專題L5期中考試重難點題型匯編【舉一反三】

【浙教版】

【知識點1】三角形的基本概念

三角形：不在同??條直線上的三條線段首尾相接所組成的圖形。

【知識點2】三角形的分類

1.按角分：銳角三角形、宜角三角形、鈍角三角形（定義，區別）。

2.按邊分：不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形。

【知識點3】三角形的基本性質

1.三角形的內角和是180%

2.三角形的任何兩邊的和大于第三邊（由兩點之間線段最短得到）。

三角形的任何兩邊的差小于第三邊

三角形的任何兩邊之和大于第三邊大于兩邊之差。

應用：知兩條確定第三條范圍；知三條判斷能否組成三角形；知四條及以上

3.三角形的外角：由三角形一條邊的延長線和另一條相鄰的邊組成的角。

三角形的一個外角等于和他不相鄰的兩個內角的和（教材P7做一做）。

【知識點4】幾條重要的線

1.三角形的角平分線：?個角的平分線與這個角的對邊相交，頂點與對邊交點的連線段叫做三角形的角平分

線；三條角平分線都在三角形內且相交于一點；

2.三角形的中線：連接一個頂點和它對邊的中點的線段；三條中線都在三角形內且相交于一點；

3.三角形的高；從三角形的一個頂點向它對邊所在的直線作垂線段。

銳角三角形的三條高在三角形的內部相交于一點。

直角三角形的直角邊上的高分別與另一條直角邊重合，三條高在三角形的直角頂點處相交于一點。

鈍角三角形中，夾鈍角兩邊上的高都在三角形的外部，三條高在三角形的外部相交于一點。

會帶來面枳問題、直角、直角三角形

4.線段的垂直平分線（中垂線）：垂直并平分一條線段的直線。

中垂線性質：線段的中垂線上的點到線段兩端點的距離相等。

逆定理：到線段兩端的距離相等的點在這條線段的垂直平分線上。

5.角平分線的性質定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等。

逆定理：角的內部，到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。

【知識點5】全等三角形

1.全等圖形：能夠完全重合的兩個圖形。形狀相同、大小相等的圖形；

2.全等三角形：能夠完全重合的法個三角形。

3.對應頂點：能夠相互重合的頂點；

對應邊：相互重合的邊；有公共邊的，公共邊一定是對應邊；

對應角：相互重合的角。有公共角的，角一定是對應角；有對頂角的，對頂角一定是對應角；

性質定理：全等三角形的對應角相等，對應邊相等。注意“對應”二字。

SSS——三邊對應相等的兩個三角形全等；

SAS——一個角和夾這個角的兩邊對應相等的兩個三角形全等；

ASA——兩個角和這兩個角的夾邊對應相等的兩個三角形全等；

AAS——兩個角和其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等。

問題：為什么SSA不可以判定？

HL——直角三角形的斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等。

用符號且表示兩個三角形全等時，通常把對應頂點的字母寫在對應的位置上。

【知識點6】靈活運用全等判定定理

1.判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應相等，因此在尋找全等的條件

時，總是先尋找邊相等的可能性.

