第四章三角形重難點(diǎn)08幾何熱考題二三角形熱考模型（10種模型匯總+專題訓(xùn)練+10種方法解析）【題型匯總】題型01A字模型圖示結(jié)論∠1+∠2=180°+∠A1．（2021九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，△ABC中，∠A=65°，直線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，則∠BDE+∠CED=（

）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ADE+∠AED，根據(jù)平角的概念計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°-65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°-115°=245°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形內(nèi)角和等于180°是解題的關(guān)鍵．2．（2023·陜西西安·西安高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）將一把直尺與一塊直角三角板按如圖所示的方式放置，若∠1=125°，則∠2的度數(shù)為（

）A．35° B．40° C．45° D．55°【答案】A【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠3=∠1-∠4，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2=∠3．【詳解】解：如圖，由題意知∠4=90°，AB∥∵∠1=∠4+∠3，∠1=125°，∴∠3=∠1-∠4=125°-90°=35°，∵AB∥∴∠2=∠3=35°．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形外角的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；兩直線平行，同位角相等．3．（2020·四川廣安·中考真題）如圖，在五邊形ABCDE中，若去掉一個(gè)30°的角后得到一個(gè)六邊形BCDEMN，則∠l+∠2的度數(shù)為（）A．210° B．110° C．150° D．100°【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AMN＋∠ANM=150°，根據(jù)平角的定義可得∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵∠A=30°，∴∠AMN＋∠ANM=180°－∠A=150°∵∠1＋∠AMN=180°，∠2＋∠ANM=180°∴∠1＋∠2=180°＋180°－（∠AMN＋∠ANM）=210°故選A．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．4．（2023·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在“玩轉(zhuǎn)數(shù)學(xué)”活動(dòng)中，小林剪掉等邊三角形紙片的一角，如圖所示，發(fā)現(xiàn)得到的∠1與∠2的和總是一個(gè)定值．則∠1+∠2=度．【答案】240【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得∠A=60°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=∠A+∠AED，∠2=∠A+∠ADE，∴∠1+∠2=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∵∠AED+∠A+∠ADE=180°，∴∠1+∠2=∠A+180°=60°+180°=240°，故答案為：240．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的定義和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．5．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）如圖，在四邊形紙片中，∠D＝50°，若沿圖中虛線剪去∠D，則∠1＋

【答案】230【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)外角之間的關(guān)系可求解.【詳解】解：三角形的內(nèi)角和等于180°，∠D＝∴∠1=∠D+∠DFE，∠2=∠D+∠DEF.∵∠DEF+∠DFE+∠D=180°，∴∠1+∠2=∠DEF+∠DFE+∠D+∠D=180°+50°=230°.故答案為：230.題型028字模型8字模型8字模型-進(jìn)階（8字模型+角平分線）圖示AP平分∠BAD,CP平分∠BCD結(jié)論∠A+∠B=∠C+∠D,AD+BC＞AB+CD1.如圖，在由線段AB,CD,DF,BF,CA組成的平面圖形中，∠D=28°，則∠A+∠B+∠C+∠F的度數(shù)為（

）．A．262° B．152° C．208° D．236°【答案】C【分析】如圖標(biāo)記∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性質(zhì)得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互為鄰補(bǔ)角，即可得答案．【詳解】解：如下圖標(biāo)記∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F-28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義，熟練掌握并靈活運(yùn)用三角形的外角性質(zhì)與鄰補(bǔ)角的意義是解答此題的關(guān)鍵．2.．（2023臨汾市模擬預(yù)測(cè)）（1）已知：如圖（1）的圖形我們把它稱為“8字形”，試說(shuō)明：∠A+∠B=∠C+∠D．（2）如圖（2），AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，若（3）如圖（3），直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、（4）如圖（4），直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B、【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）26°；（3）∠P=90°+1（4）∠P=180°-【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°和對(duì)頂角的性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC（3）根據(jù)直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，得到∠PAB=∠PAD=12∠BAD，∠PCB=∠PCE=12∠PCD從而可以得到（4）連接PB，PD,求得∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°，∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°，再根據(jù)∠PCE+∠PCD=180°，∠PAB+∠PAF=【詳解】解：（1）如圖.

∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，∴∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD．∵∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D；（2）如圖.

∵AP，CP分別平分∠BAD，∠BCD，設(shè)∠BAP=∠PAD=x，∠BCP=∠PCD=y，則有x+∠ABC=y+∠Px+∠P=y+∠ADC，∴∠ABC-∠P=∠P-∠ADC，∴∠P=12（3）如圖.

∵直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠PAB=∠PAD=12∴2∠PAB+∠B=180°-2∠PCB+∠D，∴180°-2∵∠P+∠PAD=∠PCD+∠D∴∠P+∠PAD-∠BAD-∠B∴∠P-∠PAB-∠B=∠PCB,∴∠P-∠B=∠PAB+∠PCB∴180°-2∠P-∠B即∠P=90°+1（4）連接PB

