廣東省廣州市廣雅中學2024年中考數學模擬精編試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.某品牌的飲水機接通電源就進入自動程序：開機加熱到水溫100℃,停止加熱，水溫開始下降，此時水溫（°C）與

開機后用時（加加）成反比例關系，直至水溫降至30C,飲水機關機.飲水機關機后即刻自動開機，重復上述自動程

序.若在水溫為30c時，接通電源后，水溫y（C）和時間x（min）的關系如圖所示，水溫從100C降到35c所用的

時間是（）

Q儂

07(minj

A.27分鐘B.20分鐘C.13分鐘D.7分鐘

2.(2017啷州)如圖四邊形ABC。中,AD〃BCtNbCD=900,A3=5C+AD,NOAC=45o,￡為CD上一點，且N5AE=45。.若

CD=4,則△ABE的面積為()

/

AD

A.HB*c.2D.a

3.已知正比例函數y=kx(k30)的圖象經過點(1,-3),則此正比例函數的關系式為（）.

1

A.y=-3xB.y=3xC.y=D.y=~3X

4.如圖，QABCD的對角線AC,BD用交于點O,E是AB中點，且AE+EO=4,貝gABCD的周長為（）

5.已知M,N,P,Q四點的位置如圖所示，下列結論中，正確的是()

B.NNOP=132。

C.NPON比大D.NMO。與NMO尸互補

6.對于下列調查：①對從某國進口的香蕉進行檢驗檢疫；②審查某教科書稿；③中央電視臺“雞年春晚”收視率.其中

適合抽樣調查的是()

A.①?B.①?C.②③D.①②③

7.利用運算律簡便計算52x(-999)+49x(-999)+999正確的是

A.-999x(52+49)=-999x101=-100899

B.-999x(52+49-1)=-999x100=-99900

C.-999x(52+49+1)=-999x102=701898

D.999x(52+4999)=999x2=1998

8.如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為(-3,-4),頂點C在x軸的負半軸上，函數y='(x<0)

x

的圖象經過菱形OABC中心E點，則k的值為()

A.6B.8C.10D.12

9.某圓錐的主視圖是一個邊長為3cm的等邊三角形，那么這個圓錐的側面積是()

A.4.5ncm2B.3cm2C.47rcm2D.37tcm2

10.下列命題是假命題的是()

A.有一個外角是120。的等腰三角形是等邊三角形

B.等邊三角形有3條對稱軸

C.有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等

D.有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等

11.如圖在△ABC中，AC=BCt過點。作a）_LA3,垂足為點&,過&作O￡〃3C交AC于點E,若AD=6,AE

=5,貝］sinNEOC的值為（）

12.如圖，已知E,B,F,C四點在一條直線上，EB=CF,/A=ND,添加以下條件之一,仍不能證明一ABCMDEF

的是（）

A.4=/ABCB.AB=DEC.AB//DED.DF//AC

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖是一位同學設計的用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖.點尸處放一水平的平面鏡，光線從點4出發經平

面鏡反射后剛好到古城墻C&的頂端C處，已知人CD±BD,測得米，月尸=3米，P&=15米，那么

該古城墻的高度CD是米.

3

14.如圖，在菱形ABCD中，DE_LAB于點E,cosA=-,BE=4,貝JtanNDBE的值是___

15.正方形EFGH的頂點在邊長為3的正方形ABCD邊上，若AE=x,正方形EFGH的面積為y,則y與x的函數關

系式為.

圖2

20.（6分）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點（不與點A重合）.DE〃AB交AC于點F,CE/7AM,

連結AE.

（1）如圖1,當點D與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形;

（2）如圖2,當點D不與M重合時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由.

（3）如圖3,延長BD交AC于點H,若BH_LAC,且BH=AM.

①求/CAM的度數:

②當FH=百，DM=4時，求DH的長.

