第十四講Black-Scholes-Merton期權定價模型及其應用1《金融工程》2025/4/82主要內容第一節標的資產價格建模第二節BSM期權定價公式第三節

波動率的概念和計算第四節BSM模型的擴展應用32025/4/84歐式期權定價——軼事期權定價是一件非常具有挑戰性的任務。在20世紀的前面70多年里，眾多經濟學家做出無數努力，試圖解決期權定價的問題，但都未能獲得令人滿意的結果。在探索期權定價的漫漫征途中，具有里程碑意義的工作出現在1973年——金融學家F.Black與M.Scholes發表了“期權定價與公司負債”的著名論文該論文推導出了確定歐式期權價值的解析表達式——Black-Scholes歐式期權定價公式，探討了期權定價在估計公司證券價值方面的應用，更重要的是，它采用的動態復制方法成為期權定價研究的經典方法M.Scholes主要因為這一工作與R.Merton一道榮膺了1997年的諾貝爾經濟學獎2025/4/85歐式期權定價——軼事巧合的是，國際上第一個期權交易所——芝加哥期權交易所于1973年4月底掛牌營業，略早于B-S公式的正式發表（5-6月號）兩位作者最先把論文投給JPE，遭到了編輯的拒絕，而且沒有得到審稿意見。拒絕的理由：金融太多，經濟學太少他們于是向經濟學與統計學評論投稿，同樣在沒有得到審稿意見的情況下遭到拒絕這一番波折導致他們檢驗B-S公式的論文發表在先6第一節標的資產價格建模

一、有效市場假說71965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說。該假說認為，投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬；證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息；市場競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的81、弱式效率市場：證券價格變動的歷史不包含任何對預測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術分析獲得超過平均收益率的收益。2、半強式效率市場：證券價格會迅速、準確地根據可獲得的所有公開信息調整，因此以往的價格和成交量等技術面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。3、強式效率市場假說：不僅是已公布的信息，而且是所有可能獲得的有關信息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內幕信息”）對挑選證券都沒有用處。根據眾多學者的實證研究，發達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說。弱式有效市場假說暗含：91.未來價格變動幅度與當前價格及之前價格都無關－－獨立增量性未來價格只與當前價格有關，與當前價格之前的價格無關；－－馬爾可夫性（簡稱馬氏性，也稱之為無記憶性）深證綜指收盤價時序圖10深證綜指收盤價對數收益時序圖11二、馬爾可夫過程馬氏過程是一類具有特殊性質的過程，它可以是：離散的隨機過程：如我們的二叉樹；連續的隨機過程：如布朗運動(wiener過程)12三.獨立同分布隨機變量的和的分布13M0.25的分布直方圖(Δt=0.01,模擬次數=1000)三.獨立同分布隨機變量的和的分布14M0.25的分布直方圖(Δt=0.01,模擬次數=100000)三.獨立同分布隨機變量的和的分布15M0.25的分布直方圖(Δt=0.0001,模擬次數=1000)三.獨立同分布隨機變量的和的分布16M0.25的分布直方圖(Δt=0.0001,模擬次數=100000)四.布朗運動與股票價格相似性17股票價格VS布朗運動：弱勢有效市場股票價格具有馬氏性VS

布朗運動具有馬氏性和獨立增量性；股價走勢具有連續性，VS

布朗運動具有連續軌道；假設股價的同時間長度的增長率獨立同分布與布朗運動的平穩獨立增量相符；大量獨立同分布的隨機變量加和必然呈現正態特征；VS布朗運動的增量具有正態特征直觀比較18直觀上講，布朗運動的概念最初描述的是花粉顆粒在水中的運動（1826,英國植物學家布朗）；花粉由于相互碰撞和與介質水分子的碰撞做出不規則的運動路徑；股票價格的波動來自于：投資者對股價的“碰撞”（類比于介質分子的碰撞）；股票的內在因素影響（市值大小，上市公司的行為、業績，類比于花粉顆粒的大小，花粉的密度等）；市場因素的影響（如利率，印花稅等，類比與水的溫度變化、水杯的晃動）；因此在一定程度上與花粉顆粒的運動相仿。2025/4/819僅僅使用標準布朗運動去研究股票價格存在欠缺：1)股價不是圍繞0點的運動，其期望收益不為零；2)不同股票單位時間內的波動是不同的，不是千篇一律的1標準差.3)股票價格恒為正值四.布朗運動與股票價格相似性設在實際概率環境下，股票價格滿足幾何布朗運動，即：20五.股票價格的隨機過程——GBM