∵直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，∴∠FAP=∠PAO，∠PCE=∠PCB，∵∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，∠PCB+∠PBC+∠BPC=180°∴∠APC+∠ABC+∠PCB+∠PAB=360°同理得到：∠APC+∠ADC+∠PCD+∠PAD=360°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCB+∠PAB+∠PCD+∠PAD=720°∴2∠APC+∠ABC+∠ADC+∠PCE+∠PAB+∠PCD+∠PAF=720°∵∠PCE+∠PCD=180°，∴2∠APC+∠ABC+∠ADC=360°，∴∠APC=180°-【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．3．（2020九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀材料：如圖1，AB、CD交于點(diǎn)O，我們把△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形．結(jié)論：若△AOD和△BOC是對(duì)頂三角形，則∠A+∠D＝∠B+∠C．結(jié)論應(yīng)用舉例：如圖2：求五角星的五個(gè)內(nèi)角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度數(shù)．解：連接CD，由對(duì)頂三角形的性質(zhì)得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五個(gè)內(nèi)角之和為180°．解決問(wèn)題：（1）如圖①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如圖②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝；（3）如圖③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如圖④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；請(qǐng)你從圖③或圖④中任選一個(gè)，寫(xiě)出你的計(jì)算過(guò)程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（3）連接BH、DE，由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，再根據(jù)五邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論；（4）連接ND、NE，由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，再由六邊形的內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：（1）連接CD，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°；（2）連接ED，由對(duì)頂角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°；（3）連接BH、DE，∵由對(duì)頂角三角形可知∠EBH＋∠BHD＝∠HDE＋∠BED，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝五邊形CDEFG的內(nèi)角和＋△ABH的內(nèi)角和＝540°＋180°＝720°；（4）連接ND、NE，∵由對(duì)頂角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH＋∠EHG，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠M＋∠N＝六邊形BCFGHM的內(nèi)角和＋△AND的內(nèi)角和＋△NDE的內(nèi)角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案為：360°；540°；720°；1080°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)題意作出輔助線，利用△AOD和△BOC叫做對(duì)頂三角形的性質(zhì)及多邊形的內(nèi)角和定理解答是解答此題的關(guān)鍵．4．（2024八年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）閱讀材料，回答下列問(wèn)題：【材料提出】“八字型”是數(shù)學(xué)幾何的常用模型，通常由一組對(duì)頂角所在的兩個(gè)三角形構(gòu)成．【探索研究】探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________；探索二：如圖2，若∠B=36°，∠D=14°，求∠P的度數(shù)為_(kāi)__________；探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長(zhǎng)線交CP于點(diǎn)P，則∠P、∠B、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________．【模型應(yīng)用】應(yīng)用一：如圖4，延長(zhǎng)BM、CN，交于點(diǎn)A，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N=β，α+β>180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，則∠A=___________（用含有α和β的代數(shù)式表示），∠P=___________．（用含有α和β的代數(shù)式表示）應(yīng)用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N=β，α+β<180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，∠P=___________．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展延伸】拓展一：如圖6，若設(shè)∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB，∠CDP=13∠CDB，試問(wèn)∠P與∠C、∠B之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)__________拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關(guān)系，直接寫(xiě)出結(jié)論___________．【答案】探索一：∠A+∠B=∠C+∠D，探索二：25°；探索三：∠P=∠B+∠D2；應(yīng)用一：α+β-180°，α+β-180°2【分析】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．探索一：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，結(jié)合對(duì)頂角的性質(zhì)可求解；探索二：根據(jù)角平分線的定義可得∠BAP=∠DAP，∠BCP=∠DCP，結(jié)合（1）的結(jié)論可得2∠P=∠B+∠D，再代入計(jì)算可求解；探索三：運(yùn)用探索一和探索二的結(jié)論即可求得答案；應(yīng)用一：如圖4，延長(zhǎng)BM，CN，交于點(diǎn)A，利用三角形內(nèi)角和定理可得∠A=α+β-180應(yīng)用二：如圖5，延長(zhǎng)MB、NC，交于點(diǎn)A，設(shè)T是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，R是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，利用應(yīng)用一的結(jié)論即可求得答案；拓展一：運(yùn)用探索一的結(jié)論可得：∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠B+∠CDB=∠C+∠CAB，再結(jié)合已知條件即可求得答案；拓展二：運(yùn)用探索一的結(jié)論及角平分線定義即可求得答案．【詳解】探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B=∠COD+∠C+∠D=180°，∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D，故答案為∠A+∠B=∠C+∠D；探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，∴∠1=∠2，∠3=∠4，由（1）可得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠2+∠P=∠4+∠D，∴∠B-∠P=∠P-∠D，即2∠P=∠B+∠D，∵∠B=36°，∠D=14°，∴∠P=25°，故答案為25°探索三：由①∠D+2∠1=∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3=2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3=∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B=2∠P+∠B．∴∠P=∠B+∠D故答案為：∠P=∠B+∠D應(yīng)用一：如圖4，由題意知延長(zhǎng)BM、CN，交于點(diǎn)A，∵∠M=α，∠N=β，α+β>180∴∠AMN=180°-α∴∠A=180∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC=12∠ABC∵∠PCD=∠P+∠PBC，∵∠P=∠RFPCD∠PCD-∠PBC=1故答案為：α+β-180°，應(yīng)用二：如圖5，延長(zhǎng)MB、NC，交于點(diǎn)，設(shè)T是CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，R是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∵∠M=α，∠N=β，α+β<180∴∠A=180∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由應(yīng)用一得：∠P=1故答案為：180°拓展一：如圖6，由探索一可得：∠P+∠PAB=∠B+∠PDB,∠P+∠CDP=∠C+∠CAP，∠B+∠CDB=∠C+∠CAB，∵∠C=x，∠B=y，∠CAP=13∠CAB∴∠CDB-∠CAB=∠C-∠B=x-y，∠PAB=23∠CAB∴∠P+23∠CAB=∠B+∵2∠P=∠C+∠B+1∴∠P=2x+y故答案為：∠P=2x+y拓展二：如圖7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補(bǔ)角∠BCE，∴∠PAD=12∠BAD由探索一得：①∠B+∠BAD=∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD=∠D+∠PCD，②×2得：③2∠P+∠BAD=2∠D+180③-①，得：2∠P-∠B=∠D+180∴2∠P-∠B-∠D=180故答案為：2∠P-∠B-∠D=180題型03飛鏢模型飛鏢模型飛鏢模型-進(jìn)階（飛鏢模型+角平分線）圖示BO平分∠ABC,OD平分∠ADC結(jié)論∠BCD=∠A+∠B+∠D,AB+AD＞BC+CD1．（2024內(nèi)江市模擬預(yù)測(cè)）如圖①，有結(jié)論：∠D=∠A+∠B+∠C，因?yàn)檫@個(gè)圖形像飛鏢，所以我們往往把這個(gè)模型稱為“飛鏢模型”，如圖②，在飛鏢模型中分別作∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)E1，易得∠E1=∠A+∠D2，如圖③，在飛鏢模型中作∠ABD靠AB的三等分線，作∠ACD靠AC的三等分線，兩條三等分線交于點(diǎn)∠E2，……，依次方法，在飛鏢模型中作∠ABD靠AB的n等分線，作∠ACD靠AC

