PAGE1-第4講算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明eq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)1復(fù)數(shù)1．復(fù)數(shù)的除法復(fù)數(shù)的除法一般是將分母實(shí)數(shù)化，即分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)再進(jìn)一步化簡(jiǎn)．2．復(fù)數(shù)運(yùn)算中常見(jiàn)的結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[例1](1)[2024·全國(guó)卷Ⅱ]設(shè)z＝－3＋2i，則在復(fù)平面內(nèi)eq\o(z,\s\up10(－))對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限B．其次象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限(2)[2024·全國(guó)卷Ⅰ]設(shè)復(fù)數(shù)z滿意|z－i|＝1，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，則()A．(x＋1)2＋y2＝1B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y＋1)2＝1【解析】(1)本題主要考查共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查考生的運(yùn)算求解實(shí)力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算．由題意，得eq\o(z,\s\up10(－))＝－3－2i，其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－3，－2)，位于第三象限，故選C.(2)本題主要考查復(fù)數(shù)的模的概念和復(fù)數(shù)的幾何意義，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化實(shí)力、數(shù)形結(jié)合實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．通解∵z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x，y)，∴z＝x＋yi(x，y∈R)．∵|z－i|＝1，∴|x＋(y－1)i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.優(yōu)解一∵|z－i|＝1表示復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0,1)的距離為1，∴x2＋(y－1)2＝1.故選C.優(yōu)解二在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(1,1)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝1＋i滿意|z－i|＝1，但點(diǎn)(1,1)不在選項(xiàng)A，D的圓上，∴解除A，D；在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)(0,2)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝2i滿意|z－i|＝1，但點(diǎn)(0,2)不在選項(xiàng)B的圓上，∴解除B.故選C.【答案】(1)C(2)C復(fù)數(shù)運(yùn)算問(wèn)題的解題思路(1)與復(fù)數(shù)的相關(guān)概念和復(fù)數(shù)的幾何意義有關(guān)的問(wèn)題，一般是先變形分別出實(shí)部和虛部，把復(fù)數(shù)的非代數(shù)形式化為代數(shù)形式，然后再依據(jù)條件，列方程(組)求解．(2)與復(fù)數(shù)z的模|z|和共軛復(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，一般都要先設(shè)出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入條件，用待定系數(shù)法解決.『對(duì)接訓(xùn)練』1．[2024·河南鄭州一測(cè)]若復(fù)數(shù)z滿意(3＋4i)z＝25i，其中i為虛數(shù)單位，則z的虛部是()A．3iB．－3iC．3D．－3解析：設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(3b＋4a)i，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得到3a－4b＝0,3b＋4答案：C2．[2024·吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校測(cè)評(píng)]設(shè)i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿意z＝eq\f(1－i2,1＋i)，則z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：由題意，得z＝eq\f(1－i2,1＋i)＝eq\f(－2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i.答案：Deq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)2程序框圖算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)需留意：循環(huán)結(jié)構(gòu)分為當(dāng)型和直到型兩種，當(dāng)型循環(huán)在每次執(zhí)行循環(huán)體前對(duì)限制循環(huán)的條件進(jìn)行推斷，當(dāng)條件滿意時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，不滿意時(shí)則停止；直到型循環(huán)在執(zhí)行了一次循環(huán)體后，對(duì)限制循環(huán)的條件進(jìn)行推斷，當(dāng)條件不滿意時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，滿意則停止．兩種循環(huán)只是實(shí)現(xiàn)循環(huán)的不同方法，它們是可以相互轉(zhuǎn)化的．[例2](1)[2024·全國(guó)卷Ⅰ]如圖是求eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入()