21.（6分）某學?！爸腔鄯綀@”數學社團遇到這樣一個題目：

如圖1,在△ABC中，點O在線段BC上，ZBAO=30",ZOAC=75°,AO=3^，BO：CO=1：3,求AB的長.

經過社團成員討論發現，過點B作BD〃AC,交AO的延長線于點D,通過構造△ABD就可以解決問題（如圖2）.

請回答：ZADB=。，AB=.請參考以上解決思路，解決問題：

如圖3,在四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O,AC±AD,AO=3^，ZABC=ZACB=75°,BO：OD=1：

3,求DC的長.

AAA

D

BOCB、、、；0c/

（圖i）D（圖2）

c（圖3）

22.（8分）問題提出

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD的中點，則NAEBZACB（填

問題探究

（2）如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點，當點P位于何處時，NAPB最大？并說明理由；

問題解決

（3）如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側面上、下邊沿相距6米（即AB=6米），下邊沿到地面的

距離BD=H.6米.如果小剛的睛睛距慎地面的高度EF為1.6米，他從遠處正對廣告牌走近時，在P處看廣告效果」最

好（視角最大），請你在圖③中找到點P的位置,并計算此時小剛與大樓AD之間的距離.

23.（8分）一個不透明的袋子中，裝有標號分別為1、?1、2的三個小球，他們除標號不同外，其余都完全相同；

（1）攪勻后，從中任意取一個球，標號為正數的概率是;

（2）攪勻后，從中任取一個球，標號記為k,然后放回攪勻再取一個球，標號記為b,求直線嚴自+力經過一、二、

三象限的概率.

4a

24.（10分）如果a2+2a-l=0,求代數式5―？〉/一的值.

aa-2

25.（10分）如圖，正方形ABCD的邊長為2,BC邊在x軸上，BC的中點與原點O重合，過定點M（-2,0）與動點

P（0,t）的直線MP記作1.

⑴若1的解析式為y=2x+4,判斷此時點A是否在直線【上，并說明理由；

⑵當直線1與AD邊有公共點時，求t的取值范圍.

26.（12分）已知：如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在BC和CD上，AE=AF.

連接AC交EF于點O,延長OC至點M,使OM=OA,連接EM、FM.判

斷四邊形AEMF是什么特殊四邊形？并證明你的結論.

27.（12分）如圖，小巷左石兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離8c為0.7米，梯子

頂端到地面的距離AC為2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，梯子頂端到地面的距離4刃為

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、C

【解析】

先利用待定系數法求函數解析式，然后將產35代入，從而求解.

【詳解】

解：設反比例函數關系式為：y=白，將(7,100)代入，得k=700,

X

700

??y=----,

x

33、700

將y=35代入y=------,

x

解得20；

，水溫從100℃降到35c所用的時間是：20-7=13,

故選C.

【點睛】

本題考查反比例函數的應用，利用數形結合思想解題是關鍵.

2、I)

【解析】解：如圖取CD的中點F,連接BF延長BF交AD的延長線于G,作FHA.AB于H,EK1.AB于K.作BTLAD

干7:":RC〃AG,：.ZRCF=ZFDG,VZBFC=ZDFG.FC=DF.：./\RCF^/^GDF.:?RC=DG.RF二FG.

*：AB=BC+ADfAG=AD+DG=AD+BCf：.AB=AGf*：BF=FGt：.BFA.BG,NABF=NG=NCBF,?:FH工BA,FC±BC,

：.FH=FCf易證AFB8AFBH,bFA啥MAD,:?BC=BH,AD=ABf由題意AD=OC=4,設BC=TD=BH=x,在

222

中，(x+4)=4+(4-x),：.x=l,:.BC=BH=TD=1,AI3=5t設AA=￡K=y,DE=zr

*：AE^AI^+EK^AD^DE2,8/^^"心+猿杼二月8+石。，，42+z2=)，2①，(5-y)2+j2=12+(4-z)2@,由①②可得y=^,

.,.SA4?￡=^x5xi?,故選D.