2.要善于發現和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。

3.要善于靈活選擇適當的方法判定兩個三角形全等。

（1）已知條件中有兩角對應相等，可找：

①夾邊相等（ASA）②任一組等角的對邊相等（AAS）

（2）已知條件中有兩邊對應相等，可找

①夾角相等（SAS）②第三組邊也相等（SSS）

（3）已知條件中有一邊一角對應相等，可找

①任一組角相等（AAS或ASA）②夾等角的另一組邊相等（SAS）

【知識點7】尺規作圖

尺規作圖：在幾何作圖中，我們把用沒有刻度的直尺和圓規作圖，簡稱尺規作圖。

1.基本作圖作等量線段、作等量角、作線段的和差倍、作角的和差倍、

2.作線段的中垂線、作角的平分線、中垂線角平分線在?起作、

3.作三角形知三邊、知兩邊夾角、知兩角夾邊、知一邊及該邊上的高

作法：有規定名稱時需格外注意字母的標注

注意務必考慮三角形的各要素（類比于三角形全等的判定條件）。

【知識點8】定義、命題與證明

I.定義：能清楚地規定某一名稱或術語的意義的句子叫做該名稱或術語的定義。

2.命題：定義：判斷某一件事情的句子

結構：由條件和結論兩部分組成。

句式改寫：如果……那么……

分類：真命題通過推理的方式來判斷、人們經過長期實踐公認為正確的

假命題通過舉反例（具備命題的條件但不具備命題的結論的實例）

3.互逆命題：在兩個命題中，如果第一個命題的題設是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個

命題的題設，那么這兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個命題叫做原命題，那么另一個命題叫做它的逆

命題.

4.互逆定理.：如果一個定理的逆命題經過證明也是定理，那么這兩個定理叫做互逆定理，其中一個叫做另一

個的逆定理.

5.證明：從命題的條件出發，根據己知的定義、基本事實、定理（包括推論）、一步一步推得結論成立的推理

過程。

證明幾何命題的格式：（1）按電意畫出圖形⑵分清命題的條件和結論，結合圖形，在已知中寫出條件，

在求證中寫出結論（3）在證明中寫出推理過程。

在解決幾何問題時，有時需要添加輔助線。添輔助線的過程要寫入證明中，輔助線通常畫或虛線。

【知識點9】圖形的軸對稱

軸對稱圖形定義：一個沿著一條直線折疊后，直線兩側的部分能夠互相重合圖形。

對稱軸：定義、位置的確定、條數、對稱點、作圖、

性質；對稱軸垂直平分連結兩個對稱點的線段

圖形的軸對稱定義、性質：成軸對稱的兩個圖形是全等圖形。

【知識點10］等腰三角形

1.等腰三角形的性質：

邊——等腰三角形兩腰相等；

角一等腰三角形兩底角相等（即在同一個三角形中，等邊對等角）：

線——等腰三角形三線合」這三線是指頂角的平分線、底邊上的高線、底邊上的中線，也就是說?條線

可以不含）

用不等號連接的，含有一個未知數，并且未知數的次數都是1,系數不為0,左右兩邊為整式的式子叫做一

元一次不等式。

【知識點13］不等式的性質：

性質1：如果a>b,b>c那么a>c

性質2：如果a>b,那么a±c>b±c

即不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變。

性質3：如果a>b,c>0,那么ac>bc（或a/c>b/c）

如果a>b,c<0,那么ac〈bc（或a/c<b/c）

即不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。

不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。

注；不等式的兩邊都乘以0,不等號變等號。

【考點1靈活運用三角形三邊關系】

【例11（2019秋?洛龍區校級期中）已知AABC的三邊長為a,b,c,化簡|a+b-c\-\b-a-c|的結果是（）

A.2b-2cB.-2bC.2a+2bD.2a

【變式1-1］（2019秋?灘溪縣期中）設三角形三邊之長分別為3,8,1-2小則〃的取值范圍為（）

A.-6<?<-3B.-5<a<-2C.-2<a<5D.〃V-5或〃>2

【變式1-2］（2019秋?寧都縣期中）如圖，在△八夕。中，AB=5,AC=3,則AC邊上的中線AD的取值范

圍是（）

A.2<AOV8B.0<XD<8C.\<AD<4D.3<AD<5

【變式1-3］（2019?防城港期中）在等腰AABC中，A8=AC,其周長為20”?,則48邊的取值范圍是（）

A.\cm<AB<4cmB.5cm<AB<\0cm

C.4cmeABV8cmD.4cm<AB<l0c/n

【考點2三種雙角平分線應用】

【例2】（2018春?翠屏區校級期中）已知△/18C,下列說法正確的是（只填序號）.