A．A＝eq\f(1,2＋A)B．A＝2＋eq\f(1,A)C．A＝eq\f(1,1＋2A)D．A＝1＋eq\f(1,2A)(2)[2024·全國(guó)卷Ⅲ]執(zhí)行下邊的程序框圖，假如輸入的ε為0.01，則輸出s的值等于()A．2－eq\f(1,24)B．2－eq\f(1,25)C．2－eq\f(1,26)D．2－eq\f(1,27)【解析】(1)本題主要考查含有當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，考查考生的推理論證實(shí)力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理．A＝eq\f(1,2)，k＝1,1≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝eq\f(1,2＋\f(1,2))，k＝2,2≤2成立，執(zhí)行循環(huán)體；A＝eq\f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))，k＝3,3≤2不成立，結(jié)束循環(huán)，輸出A.故空白框中應(yīng)填入A＝eq\f(1,2＋A).故選A.(2)本題主要考查程序框圖，考查考生的邏輯推理實(shí)力、運(yùn)算求解實(shí)力，考查的核心素養(yǎng)是邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算．執(zhí)行程序框圖，x＝1，s＝0，s＝0＋1＝1，x＝eq\f(1,2)，不滿意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＝2－eq\f(1,21)，x＝eq\f(1,4)，不滿意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝2－eq\f(1,22)，x＝eq\f(1,8)，不滿意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＝2－eq\f(1,23)，x＝eq\f(1,16)，不滿意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＝2－eq\f(1,24)，x＝eq\f(1,32)，不滿意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,32)＝2－eq\f(1,25)，x＝eq\f(1,64)，不滿意x<ε＝eq\f(1,100)，所以s＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋…＋eq\f(1,64)＝2－eq\f(1,26)，x＝eq\f(1,128)，滿意x<ε＝eq\f(1,100)，輸出s＝2－eq\f(1,26)，選C.【答案】(1)A(2)C(1)求輸出結(jié)果的題目，要認(rèn)清輸出變量是什么，有的是求函數(shù)值，有的是求和、差、積、商的運(yùn)算結(jié)果，有的是計(jì)數(shù)變量等．(2)求循環(huán)條件首先看懂每個(gè)圖形符號(hào)的意義和作用，其次“試走幾步”循環(huán)體，體會(huì)循環(huán)體的內(nèi)容和功能，最終利用推斷框中的條件確定循環(huán)的次數(shù).『對(duì)接訓(xùn)練』3．[2024·北京卷]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為()A．1B．2C．3D．4解析：本題主要考查程序框圖，考查考生的運(yùn)算求解實(shí)力以及分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的實(shí)力，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理．執(zhí)行程序框圖，k＝1，s＝eq\f(2×1,3×1－2)＝2；k＝2，s＝eq\f(2×4,3×2－2)＝2；k＝3，s＝eq\f(2×4,3×2－2)＝2，跳出循環(huán)．輸出的s＝2.故選B.答案：B4．[2024·河北唐山摸底]如圖所示的程序框圖的功能是()A．求1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…－eq\f(1,19)的值B．求1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,19)的值C．求1＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,21)的值D．求1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,21)的值解析：輸入a＝1，n＝1，S＝0；S＝1，a＝－1，n＝3；S＝1－eq\f(1,3)，a＝1，n＝5；S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)，a＝－1，n＝7；S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)，a＝1，n＝9；…；S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…－eq\f(1,19)，a＝1，n＝21,21>19，退出循環(huán)．輸出S＝1－eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,7)＋…－eq\f(1,19)，故選A.答案：Aeq\a\vs4\al\co1()考點(diǎn)3推理與證明歸納推理是從特別到一般的推理，所以應(yīng)依據(jù)題中所給的圖形、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等著手分析，盡可能多地列舉出來(lái)，從而找出一般性的規(guī)律或結(jié)論．演繹推理是從一般性的原理動(dòng)身，推出某個(gè)特別狀況下的結(jié)論．