.

點睛：本題考查直角梯形的性質、全等三角形的判定和性質、角平分線的性質定理、勾股定理、二元二次方程組等知

識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，學會利用參數，構建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

3、A

【解析】

根據待定系數法即可求得.

【詳解】

解：:正比例函數尸Ax的圖象經過點（1,-3）,

:.-3=k,即k=-3,

，該正比例函數的解析式為：y=-3x.

故選A.

【點睛】

此類題目需靈活運用待定系數法建立函數解析式，然后將點的坐標代入解析式，利用方程解決問題.

4、B

【解析】

首先證明：OEWBC,由AE+EO=4,推出AB+BC=8即可解決問題；

.

【詳解】

???四邊形ABCD是平行四邊形，

AOA=OC,

VAE=EB,

AOE=^BC,

VAE+E0=4,

A2AE+2EO=8,

/.AB+BC=8,

???平行四邊形ABCD的周長=2x8=16,

故選：B.

【點睛】

本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握

三角形的中位線定理，屬于中考?？碱}型.

5、C

【解析】

試題分析：如圖所示：ZNOQ=138°,選項A錯誤；ZNOP=48°,選項B錯誤；如圖可得NPON=48。，ZMOQ=42°,

所以NPON比NMOQ大，選項C正確；由以上可得，NMOQ與NMOP不互補，選項D錯誤.故答案選C.

考點：角的度量.

6、B

【解析】

根據普查得到的調查結果比較準確，但所費人力、物力和時間較多，而抽樣調查得到的調查結果比較近似解答.

【詳解】

①對從某國進口的香蕉進行檢驗檢疫適合抽樣調查；

②審查某教科書稿適合全面調查；

③中央電視臺“雞年春晚”收視率適合抽樣調查.

故選B.

【點睛】

本題考查了抽樣調查和全面調查的區別，選擇普查還是抽樣調查要根據所要考查的對象的特征靈活選用，一般來說，

對于具有破壞性的調查、無法進行普查、普查的意義或價值不大，應選擇抽樣調查，對于精確度要求高的調查，事關

重大的調查往往選用普查.

7、B

【解析】

根據乘法分配律和有理數的混合運算法則可以解答本題.

【詳解】

原式=-999x(52+49-1)=-999x100=-1.

故選B.

【點睛】

本題考查了有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法.

8、B

【解析】

根據勾股定理得到+4?=5,根據菱形的性質得到A8=Q4=5,Ab〃x軸，求得8(?8,?4),得到￡(?4,?2),

于是得到結論.

【詳解】

???點4的坐標為(?3,-4),

OA=^324-42=5,

???四邊形4OCB是菱形，

：.AB=OA=5f"〃x軸，

：.B(-8,-4),

V點E是菱形AOCB的中心，

：.E(-4,-2),

??.A=-4x(-2)=8,

故選B.

【點睛】

本題考杳了反比例函數圖象上點的坐標特征，菱形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是解題的關鍵.

9、A

【解析】

根據己知得出圓錐的底面半徑及母線長，那么利用圓錐的側面積=底面周長x母線長乜求出即可.

【詳解】

:圓錐的軸截面是一個邊長為3cm的等邊三角形，

工底面半徑=1.5cm,底面周長=37tcm,

，圓錐的側面積=93型3=4.5酸!112,

■

故選A.

【點睛】

此題主要考查了圓錐的有關計算，關鍵是利用圓錐的側面積;底面周長x母線長+2得出.

10、C

【解析】

解：A.外角為120。，則相鄰的內角為60。，根據有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形可以判斷，故A選項正

確；

B.等邊三角形有3條對稱軸，故B選項正確；

C.當兩個三角形中兩邊及一角對應相等時，其中如果角是這兩邊的夾角時，可用SAS來判定兩個三角形全等，如果

角是其中一邊的對角時，則可不能判定這兩個三角形全等，故此選項錯誤；

D.利用SSS.可以判定三角形全等.故D選項正確；

故選C.

