教學(xué)大綱高等數(shù)學(xué)_第1頁(yè)
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教學(xué)大綱高等數(shù)學(xué)?一、課程基本信息1.課程名稱(chēng):高等數(shù)學(xué)2.課程代碼:[具體代碼]3.課程類(lèi)型:公共基礎(chǔ)課4.授課對(duì)象:[專(zhuān)業(yè)及年級(jí)]5.學(xué)分/學(xué)時(shí):[X]學(xué)分,[X]學(xué)時(shí)(其中理論課[X]學(xué)時(shí),實(shí)驗(yàn)課[X]學(xué)時(shí))6.課程目標(biāo):本課程旨在使學(xué)生系統(tǒng)地獲得微積分、空間解析幾何與向量代數(shù)、級(jí)數(shù)等方面的基本概念、基本理論和基本運(yùn)算技能,培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力、運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力,為后續(xù)專(zhuān)業(yè)課程的學(xué)習(xí)以及進(jìn)一步深造奠定堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。二、課程內(nèi)容與要求(一)函數(shù)、極限與連續(xù)1.函數(shù)內(nèi)容:函數(shù)的概念、函數(shù)的表示法、函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性;反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)和隱函數(shù);基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形;初等函數(shù)。要求:理解函數(shù)的概念,掌握函數(shù)的表示法,會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系;了解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、奇偶性和周期性;理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念,了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念;掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形,理解初等函數(shù)的概念;會(huì)求函數(shù)的定義域、值域。2.極限內(nèi)容:數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義及其性質(zhì);函數(shù)的左極限與右極限;無(wú)窮小量和無(wú)窮大量的概念及其關(guān)系,無(wú)窮小量的性質(zhì)及無(wú)窮小量的比較;極限的四則運(yùn)算法則;復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則;兩個(gè)重要極限:$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$,$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$。要求:理解極限的概念,理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左、右極限之間的關(guān)系;掌握極限的性質(zhì)及四則運(yùn)算法則;掌握極限存在的兩個(gè)重要準(zhǔn)則,并會(huì)利用它們求極限;掌握利用兩個(gè)重要極限求極限的方法;理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念,掌握無(wú)窮小量的比較方法,會(huì)用等價(jià)無(wú)窮小量求極限。3.連續(xù)內(nèi)容:函數(shù)連續(xù)性的概念;函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型;連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性;閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理)。要求:理解函數(shù)連續(xù)性的概念(含左連續(xù)與右連續(xù)),會(huì)判別函數(shù)間斷點(diǎn)的類(lèi)型;掌握連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等函數(shù)的連續(xù)性,了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)(有界性定理、最大值和最小值定理、介值定理),并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)。(二)導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)概念內(nèi)容:導(dǎo)數(shù)的定義;導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義;函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系;平面曲線的切線和法線方程。要求:理解導(dǎo)數(shù)的概念及可導(dǎo)性與連續(xù)性之間的關(guān)系,了解導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義;會(huì)求平面曲線的切線方程和法線方程。2.導(dǎo)數(shù)的計(jì)算內(nèi)容:基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式;導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則;復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則;反函數(shù)的求導(dǎo)法則;隱函數(shù)的求導(dǎo)方法;對(duì)數(shù)求導(dǎo)法;由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法;高階導(dǎo)數(shù)的概念;高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。要求:掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,會(huì)求反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù);會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù);掌握對(duì)數(shù)求導(dǎo)法;了解高階導(dǎo)數(shù)的概念,會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。3.微分內(nèi)容:微分的定義;微分的幾何意義;函數(shù)可微的條件;微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性;微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。要求:理解微分的概念,了解微分的幾何意義;掌握函數(shù)可微的條件,會(huì)求函數(shù)的微分;掌握微分的四則運(yùn)算法則和一階微分形式的不變性,會(huì)求函數(shù)的近似值。(三)中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.中值定理內(nèi)容:羅爾(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。要求:理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。2.洛必達(dá)法則內(nèi)容:未定式極限的洛必達(dá)法則。