【答案】n-1【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和問(wèn)題，圖形類規(guī)律探究，根據(jù)飛鏢模型的結(jié)論結(jié)合角平分線的定義，推導(dǎo)出相應(yīng)的規(guī)律，即可．【詳解】解：由題意，得：∠E∠D=∠BE∵∠D=∠A+∠ABD+∠ACD，∴∠ABD+∠ACD=∠D-∠A，∴∠D=∠BE∴∠BE同法可得：∠BE3C=?，∴∠BE故答案為：n-1∠A+∠D2．（20-21八年級(jí)上·安徽亳州·階段練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：∠ADC=∠DAB+∠DCB+∠ABC；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)D，若∠EDF=120°，求∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）240°【分析】（1）延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證∠ADC=∠DAE+∠AED，∠AED=∠DCB+∠ABC，運(yùn)用角的等量轉(zhuǎn)換即可證明．（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運(yùn)用第（1）題的方法可證∠A+∠B+∠C=∠BDC，∠E+∠G+∠F=∠EDF，∠BDC和∠EDF是對(duì)頂角，可推出∠A+∠B+∠C+∠G+∠E+∠F的度數(shù)等于2倍∠EDF的度數(shù)，計(jì)算得出答案．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，如圖：∵∠ADC是△ADE的外角，∴∠ADC=∠DAE+∠AED．∵∠AED是△CEB的外角，∴∠AED=∠DCB+∠ABC，∴∠ADC=∠DAE+∠DCB+∠ABC=∠DAB+∠DCB+∠ABC．（2）解：∵∠EDF和∠BDC是對(duì)頂角，∴∠BDC=∠EDF=120°．由（1）的結(jié)論可知∠BDC=∠A+∠B+∠C，∠EDF=∠E+∠G+∠F，∴∠A+∠B+∠C+∠E+∠G+∠F=∠DCB+∠EDF=240°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．（21-22八年級(jí)·全國(guó)·假期作業(yè)）利用“模型”解決幾何綜合問(wèn)題往往會(huì)取得事半功倍的效果．幾何模型：如圖（1），我們稱它為“A”型圖案，易證明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．運(yùn)用以上模型結(jié)論解決問(wèn)題：（1）如圖（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：圖中A1A3DA4是“A”型圖，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如圖（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度數(shù)．【答案】（1）180°；（2）180°【分析】（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把5個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案；（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)把7個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中可得答案．【詳解】解：（1）如圖（4），由三角形外角的性質(zhì)可得，∠1＝∠A1+∠A4，∵∠A2DA5＝∠1+∠A3，∴∠A2DA5＝∠A1+∠A4+∠A3，∵∠A2DA5+∠A2+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°，故答案為：180°；（2）如圖（5），由（1）得，∠1＝∠A1+∠A4+∠A5，∠2＝∠A2+∠A3+∠A6，∵∠1+∠2+∠A7＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的內(nèi)角和與三角形外角的性質(zhì)，能夠根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．4．（20-21七年級(jí)下·江蘇鎮(zhèn)江·期中）模型規(guī)律：如圖1，延長(zhǎng)CO交AB于點(diǎn)D，則∠BOC=∠1+∠B=∠A+∠C+∠B．因?yàn)榘妓倪呅蜛BOC形似箭頭，其四角具有“∠BOC=∠A+∠B+∠C”這個(gè)規(guī)律，所以我們把這個(gè)模型叫做“箭頭四角形”．模型應(yīng)用（1）直接應(yīng)用：①如圖2，∠A=60°,∠B=20°,∠C=30°，則∠BOC=__________°；②如圖3，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________°；（2）拓展應(yīng)用：①如圖4，∠ABO、∠ACO的2等分線（即角平分線）BO1、CO1交于點(diǎn)O1，已知∠BOC=120°，∠BAC=50°②如圖5，BO、CO分別為∠ABO、∠ACO的10等分線(i=1,2,3,…,8,9)．它們的交點(diǎn)從上到下依次為O1、O2、O3、…、O9．已知∠BOC=120°，∠BAC=50°，則③如圖6，∠ABO、∠BAC的角平分線BD、AD交于點(diǎn)D，已知∠BOC=120°,∠C=44°，則∠ADB=__________°；④如圖7，∠BAC、∠BOC的角平分線AD、OD交于點(diǎn)D，則∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B-∠C+2∠D=0【分析】（1）①根據(jù)題干中的等式直接計(jì)算即可；②同理可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE，代入計(jì)算即可；（2）①同理可得∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1，代入計(jì)算可得；②同理可得∠BO7C=∠BOC-17（∠BOC-∠A③利用∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-12（∠BOC-∠C④根據(jù)兩個(gè)凹四邊形ABOD和ABOC得到兩個(gè)等式，聯(lián)立可得結(jié)論．【詳解】解：（1）①∠BOC=∠A+∠B+∠C=60°+20°+30°=110°；②∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠BOC+∠DOE=2×130°=260°；（2）①∠BO1C=∠BOC-∠OBO1-∠OCO1=∠BOC-12（∠ABO+∠ACO=∠BOC-12（∠BOC-∠A=∠BOC-12（120°-50°=120°-35°=85°；②∠BO7C=∠BOC-310（∠BOC-∠A=120°-310（120°-50°=120°-21°=99°；③∠ADB=180°-（∠ABD+∠BAD）=180°-310（∠BOC-∠C=180°-12（120°-44°=142°；④∠BOD=12∠BOC=∠B+∠D+12∠∠BOC=∠B+∠C+∠BAC，聯(lián)立得：∠B-∠C+2∠D=0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義—箭頭四角形，利用了三角形外角的性質(zhì)，還考查了角平分線的定義，圖形類規(guī)律，解題的關(guān)鍵是理解箭頭四角形，并能熟練運(yùn)用其性質(zhì)．題型04老鷹抓小雞模型老鷹抓小雞模型圖示點(diǎn)O為∠A內(nèi)部的一點(diǎn)結(jié)論∠1+∠2=∠A+∠O解題方法：腋下兩角之和等于上下兩角之和.1．（2023·廣東珠海·模擬預(yù)測(cè)）如圖,將△ABC沿著DE翻折,使B點(diǎn)與B'點(diǎn)重合,若∠1+∠2=80°,則∠B的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE,再利用平角的定義可求出∠BED+∠BDE的度數(shù)，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和可求∠B的度數(shù).【詳解】由折疊的性質(zhì)可知∠BED=∠B'ED,∠BDE=∠B'DE∵∠1+∠BED+∠B'ED=180°,∠2+∠BDE+∠B'DE=180°∴∠BED+∠BDE=∴∠B=180°-(∠BED+∠BDE)=180°-140°=40°故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，掌握折疊的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.2．（2022上·湖北恩施·八年級(jí)期末）如圖，把△ABC沿EF對(duì)折，折疊后的圖形如圖所示，∠A=60°，∠1=96°，則∠2的度數(shù)為（

）A．30° B．24° C．25° D．26°【答案】B【分析】由三角形的內(nèi)角和，得∠AEF+∠AFE=120°，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得∠FEB+∠EFC=240°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠B'EF+∠C'FE=240°，即∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，所以，∠2=24°．【詳解】解：∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-∠A=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，由折疊的性質(zhì)可得：∠B'EF+∠C'FE=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠AEF+∠2+∠AFE=240°，∵∠1=96°，∴96°+120°+∠2=240°，即∠2=240°-120°-96°=24°．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理、鄰補(bǔ)角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，熟悉掌握三角形的內(nèi)角和為180°，互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角之和為180°以及折疊的性質(zhì)是本題的解題關(guān)鍵．3．（2023杭州市模擬）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A’，若∠B=60°，∠C=80°，則∠1+∠2等于(

)A．40° B．60° C．80° D．140°【答案】C【分析】根據(jù)平角定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2=360°-2(∠3+∠4)，再利用三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得∠3+∠4=∠B+∠C=140°從而解題．【詳解】解：根據(jù)平角的定義和折疊的性質(zhì)，得∠1+∠2=360°-2(∠3+∠4)．又∵∠A+∠3+∠4=180°，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠3+∠4=∠B+∠C=60°+80°=140°，∴∠1+∠2=360°-2(∠3+∠4)=360°-2×140°=80°，故選：C【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了平角的定義、折疊的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理．4．（2022下·河南南陽(yáng)·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在四邊形紙片ABCD中，∠A=80°，∠B=75°，將紙片折疊，使點(diǎn)C，D落在AB邊上的點(diǎn)C'，D'處，折痕為EF，則∠1+∠2=（

A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理得到∠C+∠D=205°，進(jìn)而由折疊的性質(zhì)得到∠FC'D【詳解】解：∵四邊形ABCD中，∠A=80°，∴∠C+∠D=360°-∠A-∠B=205°，由折疊的性質(zhì)可得∠FC∴∠FC∵∠FC∴∠FC∴∠BC∵∠B+∠BC∴∠B+∠BC∴155°+155°+∠1+∠2=360°，∴∠1+∠2=50°，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，正確求出∠BC5．（2023下·河南鄭州·八年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1-∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．

(1)如圖①，若∠A＝60°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝．(2)如圖②，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，若∠1+∠2=110°，求∠B+∠C(3)如圖③，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，若∠1=80°，∠2=28°，則∠A的度數(shù)為【答案】(1)240°(2)125°(3)26°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED=180°-60°=120°，再由平角進(jìn)行求解即可；（2）連接AA'，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出（3）設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠1=【詳解】（1）解：∵∠A=60°∴∠ADE+∠AED=180°-60°=120°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠AED=240°，故答案為：240°．（2）解：連接AA

∵∠1=∴∠1+∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=∴∠EAD=55°，∴∠B+∠C=180°-55°=125°．（3）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)