①如圖（I）,若點P是乙4BC和N4CB的角平分線的交點，則/尸=90。+工/4；

2

②如圖（2）,若點尸是外角產和NBCE的角平分線的交點，則/尸=90。-工乙4；

2

③如圖⑶，若點夕是N/WC和外角NACE的角平分線的交點，則NP=L/A.

2

【變式2-1］（2019秋?新洲區期中）如圖，ZBAC=70°,N'/WC的平分線與NAC8的外角平分

線交于點0,則N80C=度.

【變式2-2]（2019秋?高密市期口）如圖，NACQ是aABC的外角，NA4C的平分線與/4CO的平分線交

于點4,N48O的平分線與N4CZ）的平分線交于點4，若NA=60。，則NA2的度數為.

【變式2-3]（2018秋?江漢區校級期中）如圖，AAAC中，ZC=104°,"平分NA8C與△48c的外角平

分線AE所在的直線交于點兒則/r=.

【考點3線段垂直平分線的應用】

【例3】（2018春?葉縣期中）如圖所示，在aABC中，AB=AC,N84C為鈍角，BC=6,AB.AC的垂直

平分線分別交8C于點。、E,連接A。、AE,那么ZkADE的周長為.

【變式3-1]（2018秋?江都區期中）如圖，在"BC中，DM.EN分別垂直平分AC和8C交A8于M、N,

NAC8=118。，則NMCN的度數為.

【變式3-2]（2019秋?新鄉期中）如圖，在△D4E中，ZDAE=30°,線段AE,AD的中垂線分別交直線

DE于B和C兩點，則N84C的大小是.

【變式3-3]（2018秋?老河口市期中）如圖，ZiABC的邊48,AC的垂直平分線相交于點P,連接尸B,PC,

若NA=70。，則N8PC的度數是.

【考點4三角形全等的條件判斷】

【例4】（2018秋?利津縣期中）如圖,AB//CD,I3C//AD,AB=CD,AE=CF,其中全等三角形的對數是

（）

A.4B.3C.2D.1

【變式4-1]（2018秋?思明區校級期中）如圖，已知，ZCAB=ZDAE,AC=AD,增加下歹J條件：①AB

=AEx②BC=EO；③NC=/。；④NB=/E；⑤N1=N2.其中能使的條件有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【變式4-2]（2018秋?東臺市期中）根據下列已知條件，能夠畫出唯一FABC的是（）

A.48=6,BC=5,ZA=50°B.AB=5,BC=6,AC=\3

C.ZA=50°,N3=80°,AD=SD.Z/A=40°,ZZ?=50°,NC=90。

【變式4-3]（2018秋?東臺市期中）如圖，給出下列四組條件：

①AB=DE,BC=EF,AC=DF；

@AB=DE,BC=EF,NB=/E；

③/B=NE,NC=/F,BC=EF；

?AB=DE,AC=DF,/B=NE.

其中，能使AAbC立△￡>￡廠的條件共有（）

A.I組B.2組C.3組D.4組

【考點5全等三角形的判定與性質】

【例5】（2019秋?吉縣期中）如圖：在△人中，BE、C戶分別是AC、兩邊上的高，在8E上截取8。

=AC,在CF的延長線上截取CG=A8,連接A。、AG.

（1）求證：AD=AG\

（2）人。與AG的位置關系如何，請說明理由.

【變式5-1]（2019?內江期中）如圖，△AC。和ABCE都是等腰直角三角形，NACQ=N8C￡=90。，AE交

于點R8。分別交CE、AE于點G、”.試猜測線段AE和8。的數量和位置關系，并說明理由.

【變式5-2]（2019秋?九龍坡區校級期中）如圖，已知在MBC中，4。是BC邊上的中線，E是A。上一

點，連接8E并延長交AC于點RAF=EF,求證：AC=BE.

【變式5-3]（2019秋?吳興區校級期中）如圖，在△ABC和△力。E中，AB=AC,AD=AE,^BAC=DAE

=90。，線段B。，CE有怎樣的數量關系和位置關系？請說明理由.