要求:掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。3.泰勒公式內(nèi)容:帶有佩亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒公式;帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒公式。要求:了解泰勒公式,會(huì)用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算。4.函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性內(nèi)容:函數(shù)單調(diào)性的判別法;函數(shù)極值的概念及判別法;函數(shù)的最大值和最小值及其應(yīng)用;曲線凹凸性的概念和判別法;曲線的拐點(diǎn)及其求法。要求:掌握利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法;理解函數(shù)極值的概念,掌握函數(shù)極值、最大值和最小值的求法及其應(yīng)用;掌握曲線凹凸性和拐點(diǎn)的判別方法。5.函數(shù)圖形的描繪內(nèi)容:函數(shù)圖形的描繪步驟。要求:會(huì)描繪簡(jiǎn)單函數(shù)的圖形。(四)不定積分1.不定積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容:原函數(shù)與不定積分的概念;不定積分的性質(zhì)。要求:理解原函數(shù)與不定積分的概念,掌握不定積分的性質(zhì)。2.換元積分法內(nèi)容:第一類(lèi)換元法(湊微分法);第二類(lèi)換元法。要求:掌握不定積分的第一類(lèi)換元法和第二類(lèi)換元法。3.分部積分法內(nèi)容:分部積分公式。要求:掌握不定積分的分部積分法。4.幾種特殊類(lèi)型函數(shù)的積分內(nèi)容:有理函數(shù)的積分;三角函數(shù)有理式的積分;簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。要求:會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。(五)定積分1.定積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容:定積分的定義;定積分的幾何意義;定積分的性質(zhì)。要求:理解定積分的概念,了解定積分的幾何意義;掌握定積分的性質(zhì)。2.微積分基本公式內(nèi)容:變上限積分函數(shù)及其導(dǎo)數(shù);牛頓萊布尼茨公式。要求:理解變上限積分函數(shù),掌握牛頓萊布尼茨公式。3.定積分的換元法和分部積分法內(nèi)容:定積分的換元法;定積分的分部積分法。要求:掌握定積分的換元法和分部積分法。4.反常積分內(nèi)容:無(wú)窮限的反常積分;無(wú)界函數(shù)的反常積分。要求:了解反常積分的概念,會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單的反常積分。(六)定積分的應(yīng)用1.平面圖形的面積內(nèi)容:直角坐標(biāo)下平面圖形面積的計(jì)算;極坐標(biāo)下平面圖形面積的計(jì)算。要求:掌握用定積分計(jì)算平面圖形面積的方法。2.旋轉(zhuǎn)體的體積內(nèi)容:旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算。要求:掌握用定積分計(jì)算旋轉(zhuǎn)體體積的方法。(七)空間解析幾何與向量代數(shù)1.向量及其線性運(yùn)算內(nèi)容:向量的概念;向量的線性運(yùn)算;向量的坐標(biāo)表示;向量的模、方向角與方向余弦。要求:理解向量的概念,掌握向量的線性運(yùn)算及坐標(biāo)表示;掌握向量的模、方向角與方向余弦的計(jì)算。2.數(shù)量積、向量積與混合積內(nèi)容:向量的數(shù)量積;向量的向量積;向量的混合積。要求:理解向量的數(shù)量積、向量積和混合積的概念,掌握它們的運(yùn)算性質(zhì)和計(jì)算方法。3.平面與直線內(nèi)容:平面方程(點(diǎn)法式、一般式、截距式);直線方程(點(diǎn)向式、參數(shù)式、一般式);平面與平面、直線與直線、平面與直線的位置關(guān)系。要求:掌握平面方程和直線方程的各種形式,會(huì)判定平面與平面、直線與直線、平面與直線的位置關(guān)系。4.空間曲面與曲線內(nèi)容:曲面方程的概念;幾種常見(jiàn)的曲面(球面、柱面、旋轉(zhuǎn)曲面);空間曲線的參數(shù)方程和一般方程;空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。要求:了解曲面方程的概念,掌握幾種常見(jiàn)曲面的方程;了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程,會(huì)求空間曲線在坐標(biāo)面上的投影。(八)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用1.多元函數(shù)的基本概念內(nèi)容:多元函數(shù)的概念;二元函數(shù)的定義域、極限、連續(xù)性。要求:理解多元函數(shù)的概念,了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性。2.偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)容:偏導(dǎo)數(shù)的定義;高階偏導(dǎo)數(shù)。要求:理解偏導(dǎo)數(shù)的概念,掌握偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法,了解高階偏導(dǎo)數(shù)。3.全微分內(nèi)容:全微分的定義;全微分存在的必要條件和充分條件;全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用。要求:理解全微分的概念,掌握全微分存在的條件,會(huì)求全微分,會(huì)用全微分進(jìn)行近似計(jì)算。4.多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則內(nèi)容:多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則;全微分形式的不變性。要求:掌握多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,會(huì)求復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。5.隱函數(shù)的求導(dǎo)公式內(nèi)容:一個(gè)方程確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式;方程組確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)公式。要求:掌握隱函數(shù)求導(dǎo)公式,會(huì)求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。6.多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用內(nèi)容:空間曲線的切線與法平面;曲面的切平面與法線。要求:會(huì)求空間曲線的切線與法平面方程,會(huì)求曲面的切平面與法線方程。7.方向?qū)?shù)與梯度內(nèi)容:方向?qū)?shù)的概念;梯度的概念;方向?qū)?shù)與梯度的計(jì)算。要求:理解方向?qū)?shù)與梯度的概念,掌握它們的計(jì)算方法。8.多元函數(shù)的極值及其求法內(nèi)容:多元函數(shù)極值的概念;多元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件;條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。要求:理解多元函數(shù)極值的概念,掌握多元函數(shù)極值存在的條件,會(huì)求多元函數(shù)的極值;掌握條件極值的拉格朗日乘數(shù)法。(九)重積分1.二重積分的概念與性質(zhì)內(nèi)容:二重積分的定義;二重積分的幾何意義;二重積分的性質(zhì)。