2.1投影的概念2.2基本幾何元素的投影2.3點、直線及平面的投影第二章投影的基本知識2.1投影的概念2.1.1投影的形成與分類影子與投影概念的區(qū)別：（1）物體在光源的照射下會出現(xiàn)影子。如圖2-1（a）。（2）光源發(fā)出的光線，透過形體而將各個頂點和各條側(cè)棱都在平面P上投落它們的影，這些點和線的影將組成一個能夠反映出形體各部分形狀的圖形，這個圖形稱為形體的投影。如圖2-1（b）。1.投影的形成第二章投影的基本知識圖2-1影子與投影第二章投影的基本知識

把光源稱為投影中心，光線稱為投射線，光線的射向稱為投射方向，落影的平面稱為投影面，影子的輪廓稱為投影，用投影表示物體的形狀和大小的方法稱為投影法，用投影法畫出的物體圖形稱為投影圖。如圖2-2所示。

圖2-2投影圖的形成第二章投影的基本知識2.投影法的分類

投影可分為中心投影和平行投影兩類。1）中心投影投影中心在有限的距離內(nèi)，發(fā)出放射狀的投影線，這些投影線形成的投影稱為中心投影，如圖2-3（a）。中心投影的大小與物體離投影面的距離有關(guān)。適用于繪透視圖。2）平行投影投影中心在無限遠處，發(fā)出平行的投影線，這些平行投影線形成的投影稱為平行投影。平行投影的大小與物體離投影面的距離無關(guān)。

平行投影又分兩種：（1）斜投影。平行投射線傾斜于投影面，如圖2-3（b）。這種投影方法一般在作軸測投影圖時采用。（2）正投影。平行投射線垂直于投影面，如圖2-3（c）。正投影圖直觀性差，但能反映出物體的真實大小和形狀，作圖簡便，是工程制圖中經(jīng)常采用的一種主要圖示方法。第二章投影的基本知識第二章投影的基本知識（a）中心投影（b）斜投影（c）正投影圖2-3投影的分類第二章投影的基本知識從上圖可以看出投影的幾個特點：（1）任何一種投影方法，必須具備三個要素：形體、投影線和投影面。（2）投影面和投影中心或投影方向確定之后，形體上每一點必有其唯一的一個投影。（3）空間上一點的一個投影不能確定該點的空間位置，這是因為過該點的投影線上的任意點，其投影都在投影線與投影面的交點上。第二章投影的基本知識2.1.2工程上常用的投影圖

建筑工程上常用的投影圖有四種：正投影圖、軸測投影圖、透視投影圖、標(biāo)高投影圖。1.正投影圖

用平行投影的正投影法繪制的多面投影圖。

優(yōu)點：作圖較其他圖示法簡便，便于度量，工程上應(yīng)用最廣。缺點：缺乏立體感。如圖2-4所示。圖2-4正投影圖第二章投影的基本知識2.軸測投影圖用平行投影的斜投影法繪制的單面投影圖。優(yōu)點：立體感強，非常直觀。

缺點：作圖較繁，表面形狀在圖中往往失真，度量性差，只能作為工程上的輔助性圖樣。如圖2-5所示。圖2-5軸測投影圖3.透視投影圖用中心投影法繪制的單面投影圖。如圖2-6所示。圖2-6透視投影圖

優(yōu)點：圖形逼真，直觀性強。

缺點：作圖復(fù)雜，形體的尺寸不能直接在圖中度量，故不能作為施工依據(jù)，僅用于建筑設(shè)計方案的比較及工藝美術(shù)和宣傳廣告畫等。第二章投影的基本知識4.標(biāo)高投影圖在物體的水平投影上加注某些特征面、線以及控制點的高度數(shù)值的單面正投影。將不同高程的等高線投影在水平投影面上，并注出各等高線的高程，即為等高線圖，也稱標(biāo)高投影圖。如圖2-7所示。第二章投影的基本知識圖2-7標(biāo)高投影圖第二章投影的基本知識2.2基本幾何元素的投影