【考點6復雜的尺規作圖】

【例6】（2018秋?六合區期中）在七年級我們就學過用一副三曲板畫出一些特殊度數的角.在八年級第二

章，我們學會了一些基本的尺觀作圖，這些特殊的角也能用尺規作下面請各位同學開動腦筋，只用

直尺和圓規完成下列作圖.

己知：如圖，射線。4.

求作：ZAOR,使得N八OA在射線04的上方，旦NAOA=45。（保留作圖痕跡，不寫作法）

【變式6-1]（2018秋?泗洪縣期中）已知：如圖，在A48C中，4CVAB且NC=2NB

（1）用直尺和圓規作出一條過點4的直線1,使得點C關于直線的對稱點落在邊48上（不寫作法，保

留作圖痕跡）

（2）設（1）中直線/與邊8c的交點為。，請寫出線段48、AC、CO之間的數量關系并說明理由.

【變式6-2]（2018秋?丹陽市期中）如圖，"BC中,48=3,AC=4,BC=5.

（1）試用直尺和圓規，在直線八〃上求作點，，使△/中。為等腰二角形.要求：①保留作圖痕跡；②若

點戶有多解，則應作出所有的點P,并在圖中依次標注P、P2、刊、…；

（2）根據（1）求附的長（所有可能的值）

【變式6-3]（2018?惠山區二模）如圖，已知AABC（AC<AB<BC）,請用直尺（不帶刻度）和圓規，按

下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：

（1）在邊BC上確定一點P,使得PA+PC=BC；

（2）作出一個△OER使得：①/是直角三角形；②△￡）￡尸的周長等于邊6c的長.

【考點7利用軸對稱變換求最值】

【例7】（2019秋?襄州區期中）如圖，NAO8=30。，NAO3內有一定點2且"=12,在。4上有一點

Q,08上有一點R,若△名》周長最小，則最小周長是

【變式7-1］（2018秋?洛龍區校級期中）如圖，等腰三角形/WC的面積是16,且底邊8c長為4,腰AC

的垂直平分線EF分別交邊AC,48于點EF,若點D為邊8C的中點，點M為線段EF上一動點，則△CM。

周長的最小值是.

【變式7-2］（2019秋?北塘區期中）如圖，在五邊形A8CQE中，ZBAE=\36°,ZB=ZE=90°,在8C,

DE上分別找一點M,N,使得A4MN的周長最小時，則N4MN+NAN用的度數為.

【變式7-3］（2019?黃岡期中）如圖，AC,4。在4/3的同側，AC=2,BD=8,/W=8,點M為A8的中點，

若/CMQ=12（）。，則CD的最大值是.

【考點8等腰三角形中的分類討論思想】

【例8】（2018春?鄴城縣期中）等腰三角形的周長為15cm,其中一邊長為3cm，則該等腰三角形的腰長為

（）

A.3cmB.6cmC.3c“？或6c〃？D.Scin

【變式8-1］（2018春?金水區校級期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為

40°,則此等腰三角形的頂角是（）

A.50°B.130°C.50?；?40°D.50。或130°

【變式8-2］（2019秋?綏棱縣期中）已知一個等腰三角形底邊的長為5”〃，一腰上的中線把其周長分成的

兩部分的差為3c7〃，則腰長為（）

A.2cmB.8c7〃C.2c〃？或8c〃？D.10cm

【變式8-3］（2018秋?沙依巴克區校級期中）等腰三角形一腰上的高等于該三角形某一條邊的長度的一半，

則其頂角等于（）

A.30°B.30°或150。

C.120。或150°D.30°或120?；?50°

【考點9靈活運用“三線合一”】

【例9】（2018秋?思明區校級期中）如圖，已知等邊aABC中，。是AC的中點，E是BC延長線上的一點，

HCE=CD,DMLBC,垂足為M,求證：M是的中點.

【變式9-1］（2018秋?湖里區校級期中）如圖，中，AC=2AB,AO平分N8AC交8C于。，E是AD

上一點，且E4=EC,求證：EBVAB.

