PAGEPAGE2第2講排列與組合[基礎達標]1．不等式Aeq\o\al(x,8)＜6×Aeq\o\al(x－2,8)的解集為()A．[2，8] B．[2，6]C．(7，12) D．{8}解析：選D.由題意得eq\f(8！,（8－x）！)＜6×eq\f(8！,（10－x）！)，所以x2－19x＋84＜0，解得7＜x＜12.又x≤8，x－2≥0，所以7＜x≤8，x∈N*，即x＝8.2．(2024·浙江金華等三市部分學校高三期中)如圖，一環形花壇分成A，B，C，D四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為()A．96 B．84C．60 D．48解析：選B.法一：分三類：種兩種花有Aeq\o\al(2,4)種種法；種三種花有2Aeq\o\al(3,4)種種法；種四種花有Aeq\o\al(4,4)種種法．共有Aeq\o\al(2,4)＋2Aeq\o\al(3,4)＋Aeq\o\al(4,4)＝84.法二：按A－B－C－D依次種花，可分A，C同色與不同色有4×3×(1×3＋2×2)＝84.3．(2024·溫州八校其次次聯考)若無重復數字的三位數滿意條件：①個位數字與十位數字之和為奇數，②全部數位上的數字和為偶數，則這樣的三位數的個數是()A．540 B．480C．360 D．200解析：選D.由個位數字與十位數字之和為奇數知個位數字、十位數字1奇1偶，有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝50種排法；全部數位上的數字和為偶數，則百位數字是奇數，有Ceq\o\al(1,4)＝4種滿意題意的選法，故滿意題意的三位數共有Ceq\o\al(1,4)×Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(1,5)Aeq\o\al(2,2)＝200(個)．4．3本不同的數學書與3本不同的語文書放在書架同一層，則同類書不相鄰的放法種數為()A．36 B．72C．108 D．144解析：選B.3本數學書的放法有Aeq\o\al(3,3)種，將3本語文書插入使得語文數學均不相鄰的插法有2Aeq\o\al(3,3)種，故同類書不相鄰的放法有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝2×6×6＝72(種)，故選B.5．(2024·金華十校期末調研)A、B、C、D、E五個人參與抽獎活動，現有5個紅包，每人各摸一個，5個紅包中有2個8元，1個18元，1個28元，1個0元，(紅包中金額相同視為相同紅包)，則A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的狀況有()A．18種 B．24種C．36種 D．48種解析：選C.A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的狀況有三類：即獲獎的四人為：ABCD，ABCE，ABDE，在每類狀況中，獲獎的狀況有：Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝12種，所以由分步乘法原理得：A、B兩人都獲獎(0元視為不獲獎)的狀況有：3×12＝36種．6．(2024·寧波高考模擬)從1，2，3，4，5這五個數字中選出三個不相同數組成一個三位數，則奇數位上必需是奇數的三位數的個數為()A．12 B．18C．24 D．30解析：選B.依據題意，要求奇數位上必需是奇數的三位數，則這個三位數的百位、個位為奇數，分2步進行分析：①在1、3、5三個奇數中任選2個，支配在三位數的個位和百位，有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6種狀況，②在剩余的3個數字中任選1個，將其支配在三位數的十位，有Ceq\o\al(1,3)＝3種狀況，則奇數位上必需是奇數的三位數有6×3＝18個．7．某中學高一學習雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二班、三班、四班各4人，現從中任選3人，要求這三人不能全是同一個班的學生，且在三班至多選1人，則不同選法的種數為()A．484 B．472C．252 D．232解析：選B.若三班有1人入選，則另兩人從三班以外的12人中選取，共有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,12)＝264種選法．若三班沒有人入選，則要從三班以外的12人中選3人，又這3人不能全來自同一個班，故有Ceq\o\al(3,12)－3Ceq\o\al(3,4)＝208種選法．故總共有264＋208＝472種不同的選法．8．如圖，∠MON的邊OM上有四點A1，A2，A3，A4，ON上有三點B1，B2，B3，則以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3中三點為頂點的三角形的個數為()A．30 B．42C．54 D．56解析：選B.間接法：先從這8個點中任取3個點，有Ceq\o\al(3,8)種取法，再減去三點共線的情形即可，即Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,5)－Ceq\o\al(3,4)＝42.9．