空間不同形狀的物體，它們的單面投影或兩面投影可能是相同的，如圖2-8、圖2-9所示，不能反映不同物體的形狀和大小。圖2-8單面投影圖2-9兩面投影第二章投影的基本知識

如果將物體放在三個相互垂直的投影面之間，用三組分別垂直于三個投影面的平行投射線投影，可得到物體三個不同方向的正投影圖，如圖2-10所示。這樣就能唯一確定物體的形狀。圖2-10三面投影第二章投影的基本知識1.三面投影體系的建立通常采用三個相互垂直的平面作為投影面，構(gòu)成三投影面體系。水平方向的投影面稱為水平投影面，用字母H表示，也稱為H面；與水平投影面垂直相交的正立方向的投影面稱為正立投影面，用字母V表示，也稱為V面；與水平投影面及正立投影面同時垂直相交的投影面稱為側(cè)立投影面，用字母W表示，也稱為W面。如圖2-11所示。第二章投影的基本知識圖2-11三面投影體系的建立

圖2-12三面投影圖的形成第二章投影的基本知識

平行投射線由上向下垂直H面，在H面上產(chǎn)生的投影稱為水平投影圖。平行投射線由前向后垂直V面，在V面上產(chǎn)生的投影稱為正面投影圖。平行投射線由左向右垂直W面，在W面上產(chǎn)生的投影稱為側(cè)面投影圖。各投影面的相交線稱為投影軸，其中V面和H面的相交線稱為X軸；W面和H面的相交線稱為Y軸；V面和W面的相交線稱為Z軸，三個投影軸的交點O，稱為原點。如圖2-12所示。第二章投影的基本知識2.三面投影體系的展開1）保持V投影面不動。2）將H投影面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，使H面與V面共面。3）將W投影面繞OZ軸向右旋轉(zhuǎn)90°，使W面與V面共面。應(yīng)該注意：Y軸是H面和W面的交線，因此展平后的Y軸被分為兩部分，隨H面回轉(zhuǎn)而在H面上的Y軸用YH表示，隨W面回轉(zhuǎn)而在W面上的Y軸用YW表示。第二章投影的基本知識

從展開后的三面正投影圖的位置來看：水平投影圖在正面投影圖的正下方；側(cè)面投影圖在正面投影圖的正右方。按照這種位置畫投影圖時，在圖紙上可以不標(biāo)注投影面和投影圖的名稱，如圖2-13所示。圖2-13踏步的三面正投影圖第二章投影的基本知識

投影面是設(shè)想的，并沒有固定的邊界范圍，在作圖時可以不必畫出其外框。在工程圖樣中投影軸一般也不用畫出，如圖2-14所示。但初學(xué)者應(yīng)將投影軸保留，用細實線畫出。圖2-14T型梁的三面正投影圖第二章投影的基本知識3.三面正投影圖的投影關(guān)系和方位關(guān)系

1）同一個物體的三個投影圖之間具有“三等”關(guān)系；正面投影圖和水平投影圖長對正；正面投影圖和側(cè)面投影圖高平齊；水平投影圖和側(cè)面投影圖寬相等。如圖2-15所示?！伴L對正、高平齊、寬相等”是繪制和識讀物體正投影圖必須遵循的投影規(guī)律。2）任何一個物體都有上、下、左、右、前、后六個方向的形狀和大小。如圖2-16所示。第二章投影的基本知識圖2-15三面投影規(guī)律圖2-16三面投影圖的方位關(guān)系第二章投影的基本知識4.物體三面投影圖的作圖（1）三面正投影圖的作圖方法1）先畫出水平和垂直十字相交線表示投影軸，如圖2-17（a）；2）根據(jù)“三等”關(guān)系，正面圖和平面圖的各個相應(yīng)部分用鉛垂線對正(等長)；正面圖和側(cè)面圖的各個相應(yīng)部分用水平線拉齊(等高)，如圖2-17（b）；

