廣東省初中數學中考命題規律分析

目錄

【模塊一】知識模塊考查題量分布.......................................1

【模塊二】經典題型分析...............................................2

經典考查題型一：用科學記數法表示數（易）.........................2

經典考查題型二：幾何體的三視圖及立體圖形三視圖（易）............4

經典考查題型三：代數式化簡求值（易）.............................6

經典考查題型四：統計與概率綜合（中）.............................8

經典考查題型五：方程、不等式的實際應用問題（中）...............15

經典考查題型六：圓綜合（難）....................................18

經典考查題型七：二次函數綜合（難）..............................25

經典考查題型八：幾何綜合（難）..................................35

2021-2023年廣東省初中數學中考命題規律分析

【模塊一】知識模塊考查題量分布

圖形的統計與概

模塊名稱數與式方程與不等式函數圖形的性質

變化率

東莞市

中山市

韶關市

珠海市

汕頭市

佛山市

近

江門市

湛江市

年

茂名市

中

肇慶市169141886

考

惠州市

題

梅州市

考

汕尾市

查

河源市

題

陽江市

量

清遠市

潮州市

揭陽市

云浮市

廣/p>

深圳市178101588

考情分析:

。東省除廣州市和深圳市獨立命題外，其他各市的中考數學考試內容是相同的（后續統一命'

名為廣東）.從近幾年的數學試意來看，重點考查叢礎知識和基本技能，知識點考查的比較全

面，但思維難度不大，大多數題目屬于中等偏易類題目，做好基礎知識的復習是取得高分的

關鍵；

壓軸題多以代幾綜合類題目為主，其考查方向相對比較靈活，因此需要復習的覆蓋面也會隨

之增大.

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【模塊二】經典題型分析

經典考查題型一：用科學記數法表示數（易）

NO1.題型特點

給出較大的數或遠小于1妁數，要求用科學記數法將該數表示出來.

NO2.解題技能

<\

用科學記數法表示數的最終結果是。xl（）"的形式，具體的方法是移動小數點法，小數點移動

的位數決定了〃的值：小數點向左移動，〃為正；小數點向右移動，"為負.

注意：〃的取值范圍要求是iKavlO.

NO3.經典考題

1.（2023?廣東）2023年5月28日，我國自主研發的。919國產大飛機商業首航取得圓滿成

功.0919可儲存的186000升燃油，將數據186000用科學記數法表示為（）

A.0.186X105B.1.86x105C.18.6xl04D.186xl0*1234

【解答】解：將186000用科學記數法表示為：1.86X1O5.

故選：B.

2.（2023?深圳）深中通道是世界級“橋、島、隧、水下互通”跨海集群工程，總計用了320000

萬噸鋼材，320000這個數用科學記數法表示為（）

A.0.32xlO6B.3.2x10’C.3.2x10°D.32x10s

【解答】解：320000=3.2x10$.

故選：B.

3.（2022?深圳）某公司一年的銷售利潤是1.5萬億元.1.5萬億用科學記數法表示為（）

A.0.15x10"B.1.5x!012C.1.5x10"D.15xlO12

【解答】解：1.5萬億=1500000000000=1.5x1（）12.

故選：3.

4.（2021?廣東）據國家衛生健康委員會發布，截至2021年5月23日，31個省（區、市）

及新疆生產建設兵團累計報告接種新冠病毒疫苗51085.8萬劑次，將“51085.8萬”用科學

記數法表示為（）

A.0.510858xIO9B.51.0858xl07C.5.10858xIO4D.5.10858x1（/

【解答】解：51085.8萬=510858000=5.10858x1()8,

故選：D.

5.(2023?廣州)近年來，城市電動自行車安全充電需求不斷攀升.截至2023年5月底，某

市已建成安全充電端口逾280000個，將280000用科學記數法表示為.

【解答】解：280000=2.8xlO5,

故答案為：2.8xl()5.

經典考查題型二：幾何體的三視圖及立體圖形三視圖（易）

NO1.題型特點

直接識別已知的簡單幾何體或組合體的三視圖，或根據三視圖判斷簡單幾何體或組合體的形

狀.