geometricBrownianmotion

3.股票價格的隨機過程GBM21由Ito公式，股票價格的對數過程即為廣義Brown運動

22在無套利市場中，根據風險中性定價原理，應該成立

風險中性下的股價過程23故，在風險中性環境下，St的價格過程滿足：股票價格的解析式為：風險中性下的股價過程即：

風險中性與實際概率下的股價關系24

25第二節期權的風險中性定價－Black-Scholes-Merton(BSM)期權定價公式一、BSM期權定價公式假設26股價過程為幾何布朗運動（GBM）允許賣空交易無摩擦，即沒有交易成本、稅收等證券無限可分標的資產不產生紅利不存在套利機會證券可以連續交易所有期限的無風險利率同為常數二.Black-Scholes-Merton公式的推導2728歐式看漲期權的B-S-M公式歐式期權定價公式30匯總：無收益資產的歐式期權定價公式三、應用31例14.1假設滬深300現貨指數，滬深300看漲指數期權2022年11月21日的信息如下:S=3800X=3750T-t=0.5年r=0.025波動率＝0.20則：d1=0.253，d2=0.112，N(d1)=0.5999，N(d2)=0.5446C=SN(d1)-Xexp(-rT)N(d2)=262.732例：考慮一支不付紅利的股票，當前價格是20，無風險利率為12%，股價收益波動率為20%，現考慮以該股票為標的，到期期限為12個月，執行價格為21歐式看漲期權的定價。方法一、利用二叉樹模型估計看漲期權的價格，參見excel方法二、利用Black-Scholes公式求解33練習341、參數如例題，利用B-S公式求解執行價為21，期限為1年的歐式看跌期權的價值。2、鹽湖鉀肥07.6.14日股價為46.86,平均波動率為50%，無風險利率為3.06%，到期期限為0.025年，求以鹽湖鉀肥為標的，執行價為15.1元的鉀肥JTP1認沽權證的價值.(N(－14.374)=0,N(-14.295)=0)35青海鹽湖鉀肥2007年6月1日公告(節選）

鑒于公司認股認沽權證鉀肥JTP1的行權價格15.1元與公司正股“鹽湖鉀肥（代碼：000792）”的二級市場價格的價差巨大，最近三個交易日鉀肥JTP1認沽權證日換手率均超過1000％，如果截止2007年6月22日，公司正股收盤價在15.1元以上，鉀肥JTP1將沒有任何投資價值和行權價值，敬請廣大本公司權證投資者注意投資風險和行權風險。

???本公告前一交易日，鹽湖鉀肥的收盤價格為40.75元，“鉀肥JTP1”認沽權證的行權價格為15.1元，內在價值為0.000元。采用Black－Sholes公式，以本公告前一交易日鹽湖鉀肥收盤價格40.75元、鹽湖鉀肥股價波動率49.90%、無風險利率3.06%計算，“鉀肥JTP1”認沽權證的理論價值為0.000元。36四、BSM模型的金融學理解與貢獻37（一）BSM模型的金融學理解

四、BSM模型的金融學理解與貢獻38（一）BSM模型的貢獻與不足Black-Scholes模型為金融衍生品的定價奠定了堅實的理論基礎其給出的歐式期權的解析定價公式提高了市場的定價效率，為場內交易的期權提供了合理的理論價值參考。Black&Scholes提出的動態套期保值的思想對于其他類型期權的定價，放松市場條件后的期權合理價格計算等都提供了重要的解決思路參考。Black-Scholes模型基于一系列假設條件在現實中并不總是成立；同時模型沒有考慮市場的微觀結構。Black-Scholes模型對于一些更復雜的路徑依賴期權和提前行權的期權無法給出解析表達式，低于標的資產價格不滿足幾何布朗運動的情況也沒有討論。39第三節

波動率的概念和計算一.波動率的相關概念40波動率是金融資產價格的波動程度，是對資產收益率不確定性的衡量，用于反映金融資產的風險水平。但資產的實際波動率在市場中無法直接觀測的，因此經常采取一些計算方法從標的資產價格或者衍生品價格信息中獲取實際波動率的近似取值。二.歷史波動率41