3）利用平面圖和側(cè)面圖的等寬關(guān)系，從O點作一條向右下斜的45°線，然后在平面圖上向右引水平線，與45°線相交后再向上引鉛垂線，把平面圖中的寬度反映到側(cè)面投影中去，如圖2-17（c）。第二章投影的基本知識圖2-17三面正投影作圖步驟第二章投影的基本知識（2）三面正投影圖中的點、線、面符號

為了作圖準(zhǔn)確和便于校核，作圖時可把所畫物體上的點、線、面用符號來標(biāo)注（如圖2-18所示）。一般規(guī)定空間物體上的點用大寫字母A、B、C、D…或Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ…表示，面用P、Q、R…表示。點或面的投影用相應(yīng)的小寫字母表示。直線不另注符號，用直線兩端點的符號表示，如AB直線的正面投影是a′b′。第二章投影的基本知識圖2-18點、線、面符號第二章投影的基本知識2.3點、直線及平面的投影2.3.1點的投影1.三面投影將空間點A置于三面投影體系中，分別向三個投影面作正投影，如圖2-19（a）所示，則得到：

A點到H面上的投影點a，稱為A點的H面投影；

A點在V面上的投影點a′，稱為A點的V面投影；

A點在W面上的投影點a″，稱為A點的W面投影。第二章投影的基本知識

將三面投影體系展開，如圖2-19（b）所示，即得到A點的三面投影圖。圖2-19點的三面投影第二章投影的基本知識

為便于投影分析，在展開圖上將點的相鄰?fù)队坝眉殞嵕€連起來，圖中aa′、a′a″稱為投影連線，aa′與X軸交于，a′a″與OZ軸交于。a與a″相連的方法，作圖時常以圖2-19（c）所示的方法，借助45°斜角線或圓弧線來完成。

第二章投影的基本知識從圖中可以看出點的投影規(guī)律：（1）點的V面投影a′和H面投影a的連線垂直于OX軸（aa′⊥OX）。（2）點的V面投影a′和W面投影a″的連線垂直于OZ軸（a′a″⊥OZ）。（3）點的H面投影a到OX軸的距離等于點的W面投影a″到OZ軸的距離（aax=a″az)。由此可見，在點的三面正投影圖中，任何兩個投影都有一定的聯(lián)系，因此，只要給出一點的任意兩個投影，就可以求出其第三個投影。

第二章投影的基本知識【例2.1】已知點A的H面、V面投影a、a′，求作點A的W面投影a″。根據(jù)點的投影關(guān)系，a″的作法如圖2-20所示。

圖2-20已知點的兩投影作第三投影第二章投影的基本知識2.點的坐標(biāo)

在三投影面體系中，空間點及其投影的位置可以由點的坐標(biāo)來確定，將三面投影體系看作一個空間直角坐標(biāo)系，O點為坐標(biāo)原點，X軸、Y軸、Z軸為坐標(biāo)軸，H面、V面、W面為坐標(biāo)平面。則空間一點A到三個投影面的距離，就是點A的三個坐標(biāo)（x、y、z），即點A到W面的距離為x坐標(biāo)（Aa″=Oax=x坐標(biāo)）；點A到V面的距離為y坐標(biāo)（Aa′=Oay=y坐標(biāo)）；點A到H面的距離為z坐標(biāo)（Aa=Oaz=z坐標(biāo)）。第二章投影的基本知識

因此點A的空間坐標(biāo)可表示為A（x，y，z），點A在三個投影面上的分別表示為a（x、y、0）、a′（x、0、z）、a″（0、y、z）。如圖2-21所示。圖2-21點的坐標(biāo)第二章投影的基本知識【例2.2】已知A點的坐標(biāo)為x=20，y=10，z=15，即A（20、10、15），求作A點的三面投影圖（作法見圖2-22）。圖2-22根據(jù)點的坐標(biāo)作投影圖

第二章投影的基本知識3.兩點的相對位置

兩點的相對位置指兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。在投影圖中，x坐標(biāo)可確定點在三投影面體系中的左右位置，y坐標(biāo)可確定點的前后位置，z坐標(biāo)可確定點的上下位置。在圖2-23中，B點在A點之左、之下、之前。第二章投影的基本知識圖2-23兩點的相對位置第二章投影的基本知識2.3.2直線的投影