\/

NO2.解題技能

公記主視圖、.在視圖和俯視圖的準確定義，掌握三個視圖之間的關聯.從左面看-左視圖,從'

上而看-俯視圖，從正面看-主視圖.

注意：看得到的線用實線，看不到但存在的線用虛線表示.

\______________________________________7

NO3.經典考題

I.（2023?廣州）一個幾何體的三視圖如圖所示，則它表示的幾何體可能是（）

【解答】解：由主視圖和左視圖可以得到該兒何體是圓柱和小圓錐的復合體，由俯視圖可以

得到小圓錐的底面和圓柱的底面完全重合.

故選：D.

2.（2022?廣州）如圖是一個幾何體的側面展開圖，這個幾何體可以是（）

【解答】解：圓錐的側面展開圖是扇形，

???判斷這個幾何體是圓錐.

故選：A.

3.（2021?廣東）下列圖形是正方體展開圖的個數為（）

故選：c.

4.（2021?深圳）如圖是一個正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體后，和“建”字所

在面相對的面上的字是（）

A.跟B.百C.走

【解答】解：正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，和“建”字所在面

相對的面上的字是“百”.

故選：B.

經典考查題型三：代數式化簡求值（易）

NO1.題型特點

代數式的化簡求值既包括整式的化簡求值問題，又包括分式的化簡求值問題；此類問題的經

典題型包括：直接代入型、整體代入型和消元代入型（常出現在分式的化簡求值問題中）.

\_________________________________________________________________________________

NO2.解題技能

化簡求值問題的表本解題要求是：先化藺，再求值

注意：化簡結果和求值結果都是非常重要的得分點，要注意規范解題步驟.

\____________________________________；________________________________/

NO3.經典考題

1.（2023?廣州）已知”>3，代數式：A=2/_8,B=3a*2+6a,C=/—4/+4a.

（1）因式分解4：

（2）在A,4,C中任選兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式，并化簡該分

式.

【解答】解：（1）2a2-8

=2（/-4）

=2(6/+2)(a-2)；

（2）選A,8兩個代數式，分別作為分子、分母，組成一個分式（答案不唯一）,

2(a+2)(a—2)

3a(a+2)

2(a—2)

3a

|x2-I

2.（2023?深圳）光化簡，再求值：（，+1）+工其11x=3.

x-1X-2x+l

［解答］解：原式二上忙!.QT）2

x-\（x+l）（x-l）

xx-1

x-\x+\

X

.r+1

原式=工=之

當x=3時,

3+14

*2-*45\

3.(2022?廣東)先化簡，再求值：〃+-a----,其中a=5.

￡7-1

【解答】解：原式="("-)+'一

a-\

a2-a+a2-］

~'a^\

2a2-a-\

~~'a^\

_(2a+l)(a-l)

a-\

=2。+1,

當a=5時，原式=10+1=11.

4.(2022?深圳)化簡求值：(生匚一1)二:以+4,其中x=4.

XX-x

.hn3、Hn2A,-2x~—4x+4

【解答】解：(Z-------1)+—；------

XX-x

2x-2-x(A-2)2

=---------r------

xx(x-1)

x-2x(x-\)

x(x-2)2

x-\

=----9

x-2

當x=4時，

3

=-.

2

5.(2021?深圳)先化簡再求值：(，+1)J+6+9,其中彳=一1.

x+2x+3

［解答］解：原式=匕士.，」+3

x+2%'+6.v+9

_x+3x+3

x+2(x+3)2

1

-x+2'

當x=-1時，原式=---=I.

-1+2

經典考查題型四：統計與概率綜合（中）

NO1.題型特點

題干給出大量的文字和圖表信息，提煉題干中的關鍵信息，補全圖表并計算中位數、眾數、

方差、平均數等分析數據、推斷結論的合理性、已知部分求整體、已知整體求部分等等.

\/

NO2.解題技能

從先要看清給出的圖表標題，分析各個圖表一間的聯系，注取關鍵信息，掌握中位數、眾叁\

方差等分析數據代表的含義及具體的計算公式，已知部分求整體，已知整體求部分等補全圖

表的能力很重要.