，∵∠1=由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∴80°=∴∠A故答案為：26°【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意作出相應(yīng)輔助線求解是解題的關(guān)鍵．6．（2022下·山東煙臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期中）折紙是我國(guó)一項(xiàng)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)，這項(xiàng)具有中國(guó)特色的傳統(tǒng)文化在幾何中可以得到新的解讀．已知在△ABC中，請(qǐng)根據(jù)題意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）與∠A的數(shù)量關(guān)系．(1)如圖①，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE截去∠A，則∠1+∠2＝_______．(2)如圖②，若∠A＝80°，沿圖中虛線DE將∠A翻折，使點(diǎn)A落在BC上的點(diǎn)A’處，則∠1+∠2=_______．(3)如圖③，翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度數(shù)(4)如圖④，△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度數(shù)．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角進(jìn)行求解即可；（2）利用翻折的性質(zhì)得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，結(jié)合圖形，由平角及各角之間的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可‘（3）連接AA'．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之間的數(shù)量關(guān)系得出（4）設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)F，根據(jù)三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A【詳解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠AED=260°，故答案為：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案為：160°；（3）解：連接AA∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°．（4）解：如圖，設(shè)AB與DA'交于點(diǎn)∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A由折疊可得，∠A=∠A∴∠1=∠A+∠A又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，平角的定義等，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．題型05三角形翻折模型向內(nèi)翻折向外翻折圖示結(jié)論2∠C=∠1+∠22∠C=∠2-∠11．（20-21七年級(jí)下·重慶沙坪壩·期末）如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，將△ABC按如圖方式進(jìn)行折疊，使點(diǎn)A與BC邊上的點(diǎn)F重合，折痕分別與AC、AB交于點(diǎn)D、點(diǎn)E．下列結(jié)論：①∠3+∠B=90°；②∠1+∠2=90°；③∠1=∠2；④DF∥AB．其中一定正確的結(jié)論有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．由折疊性質(zhì)可得∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，再由等腰直角三角形性質(zhì)得∠A=∠B=∠3=45°，即可得到∠3+∠B=90°；設(shè)∠ADE=∠FDE=α，∠AED=∠FED=β，可得∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∠A+α+β=180°，即可推導(dǎo)出∠1+∠2=90°；∠1與∠2不一定相等，DF與【詳解】解：由折疊的性質(zhì)，∠A=∠3，∠ADE=∠FDE，∠AED=∠FED，∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，∴∠A=∠B=∠3=45°，∴∠3+∠B=90°，故選項(xiàng)①正確；設(shè)∠ADE=∠FDE=α，∠AED=∠FED=β，∴∠1+∠ADE+∠FDE=∠1+2α=180°①，∠2+∠AED+∠FED=∠2+2β=180°②，∴①+②，得∠1+2α+∠2+2β=∠1+∠2+2α+β∴∠1+∠2=90°，故選項(xiàng)②正確；∵∠1+∠2=90°，∴∠1與∠2不一定相等，∴選項(xiàng)③不一定正確；∵點(diǎn)F在BC邊上，不固定，DF與AB不一定平行，∴選項(xiàng)④不一定正確；故選：B．2．（20-21七年級(jí)下·江蘇泰州·期末）如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．90° B．100° C．110° D．120°【答案】D【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問(wèn)題．【詳解】解：如圖，連接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC=12∠ABC，∠A'CB=12∠∵∠BA'C=120°，∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BAC=180°-120°=60°，∵沿DE折疊，∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質(zhì)、折疊變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線，靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，屬于中考常考題型．3．（21-22七年級(jí)下·江蘇南京·期末）已知△ABC中，∠A=65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB'=35°【答案】265°【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理的推論，先用∠B表示出∠3，再利用鄰補(bǔ)角和四邊形的內(nèi)角和定理用∠C表示出∠1+∠2，最后再利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠1+∠2+∠3．【詳解】解：由折疊知∠B=∠B∵∠3=∠B+∠4,∠4=∠ADB∴∠3=∠B+∠AD=2∠B+35°．∵∠1+∠2=180°-∠=360°-(∠CFC+∠C∠=360°-2∠C，∴∠1+∠2=360°-(∠=360°-(360°-2∠C)=2∠C．∴∠1+∠2+∠3=2∠C+2∠B+35°=2(∠C+∠B)+35°=2(180°-∠A)+35°=2(180°-65°)+35°=265°．故答案為：265°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，掌握“三角形的內(nèi)角和是180°”、“四邊形的內(nèi)角和是360°”、“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”是解決本題的關(guān)鍵．4．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·階段練習(xí)）如圖，∠AOB=α，點(diǎn)M是射線OA上的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)N是射線OB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MN，把∠AOB沿MN折疊，點(diǎn)O落在∠AOB所在平面內(nèi)的點(diǎn)C處．(1)如圖1，點(diǎn)C在∠AOB的內(nèi)部，若∠CMA=20°，∠CNB=60°，則a=．(2)如圖2，若α=45°，ON=2，折疊后點(diǎn)C在直線OB上方，CM與OB交于點(diǎn)E，且MN=ME，求∠OMN的度數(shù)及折痕MN(3)如圖3，若折疊后，直線MC⊥OB，垂足為點(diǎn)E，且OM=5，ME=3，直接寫(xiě)出此時(shí)ON的長(zhǎng)．