對(duì)于較困難一點(diǎn)的證明題經(jīng)常要用幾個(gè)三段論才能完成．[例3](1)[2024·陜西西安中學(xué)模擬]由①安夢(mèng)怡是高三(21)班學(xué)生；②安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女；③高三(21)班的學(xué)生都是獨(dú)生子女．寫一個(gè)“三段論”形式的推理，則大前提、小前提和結(jié)論分別為()A．②①③B．③①②C．①②③D．②③①(2)[2024·湖南岳陽(yáng)一中質(zhì)檢]視察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．－g(x)B．f(x)C．－f(x)D．g(x)【解析】(1)因?yàn)楦呷?21)班的學(xué)生都是獨(dú)生子女，而安夢(mèng)怡是高三(21)班學(xué)生，所以安夢(mèng)怡是獨(dú)生子女．故選B.(2)在(x2)′＝2x中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；(x4)′＝4x3中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)；(cosx)′＝－sinx中，原函數(shù)為偶函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．由此我們可以推斷，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)．若定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(－x)＝f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，又g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，所以g(x)為奇函數(shù)，故g(－x)＋g(x)＝0，即g(－x)＝－g(x)，故選A.【答案】(1)B(2)A合情推理的解題思路(1)在進(jìn)行歸納推理時(shí)，要先依據(jù)已知的部分個(gè)體，把它們適當(dāng)變形，找出它們之間的聯(lián)系，從而歸納出一般結(jié)論．(2)在進(jìn)行類比推理時(shí)，要充分考慮已知對(duì)象性質(zhì)的推理過(guò)程，然后通過(guò)類比，推導(dǎo)出類比對(duì)象的性質(zhì)．(3)歸納推理的關(guān)鍵是找規(guī)律，類比推理的關(guān)鍵是看共性.『對(duì)接訓(xùn)練』5．[2024·黑龍江齊齊哈爾五校聯(lián)考]不難證明：一個(gè)邊長(zhǎng)為a，面積為S的正三角形的內(nèi)切圓半徑r＝eq\f(2S,3a)，由此類比到空間，若一個(gè)正四面體的一個(gè)面的面積為S，體積為V，則其內(nèi)切球的半徑為_(kāi)_______．解析：由題意得3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ar))＝S，故r＝eq\f(2S,3a).將此方法類比到正四面體，設(shè)正四面體內(nèi)切球的半徑為R，則4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)SR))＝V，所以R＝eq\f(3V,4S)，即內(nèi)切球的半徑為eq\f(3V,4S).答案：eq\f(3V,4S)課時(shí)作業(yè)20算法初步、復(fù)數(shù)、推理與證明1．[2024·陜西四校聯(lián)考](－1＋3i)(3－i)＝()A．10B．－10C．10iD．－10i解析：(－1＋3i)(3－i)＝－3＋i＋9i＋3＝10i.故選C.答案：C2．[2024·貴州37校聯(lián)考]復(fù)數(shù)z＝eq\f(1＋i,1－i)的共軛復(fù)數(shù)是()A．1＋iB．1－iC．iD．－i解析：因?yàn)閦＝eq\f(1＋i,1－i)＝i，故z的共軛復(fù)數(shù)eq\o(z,\s\up10(－))＝－i，故選D.答案：D3．[2024·廣東江門調(diào)研]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若推斷框內(nèi)為“i≤3”，則輸出S＝()A．2B．6C．10D．34解析：因?yàn)椤癷≤3”，所以執(zhí)行程序框圖，第一次執(zhí)行循環(huán)體后，j＝2，S＝2，i＝2≤3；其次次執(zhí)行循環(huán)體后，j＝4，S＝10，i＝3≤3；第三次執(zhí)行循環(huán)體后，j＝8，S＝34，i＝4>3，退出循環(huán)．所以輸出S＝34.故選D.答案：D4．[2024·四川成都高新區(qū)模擬]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出K的值為()A．99B．98C．100D．101解析：執(zhí)行程序框圖，得K＝1，S＝0；S＝0＋lgeq\f(1＋1,1)＝lg2，K＝2；S＝lg2＋lgeq\f(2＋1,2)＝lg3，K＝3；S＝lg3＋lgeq\f(3＋1,3)＝lg4，K＝4；S＝lg4＋lgeq\f(4＋1,4)＝lg5，K＝5；…；S＝lg98＋lgeq\f(98＋1,98)＝lg99，K＝99；S＝lg99＋lgeq\f(99＋1,99)＝lg100＝2，退出循環(huán)．所以輸出K＝99，故選A.答案：A5．[2024·湖北孝感協(xié)作體聯(lián)考]設(shè)a，b∈R，現(xiàn)給出下列五個(gè)條件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0(a>0，且a≠1)．其中能推出“a，b中至少有一個(gè)大于1”的條件為()A．②③④B．②③④⑤C．①②③⑤D．②⑤解析：a＝b＝1時(shí)，a＋b＝2，所以推不出a，b中至少有一個(gè)大于1，①不符合；當(dāng)a＝b＝0時(shí)，a＋b>－2，推不出a，b中至少有一個(gè)大于1，③不符合；當(dāng)a＝b＝－2時(shí)，ab>1，推不出a，b中至少有一個(gè)大于1，④不符合；對(duì)于②，假設(shè)a，b都不大于1，即a≤1，b≤1，則a＋b≤2，與a＋b>2沖突，所以②能推出a，b中至少有一個(gè)大于1；對(duì)于⑤，假設(shè)a，b都不大于1，則logab≥loga1＝0，與logab<0沖突，故⑤能推出a，b中至少有一個(gè)大于1.綜上，選D.答案：D6．