注意：根據列表法或樹狀圖法求事件發生的概率也是常考的點.列表法適用于計算兩步隨機

七件發生的概率，而樹狀圖法適用于計算兩步及更多步的隨機事件發生的概率.

y

NO3.經典考題

1.（2023?深圳）為了提高某城區居民的生活質量，政府將改造城區配套設施，并隨機向某

居民小區發放調查問卷（1人只能投1票），共有休閑設施，兒童設施，娛樂設施，健身設施

4種選項，一共調查了〃人，其調查結果如下：

如圖，為根據調查結果繪制的扇形統計圖（圖1）和條形統計圖（圖2）,請根據統計圖I可答下

面的問題：

①調查總人數a=—人；

②請補充條形統計圖；

③若該城區共有10萬居民，則其中愿意改造“娛樂設施”的約有多少人？

④改造完成后，該政府部門向甲、乙兩小區卜.發滿意度調查問卷，其結果（分數）如卜.：

項目休閑兒童娛樂健身

小區

甲7798

乙8879

若以進行考核，小區滿意度（分數）更高;

若以進彳丁考核，—小區滿意度（分數）更高.

【解答】解：①，由題意得，=40-40%=100,

故答案為：100：

②樣本中“娛樂”的人數100-17-13-40=30（人），補全條形統計圖如下:

圖2

30

@100000x—=30000(人)，

1(X)

答：該城區1（）萬名居民中愿意改造“娛樂設施”的約有30000人;

④按照進行考核，甲：7+7+9+8=7.75（分），乙：8+8+7+9=8（分），因此乙

44

的較好,

按照進行考核，甲：7+7+18+8=8（分），-8+14+9=7.8（分），因此甲的較

1+1+2+11+1+2+1

好，

故答案為：乙，甲.

2.（2023?廣東）小紅家到學校有兩條公共汽車線路.為了解兩條線路的乘車所用時間，小

紅做了試驗，第一周（5個工作日）選擇A線路，第二周（5個工作日）選擇8線路，每天在

固定時間段內乘車2次并分別記錄所用時間.數據統計如下：（單位：min）

數據統計表

實驗序12345678910

號

A線路15321516341821143520

所用時

間

8線路25292325272631283024

所川時

間

根據以上信息解答卜.列問題:

平均數中位數眾數方差

A線路所用時間22a1563.2

4線路所用時間b26.5C6.36

(1)填空：a=；b=：c=；

(2)應用你所學的統計知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路.

數據折線統計圖

從小到大順序為：14,15,15,16,18,20,21,32,34,35.共有10個數,

中位數在第5和6個數為18和20,

所以中位數為心2=]9,

2

求平均數b-25+29+23+25+27+26+31+28+30+24_?68

10

眾數c=25,

故答案為；19,26.8,25.

（2）小紅統計的選擇A線路平均數為22,選擇6線路立均數為26.8,用時差不太多.而方

差63.2>6.36,相比較〃路線的波動性更小，所以選擇3路線更優.

3.（2022?廣州）某校在九年級學生中隨機抽取了若干名學生參加“平均每天體育運動時間”

的調查，根據調查結果繪制了如下不完整的頻數分布表和頻數分布直方圖.

頻數分布表

運動時間頻數頻率

//min

領數分布直方圖

3Q,/<6040.1頻數

（學生人數）

60,,t<9070.1756

4

2

9Q,/<120a0.350

8

6

12Q,r<15090.2254

2

150,,/<1806b0

合計n1

請根據圖表中的信息解答卜列問題：

（1）頻數分布表中的々=,b=,〃=；

（2）請補全頻數分布直方圖；

（3）若該校九年級共有480名學生，試估計該校九年級學生平均每天體育運動時間不低于

120min的學生人數.

【解答】解：（1）由題意可知，H=4^0.1=40,

.-.^=40x0.35=14,6=6+40=0.15,

故答案為：14；0.15；40；

（2）補全頻數分布直方圖如下：

頻數分布直方圖

（3）480x^2=180（名），

40

答：估計該校九年級學生平均每天體育運動時間不低于120min的學生人數為180名.

2.（2022?深圳）某工廠進行廠長選拔，從中抽出一部分人進行篩選，其中有“優秀”，“良

好”，“合格”，“不合格”.