【答案】(1)40°；(2)∠MON=30°，折痕MN的長(zhǎng)為2；(3)ON的長(zhǎng)為52或10【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題；（2）過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OM于點(diǎn)D，證明∠OMN=30°，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（3）分兩種情況討論并畫(huà)圖，若折疊后直線MC⊥OB于點(diǎn)E，①若點(diǎn)N在線段OE上，②若點(diǎn)N在線段OE的延長(zhǎng)線上，然后根據(jù)勾股定理即可解決問(wèn)題；本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵∠CMA=20°，∠CNB=60°，∴∠CMO=180°-20°=160°，∠CNO=180°-60°=120°，由翻折可知：∠OMN=12∠CMO=80°∴∠AOB=180°-80°-60°=40°，即a=40°，故答案為：40°；（2）解：由翻折可知∠EMN=∠NMO，∴∠OME=2∠OMN，∵∠AOB=45°，∴∠MNE=∠AOB+∠OMN=45°+∠OMN，∵M(jìn)N=ME，∴∠OEM=∠MNE=45°+∠OMN，∵∠AOB+∠OME+∠OEM=180°，∴45°+2∠OMN+45°+∠OMN=180°，∴∠OMN=30°，如圖，過(guò)點(diǎn)N作ND⊥OM于點(diǎn)D，在Rt△ODN中，∠DON=45°，ON=∴DN=OD=1，在Rt△DMN中，∠DMN=30°∴MN=2DN=2，∴折痕MN的長(zhǎng)為2；（3）解：若折疊后，直線MC⊥OB于點(diǎn)E，如圖，∵OM=5，ME=3，∴OE=O①若點(diǎn)N在線段OE上，如圖，由折疊可知：CM=OM=5，CN=ON，∴CE=CM-EM=5-3=2，在Rt△CEN中，EN=OE-ON=4-ON根據(jù)勾股定理，得EN∴4-ON2解得ON=5②若點(diǎn)N在線段OE的延長(zhǎng)線上，如圖，由折疊可知：CM=OM=5，CN=ON，∴CE=CM+EM=5+3=8，在Rt△CEN中，EN=ON-OE=ON-4根據(jù)勾股定理，得EN∴ON-42解得：ON=10，綜上所述：ON的長(zhǎng)為52或105．（2024八年級(jí)上·黑龍江·專題練習(xí)）新考向【動(dòng)手操作】一個(gè)三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'【觀察猜想】（1）如圖①，若∠A=40°，則∠1+∠2=___________°；若∠A=55°，則∠1+∠2=___________°；若∠A=n°，則∠1+∠2=___________°；【探索證明】（2）利用圖①，探索∠1,∠2與∠A的關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展應(yīng)用】（3）如圖②，把△ABC折疊后，BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠1+∠2=108°，利用（【答案】（1）80，110，2n；（2）∠1+∠2=2∠A，見(jiàn)解析；（3）117【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由折疊的性質(zhì)可得∠ADE=∠A'DE，∠AED=∠A'（2）由三角形外角的定義及性質(zhì)得出∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，整理即可得解；（3）由（2）可得∠A=54°，再由角平分線的定義并結(jié)合三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可得解．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A'∴∠ADE=∠A'DE∴∠ADE=12180°-∠1在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED=180°，∴40°+1整理，得∠1+∠2=80°．同理可得：若∠A=55°，則∠1+∠2=110°．若∠A=n°，則∠1+∠2=2n°．（2）∠1+∠2=2∠A．理由：∵∠BDE，∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，∴∠BDE=∠A+∠AED，∠CED=∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2=2∠A．（3）∵∠1+∠2=108°，由（2）∠1+∠2=2∠A，得2∠A=108°，∴∠A=54°．∵BA'平分∠ABC，CA∴∠A∴∠B=180°-=90°+=117°．6．（2024·貴州貴陽(yáng)·二模）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在綜合與實(shí)踐課上，老師要求同學(xué)們以“折紙中的數(shù)學(xué)”為主題開(kāi)展活動(dòng)．獨(dú)立思考：（1）如圖①，將三角形紙片ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)A'的位置，則∠A與∠1+∠2之間的數(shù)量關(guān)系為深入探究：（2）如圖②，若點(diǎn)A'落在四邊形BCDE的邊CD下方時(shí)，試猜想此時(shí)∠A與∠1，∠2結(jié)論運(yùn)用：（3）如圖③，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，E，F(xiàn)分別是AB，CD邊上的一點(diǎn)，沿EF將四邊形ABCD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G恰好落在BC邊上，且∠1=75°，∠2=15°．①∠B的度數(shù)為；②若BE=22，AD=12AE，求點(diǎn)【答案】（1）2∠A=∠1+∠2，理由見(jiàn)解析；（2）2∠A=∠1-∠2，理由見(jiàn)解析；（3）①60°；②6【分析】（1）連接AA'，由折疊的性質(zhì)得出（2）由三角形外角的性質(zhì)得出∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠A（3）①延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于L，由（2）中結(jié)論可知∠1-∠2=2∠L，求出∠L=30°即可得出答案；②過(guò)點(diǎn)E作EI⊥BC交BC于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，求出BI=2，EI=6．求出∠HGM=45°，得出【詳解】解：（1）2∠A=∠1+∠2，理由如下：連接AA'，如圖∵將三角形紙片ABC沿DE折疊，點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)點(diǎn)A'的位置，∴∠DAE=∠DA'E．∵∠1=∠EA'A+∠EA∴∠1+∠2=∠EA即2∠A=∠1+∠2；故答案為：2∠A=∠1+∠2；（2）2∠A=∠1-∠2，理由如下：設(shè)EA'與AC交于點(diǎn)F，如圖∵∠1=∠EFA+∠A，∠EFA=∠2+∠A'∴∠1=∠A+∠A∴2∠A=∠1-∠2；（3）①延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于L，由（2）中結(jié)論可知∠1-∠2=2∠L，如圖③，∴2∠L=75°-15°=60°，∴∠L=30°．∵∠BCD=90°，∴∠B=90°-30°=60°．故答案為：60°；②過(guò)點(diǎn)E作EI⊥BC交BC于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖，∵BE=22，∠B=60∴BI=2，EI=∵∠EGI=180°-60°-75°=45°，∴EG=2∴AE=EG=23∴AD=1∴GH=AD=3∵∠EGH=∠BAD=90°，∴∠HGM=45°，∴HM=22GH=62，即點(diǎn)H【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理及直角三角形的相關(guān)性質(zhì)等內(nèi)容，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．題型06三角形雙角平分線模型兩內(nèi)角平分線模型兩外角平分線模型一內(nèi)一外角平分線條件已知BD、DC分別平分∠ABC、∠ACB已知BD、DC分別平分∠EBC、∠BCFBE、EC分別平分∠ABC、∠ACD圖示結(jié)論∠D=90°+∠A∠D=90°-∠A∠E=∠A1．（2022-2023七年級(jí)下·江蘇常州·期末）【基本模型】：（1）如圖1，BO平分△ABC的內(nèi)角∠ABC，CO平分△ABC的外角∠ACD，試證明：∠BOC＝12∠A【變式應(yīng)用】：（2）如圖2，直線PQ⊥MN，垂足為點(diǎn)O，作∠PON的角平分線OE，在OE上任取一點(diǎn)A，在ON上任取一點(diǎn)B，連接AB，作∠BAE的角平分線AC，AC的反向延長(zhǎng)線與∠ABO的平分線相交于點(diǎn)F，請(qǐng)問(wèn)：∠F的大小是否隨著點(diǎn)A，B位置的變化而變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出其度數(shù)；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若FC∥MN，則AB與OE有何位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）∠F的大小不變；理由見(jiàn)解析