[2024·湖南株洲質(zhì)檢]已知復(fù)數(shù)z滿意(1－i)z＝|2i|，i為虛數(shù)單位，則z等于()A．1－iB．1＋iC.eq\f(1,2)－eq\f(1,2)iD.eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i解析：由(1－i)z＝|2i|，可得z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，故選B.答案：B7．[2024·重慶調(diào)研]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸出的值為1時(shí)，輸入的x值是()A．±1B．1或eq\r(3)C．－eq\r(3)或1D．－1或eq\r(3)解析：因?yàn)檩敵龅闹禐?，所以依據(jù)程序框圖可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,2－x2＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,x2－2＝1，))得x＝1或x＝－eq\r(3)，故選C.答案：C8．[2024·陜西其次次質(zhì)檢]一布袋中裝有n個(gè)小球，甲、乙兩個(gè)同學(xué)輪番抓球，且不放回，每次最少抓一個(gè)球，最多抓三個(gè)球．規(guī)定：由乙先抓，且誰(shuí)抓到最終一個(gè)球誰(shuí)贏，那么以下推斷中正確的是()A．若n＝9，則乙有必贏的策略B．若n＝7，則甲有必贏的策略C．若n＝6，則甲有必贏的策略D．若n＝4，則乙有必贏的策略解析：若n＝9，則乙有必贏的策略．(1)若乙抓1個(gè)球，甲抓1個(gè)球時(shí)，乙再抓3個(gè)球，此時(shí)剩余4個(gè)球，無(wú)論甲抓1～3的哪種狀況，乙都能保證抓最終一個(gè)球；(2)若乙抓1個(gè)球，甲抓2個(gè)球時(shí)，乙再抓2個(gè)球，此時(shí)剩余4個(gè)球，無(wú)論甲抓1～3的哪種狀況，乙都能保證抓最終一個(gè)球；(3)若乙抓1個(gè)球，甲抓3個(gè)球時(shí)，乙再抓1個(gè)球，此時(shí)剩余4個(gè)球，無(wú)論甲抓1～3的哪種狀況，乙都能保證抓最終一個(gè)球．所以若n＝9，則乙有必贏的策略，故選A.答案：A9．[2024·浙江金麗衢十二校聯(lián)考]復(fù)數(shù)z1＝2－i，z2＝3＋i，則|z1·z2|＝()A．5B．6C．7D．5eq\r(2)解析：解法一因?yàn)閦1·z2＝(2－i)(3＋i)＝7－i，所以|z1·z2|＝eq\r(72＋－12)＝5eq\r(2)，故選D.解法二因?yàn)閨z1|＝|2－i|＝eq\r(5)，|z2|＝|3＋i|＝eq\r(10)，所以|z1·z2|＝|z1|·|z2|＝eq\r(5)×eq\r(10)＝5eq\r(2)，故選D.答案：D10．[2024·河南洛陽(yáng)質(zhì)檢]執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S＝eq\f(25,24)，則推斷框內(nèi)填入的條件不行以是()A．k≤7B．k<7C．k≤8D．k<8解析：模擬執(zhí)行程序框圖，可得S＝0，k＝0；k＝2，S＝eq\f(1,2)；k＝4，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)；k＝6，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)；k＝8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,8)＝eq\f(25,24).由題意，此時(shí)應(yīng)不滿意條件，退出循環(huán)，輸出S的值為eq\f(25,24).結(jié)合選項(xiàng)可得推斷框內(nèi)填入的條件不行以是“k≤8”．故選C.答案：C11．[2024·重慶云陽(yáng)聯(lián)考]甲、乙兩人均知道丙從集合A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,3)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}中取出了一個(gè)數(shù)對(duì)，設(shè)其為P點(diǎn)坐標(biāo)，丙告知了甲P點(diǎn)的橫坐標(biāo)，告知了乙P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，然后甲先說(shuō)：“我無(wú)法確定點(diǎn)P的坐標(biāo)”，乙聽(tīng)后接著說(shuō)：“我原來(lái)也無(wú)法確定點(diǎn)P的坐標(biāo)，但我現(xiàn)在可以確定了”，那么，點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(3,4)B．(3,5)C．(5,2)D．(5,5)解析：∵橫坐標(biāo)為1或2或4的點(diǎn)唯一，甲知道橫坐標(biāo)但不能確定點(diǎn)P，∴橫坐標(biāo)不是1或2或4.乙得知甲不能確定點(diǎn)P，乙可確定點(diǎn)P橫坐標(biāo)不是1或2或4，若乙知道點(diǎn)P縱坐標(biāo)為3或4或5，則它們分別對(duì)應(yīng)兩個(gè)坐標(biāo)，無(wú)法確定P點(diǎn)坐標(biāo)，只有乙知道P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2時(shí)，才能確定P點(diǎn)坐標(biāo)為(5,2)，故選C.答案：C12．[2024·東北三省四校一模]執(zhí)行兩次如圖所示的程序框圖，若第一次輸入的x的值為4，其次次輸入的x的值為5，記第一次輸出的a的值為a1，其次次輸出的a的值為a2，則a1－a2＝()A．2B．1C．0D．－1解析：當(dāng)輸入x的值為4時(shí)，不滿意b2>x，但是滿意x能被b整除，輸出a＝0＝a1；當(dāng)輸入x的值為5時(shí)，不滿意b2>x，也不滿意x能被b整除，故b＝3；滿意b2>x，故輸出a＝1＝a2.則a1－a2＝－1，故選D.答案：D13．[2024·廣西南寧摸底]用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被11整除，那么a，b中至少有一個(gè)能被11整除．”那么反設(shè)的內(nèi)容是________．解析：用反證法證明命題“a，b∈N，ab可被11整除