（1）本次抽查總人數為—，“合格”人數的百分比為一;

（2）補全條形統計圖；

（3）扇形統計圖中“不合格人數”的度數為一；

（4）在“優秀”中有甲乙丙三人，現從中抽出兩人，則剛好抽中甲乙兩人的概率為

【解答】解：（1）本次抽查的總人數為8?16%=50（人），

“合格”人數的百分比為1-（32%+16%+12%）=40%，

故答案為：50人，40%：

（3）扇形統計圖中“不合格”人數的度數為360°x32%=115.2。,

故答案為：115.2°；

（4）列表如下:

甲乙丙

甲（乙，甲）（丙，甲）

乙（甲，乙）（丙，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）

由表知，共有6種等可能結果，其中剛好抽中甲乙兩人的有2種結果，

所以剛好抽中甲乙兩人的概率為2.

63

故答案為：1.

3

4.（2022?廣東）為振興鄉村經濟，在農產品網絡銷售中實行目標管理，根據目標完成的情

況對銷售員給予適當的獎勵，某村委會統計了15名俏售員在某月的俏售額（單位：萬元）,

數據如下：

1047541054418835108

（1）補全月銷售額數據的條形統計圖.

（2）月銷售額在哪個值的人數最多（眾數）？中間的月銷售額（中位數）是多少？平均月

銷售額（平均數）是多少？

（3）根據（2）中的結果，確定一個較高的銷售目標給予獎勵，你認為月銷額定為多少合適？

人數

A

NTTFF一…ITTT…，

345781018銷售制萬元

【解答】解：（1）補全統計圖，如圖,

（2）根據條形統計圖可得,

眾數為：4（萬元），中位數為：5（萬元），平均數為:

3x1+4x4+5x3+7x1+8x2+10x3+18x1,丁一、

------------------------------------=7（萬兀）,

15

（3）應確定銷售目標為7萬元，激勵大部分的銷售人員達到平均銷售額.

5.（2021?廣東）某中學九年級舉辦中華優秀傳統文化知識競賽.用簡單隨機抽樣的方法,

（2）若規定成績大于或等于90分為優秀等級，試估計該年級獲優秀等級的學生人數.

【解答】解：（1）由列表中9（）分對應的人數最多，因此這組數據的眾數應該是90,

由于人數總和是20人為倡數，將數據從小到大排列后，第10個和第II個數據都是9。分,

因此這組數據的中位數應該是90,

鼎,以80x2+85x3-90x8+95x5+1（X）x2八八

平均數是：---------------------------------=90.5；

24-3+8+5+2

（2）根據題意得:

600x8+5+2=45。（人）,

20

答：估計該年級獲優秀等級的學生人數是450人.

經典考查題型五：方程、不等式的實際應用問題（中）

NO1.題型特點

此類實際問題通常可以借助于列方程（組）、不等式（組）進行求解，根據題目的已知條件

可以列一元一次方程、二元一次方程、分式方程、一元二次方程、不等式（組）等進行求解.

NO2.解題技能

4解題意之后找到題目中量之間的關系，列方程、不等式并求解，如果是分式方程，需要加

行臉根.一般情況下，解決實際應用問題的常見步驟為：

①設未知數；

②列方程（組）、不等式：組）；

③解方程（組）、不等式￡組），注意：如果是分式方程要檢驗；

也^題.

NO3.經典考題

1.（2023?深圳）某商場在世博會上購置力，8兩種玩具，其中8玩具的單價比A玩具的單

價貴25元，且購置2個5玩具與1個A玩具共花費200元.

（1）求A,8玩具的單價；

（2）若該商場要求購置“玩具的數量是A玩具數量的2倍，且購置玩具的總額不高于20000

元，則該商場最多可以購置多少個A玩具？

【解答】解：（1）設每件A玩具的進價為x元，則每件6玩具的進價為（x+25）元，

根據題意得：2（x+25）+i=200,

解得：x=50?

可得x+25=50+25=75,

則每件A玩具的進價為50元，每件8玩具的進價為75元；

（2）設商場可以購置A玩具y個，

根據題意得：50y+75x2%20000,

解得：y?100,

則最多可以購置A玩具100個.