11、A

【解析】

由等腰三角形三線合一的性質得出AD=DB=6,ZBDC=ZADC=90°,由AE=5,DE〃BC知AC=2AE=10,

ZEDC=ZBCD,再根據正弦函數的概念求解可得.

【詳解】

:△ABC中，AC=BCt過點。作

：.AD=DB=6fZBDC=ZADC=9O°t

*：AE=5,DE//BC,

，AC=24E=10,NEDC=NBCD,

BD63

AsinZ￡DC=sinZBCD=——=—=-,

BC105

故選：A.

【點睛】

本題主要考查解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握等腰三角形三線合一的性質和平行線的性質及直角三角形的性質

等知識點.

12、B

【解析】

由EB=CF,可得出EF=BC,又有NA=ND,本題具備了一組邊、一組角對應相等，為了再添一個條件仍不能證明

△ABC^ADEF,那么添加的條件與原來的條件可形成SSA,就不能證明△ABC^ADEF了.

【詳解】

A.添加/E=/ABC,根據AAS能證明-ABCg/DEF,故A選項不符合題意.

B.添加DE=AB與原條件滿足SSA,不能證明ABC^DEF,故B選項符合題意；

C.添加AB〃DE,可得NE=/ABC,根據AAS能證明jABCg’.DEF,故C選項不符合題意；

D.添加DF//AC,可得/DFE=/ACB,根據AAS能證明，一ABC烏/DEF,故D選項不符合題意，

故選B.

【點睛】

本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.注意：AAA、

SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊

的夾角.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、10

【解析】

首先證明△ABPs^CDP,可得卷=需，再代入相應數據可得答案.

【詳解】

如圖，

C

PD

由題意可得：NAPE=NCPE,

AZAPB=ZCPD,

VAB±BD,CD±BD,

AZABP=ZCDP=90°,

/.△ABP^ACDP,

ABCD

??=?

BPPD

???AB=2米，BP=3米，PD=15米，

.2CD

..—=-----，

315

解得：CD=10米.

故答案為10.

【點睛】

本題考查了相似二角形的應用.解題的關鍵是熟練的掌握相似二角形的應用.

14、1.

【解析】

求出AD=AB,設AD=AB=5x,AE=3x,則5x-3x=4,求出x,得出AD=10,AE=6,在R3ADE中，由勾股定理求

DE

出DE=8,在RSBDE中得出tan/O3E=——，代入求出即可，

BE

【詳解】

解：???四邊形ABCD是菱形，

AAD=AB,

3,

Vcos?!=—,BE=4,DE±AB,

5

?,?設AD=AB=5x,AE=3x,

則5x-3x=4,

x=l,

BPAD=10,AE=6,

在R3ADE中，由勾股定理得：DE=V102-62=8,

DE8

在RtABDE中，tan/DBE=——=-=2,

BE4

故答案為：1.

【點睛】

本題考查了菱形的性質，勾股定理，解直角三角形的應用，關鍵是求出DE的長.

15、y=2x2-6x+2

【解析】

由AAS證明△DHEgZXAEF,得出DE=AF=x,DH=AE=l-x,再根據勾股定理，求出EHz,即可得到y與x之間的函

數關系式.

【詳解】

如圖所示：

丁四邊形ABCD是邊長為1的正方形，

AZA=ZD=20°,AD=1.

AZ1+22=20°,

???四邊形EFGH為正方形，

/.ZHEF=20°,EH=EF.

AZ1+21=20°,

AZ2=Z1,

在4AHE與4BEF中

ZANA

?Z2=Z3,

EH=EF

AADHE^AAEF(AAS),

.\DE=AF=x,DH=AE=l-x,

在RtAAHE中，由勾股定理得：

EH2=DE2+DH2=x2+(1-x)2=2x2-6x+2；

即y=2x2-6x+2(0<x<l),

故答案為y=2x2?6x+2.

