第四章指數函數與對數函數4.4.1

對數函數的概念從實際問題情境中，抽象出對數函數的概念，認識與指數函數間的關系；理解對數函數的概念，了解對數函數的實際意義．會求對數函數的定義域.結合對數函數的概念進一步體會研究具體函數的一般思路和方法，提升數學抽象、

直觀想象核心

素養.學習目標

一

二

三學習

目標1

x

在考古工作中，我們用指數函數的模型

y=(2)5730(x≥0)研究了成指數增長或衰減變化的規

律問題。對這樣的問題，我們引入了對數后，還可以從另外的角度，對其蘊含的規律

做進一步的研究。問題1已知死亡生物體內碳14含量y

，能否確定它的死亡時間x?答：已知死亡生物體內碳14含量y

，能確定它的死亡時間x，創設情境

提出問題在考古工作中，我們用指數函數的模型y

=()5

0

(x

≥0)研究了成指數增長或衰減變化的規律問題。對這樣的問題，我們引入了對數后，還可以從另外的角度，對其蘊含的規律做進一步的研究。問題1已知死亡生物體內碳14含量y

，能否確定它的死亡時間x?追問1

已測得碳14含量y為0.5

，則死亡時間x為多少?解析：當碳14含量y為0.5時，有

:x

=

5730

所以死亡時間x為573073x創設情境

提出問題創設情境

提出問題

1

x

律問題。對這樣的問題，我們引入了對數后，還可以從另外的角度，對其蘊含的規律做進一步的研究。問題1已知死亡生物體內碳14含量y

，能否確定它的死亡時間x?追問2

每一個碳14含量y∈(0,1]都能推出應的死亡時間x嗎？x是否唯一？答：每一個碳14含量

y∈(0,1]

都能推出應的死亡時間x

，x是唯一的.在考古工作中，我們用指數函數的模型y=(

)5730(x≥0)研究了成指數增長或衰減變化的規2在考古工作中，我們用指數函數的模型

研究了成指數增長或衰減變化的規

律問題.對這樣的問題，我們引入了對數后，還可以從另外的角度，對其蘊含的規律做進一步的研究.追問3死亡時間x是碳14含量y的函數嗎?如果是，請用函數的語言準確表達?根據對數與指數的相互關系,得出函數x

=log57

y,（0

<

y,≤1)如圖，過y軸正半軸上任意一點(0,y0)

(0<y0

≤1)作x軸的平行線，與函數y

=

(

)5

0

(x

≥

0)

的圖象有且只有一個交點(x0,y0)

.這說明，對于任意一個y∈(0

,

1]

，通過對應關系

x

=

log57y

(0

<

y

≤

1)在[0

，+∞)上都有唯一確定的數x和它對應，所以x也是y73xx

=

log5730

y

，(0<

y

≤

1)

刻畫了時間x21創設情境

提出問題隨碳14含量y的衰減而變化的規律.的函數.也就是說，函數y1y0O(x0，y0

)x2問題2以上我們從函數y

=

(

)5

0

(x

≥

0)

出發,利用對數與指數的相互關系,得出函數x=log57

y,y∈(0,1],對于測得的任何一個死亡生物體碳14含量數據，都可以由此函數推出其死亡年份.一般地，對于指數函數y

=ax

(a>0,且a≠1)

,根據指數與對數的運算關系得到的

x

=logay

是一個函數

嗎?為什么?答：x=

loga

y(a>

0,

且a≠1）是一個函數因為同樣地，根據指數與對數的關系，73xy=ax(a>0且a≠1)

y是x的函數即:

x

∈

R,在(0,+∞)都有唯一的y與之對應.x=logay(a>0且a≠1)

x是y的函數

y

∈(0,+∞),都有唯一的x∈

R與之對應y=loga

x(a>0且a≠1)——數學抽象，給出對數函數的概念對調

字母對數函數的概念

概念：函數y=

loga

x(a>

0,

且a≠1）叫做對數函數，其中自變量是x,定義域為（0,+∞).對數函數的結構特征注意：(1)形式：形如

y

=

log

a

x(2)系數：對數符號前面的系數為1；(3)底數：底數為大于0且不等于1的常數；(4)對數的真數僅有自變量x.例1求下列函數的定義域：(1)

y

=

log

3

x

2

;

(2)

y

=

log

a

(4

-

x

)(a

>

0

,

且a

≠

1)

.解：(1)

:

x

2

>

0:

定義域為

{x|x

≠

0}(2):

4

-

x

>0:x

<

4:定義域為{x|x<4}研究對數函數的定義域、對應關系例2假設某地初始物價為1，每年以5%的增長率遞增，經過t年后的物價為w(1)該地的物價經過幾年后會翻一番?(2)填寫下表，并根據表中的數據，說明該地物價的變化規律.解:(1)由題意可知

，

經過w年后物價t為w

=(1+5%)t,

即

w

=

1.05t

(t∈[0

，+∞))

.由指數與對數的關系

，

可得t=log1.05w

(w

∈[1

，+∞)).當

w=2時,t≈

14.所以

，

該地區的物價經過14年后會翻一番.(2)根據函數t=log1.05w

(w

∈[1

，

+∞))

，

利用計算工具

，

可以得下表：由表中的數據可以發現

，

該地區的物價隨時間的增長而增長,但大約每增加1所需

要的年數在逐漸縮小.物價w12345678910年數t0142328333740434547研究對數函數的定義域、對應關系1.求下列函數的定義域：(1)y

=

ln(1

-

x)

(3)y

=

log

7

(4)y

=

log

a

x

(a

>

0,

且a

≠

1)2.畫出下列函數的圖象：(1)

y

=

lg

1

0

x

,(

2

)

y

=

1

0

lg

3

.已知集合A

={1,

2

,

3,

4

,

.

.

.}

,

B

={2

,

4

,

6

,

8,

10

,

.

.

.}