2.（2023?廣東）某學校開展了社會實踐活動，活動地點距離學校12km,甲、乙兩同學騎自

行車同時從學校出發，甲的速度是乙的1.2倍，結果甲匕乙早到lOmin,求乙同學騎自行車

的速度.

【解答】解：設乙騎自行車的速度為Xkm/h,則甲騎自行車的速度為1.2Xkm/h,

根據題意得乜-，=工-,

x61.2x

解得x=12.

經檢驗，x=12是原分式方程的解，

答：乙騎自行車的速度為I2km/h.

3.（2022?廣東）《九章算術》是我國古代的數學專著，幾名學生要湊錢購買1本.若每人

出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元.問學生人數和該書單價各是多少？

【解答】解：設學生有x人，該書單價y元，

8v，=3

根據題意得：（7.

x=7

解得:

y=53

答：學生有7人，該書單價53元.

4.（2022?深圳）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本.已知甲種類型的筆記本的單

價比乙種類型的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類

型的數量一樣.

（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價.

（2）該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，

則購買的最低費用是多少.

【解答】解：（1）設甲類型的筆記本單價為工元，則乙類型的筆記本單價為（x+1）元，

由題意得，119=型，

xx+\

解得x=ll,

經檢驗x=11是原方程的解，且符合題意，

.??乙類型的筆記本單價為x+1=11+1=12（元），

答：甲類型的筆記本單價為II元，乙類型的筆記本單價為12元；

（2）設甲類型筆記本購買了a件，費用為w元，則乙類型的筆記本購買了（100-。）件，

.,購買的乙的數量不超過平的3倍，

.,.IOO-a,3a,且100-。一0,

解得25制7100,

根據題意得卬=11。+12（100—a）=11。+1200—12〃=一。+1200,

,/-I<0,

??.w隨〃的增大而減小，

.?”=100時，卬最小值為一100+1200=1100（元），

答：最低費用為1100元.

5.（2021?廣東）端午節是我國入選世界非物質文化遺產的傳統節日，端午節吃粽子是中華

民族的傳統習俗.市場上豆沙粽的進價比豬肉粽的進價每盒便宜10元，某商家用8000元購

進的豬肉粽和用6000元購進的豆沙粽盒數相同.在銷售中，該商家發現豬肉粽每盒售價50

元時，每天可售出100盒；每盒售價提高I元時，每天少售出2盒.

（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進價：

（2）設豬肉粽每盒售價x元（50如k65）,y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），

求y關于x的函數解析式并求最大利潤.

【解答】解：（1）設豬肉粽每盒進價“元，則豆沙粽每盒進價（。-10）元，

80006000

則llhl----=-----，

aa-10

解得：。=40,經檢驗a=40是方程的解，

二豬肉每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元，

答：豬肉每盒進價40元，豆沙粽每盒進價30元；

（2）由題意得，當x=50時，每天可售出100盒，

當豬肉粽每盒售價x元（50領k65）時，每天可售口00-2。-50）］盒，

.,.），=戈100—2（x-50）］-43x［100-2（%-50）］=-2x2+280x-8000,

配方，得：），二一2。-70）2+1800,

xv70時，y隨x的增大而增大，

.?.當x=65時，y取最大值，最大值為：-2x（65-70）2-1800=1750（元）.

答：y關于x的函數解析式為），=-2/+28（比-8000（5晚k65）,且最大利潤為1750元.

經典考查題型六：圓綜合（難）

NO1.題型特點

圓是中考數學非常重要的一個考點，涉及的知識點包括國周角定理，圓的對稱性，借助垂徑

定理解決實際問題，此外還有利用切線的判定方法求證切線，借助圓中的相似、勾股定理、

口兌角三角函數等求解線段的長度.7

NO2.解題技能

圓蓼西薪二晟超最前基行氯耒*紊\

一是借助切線的判定定理，結合已知條件證切線，常用方法為：①連半徑，證垂直；②作垂

直，證半徑；或利用切線的性質進行角度計算，此時在沒有連半徑的情況下，依然要連半徑，

得90°,兩個考試方向一般都會與切線相關；

號是借助勾股定理，相似三角形，三角函數等求線段長度，這是近年來的熱門考點.）

NO3.經典考題

1.（2023?深圳）如圖，在單位長度為1的網格中，點O,A,8均在格點上，OA=3,

AB=2,以。為圓心，OA為半徑畫圓，請按下列步驟完成作圖，并回答問題：

①過點A作切線AC,且AC=4（點C在A的上方）；

②連接OC，交O于點O：

③連接8。，與AC交于點、E.