【點睛】

本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理，本題難度適中，求出y與x之間的函數關系式是解

題的關鍵.

16、1.4

【解析】

由概率估計圖案在整副畫中所占比例，再求出圖案的面積.

【詳解】

估計宣傳畫上世界杯圖案的面積約為3xlx0.4=1.4i/.

故答案為1.4

【點睛】

本題考核知識點：幾何概率.解題關鍵點：由幾何概率估計圖案在整副畫中所占比例.

17、4

【解析】

連接。只08把兩部分的面積均可轉化為規則圖形的面積，不難發現兩部分面積之差的絕對值即為△BOP的面積的

2倍.

【詳解】

解：連接OP、OB,

V圖形BAP的面積=△AOB的面積+△BOP的面積+扇形OAP的面積，

圖形BCP的面積=△BOC的面積+扇形OCP的面積-△BOP的面積，

又丁點尸是半圓弧AC的中點，Q4=OC,

，扇形0AP的面積:扇形OCP的面積，△AOB的面積=△HOC的面積,

???兩部分面積之差的絕對值是2sHOP=OPOC=4.

點睛：考查扇形面積和三角形的面積，把不規則圖形的面積轉化為規則圖形的面積是解題的關鍵.

2

18、-

3

【解析】

畫樹狀圖列出所有等可能結果，從中找到能兩次摸到的球上數之和是負數的結果，根據概率公式計算可得.

【詳解】

解：畫樹狀圖如下：

-2-11

4AA

-2-11-2-11-2-11

由樹狀圖可知共有9種等可能結果，其中兩次摸到的球上數之和是負數的有6種結果，

所以兩次摸到的球上數之和是負數的概率為號二|,

2

故答案為：

3

【點睛】

本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于

兩步完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、(1)BG=AE.(2)①成立BG=AE.證明見解析.②AF=2舊.

【解析】

(1)由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADE^ABDG就可以得出結論；

(2)①如圖2,連接AD,由等腰直角三角形的性質及正方形的性質就可以得出△ADEgZkBDG就可以得出結論；

②由①可知BG=AE,當BG取得最大值時，AE取得最大值，由勾股定理就可以得出結論.

【詳解】

(1)BG=AE.

理由：如圖1,???2XABC是等腰直角三角形,NBAC=90。，點D是BC的中點，

AAD±BC,BD=CI),

/.ZADB=ZADC=90°.

???四邊形DEFG是正方形，

ADE=DG.

在^BDGWAADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

.,.△ADE^ABDG(SAS),

/.BG=AE.

故答案為BG=AE；

⑵①成立BG=AE.

理由：如圖2,連接AD,

G

Y：\7尼

I/\t

I/\l

BDc

圖2

???在RSBAC中，D為斜邊BC中點，

AAD=BD,AD1BC,

，NADG+NGDB=90。.

???四邊形EFGD為正方形，

:.DE=DG且NGDE=90。,

/.ZADG+ZADE=90°,

AZBDG=ZADE.

在△BDG和△ADE中，

BD=AD,ZBDG=ZADE,GD=ED,

.,.△BDG^AAI)E(SAS),

.\BG=AE；

@VBG=AE,

，當BG取得最大值時，AE取得最大值.

如圖3,當旋轉角為270。時，BG=AE.

VBC=DE=4,

ABG=2+4=6.

AAE=6.

在RSAEF中，由勾股定理，得

AF=J八爐+石產=.36+16，

???AF=2而,

本題考查的知識點是全等三角形的判定與性質及勾股定理及正方形的性質和等腰直角三角形，解題的關鍵是熟練的掌

握全等三角形的判定與性質及勾股定理以及正方形的性質和等腰直角三角形.

20、(1)證明見解析；(2)結論：成立.理由見解析；(3)①30。，②1+逐.