【變式9-2］（2019春?廣饒縣期中）已知AA47中，NA=90。，AB=AC,。為6c的中點.

（1）如圖，若￡、尸分別是A8、AC上的點，且8E=AF.求證：△￡）￡r為等腰直角三角形；

（2）若E,尸分別為A4C4延長線上的點，仍有8￡=4兄其他條件不變，那么△。￡尸是否仍為等腰

直角三角形？證明你的結論.

【變式9-3］（2018秋?研口區期中）如圖，在等邊△ABC中，。是A8上一點，石是延長線上一點，AD

=CE,DE交AC于點F.

（1）求證：DF=EFx

（2）過點。作?！盻LAC于點區求里.

AC

【考點10三角形內角和與等腰三角形】

【例10】（2018秋?杭州期中）如圖，"BC中，AB=AC,DE垂直平分AB,BEA.AC,AF±BC,求NEFC

為度數.

【變式10-1】（2019秋?沛縣期中）如圖，在△/45c中，A1^=AC=2,ZB=ZC=40°,點。在線段8c上

運動（點。不與點4、C重合），連接AO,作NA/"i=4。、/無交線段AC'于點兒

（1）當/8。4=115。時，ZBAD=°,NEDC=。，NDEC=。；點。從B向。的

運動過程中，N8D4逐漸變（填“大”或“小”）；

（2）當OC等于多少時，XABDqADCE,請說明理由.

【變式10-2】（2018秋?泗陽縣期中）已知，在ZiABC中，點。在8C上，點E在8c的延長線上，且8。

=BA,CE=CA.

（1）如圖1,若/B4C=90。，N8=45。，試求ND4E的度數；

（2）若N84C=90。，ZB=60°,則NQAE的度數為（直接寫出結果）；

（3）如圖2,若NB4O90。，其余條件不變，探究ND4E與NKAC之間有怎樣的數量關系？

【變式10-3】（2019秋?越秀區期中）在aABC中，AB=AC,點。在底邊BC上，AE=AD,連結短￡

（1）如圖①，已知N84C=90。，/朋。=60。，求NCOE的度數.

（2）如圖①，己知N84C=90。，當點、D在BC（點、B、C除外）上運動時，試探究NZMD與NCO￡的

數量關系；

（3）如圖②，若/84行90。，試探究NZM。與NCQE的數量關系.

【考點11等腰三角形與全等三角形的綜合】

【例II】（2019?東莞市模擬）如圖，中，AB=BC,NABC=45。,于點石，于點。，

BE與AQ相交于F.

（1）求證：BF=ACx

（2）若8=3,求A尸的長.

【變式》1】（2018秋?臨清市期末）如圖，在等腰RSA5c中,ZACB=90°,。為5C的中點,DELAB,

垂足為￡過點8作8r〃AC交DE的延長線F點尸，連接CE

（1）求證：CD=BF；

（2）求證：ADLCFx

（3）連接AR試判斷A4C尸的形狀.

【變式11-2］（2019秋?寧河縣校級月考）如圖，在AABC中，AB=AC,NBAC=45。，點。是8c的中點，

過點C作CE_LA3,垂足為點E,交AD于點F.

（1）求證：AE=CE；

（2）求證：AAEFGACEB.

【變式11-3］如圖，已知等腰三角形ABC中，AB=AC,點。、石分別在邊AB、4c上，且AO=A石，連接

BE、CD,交于點F.

（1）判斷NA8E與NACO的數量關系，并說明理由；

（2）求證：過點4、尸的直線垂直平分線段8C.

【考點12等腰三角形中的新定義問題】

【例12】（2019秋?椒江區校級期中）定義：如果兩條線段將一個三角形分成3個等腰三角形，我們把這兩

條線段叫做這個三角形的“三階等腰線”.

（1）請你在圖1,圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為36。的等腰三角形的“三階等腰線“，并標注每個

等腰三角形頂角的度數.（若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）.