（1）求證：DB為。的切線；

（2）求AE的長度.

【解答】解：如圖:

(I)AC是圓的切線，

.?.N04C=9O。，

OC=5，

由題意得：OD=AO=3,OB=OC=5>ZAOC=NDOB,

.-.△AOC^ADOB(SAS),

Z.ODB=ZOAC=90°，

OD是圓的半徑，

:.DB為O的切線：

(2)ZCDE=ZC4O=9()0,ZC=ZC,

..△CDE^ACAO,

CDCE

.?----=-----9

ACCO

即：2=延，

45

解得：CE=2.5,

AE=AC-CE=4-2.5=i.5.

2.(2022?廣東)如圖，四邊形A3C。內接于O,AC為O的直徑，ZADB=/CDB.

(1)試判斷△ABC的形狀，并給出證明；

(2)若AB=g,AD=l,求CD的長度.

B

【解答】解：(1)△44C是等腰直角三角形，證明過程如下:

AC為O的直徑，

ZADC=ZA^C=90°,

?/ZADB=/CDB,

AB=BC，

/.AB=BC，

又??NA5c=90。，

「.△ABC是等腰直角三角形.

(2)在RtAA5c中，AB=BC=4i,

:.AC=2,

在Rt^ADC中，AD=\,AC=2,

:.CD=y/3.

即8的長為：G.

3.(2022?深圳)一個玻璃球體近似半圓O,AB為直徑.半圓O上點C?處有個吊燈所，

EF/IAB,COLAB,Er的中點為O,04=4.

(I)如圖①，CM為一條拉線,M在08上，OA/=1.6,。尸=0.8,求C￡)的長度.

(2)如圖②，一個玻璃鏡與圓0相切，，為切點，M為03上一點,M4為入射光線，NH

為反射光線，/OHM=NOHN=45°,tanZCOH=-,求QV的長度.

4

(3)如圖③，M是線段04上的動點，用〃為入射光線，=50°,"N為反射光線

交圓。于點N,在用從。運動到4的過程中，求N點的運動路徑長.

【解答】解：（1）OM=1.6,DF=0.8,EFIIAB,

DF是△COW的中位線，

.,?點。是oc的中點，

?.oc=OA=4,

;.CD=2；

（2）如圖②，過點、N作ND工OH于點D,

NOHN=45。,

:.NNHD是等腰直角三角形，

:,ND=HD,

3

-.tanZCO//=-,ZNDO=90°,

4

ND3

.?----=-9

OD4

設ND=3x=HD,則O￡>=4x,

OH=OA=4,

:.OH=3x+4x=4,

4

:.x=—>

7

/.A^D=-x3=—,O￡>=-x4=—,

7777

/.ON=yjOD2+ND2=—;

7

(3)如圖，當點M與點。重合時，點N也與點O重合，當點M運動至點8時，點N運動

至點7,故點N的運動路徑長為Q4+AT的長,

B何

:./OHB=/OBH=65°,

JOHM=/OHT,OH=OT,

:.ZOTH=ZOHT=65Q,

Z7O/7=50°,

/.ZAOT=180°-50°-50°=80°,

80x4x416

AT的長==—7T

1809

.??點N的運動路徑長=4+竺乃.

9

4.（2022?廣州）如圖，AA是。O的直徑，點C在UO上，且AC=8,BC=6.

（1）尺規作圖：過點。作4c的垂線，交劣弧AC于點。，連接CD（保留作圖痕跡，不寫

作法）;

（2）在（1）所作的圖形中，求點。到47的距離及sinNAC力的值.

【解答】解：（I）分別以A、。為圓心，大于為半徑畫弧，在AC的兩側分別相交于

2

P、。兩點，畫直線PQ交劣弧AC于點。，交AC于點E,即作線段AC的垂直平分線,

由垂徑定理可知，宜線夕。一定過點O；

（2）項是。的直徑，

ZAC8=90。，

在RtaABC中，且AC=8,BC=6.