直線對三個投影面的相對位置可分為投影面平行線、投影面垂直線及投影面傾斜線。前兩種稱為特殊位置直線。后一種稱為一般位置直線。1.投影面平行線

平行于某一投影面，而傾斜于另兩個投影面的直線。投影面平行線可分為：

水平線—平行于H面，傾斜于V、W面的直線。

正平線—平行于V面，傾斜于H、W面的直線。

側(cè)平線—平行于W面，傾斜于H、V面的直線。

投影面平行線的投影圖和投影特性見表2-1。

第二章投影的基本知識表2-1投影面平行線的投影圖和投影特性第二章投影的基本知識2.投影面垂直線

垂直于某一投影面，平行于另兩個投影面的直線稱為投影垂直線。投影面垂直線可分為：鉛垂線—垂直于H面，平行于V、W面的直線。正垂線—垂直于V面，平行于H、W面的直線。

側(cè)垂線—垂直于W面，平行于H、V面的直線。

投影面垂直線的投影圖和投影特性見表2-2。第二章投影的基本知識表2-2投影面垂直線的投影圖和投影特性第二章投影的基本知識3.一般位置線

對三個投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。一般位置直線在各投影面上的投影都傾斜于投影軸，且都不反映實長，各個投影與投影軸的夾角都不反映該直線對投影面傾角的真實大小。一般位置直線的投影，如圖2-24所示。

圖2-24一般位置直線的投影第二章投影的基本知識4.直線上的點

（1）直線上的點的投影，必定在該直線的同面投影上。反之，一個點的各個投影都在直線的同面投影上，則此點必定在該直線上。如果點有一個投影不在該直線的同面投影上，則此點一定不在該直線上。由此可以判斷一個點是否在直線上。如圖2-25所示。圖2-25屬于直線的點的投影第二章投影的基本知識

在圖2-25中可以看出，E點的H面投影e在直線AB的H面投影ab上，E點的V面投影e′在直線的V面投影a′b′上，所以E點在直線AB上。而F點的H面投影f在直線AB的H面投影ab上，F(xiàn)點的V面投影f′不在直線AB的V面投影a′b′上，所以F點不在直線AB上。（2）若直線上的點分線段成比例，則此點的各投影相應(yīng)地分線段的同面投影成相同的比例（定比性）。

如圖2-25（a）中，點E分空間直線AE和EB成兩段，則有第二章投影的基本知識【例2.3】已知線段AB的投影ab和a′b′，M點在AB上，且AM：MB=2：3，求M點的投影。作法見圖2-26。

圖2-26求直線AB上分點M的投影第二章投影的基本知識5.兩直線的相對位置

空間兩直線的相對位置有相交、平行和交叉三種。（1）兩直線平行aVHc

bcdABCDb

d

a

投影特性：

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。HVABCDKabcdka

b

c

k

d

abcdb

a

c

d

kk

x第二章投影的基本知識（2）兩直線相交交點是兩直線的共有點o判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。第二章投影的基本知識（3）兩交叉直線d

b

a

abcdc'1

(2

)3(4)●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點。12●●3

4

●●投影特性：同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。“交點”是兩直線上的一對重影點的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。第二章投影的基本知識6.兩直線相互垂直的投影特性（1）垂直相交的兩直線的投影定理一垂直相交的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理二相交兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第二章投影的基本知識（2）交叉垂直的兩直線的投影定理三相互垂直的兩直線，其中有一條直線平行于投影面時，則兩直線在該投影面上的投影仍反映直角。定理四兩直線在同一投影面上的投影反映直角，且有一條直線平行于該投影面，則空間兩直線的夾角必是直角。第二章投影的基本知識cXb

a

c

ba垂直相交的兩直線的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab

ac第二章投影的基本知識交叉垂直的兩直線的投影AB垂直于AC,且AB平行于H面,則有ab

ac第二章投影的基本知識2.3.3平面的投影