【解析】

(1)只要證明AB=ED,AB〃ED即可解決問題；(2)成立.如圖2中，過點M作MG〃DE交CE于G.由四邊形

DMGE是平行四邊形，推出ED=GM,且ED〃GM,由(1)可知AB=GM,AB/7GM,可知AB〃DE,AB=DE,即

可推出四邊形ABDE是平行四邊形；

(3)①如圖3中，取線段HC的中點I,連接ML只要證明MI±AC,即可解決問題；②設DH=x,則

2

HFHD

AH=V3x,AD=2x,推出AM=4+2x,BH=4+2x,由四邊形ABDE是平行四邊形，推出DF〃AB,推出——=——,

HAHB

可得解方程即可；

yJ3x4+2x

【詳解】

(1)證明：如圖1中，

VDE/7AB,

/.ZEDC=ZABM,

VCE/7AM,

AZECD=ZADB,

??,AM是AABC的中線，且D與M重合，

ABD=DC,

/.△ABD^AEDC,

AAB=ED,VAB/7ED,

，四邊形ABDE是平行四邊形.

(2)結論：成立.理由如下：

如圖2中，過點M作MG〃DE交CE于G.

VCE/7AM,

???四邊形DMGE是平行四邊形，

AED=GM,且ED〃GM,

由(1)可知AB=GM,AB/7GM,

???AB〃DE,AB=DE,

:.四邊形ABDE是平行四邊形.

(3)①如圖3中，取線段HC的中點I,連接ML

VBM=MC,

???MI是ABHC的中位線,

/.MI//BH,MI=1BH,

2

VBHXA-C,且BH=AM.

AMI=-AM,MI±AC,

2

AZCAM=30°.

②設DH=x,貝！JAH=6X,AD=2X,

AAM=4+2x,

ABH=4+2x,

???四邊形ABDE是平行四邊形，

ADF/7AB,

.HFHD

HAHB

.5/3x

,,后

解得x=l+&或1?6(舍棄)，

/.DH=1+V5.

【點睛】

本題考查了四邊形綜合題、平行四邊形的判定和性質、直角三角形30度角的判定、平行線分線成比例定理、三角形的

中位線定理等知識，解題的關鍵能正確添加輔助線，構造特殊四邊形解決問題.

21、(1)75；4G(2)CD=4Vi3.

【解析】

(D根據平行線的性質可得出NADB=NOAC=75。，結合NBOD:NCOA可得出ABODs/XcOA,利用相似三角形

的性質可求出OD的值，進而可得出AD的值，由三角形內角和定理可得出NABD=75o=NADB,由等角對等邊可得

出AB=AD=4后，此題得解；

(2)過點B作BE〃AD交AC于點E,同(1)可得出AE=4百，在RtAAER中，利用勾股定理可求出RE的長度,

再在RSCAD中，利用勾股定理可求出DC的長，此題得解.

【詳解】

解：⑴VBD//AC,

AZADB=ZOAC=75O.

VZBOD=ZCOA,

AABOD^ACOA,

.ODOB_\

，，-5A-0C-3,

又..,AO=3G，

r.OD=-AO=V3,

3

.?.AD=AO+OD=4V3.

VZBAD=30°,ZADB=75°,

/.ZABD=1800-ZBAD-ZADB=75°=ZADB,

/.AB=AD=473.

(2)過點B作BE〃AD交AC于點E,如圖所示.

VAC±AD,BE〃AD,

.\ZDAC=ZBEA=90°.

VZAOD=ZEOB,

AAAOD^AEOB,

.BOEOBE

99~DO~~^O~~DA'

VBO：OD=1：3,

?EOBE_\

??茄一說一于

VAO=3x/3,

：.EO=yjjt

，AE=46.

VZABC=ZACB=75°,

AZBAC=30°,AB=AC,

AAB=2BE.

在RtAAEB中，BE2+AE2=AB2,即(473)2+BE2=(2BE)2,

解得：BE=4,

A/kB=zkC=8,AD=1.