（3）AB⊥OE；理由見(jiàn)解析【分析】基本模型：（1）由三角形的外角性質(zhì)得∠BOC=∠OCD-∠OBC，∠A=∠ACD-∠ABC，由角平分線定義得∠OCD=12∠ACD，∠OBC=12變式應(yīng)用：（2）由角平分線定義得∠AOB=12∠PON=45°，由三角形的外角性質(zhì)得∠F=∠BAC-∠ABF，∠AOB=∠BAE-∠ABO，由角平分線定義得∠BAC=12∠BAE，∠ABF=12∠ABO，則∠BAC-∠ABF=1（3）由平行線的性質(zhì)得∠FBO=∠F=22.5°，證出∠ABO=2∠FBO=45°，由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】基本模型（1）證明：∵∠OCD＝∠OBC+∠BOC，∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠BOC＝∠OCD﹣∠OBC，∠A＝∠ACD﹣∠ABC，又∵CO平分∠ACD，BO平分∠ABC，∴∠OCD＝12∠ACD，∠OBC＝12∴∠OCD﹣∠OBC＝12（∠ACD﹣∠ABC∴∠BOC＝12∠A變式應(yīng)用解：（2）∠F的大小不變；理由如下：∵PQ⊥MN，∴∠PON＝90°，∵OE是∠PON的平分線，∴∠AOB＝12∠PON＝45°∵∠BAC＝∠ABF+∠F，∠BAE＝∠ABO+∠AOB，∴∠F＝∠BAC﹣∠ABF，∠AOB＝∠BAE﹣∠ABO，∵AC、BF分別平分∠BAE、∠ABO，∴∠BAC＝12∠BAE，∠ABF＝12∴∠BAC﹣∠ABF＝12（∠BAE﹣∠ABO∴∠F＝12∠AOB＝22.5°（3）AB⊥OE，理由如下：∵FC∥MN，∴∠FBO＝∠F＝22.5°，∵BF平分∠ABO，∴∠ABO＝2∠FBO＝45°，∴∠OAB＝180°﹣∠AOB﹣∠ABO＝90°，∴AB⊥OE．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線定義、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)；熟練掌握平行線的性質(zhì)和三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（22-23七年級(jí)下·江蘇鹽城·期中）如圖，是一個(gè)缺角(∠A)的三角板模型，現(xiàn)要知道∠A的大小.數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小李沒(méi)有采用先直接量得∠MBC和∠NCB的度數(shù)，再求得∠A的度數(shù)，而是分別畫(huà)出∠MBC的角平分線與∠NCB的外角平分線相交于點(diǎn)P，測(cè)得∠P=26°，請(qǐng)告知∠A=°.【答案】52【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角及角平分線用∠ABC表示∠PBC及∠ACB表示∠ACP、∠BCP結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；【詳解】解：∵∠MBC的角平分線與∠NCB的外角平分線相交于點(diǎn)P，∴∠PBC=12∠ABC∴∠BCP=∠ACB+1∵∠P=26°，∴12∴∠ABC+∠ACB=128°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=52°，故答案為：52；【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠ABC+∠ACB，最后整體代入．3．（22-23七年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】在一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，劉華遇到了下面的這個(gè)問(wèn)題：如圖①，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，請(qǐng)你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．劉華對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行了判斷并給出了證明過(guò)程，下面是部分證明過(guò)程，請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過(guò)程．解：結(jié)論：∠P=_________．理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=1∴∠P=180°-∠PBC-∠PCB=180°-=180°-=_________．【模型發(fā)展】如圖②，點(diǎn)P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點(diǎn)，請(qǐng)你判斷∠A和∠P間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．【解決問(wèn)題】如圖③，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，點(diǎn)Q是△PBC的外角平分線BQ與CQ的交點(diǎn)．若∠A=68°，則∠Q=______度．