：.AB=yjAC2+BC2=10,

-ODLAC,

AE=CE=-AC=4,

2

又OA=OB,

.?.OE是AABC的中位線，

:.OE=-BC=3,

2

由于PQ過圓心O，且PQ_LAC,

即點。到AC的距離為3,

連接OC,在RtZXCDE中,

DE=OD-CE=5-3=2,CE=4,

:.CD=^DE2+EC2=J/+42=26

,sm/A3三=j=@

CD2755

5.（2021?深圳）如圖，AB為°。的弦，D,。為ACB的三等分點，AC/IBE.

(1)求證：Z4=ZE；

(2)若3C=3,BE=5,求CE的長.

【解答】(1)證明:

，.ACI/BE,

:.ZE=ZACD,

D,C為AC8的三等分點,

BC=CD=AD,

：.ZACD^ZA,

:.ZE=ZA,

(2)解：由(1)知6C=CO=AO,

/.ZD=ZCBD=ZA=ZE,

;.BE=BD=5,BC=CD=3,,

CBBD35

---=--->即一=----,

BDDE5DE

25

解得DE=?,

3

:.CE=DE-CD=—-3=—.

33

經典考查題型七：二次函數綜合（難）

NO1.題型特點

二次函數綜合問題一般會出現在試卷后幾道壓軸題的位置，屬于中考難點，常考類型是二次

函數與幾何綜合問題，其中幾何圖形的存在性問題是熱門考點，是數形結合思想的典型應用.

\>

NO2.解題技能

/三次函數綜合問題的忠礎鋪墊知識是二次函數的圖象和性質，其次能夠根據已知條件利用待\

定系數法求二次函數的解析式是必備技能.

對于存在性問題，一般包括：等胺三角形的存在性、直角三角形的存在性、平行四邊形的存

在性、菱形的存在性、相似三角形的存在性等，處理存在性問題的核心思想是分類討論.

注意：無論是面積問題、發段關系問題、角度問題等，最終都會利用點的坐標，再結合幾何

Y+性得到關系式，因此掌握數形結合思想是非常重要的.，

NO3.經典考題

1.（2023?廣州）已知點〃（〃?,"）在函數），=-2（xvo）的圖象上.

x

（1）若〃z=—2,求〃的值；

（2）拋物線y=（工一/〃）（％-〃）與x軸交于兩點M,N（M在N的左邊），與y軸交于點G，

記拋物線的頂點為E.

①〃?為何值時，點后到達最高處；

②設△GMN的外接圓圓心為C,C與y軸的另一個交點為產，當帆+〃工0時，是否存在

四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時頂點E的坐標：若不存在，請說明理由.

【解答】解：（1）把/〃=一2代入y=—（xvO）得〃=一~—=1;

x-2

故〃的值為1：

(2)①在y=0—7〃)0—〃)中，令y=0,則—〃)=0,

解得x=，〃或x=n，

點在函數y=-二(工＜0)的圖象上，

x

：.mn=-2,

令x=團+",得y=(x-—〃)=--(/n—n)2=-2-—im+n)2?—2,

244

即當〃7+〃=0,且"7〃=—2?

則加=2,解得：,n=-x/2(正值已舍去),

即加==歷時，點E到達最高處;

②假設存在，理由：

對于y=(x-/〃)(.r-〃)，當x=0時，y=mn=-2,即點G(0,-2),

m+n

作MG的中垂線交MG于點7,交)，軸于點S,交x軸于點K,則點7(；〃?,

則tanNMKT=-Ln,

2

則直線75的表達式為：=.

則點。的坐標為：(竺吆，-i).

22

由垂徑定理知，點C在尸G的中垂線上，則R7=2(53_)，c)=2x(_g+2)=3.

??,四邊形尸GEC為平行四邊形，

則廢=用；=3=無-"=-；-九，

解得：及.=_g,

17

即—(〃?-n)2=—,且run=—2,

42

則〃?+n=±JS,

,E(網

??匕(-----,

2

2.（2023?深圳）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結構，它出現使得人們可

以吃到反季節蔬菜.一般蔬菜大棚使用竹結構或者鋼結構的骨架，上面覆上一層或多層保溫

塑料膜，這樣就形成了一個溫室空間.