(2024·溫州中學高三模擬)身高從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相間的一個隊形，則甲丁不相鄰的不同的排法共有()A．12 B．14C．16 D．18解析：選B.從矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人的身高可記為1，2，3，4，5.要求1，4不相鄰．分四類：①先排4，5時，則1只有1種排法，2，3在剩余的兩個位上，這樣有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種排法；②先排3，5時，則4只有1種排法，2，1在剩余的兩個位上，這樣有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種排法；③先排1，2時，則4只有1種排法，3，5在剩余的兩個位上，這樣有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝4種排法；④先排1，3時，則這樣的數只有兩個，即21534，43512，只有兩種排法．綜上共有4＋4＋4＋2＝14種排法，故選B.10．設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿意條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素的個數為()A．60 B．90C．120 D．130解析：選D.設t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，t＝1說明x1，x2，x3，x4，x5中有一個為－1或1，其他為0，所以有2×Ceq\o\al(1,5)＝10個元素滿意t＝1；t＝2說明x1，x2，x3，x4，x5中有兩個為－1或1，其他為0，所以有Ceq\o\al(2,5)×2×2＝40個元素滿意t＝2；t＝3說明x1，x2，x3，x4，x5中有三個為－1或1，其他為0，所以有Ceq\o\al(3,5)×2×2×2＝80個元素滿意t＝3，從而，共有10＋40＋80＝130個元素滿意1≤t≤3.11．(2024·溫州十五校聯合體期末聯考)用數字1、2、3、4、5構成數字不重復的五位數，要求數字1，3不相鄰，數字2，5相鄰，則這樣的五位數的個數是________(用數字作答)．解析：先把2，5捆挷有2種方法，再把它與4排列有2種排法，此時共有3個空供數字1、3插入有Aeq\o\al(2,3)＝6種方法，故這樣的五位數的個數是2×2×6＝24個．答案：2412．(2024·嘉興市一中高考適應性考試)電影院一排10個位置，甲、乙、丙三人去看電影，要求他們坐在同一排，那么他們每人左右兩邊都有空位且甲坐在中間的坐法有________種．解析：先排7個空座位，由于空座位是相同的，則只有1種狀況，其中有6個空位符合條件，考慮三人的依次，將3人插入6個空位中，則共有1×Aeq\o\al(3,6)＝120種狀況，由于甲必需坐在三人中間，則有符合要求的坐法有eq\f(1,3)×120＝40(種)．答案：4013．從正方體六個面的對角線中任取兩條作為一對，其中所成的角為60°的共有________對．解析：如圖．它們的棱是原正方體的12條面對角線．一個正四面體中兩條棱成60°角的有(Ceq\o\al(2,6)－3)對，兩個正四面體有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2對．又正方體的面對角線中平行成對，所以共有(Ceq\o\al(2,6)－3)×2×2＝48(對)．答案：4814．如圖A，B，C，D為海上4個小島，要建立3座大橋，將4個小島連接起來，則不同的建橋方案有________種．解析：法一：任2個島之間建立1座橋，則共需Ceq\o\al(2,4)＝6座橋，現只建其中3座，有Ceq\o\al(3,6)種建法，但如圖(1)這樣的建橋方式是不合題意的，類似這樣的狀況有Ceq\o\al(3,4)種，則共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝16種建橋方案．法二：依題意，滿意條件的建橋方案分兩類．第一類，如圖(2)，此時有Ceq\o\al(1,4)種方法．其次類，如圖(3)，此時有eq\f(1,2)Aeq\o\al(4,4)＝12種方法．由分類加法計數原理得，共有4＋12＝16種建橋方案．答案：1615．現從男、女共8名學生干部中選出2名男同學和1名女同學分別參與全?！百Y源”“生態”“環?！比齻€夏令營活動，已知共有90種不同的方案，那么有男生________人、女生________人．解析：設男、女同學的人數分別為m和n，則有，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝8，,Ceq\o\al(2,m)·Ceq\o\al(1,n)·Aeq\o\al(3,3)＝90，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝8，,Ceq\o\al(2,m)·Ceq\o\al(1,n)＝15.))由于m，n∈N＋，則m＝3，n＝5.答案：3516．在航天員進行的一項太空試驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現在第一或最終一步，程序B和C在實施時必需相鄰，則試驗依次的編排方法共有________種．