、方向角與方向余弦。要求：理解向量的概念，掌握向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示；掌握向量的模、方向角與方向余弦的計(jì)算。2.數(shù)量積、向量積與混合積內(nèi)容：向量的數(shù)量積；向量的向量積；向量的混合積。要求：理解向量的數(shù)量積、向量積和混合積的概念，掌握它們的運(yùn)算性質(zhì)和計(jì)算方法。3.平面與直線內(nèi)容：平面方程（點(diǎn)法式、一般式、截距式）；直線方程（點(diǎn)向式、參數(shù)式、一般式）；平面與平面、直線與直線、平面與直線的位置關(guān)系。要求：掌握平面方程和直線方程的各種形式，會(huì)判定平面與平面、直線與直線、平面與直線的位置關(guān)系。4.空間曲面與曲線內(nèi)容：曲面方程的概念；幾種常見(jiàn)的曲面（球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面）；空間曲線的參數(shù)方程和一般方程；空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。要求：了解曲面方程的概念，掌握幾種常見(jiàn)曲面的方程；了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程，會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。（八）多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1.多元函數(shù)的基本概念內(nèi)容：多元函數(shù)的概念；二元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)性。要求：理解多元函數(shù)的概念，了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性。2.偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)容：偏導(dǎo)數(shù)的定義；高階偏導(dǎo)數(shù)。要求：理解偏導(dǎo)數(shù)的概念，掌握偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，了解高階偏導(dǎo)數(shù)。3.全微分內(nèi)容：全微分的定義；全微分存在的必要條件和充分條件；全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。要求：理解全微分的概念，掌握全微分存在的條件，會(huì)求全微分，會(huì)用全微分進(jìn)行近似計(jì)算。4.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則內(nèi)容：多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則；全微分形式的不變性。要求：掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。5.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式內(nèi)容：一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式；方程組確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。要求：掌握隱函數(shù)求導(dǎo)公式，會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。6.多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用內(nèi)容：空間曲線的切線與法平面；曲面的切平面與法線。要求：會(huì)求空間曲線的切線與法平面方程，會(huì)求曲面的切平面與法線方程。7.方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容：方向?qū)?shù)的概念；梯度的概念；方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算。要求：理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，掌握它們的計(jì)算方法。8.多元函數(shù)的極值及其求法內(nèi)容：多元函數(shù)極值的概念；多元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件；條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。要求：理解多元函數(shù)極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的條件，會(huì)求多元函數(shù)的極值；掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。（九）重積分1.二重積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容：二重積分的定義；二重積分的幾何意義；二重積分的性質(zhì)。要求：理解二重積分的概念，了解二重積分的幾何意義；掌握二重積分的性質(zhì)。2.二重積分的計(jì)算法內(nèi)容：直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算；極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算。要求：掌握二重積分在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的計(jì)算方法。3.三重積分內(nèi)容：三重積分的概念；直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算；柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算。要求：了解三重積分的概念，掌握三重積分在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的計(jì)算方法。（十）曲線積分與曲面積分1.曲線積分內(nèi)容：對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與計(jì)算；對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與計(jì)算；格林公式及其應(yīng)用；平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。要求：理解兩類(lèi)曲線積分的概念，掌握它們的計(jì)算方法；掌握格林公式，會(huì)應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分；理解平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，并會(huì)判斷曲線積分與路徑是否無(wú)關(guān)。2.曲面積分內(nèi)容：對(duì)面積的曲面積分的概念與計(jì)算；對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與計(jì)算；高斯公式及其應(yīng)用；斯托克斯公式及其應(yīng)用。要求：理解兩類(lèi)曲面積分的概念，掌握它們的計(jì)算方法；掌握高斯公式和斯托克斯公式，會(huì)應(yīng)用高斯公式和斯托克斯公式計(jì)算曲面積分。（十一）無(wú)窮級(jí)數(shù)1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)內(nèi)容：常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義；級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散；級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)；級(jí)數(shù)收斂的必要條件。要求：理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念；掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法內(nèi)容：正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法（比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法）；交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法（萊布尼茨判別法）；絕對(duì)收斂與條件收斂。要求：掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法，會(huì)用比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性；掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法，會(huì)判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性；理解絕對(duì)收斂與條件收斂的概念，會(huì)判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。3.冪級(jí)數(shù)內(nèi)容：冪級(jí)數(shù)的概念；冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域；冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。要求：理解冪級(jí)數(shù)的概念，掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的求法；掌握冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；會(huì)將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。4.傅里葉級(jí)數(shù)內(nèi)容：三角函數(shù)系的正交性；函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)；正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。要求：了解三角函數(shù)系的正交性，會(huì)將定義在$[\pi,\pi]$上的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)，會(huì)將定義在$[0,\pi]$上的函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。三、課程實(shí)施1.教學(xué)方法本課程采用課堂講授、討論、練習(xí)相結(jié)合的教學(xué)方法。課堂講授注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性，突出重點(diǎn)、難點(diǎn)；討論環(huán)節(jié)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和表達(dá)能力；通過(guò)適量的練習(xí)及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和解題能力。同時(shí)，充分運(yùn)用多媒體教學(xué)手段，增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和趣味性。2.教學(xué)資源教材：選用[教材名稱(chēng)]作為主教材，同時(shí)推薦相關(guān)的參考書(shū)籍和在線學(xué)習(xí)資源，供學(xué)生拓展學(xué)習(xí)。網(wǎng)絡(luò)資源：利用在線課程平臺(tái)，提供課程視頻、課件、作業(yè)、測(cè)試等教學(xué)資源，方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。實(shí)驗(yàn)教學(xué)：安排一定的實(shí)驗(yàn)課，通過(guò)數(shù)學(xué)軟件（如Mathematica、Matlab等）輔助教學(xué)，讓學(xué)生直觀地感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3.教學(xué)進(jìn)度安排第一學(xué)期第16周：函數(shù)、極限與連續(xù)第712周：導(dǎo)數(shù)與微分第1318周：中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分第二學(xué)期第16周：定積分第712周：定積分的應(yīng)用、空間解析幾何與向量代數(shù)第1318周：多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)四、課