如圖1，某個溫室大棚的橫截面可以看作矩形A8CD和拋物線板＞構成，其中八A=3m,

BC=4m,取3c中點O,過點O作線段3c的垂直平分線。￡交拋物線AEQ于點石，若以

。點為原點，8c所在直線為x軸，OE為），軸建立如圖所示平面直角坐標系.

請回答下列問題：

（1）如圖2,拋物線AED的頂點頊0,4）,求拋物線的解析式：

（2）如圖3,為了保證蔬菜大棚的通風性，該大棚要安裝兩個正方形孔的排氣裝置/JG7，

SMNR,若FL=NR=0.75m,求兩個正方形裝置的間距GM的長；

（3）如圖4,在某一時刻，太陽光線透過A點恰好照射到。點，此時大棚截面的陰影為CK,

求CK的長.

圖1住2酣障

【解答】解：(1)?;AB=3m,AD=13C=4m,E(0,4),

A(—2,3),B(-2,0),C(2,0),D(2,3),

設拋物線表達式為y=av2+bx+c,

將A、。、石三點坐標代入表達式,

4a-2b+c=3

得■4a+2b+c=3?

c=4

1

4

解得卜=0.

c=4

.?.拋物線表達式為），=--x2+4.

-4

答：拋物線表達式為y=-：V+4.

（2）設G（T,3）,則〃t—3,3+之），

44

解得（負值舍去），

4

..GM=2t=-.

2

答：兩個正方形裝置的間距的長為」m.

2

（3）取最右側光線與拋物線切點為尸，如圖4,

圖4

設直線AC的解析式為），=h+9

-2k+b=3

'2k+b=0'

解得「，

b=-

2

「?直線AC的解析式為y=--x+-，

42

FKI/AC,

設/內：y=一:4+m'

3

y=-x+m

4

12,

y=——x+4

4

ZH1->3八

得——廠+—x+4A—〃z=0,

44

31

/.A=(―)2-4x(——)(4-，〃)=0?

44

解得〃?=殳，

16

直線FK的解析式為y=~x+—，

.416

令y=0,得x=史，

12

“73「97

BK=—+2=——

1212

9749

:.CK=BK-BC=——4

127?

答：CK的長為2m.

12

3.(2022?廣州)已知直線/:)，=去+。經過點(0,7)和點(1,6).

(1)求直線/的解析式；

(2)若點。(〃?,〃)在直線/上，以。為頂點的拋物線G過點(0,-3),且開口向下.

①求〃?的取值范圍；

②設拋物線G與直線/的另一個交點為Q,當點Q向左平移1個單位長度后得到的點也

在G上時，求G在他效改叫+1的圖象的最高點的坐標.

55

【解答】解:(1)將點(0.7)和點(1,6)代入)，=6+匕，

b=7

"'k+b=6'

化=一1

解得

〃二7

y=-x+7；

(2)①。點P(〃?,〃)在直線/上,

+7

設拋物線的解析式為y=4X加)2|7m

拋物線經過點(0,-3),

anr+7-m=-3,

m—\0

m-2

拋物線開口向下,

<0>

m-10_

——^<0?

m

v10且mH0;

②拋物線的對稱軸為直線x=，〃，

。點與。關于x=w對稱，

.??Q點的橫坐標為〃?+],

y=-xA1

聯M方程組

y=a{x-m)2+7-ni

整理得or2+(1-2ma)x+am2-m=0,

P點和Q點是直線/與拋物線G的交點,

Ic1

m+m+—=2m----

2a

解得〃?=2或m=--

2

當,〃=2時，y=-2(x-2)2+5,

此時拋物線的對稱軸為直線x=2，

圖象在1的k裝上的最高點坐標為(2,5)；

219

當〃?=_g時，y=-2(x+1)+一，

2

_5

此時拋物線的對稱軸為直線x

~2

圖象在-2效k-1上的最高點坐標為(-2,|)；

綜上所述：G在早融與+1的圖象的最高點的坐標為（-