在RtACAD中，AC2+AD2=CD2,BP82+l2=CD2,

解得：CD=4V13.

【點睛】

本題考查了相似三角形的性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理以及平行線的性質，解題的關鍵是：(1)利用相

似三角形的性質求出OD的值；(2)利用勾股定理求出BE、CD的長度.

22、(1)>；(2)當點P位于CD的中點時，NAPB最大，理由見解析；(3)4加米.

【解析】

(1)過點E作E尸于點尸，由矩形的性質和等腰三角形的判定得到：AAEF是等腰直角三角形，易證NAEb=90。,

而NACBV90。，由此可以比較NAE3與NAC8的大小

(2)假設尸為CO的中點，作AAPB的外接圓。O,則此時CO切0。于P,在C&上取任意異于尸點的點E,連接

AE.與G)O交千點尸.連接BE、BFt由是△B尸B的夕卜角.^ZAFB>ZAEB,且/A尸B與NAPB均為G)O

中弧AB所對的角，則N4尸氏即可判斷乙4PB與NAEB的大小關系，即可得點P位于何處時，N4PB最大;

(3)過點E作CE〃。凡交AO于點C,作AB的垂直平分線，垂足為點。，并在垂直平分線上取點0,使O4=C0,

以點。為圓心，08為半徑作圓，則。。切CE于點G,連接0G,并延長交D尸于點P,連接QL再利用勾股定理

以及長度關系即可得解.

【詳解】

如圖1,過點E作EF1.AB于點F,

;在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD中點,

???四邊形ADEF是正方形，

/.ZAEF=45°,

同理，NBEF=45。，

:.ZAEB=90°.

而在直角△ABC中，ZABC=90°,

r.ZACB<90°,

AZAEB>ZACB.

故答案為：>;

(2)當點P位于CD的中點時，NAPB最大，理由如下：

假設P為CD的中點，如圖2,作AAPB的外接圓。O,則此時CD切。O于點P,

在CD上取任意異于P點的點E,連接AE,與。O交于點F,連接BE,BF,

TNAFB是^EFB的外角，

，NAFB>NAEB,

VZAFB=ZAPB,

AZAPB>ZAEB,

故點P位于CD的中點時，NAPB最大：

(3)如圖3,過點E作CE〃DF交AD于點C,作線段AB的垂直平分線，垂足為點Q,并在垂直平分線上取點O,

以點O為圓心，OA長為半徑作圓，則。O切CE于點G,連接OG,并延長交DF于點P,此時點P即為小剛所站的

位置，

由題意知DP=OQ={0A2-AQ'

VOA=CQ=BD+QB-CD=BD+^AB-CD,

BD=11.6米，2AB=3米，CD=EF=1.6米，

AOA=11.6+3-1.6=13米，

???DP=7132-32=

即小剛與大樓AD之間的距離為冰時看廣告牌效果最好.

【點睛】

本題考查了矩形的性質，正方形的判定與性質，圓周角定理的推論，三角形外角的性質，線段垂直平分線的性質，勾

股定理等知識，難度較大，熟練掌握各知識點并正確作出輔助圓是解答本題的關鍵.

23>(1)—：(2)—

39

【解析】

【分析】(1)直接運用概率的定義求解；(2)根據題意確定k>0,b>0,再通過列表計算概率.

【詳解】解：(1)因為1、-1、2三個數中由兩個正數，

所以從中任意取一個球，標號為正數的概率是|.

(2)因為直線8經過一、二、三象限，

所以k>0,b>0,

又因為取情況：

kb1-12

11,11,11,2

-1-1,1-1,-1-1.2

22,12,-12,2

共9種情況，符合條件的有4種，

4

所以直線廠履+力經過一、二、三象限的概率是

【點睛】本題考核知識點：求規概率.解題關鍵：把所有的情況列出，求出要