（2）如圖3,4ABC中，N8=36。，4。和OE是ZiABC的“三階等腰線“，點。在8c邊上，點E在AC

邊上，且A￡>=3O,DE=CE,設NC=x。，試畫出示意圖，并求出x所有可能的值.

【變式12-1】（2019春?市北區期中）（本題畫圖時，直接用直尺畫出相關線段即可，不需尺規作圖，直接

標注等腰三角形頂角度數即可，不需寫出求解過程）

把一張頂角為36。的等腰三角形紙片折疊兩次，得到3個等腰二角形，你能辦到嗎？圖I是其中的一種

方法（虛線表示折痕）

定義：如果兩條線段將一個三弟形分成3個等腰三角形，我們把這兩條線段叫做這個三角形的三分線

（1）請你在圖1后面用另一種不同的方法畫出頂角為36。的等腰三角形的三分線

①標注折痕（折痕用虛線表示）

②標注得到的每個等腰三角形頂角的度數：

（若兩種方法分得的三角形形成3對全等三角形，則視為同?種）

（2）請你在圖2中用兩種不同的方法畫出頂角為45。的等腰三角形的三分線，并標注每個等腰三角形頂

角的度數（不必標注折痕，若兩種方法分得的三角形成3對全等三角形，則視為同一種）

【變式12-2】（2019春?順德區期中）如果一個三角形能被一條線段分割成兩個等腰三角形，那么稱這條線

段為這個三角形的特異線，稱這個三角形為特異三角形.

（1）如圖1,AABC是等腰銳角三角形，AB=AC（AB>BC）,若/ABC的角平分線8。交AC于點Q,

且BD是△A8C的一條特異線，則N8OC=度；

（2）如圖2,AABC中，N8=2NC,線段AC的垂直平分線交AC于點。，交BC于點E.求證：AE是

△A3C的一條特異線；

（3）如圖3,己知△A3C是特異三角形，且NA=30。，為鈍角，求出所有可能的N8的度數（如有

需要，可在答題卡相應位置另外畫圖）.

【變式12-3】（2018秋?濱湖區期中）【定義】數學課上，陳老師對我們說，如果1條線段將一個三角形分

成2個等腰三角形，那么這1條線段就稱為這個三角形的“好線”，如果2條線段將一個三角形分成3個

等腰三角形，那么這2條線段就稱為這個三角形的“好好線”.【理解】如圖①，在AABC中，NA=36。，

ZC=72°,請你在這個三角形中畫出它的“好線”，并標出等腰三角形頂角的度數.

如圖②，已知△48C是一個頂角為45。的等腰三角形，請你在這個三角形中畫出它的“好好線”，并標出所

分得的等腰三角形底角的度數.

【應用】

（I）在△人AC中，已知一個內角為42。，若它只有“好線”，請你寫出這個三角形最大內角的所有可能

值:

（2）在8c中，ZC=27°,4。和OE分別是△A8C的“好好線”，點。在BC邊上，點E在A8邊上，

且AQ=OC,BE=DE,請你根據題意畫出示意圖，并求N8的度數.

【考點13與等邊三角形的性質與判定有關問題綜合】

【例13】（2018春?天心區校級期末）如圖，。是等邊三角形A8C內一點，將線段AO繞點人順時針旋轉

60。，得到線段AE,連接CDBE.

（1）求證：NAEB=/AOC；

（2）連接。E,若NAOC=105。，求NBE。的度數.

【變式13-1】（2018秋?廣州期末）如圖1,點A是線段BC上一點，ZUBD,AAEC都是等邊三角形，BE

交AO于點M,CD交,AE千N.

（1）求證：BE=DC；

（2）求證：AAMN是等邊三角形;

（3）將aACE繞點A按順時針方向旋轉90°,其它條件不變，在圖2中補出符合要求的圖形，并判斷（1）、

（2）兩小題結論是否仍然成立，并加以證明.