解析：程序A有Aeq\o\al(1,2)＝2種結果，將程序B和C看作元素集團與除A外的元素排列有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(4,4)＝48(種)，所以由分步乘法計數原理得，試驗依次的編排共有2×48＝96種方法．答案：9617．規定Ceq\o\al(m,x)＝eq\f(x（x－1）…（x－m＋1）,m！)，其中x∈R，m是正整數，且Ceq\o\al(0,x)＝1，這是組合數Ceq\o\al(m,n)(n，m是正整數，且m≤n)的一種推廣，則Ceq\o\al(3,－15)＝________；若x>0，則x＝________時，eq\f(Ceq\o\al(3,x),（Ceq\o\al(1,x)）2)取到最小值，該最小值為________．解析：由規定：Ceq\o\al(3,－15)＝eq\f(（－15）×（－16）×（－17）,3×2×1)＝－680，由eq\f(Ceq\o\al(3,x),（Ceq\o\al(1,x)）2)＝eq\f(x（x－1）（x－2）,6x2)＝eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)－3)).因為x>0，x＋eq\f(2,x)≥2eq\r(2)，當且僅當x＝eq\r(2)時，等號成立，所以當x＝eq\r(2)時，得最小值eq\f(2\r(2)－3,6).答案：－680eq\r(2)eq\f(2\r(2)－3,6)[實力提升]1．已知10件不同的產品中有4件是次品，現對它們進行測試，直至找出全部的次品為止．(1)若恰在第5次測試才測試到第1件次品，第10次才找到最終一件次品，則這樣的不同測試方法數是多少？(2)若恰在第5次測試后就找出了全部次品，則這樣的不同測試方法數是多少？解：(1)先排前4次測試，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)種不同的測試方法，再從4件次品中選2件排在第5次和第10次的位置上測試，有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝Aeq\o\al(2,4)種測試方法，再排余下4件的測試位置，有Aeq\o\al(4,4)種測試方法．所以共有Aeq\o\al(4,6)·Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(4,4)＝103680種不同的測試方法．(2)第5次測試的產品恰為最終一件次品，另3件在前4次中出現，從而前4次有一件正品出現，所以共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(1,6)·Aeq\o\al(4,4)＝576種不同的測試方法．2．現有男運動員6名，女運動員4名，其中男女隊長各1名，選派5人外出競賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運動員3名，女運動員2名；(2)至少有1名女運動員；(3)既要有隊長，又要有女運動員．解：(1)任選3名男運動員，方法數為Ceq\o\al(3,6)，再選2名女運動員，方法數為Ceq\o\al(2,4)，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)＝120種方法．(2)法一：至少有1名女運動員包括以下幾種狀況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男，由分類加法計數原理可得總選法數為Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(4,4)Ceq\o\al(1,6)＝246(種)．法二：“至少有1名女運動員”的反面是“全是男運動員”，因此用間接法求解，不同選法有Ceq\o\al(5,10)－Ceq\o\al(5,6)＝246(種)．(3)當有女隊長時，其他人隨意選，共有Ceq\o\al(4,9)種選法，不選女隊長時，必選男隊長，其他人隨意選，共有Ceq\o\al(4,8)種選法，其中不含女運動員的選法有Ceq\o\al(4,5)種，所以不選女隊長時共有(Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5))種選法．所以既有隊長又有女運動員的選法共有Ceq\o\al(4,9)＋Ceq\o\al(4,8)－Ceq\o\al(4,5)＝191(種)．3．證明下列各題：(1)Aeq\o\al(k,n)＋kAeq\o\al(k－1,n)＝Aeq\o\al(k,n＋1)(k≤n，n≥0)；(2)Ceq\o\al(k,n)Ceq\o\al(m－k,n－k)＝Ceq\o\al(m,n)Ceq\o\al(k,m)(k≤m≤n，n≥0)．證明：(1)左邊＝eq\f(n！,（n－k）！)＋k·eq\f(n！,（n－k＋1）！)＝eq\f(n！[（n－k＋1）＋k],（n－k＋1）！)＝eq\f(（n＋1）！,（n＋1－k）！)＝Aeq\o\al(k,n＋1)＝右邊．(2)左邊＝eq\f(n！,k?。╪－k）！)·eq\f(（n－k）！,（m－k）！（n－m）！)＝eq\f(n！,k！（m－k）?。╪－m）！)，右邊＝eq\f(n！,m！（n－m）！)·eq\f(m！,k！（m－k）！)＝eq\f(n！,（n