【答案】探索發(fā)現(xiàn)90°+12∠A，90°+1【分析】本題主要考查了角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理：探索發(fā)現(xiàn)：根據(jù)角平分線的定義得到∠PBC=1模型發(fā)展：由角平分線的定義得到∠PBC=12∠CBD，∠PCB=12∠BCE，由平角的定義得到解決問(wèn)題：根據(jù)前面的結(jié)論進(jìn)行求解即可．【詳解】解：探索發(fā)現(xiàn)：結(jié)論：∠P=90°+1理由：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC=1∴∠P=180°-∠PBC-∠PCB=180°-=180°-=90°+1故答案為：90°+12∠A模型發(fā)展：∠P=90°-1∵點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，∴∠PBC=1∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠CBP+∠BCP=180°-1∴∠P=180°-∠CBD-∠BCE=90°-1解決問(wèn)題：∵點(diǎn)Q是△PBC的外角平分線BQ與CQ的交點(diǎn)，∴∠BCQ=1∵∠BCE=∠P+∠PBC,∠CBD=∠P+∠PCB，∴∠BCE+∠CBD=∠P+∠PBC+∠P+∠PCB=∠P+180°，∴∠BCQ+∠CBQ=1∴∠Q=180°-∠BCQ+∠CBQ由模型法則知：∠P=90°-1∴∠Q=90°-故答案為：28．4．（1）如圖（1），在△ABC中，∠BAC=70°，點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上，三角形的內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù).（寫(xiě)出完整的解答過(guò)程）

【感知】：圖（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P=°（用含有m的代數(shù)式表示）【探究】：如圖（2）在四邊形MNCB中，設(shè)∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點(diǎn)P.為了探究∠P的度數(shù)與α和β的關(guān)系，小明同學(xué)想到將這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化圖（1）的模型，因此，他延長(zhǎng)了邊BM與CN，設(shè)它們的交點(diǎn)為點(diǎn)A，如圖（3），則∠A=（用含有α和β

的代數(shù)式表示），因此∠P=．（用含有α和β的代數(shù)式表示）【拓展】：將（2）中的α+β＞180°改為α+β＜180°，四邊形的內(nèi)角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點(diǎn)P，其它條件不變，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠P＝．（用α，β的代數(shù)式表示）【答案】（1）35°；感知：12m°，探究：α+β-180°，12（α+β）-90°；拓展：90°-12【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠CBP=12∠ABC，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義表示出∠DCP，然后整理即可得到∠P=12[感知]求∠P度數(shù)的方法同（1）[探究]添加輔助線，利用（1）中結(jié)論解決問(wèn)題即可；根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠BCN，再表示出∠DCN，然后根據(jù)角平分線的定義可得∠PBC=12∠ABC，∠PCD=∠DCN，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠P+∠PBC=∠PCD拓展：同探究的思路求解即可【詳解】（1）∵BP平分∠ABC，∴∠CBP=12∠ABC∵CP平分△ABC的外角，∴∠DCP=12∠ACD=12（∠A+∠ABC）=12∠A+在△BCP中，由三角形的外角性質(zhì)，∠DCP=∠CBP+∠P=12∠ABC+∠P∴12∠A+12∠ABC=1∴∠P=12∠A=12感知：由（1）知∠P=12∵∠BAC=m°，∴∠P=12m°故答案為：12m°探究：延長(zhǎng)BM交CN的延長(zhǎng)線于A．∵∠A=180°-∠AMN-∠ANM=180°-（180°-α）-（180°-β）=α+β-180°，由（1）可知：∠P=12∠A∴∠P=12（α+β）-90°故答案為：α+β-180°，12（α+β）-90°[拓展]如圖，延長(zhǎng)MB交NC的延長(zhǎng)線于A．∵∠A=180°-α-β，∠P=12∠A∴∠P=12（180°-α-β）=90°-12α-故答案為：90°-12α-1【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題，三角形內(nèi)角和定理、四邊形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用已知結(jié)論解決問(wèn)題.5（22-23七年級(jí)下·江蘇蘇州·期中）在我們蘇科版義務(wù)教育教科書(shū)數(shù)學(xué)七下第42頁(yè)曾經(jīng)研究過(guò)雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線夾角問(wèn)題．聰聰在研究完上面的問(wèn)題后，對(duì)這類問(wèn)題進(jìn)行了深入的研究，他的研究過(guò)程如下：(1)【問(wèn)題再現(xiàn)】如圖1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，若∠A=50°，則∠P=(2)【問(wèn)題推廣】如圖2，在△ABC中，∠BAC的角平分線與△ABC的外角∠CBM的角平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AP于點(diǎn)H，若∠ACB=80°，求∠PBH的度數(shù)．(3)如圖3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)P，將△ABC沿DE折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，若∠1+∠2=100°，則∠BPC=(4)【拓展提升】如圖4，在四邊形BCDE中，EB∥CD，點(diǎn)F在直線ED上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)F不與E，D兩點(diǎn)重合），連接BF，CF，∠EBF、∠DCF的角平分線交于點(diǎn)Q，若∠EBF=α，∠DCF=β，直接寫(xiě)出【答案】(1)115°(2)∠PBH=50°(3)115°(4)F在E左側(cè)∠Q=β-α2；F在E,D中間∠Q=α+β2；F【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；（2）先由角平分線的定義得到∠BAC=2∠BAP，∠CBM=2∠CBP，再由三角形外角的性質(zhì)得到∠CBP=∠BAP+40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理推出∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°，再由垂線的定義得到∠BHP=90°，則（3）先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得到∠AED+∠ADE=130°，進(jìn)而求出∠A=50°，同（1）即可得到答案；（4）分點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)，點(diǎn)F在D、E之間，點(diǎn)F在點(diǎn)D右側(cè)三種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=130°，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠ABC=2∠PBC，∴2∠PBC+2∠PCB=130°，即∠PBC+∠PCB=65°，∴∠P=180°-∠PBC-∠PCB=115°，故答案為：115°；（2）解：∵AP平分∠BAC，BP平分∠CBM，∴∠BAC=2∠BAP，∵∠CBM=∠BAC+∠ACB，∴2∠CBP=2∠BAP+∠ACB，∴∠CBP=∠BAP+40°，∵∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC，∴∠ABC=100°-2∠BAP，∴∠ABP=∠ABC+∠CBP=140°-∠BAP，∴∠P=180°-∠BAP-∠ABP=40°，∵BH⊥AP，即∠BHP=90°，∴∠PBH=180°-∠P-∠BHP=50°；（3）解：由折疊的性質(zhì)可得∠AED=∠PED，∵∠1+∠AEP=180°，∴∠AEP+∠ADP=260°，∴2∠AED+2∠ADE=260°，∴∠AED+∠ADE=130°，∴∠A=180°-∠AED-∠ADE=50°，∴與（1）同理可得∠BPC=115°，故答案為：115°；（4）解：當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)E左側(cè)時(shí)，如圖4-1所示，∵BE∥∴∠CBE+∠BCD=180°，∵BQ平分∠EBF，CQ平分∠DCF，∴∠EBQ=1∵∠EBC+∠FCB=180°-∠DCF=180°-β，∴∠Q=180°-∠QBC-∠QCB=180°-∠QBE-∠EBC-∠FCB-∠QCF=β-α當(dāng)F在D、E之間時(shí)，如圖4-2所示：同理可得∠FBQ=12∠EBF=∴∠Q=180°-∠QBC-∠QCB=180°-∠QBF-∠FBC-∠FCB-∠QCF=α+β當(dāng)點(diǎn)F在D點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖4-3所示：同理可得∠Q=180°-∠QBC-∠QCB=180°-∠QBF-∠FBC-∠DCB-∠QCD=α-β綜上所述，F(xiàn)在E左側(cè)∠Q=β-α2；F在ED中間∠Q=α+β2；F在【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，垂線的定義，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型07三角形面積比問(wèn)題底相同高相同已知?ABC中BC邊上的高為AE，?BCD中BC邊上的高為DF?ABC中，D為BC上一點(diǎn).?ABC中BC邊上的高為h圖示結(jié)論三角形底相同時(shí)，面積比等于高之比三角形高相同時(shí)，面積比等于底之比1．（22-23八年級(jí)下·河北唐山·開(kāi)學(xué)考試）小明學(xué)習(xí)了角的平分線后，發(fā)現(xiàn)角平分線AD分得的△ABD和△ADC的面積比與兩邊長(zhǎng)有關(guān)，在圖中，若AB=10，AC=6，你能幫小明算出下面兩個(gè)比值嗎？