要求:理解二重積分的概念,了解二重積分的幾何意義;掌握二重積分的性質(zhì)。2.二重積分的計(jì)算法內(nèi)容:直角坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算;極坐標(biāo)下二重積分的計(jì)算。要求:掌握二重積分在直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)下的計(jì)算方法。3.三重積分內(nèi)容:三重積分的概念;直角坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算;柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下三重積分的計(jì)算。要求:了解三重積分的概念,掌握三重積分在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)下的計(jì)算方法。(十)曲線積分與曲面積分1.曲線積分內(nèi)容:對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分的概念與計(jì)算;對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與計(jì)算;格林公式及其應(yīng)用;平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。要求:理解兩類(lèi)曲線積分的概念,掌握它們的計(jì)算方法;掌握格林公式,會(huì)應(yīng)用格林公式計(jì)算曲線積分;理解平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件,并會(huì)判斷曲線積分與路徑是否無(wú)關(guān)。2.曲面積分內(nèi)容:對(duì)面積的曲面積分的概念與計(jì)算;對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與計(jì)算;高斯公式及其應(yīng)用;斯托克斯公式及其應(yīng)用。要求:理解兩類(lèi)曲面積分的概念,掌握它們的計(jì)算方法;掌握高斯公式和斯托克斯公式,會(huì)應(yīng)用高斯公式和斯托克斯公式計(jì)算曲面積分。(十一)無(wú)窮級(jí)數(shù)1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)內(nèi)容:常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的定義;級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散;級(jí)數(shù)的基本性質(zhì);級(jí)數(shù)收斂的必要條件。要求:理解常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級(jí)數(shù)的和的概念;掌握級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。2.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法內(nèi)容:正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法(比較審斂法、比值審斂法、根值審斂法);交錯(cuò)級(jí)數(shù)的審斂法(萊布尼茨判別法);絕對(duì)收斂與條件收斂。要求:掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法,會(huì)用比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法判別正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性;掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法,會(huì)判別交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性;理解絕對(duì)收斂與條件收斂的概念,會(huì)判別任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性。3.冪級(jí)數(shù)內(nèi)容:冪級(jí)數(shù)的概念;冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域;冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。要求:理解冪級(jí)數(shù)的概念,掌握冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間和收斂域的求法;掌握冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì);會(huì)將一些簡(jiǎn)單函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。4.傅里葉級(jí)數(shù)內(nèi)容:三角函數(shù)系的正交性;函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù);正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。要求:了解三角函數(shù)系的正交性,會(huì)將定義在$[\pi,\pi]$上的函數(shù)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù),會(huì)將定義在$[0,\pi]$上的函數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)。三、課程實(shí)施1.教學(xué)方法本課程采用課堂講授、討論、練習(xí)相結(jié)合的教學(xué)方法。課堂講授注重知識(shí)的系統(tǒng)性和邏輯性,突出重點(diǎn)、難點(diǎn);討論環(huán)節(jié)鼓勵(lì)學(xué)生積極參與,培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和表達(dá)能力;通過(guò)適量的練習(xí)及時(shí)鞏固所學(xué)知識(shí),提高學(xué)生的運(yùn)算能力和解題能力。同時(shí),充分運(yùn)用多媒體教學(xué)手段,增強(qiáng)教學(xué)的直觀性和趣味性。2.教學(xué)資源教材:選用[教材名稱(chēng)]作為主教材,同時(shí)推薦相關(guān)的參考書(shū)籍和在線學(xué)習(xí)資源,供學(xué)生拓展學(xué)習(xí)。網(wǎng)絡(luò)資源:利用在線課程平臺(tái),提供課程視頻、課件、作業(yè)、測(cè)試等教學(xué)資源,方便學(xué)生自主學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)。實(shí)驗(yàn)教學(xué):安排一定的實(shí)驗(yàn)課,通過(guò)數(shù)學(xué)軟件(如Mathematica、Matlab等)輔助教學(xué),讓學(xué)生直觀地感受數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用,提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3.教學(xué)進(jìn)度安排第一學(xué)期第16周:函數(shù)、極限與連續(xù)第712周:導(dǎo)數(shù)與微分第1318周:中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不定積分第二學(xué)期第16周:定積分第712周:定積分的應(yīng)用、空間解析幾何與向量代數(shù)第1318周:多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用、重積分、曲線積分與曲面積分、無(wú)窮級(jí)數(shù)四、課

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