二.歷史波動率42

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三.交易天數與日歷天數四、隱含波動率與VIX指數44交易者可以很容易從屏幕上獲得某個看漲期權的信息：四個月后到期、執行價格為100、當前交易價格為6.51，其標的資產現價為101.5，短期利率是8%，我們能夠以某種方式用到這些信息嗎？45隱含波動率（impliedvolatility）是代入到Black-Scholes公式中作為標的資產的波動率，使得最終求出的期權理論價格等于市場價格。從某種意義上講，這是市場對于期權整個生命周期中波動率的觀點。46

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波動率微笑與波動率期限結構48波動率微笑曲線或者波動率偏斜曲線：波動率隨著執行價格的變化而變化的模式波動率期限結構：相同執行價格、不同到期日的期權合約的隱含波動率構成的曲線。波動率曲面：既反映執行價格影響，又反映期限影響的波動率圖形。期權的重要貢獻之一就是提供了投資者對市場波動性的態度！！波動率微笑與波動率期限結構49圖14.1波動率微笑示意圖波動率微笑與波動率期限結構50波動率微笑與波動率曲面51產生波動率微笑的原因，可能來自以下幾個方面：1.實際標的資產價格不服從對數正態分布。2.實際標的資產的價格可能產生跳躍。除此以外，投資者的交易偏好，市場價格漲跌的不對稱性，如投資者的暴跌恐懼癥也會導致不同執行價的期權隱含波動率有所差異。2025/4/852波動率與VIX指數53第四節BSM模型的擴展應用一、有收益資產的期權定價

（一）有紅利率標的資產的期權定價設期權有效期內連續紅利率為q，類似遠期價格確定，將B-S公式中的S0替換成S0e-qT，為（一）有紅利率標的資產的期權定價例14.3.加曼－科爾哈根外匯期權定價公式56GarmanandKohlagen,1983

例14.457設美元對人民幣的即期匯率為1美元=7.0人民幣，美元的無風險利率為3.5%（連續復利），人民幣的無風險利率為1.5%（連續復利），美元兌人民幣的匯率年波動率為10%，美元兌人民幣匯率波動滿足幾何布朗運動，設存在6個月期，執行價格為美元兌人民幣6.9的歐式看漲美元外匯期權，試計算該期權當前的價格。（以1美元為例）例14.458

例14.559假設某投資者現在持有一份歐式看跌期權合約，該合約將在1年后到期。其標的股票在期權持有期內連續支付股息，其年紅利率為4%。該股票當前的價格為50元，期權執行價格為50元，股票價格的年化波動率為20%，市場的無風險利率為5%。求該歐式看跌期權合約的價格。例14.560

設期權有效期內現金紅利的現值為I，類似遠期價格確定，將B-S公式中的S0替換成S0–I，為一、有收益資產的期權定價（二）支付現金紅利資產的期權定價例14.662假設某投資者現在持有一份歐式看漲期權合約，該合約將在1年后到期。在此期間，標的股票分別在3個月后、6個月后和9個月后各支付定額現金紅利，每次支付的金額為1.5元。該股票當前的價格為50元，期權執行價格為50元，股票價格的年化波動率為20%，市場的無風險利率為5%。求該期權合約當前的理論價格。例14.563

例14.5續

64二、權證定價65權證在我國分為股本權證和備兌權證，備兌權證類似于股票期權；股本權證類似國外的權證，由股票發行公司發行，認股權證的行駛需要發行新股，增加股票數量，因此此種權證的發行會導致股價下降，但仍然可以使用BSM公式。權證定價分析

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67權證定價分析68

行權收益為：

行權收益為：該價格會體現在權證發行后股票價格的波動上

權證定價分析69例14.7

某公司共發行100萬股股票，每股價格為40美元，該公司正在考慮發行20萬份權證，每份權證給權證持有者在5年后可以以每股60美元的價格買入股票的權利。假定無風險連續復利為每年3%，波動率為每年30%，公司不支付股息，則公司發行權證的消息公布后，公司股價會變動多少？70

三、信用風險度量KMV模型71核心：沿用merton模型，把企業與銀行的借貸關系視為期權買賣關系，借貸關系中的信用風險信息隱含在這種期權交易之中，從而通過應