（1）S△ABDS（2）BDDC=【答案】53【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的面積公式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)同高三角形的面積比等于底邊比，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵AD為△ABC的角平分線，∴點(diǎn)D到線段AB和線段AC的距離相等，設(shè)點(diǎn)D到線段AB和線段AC的距離為h，則：S△ABD故答案為：53（2）∵點(diǎn)A到線段BD,CD的距離相等，∴S△ABD故答案為：53【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)．熟練掌握同（等）高的兩個(gè)三角形的面積比等于底邊比，是解題的關(guān)鍵．2．（24-25七年級(jí)上·廣西南寧·開(kāi)學(xué)考試）如圖；在△ABC中，△ABE、△BEF、△BCF和四邊形AEFC的面積都相等．若DF:FC=3:2，△ABC的面積為728．（注：符號(hào)“△”表示“三角形”三個(gè)字）（1）線段AD與線段DB的比值A(chǔ)DDB=（2）△GEF的面積是．【答案】35/0.6【分析】本題考查的是比的應(yīng)用，等底等高的兩個(gè)三角形的面積之間的關(guān)系；（1）設(shè)△ABE、△BEF、△BCF和四邊形AEFC的面積都為1份；可得△BDF的面積為1.5份，△BDC的面積為2.5份，再進(jìn)一步解答即可；（2）如圖，連接DE，由AD:DB=3:5，可得S△BDE=58S△ABE=58【詳解】解：（1）設(shè)△ABE、△BEF、△BCF和四邊形AEFC的面積都為1份；∵DF:FC=3:2，∴DF=1.5FC，∵△BCF與△BDF是以CF，DF為底邊，而高相同，△BCF的面積為1份，∴△BDF的面積為1.5份，∴△BDC的面積為2.5份，∴S△ADC∵△ADC與△BDC是以AD,BD為底邊，而高相同，∴AD:DB=S故答案為：3（2）如圖，連接DE，∵AD:DB=3:5，∴S△BDE∴S△DEF同理：S△DEF=SGE:GB=S∴S陰影∵△ABC的面積為728，∴S陰影故答案為：143．（2023·山東青島·二模）【模型】同高的兩個(gè)三角形面積之比等于底邊長(zhǎng)度之比．已知，如圖1，△ABC中，D為線段BC上任意一點(diǎn)，連接AD，則有：S△ABD【模型應(yīng)用】（1）如圖2，任意四邊形ABCD中，E、F分別是AB、CD邊的中點(diǎn)，連接CE、AF，若四邊形ABCD的面積為S，則S四邊形AECF（2）如圖3，在任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上離點(diǎn)A和點(diǎn)C最近的三等分點(diǎn)，連接AF、CE，若四邊形ABCD的面積為S，則S四邊形AECF（3）如圖4，在任意四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上離點(diǎn)B和點(diǎn)D最近的n等分點(diǎn)，連接AF、CE，若四邊形ABCD的面積為S，則S四邊形A【拓展與應(yīng)用】（4）如圖5，若任意的十邊形的面積為100，點(diǎn)K、L、M、N、O、P、Q、R分別是AB、CD、DE、EF、FG、HI、IJ、JA邊上離點(diǎn)A、C、E、E、F、H、I、A最近的四等分點(diǎn)，連接BL、DK、DR、MJ、NJ、FQ、OI、GP，則圖中陰影部分的面積是___________．【答案】[模型應(yīng)用]（1）S2；（2）S3；（3）n-1nS；[拓展與應(yīng)用]【分析】本題考查了四邊形面積、三角形面積、三角形的中線性質(zhì)以及多邊形面積等知識(shí)；[模型應(yīng)用]（1）由三角形的中線性質(zhì)得S△AEC=1（2）連接AC，由模型得S△AEC=1（3）連接AC，由模型得S△BEC=1nS△ABC[拓展與應(yīng)用]（4）連接AD、JE、IF，由（3）得：S四邊形BLDK=4-14S四邊形ABCD=3【詳解】解：[模型應(yīng)用]（（1）E、F分別是AB、CD邊的中點(diǎn)，∴AE=12AB∴S△AEC=∵S四邊形ABCD∴S故答案為：S2（2）如圖，連接AC，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上離點(diǎn)A和點(diǎn)C最近的三等分點(diǎn)，∴AE=13AB∴S△AEC=∵S四邊形ABCD∴S故答案為：S3（3）如圖，連接AC，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD上離點(diǎn)B和點(diǎn)D最近的n等分點(diǎn)，∴BE=1nAB∴S△BEC=∵S四邊形ABCD∴S=S=S=S-S=n-1故答案為：n-1n[拓展與應(yīng)用]（4）如圖，連接AD、JE、IF，由（3）得：S四邊形同理，S四邊形RDMJ=34∵S∴S=3=3=3=3=75，故答案為：75．4閱讀與理解：三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，AD是ΔABC中BC邊上的中線，則S理由：∵BD=CD，∴SΔ即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，ΔABC的面積為a(1)如圖2，延長(zhǎng)ΔABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC，連接DA．若ΔACD的面積為S1，則S1(2)如圖3，延長(zhǎng)ΔABC的邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA，連接DE．若ΔDEC的面積為S2，則S2(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，使BF=AB，連接FD，F(xiàn)E，得到ΔDEF（如圖4)．若陰影部分的面積為S3，則S3=拓展與應(yīng)用：(4)如圖5，已知四邊形ABCD的面積是a，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接FH,EG交于點(diǎn)O，求圖中陰影部分的面積？【答案】(1)a；(2)2a；(3)6a；(4)12【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案；（2）連接AD，運(yùn)用“等底同高的三角形面積相等”得出SΔ（3）由（2）結(jié)論即可得出S3（4）連接OA,OB,OC,OD，運(yùn)用“等底同高的三角形面積相等”得出SΔAEO=【詳解】（1）解：如圖2，∵延長(zhǎng)ΔABC的邊BC到點(diǎn)D，使CD=BC∴AC為ΔABD∴SΔACD故答案為：a；（2）解：如圖3，連接AD，∵延長(zhǎng)ΔABC的邊BC到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，使CD=BC，AE=CA∴SΔACD=∴S即S2故答案為：2a；（3）解：由（2）得SΔ同理：SΔEFA=2∴S故答案為：6a；（4）解：如圖5所示，連接OA,OB,OC,OD，則SΔ∴SΔ∴S陰影部分故陰影部分的面積為12【點(diǎn)睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)即等底同高的三角形面積相等，靈活運(yùn)用這個(gè)結(jié)論并適當(dāng)添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．5．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接CE，∠DEC=60°，(1)求證：BE平分∠AEC(2)如圖2，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)、CD=BF，連接CF交BE于點(diǎn)M．求證：點(diǎn)M為CF中點(diǎn)．(3)在（2）的條件下，若AEDE=32，直接寫(xiě)出【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)S【分析】（1）在CD上取一點(diǎn)P，使得∠ECP=60°，由題意可知AC=BC，∠ECP=∠DEC=∠ACB=60°，可知△ECP是等邊三角形，∠ACP=∠BCE，CP=CE，∠APC=60°，易證△ACP≌△BCESAS，可知∠BEC=∠APC=60°，易得∠AEB=∠BEC=60°（2）在BM上截取BG=DE，連接FG，在BG上截取GH=FG，連接FH，由（1）知，∠AEB=∠ABC=60°，結(jié)合三角形的外角及角的和差關(guān)系得∠D=∠ABE，進(jìn)而易證△DEC≌△BGFSAS，得EC=GF，∠DEC=∠BGF=60°，可知△FGH為等邊三角形，得∠FHG=∠BEC=60°，F(xiàn)H=FG=EC，可證得△EMC≌△HMFAAS，可知（3）作DN⊥AC交AC延長(zhǎng)線N，作FK⊥BC于K，則∠DNC=∠FKB=90°，結(jié)合題意得∠DCN=∠ACB=∠ABC=60°，可知△DCN≌△FBKAAS，得DN=FK，可知S△ACD=12AC?DN=12BC?FK=S△BCF，根據(jù)點(diǎn)M為CF【詳解】（1）證明：在CD上取一點(diǎn)P，使得∠ECP=60°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵∠ECP=∠DEC=∠ACB=60°，則∠ACB+∠ECA=∠ECP+∠ECA，△ECP是等邊三角形，∴∠ACP=∠BCE，CP=CE，∠APC=60°，∴△ACP≌△BCESAS∴∠BEC=∠APC=60°，則∠AEB=180°-∠DEC-∠BEC=60°，∴∠AEB=∠BEC，∴BE平分∠AEC；（2）證明：在BM上截取BG=DE，連接FG，在BG上截取GH=FG，連接FH，由（1）知，∠AEB=∠ABC=60°，∵∠AEB=∠D+∠EBD，∠ABC=∠EBD+∠ABE，∴∠D=∠ABE，又∵DE=BG，BF=CD，∴△DEC≌△BGFSAS∴EC=GF，∠DEC=∠BGF=60°，∴△FGH為等邊三角形，∴∠FHG=60°，F(xiàn)H=FG，則EC=FH，∠FHG=∠BEC=60°，又∵∠ENC=∠HMF，∴△EMC≌△HMFAAS∴CM=FM，即：點(diǎn)M為CF中點(diǎn)；（3）解：作DN⊥AC交AC延長(zhǎng)線N，作FK⊥BC于K，則∠DNC=∠FKB=90°，∵DC=BF，∠DCN=∠ACB=∠ABC=60°，∴△DCN≌△FBKAAS∴DN=FK，∴S△ACD∵點(diǎn)M為CF中點(diǎn)，∴S△BCM∵AECE=3∴S△AEC∴S△AEC【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的面積問(wèn)題，添加輔助線構(gòu)造全等三角形利用其性質(zhì)得DN=FK，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)得S△ACD6．閱讀下面資料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，對(duì)面積為a的△ABC逐次進(jìn)行以下操作：分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1，求S1的值.小明是這樣思考和解決這個(gè)問(wèn)題的：如圖2，連接A1C、B1A、C1B，因?yàn)锳1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根據(jù)等高兩三角形的面積比等于底之比，所以SΔA1BC=SΔB（1）直接寫(xiě)出S1（用含字母a的式子表示）.請(qǐng)參考小明同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：（2）如圖3，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AP、BP、CP并延長(zhǎng)分別交邊BC、AC、AB于點(diǎn)D、E、F，則把△ABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形面積已在圖上標(biāo)明，求△ABC的面積.（3）如圖4，若點(diǎn)P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點(diǎn)，求S△APE與S△BPF的比值.【答案】（1）19a；（2）315；（3）23【分析】（1）首先根據(jù)題意，求得S△A1BC=2S△ABC，同理可求得S△A1B1C=2S△A1BC，依此得到S△A1B1C1=19S△ABC，則可求得面積S1的值；（2）根據(jù)等高不等底的三角形的面積的比等于底邊的比，求解，從而不難求得△ABC的面積；（3）設(shè)S△BPF=m，S△APE=n，依題意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出SΔAPE【詳解】解：（1）連接A1C，∵B1C=2BC，A1B=2AB，∴S△BCA1=2S∴S△∴S△同理可得出：S△∴S1=6a+6a+6a+a=19a；故答案為19a；（2）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE于點(diǎn)G，設(shè)SΔBPF=x，∵SΔBPC=1∴SΔBPC∴BPEP=2，即同理，SΔAPB∴S∴x+84=2y．①∵SΔAPBSΔBPD∴x+8