【變式13-2】（2018秋?麻城市校級期末）（1）如圖，△/WC中，AB=AC,點。在線段上，E是直線

BC上一點，且若NA=60。（如圖①）.求證：EB=AD；

（2）若將（1）中的“點力在線段A8上”改為“點。在線段AB的延長線上“，其它條件不變（如圖②），

（1）的結論是否成立，并說明理由.

【變式13-3】（2017秋?仁壽縣期末）如圖1,C是線段BE上一點，以8C、CE為邊分別在8E的同側作等

邊△A8C和等邊ZkOCE,連結4E、BD.

（1）求證：BD=AE；

（2）如圖2,若M、N分別是線段八石、上的點，且請判斷△OWN的形狀，并說明理由.

【考點14翻折變換中的角度問題】

【例14】（2019春?東臺市校級期中）aABC,直線。E交AB于D,交AC于E,將AAOE沿力E折疊，使

4落在同一平面上的4處，N4的兩邊與80、CE的夾角分別記為Nl,Z2.

（1）如圖①，當4落在四邊形BOEC內部時，探索NA與N1+N2之間的數量關系，并說明理由.

（2）如圖②，當A落在AC右側時，探索NA與Nl,N2之間的數量關系，并說明理由.

【變式14-1】（2019春?淮陰區期中）如圖（1）,△/WC是一個三角形的紙片，點。、E分別是△ABC邊上

為兩點，

研究（1）：如果沿直線DE折疊，則與NA的關系是.

研究（2）：如果折成圖2的形狀，猜想N8DV、NCE4和/A的關系，并說明理由.

班究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想NCE4和乙4的關系，并說明理由.

【變式14-2】（2019秋?李滄區期中）圖形在折疊過程中會形成相等的邊和相等的角，下面是同學們在數學

課上所做的三角形、四邊形折疊實驗，請根據實驗過程解決問題：

問題（一）

如圖①，一張二:角形人/JC紙片，點。、E分別是△八。。邊上兩點.

研究（1）：如果沿直線。月折疊，使4點落在CE上，則NBDV和NA的數量關系是；

研究（2）：如果折成圖②的形狀，猜想NBOA、NCE4和NA的數量關系是；

研究（3）：如果折成圖③的形狀，猜想NBDA、NCE4和/A的數量關系，并說明理由.

問題（二）

研究（4）：將問題（一）推廣.如圖④，將四邊形A8co紙片沿￡尸折疊，使點A、6落在四邊形EFCO

的內部時，N1+/2與/A、N8之間的數量關系是.（直接寫出結論）

【變式14-3】（2019春?廣陵區校級期中）發現（1）如圖1,把AA8C沿。￡折疊，使點A落在點4處，請

你判斷N1+N2與NA有何數量關系，直接寫出你的結論，不必說明理由

思考（2〉如圖2,W平分NA8C,。平分NACB,把△A4C折疊，使點人與點/重合，若Nl+N2=100。,

求/B/C的度數；

拓展（3）如圖3,在銳角△A8C中，B凡LAC于點凡CGJ_AB于點G,BF、CG交于點H,把AABC折

疊使點A和點”重合，試探索與N1+N2的關系，并證明你的結論.

【考點15三角形中的動點問題】

【例15]（2019秋?全椒縣期中）已知△ABC中，AC=BC,NC=120。，點。為AB邊的中點，NED尸=60。,

DE、。產分別交AC、BC于E、F點.

（1）如圖1,若EF"AB.求證：DE=DF.

（2）如圖2,若石尸與AB不平行.則問題（1）的結論是否成立？說明理由.

【變式15-1】（2018秋?開州區期中）在"BC中，4B=AC,點Z）為射線C8上一個動點（不與B、C重合），

以AO為一邊在A。的右側作AAOE,使AO=AE,ZDAE=ZBAC,過點E作樣〃8C,交直線AC于點

F,連接CE.

（1）如圖①，若N8AC=60。，則按邊分類：XCEF是三角形；

（2）若N8ACV60。.

①如圖②，當點。在線段C8上移動時，判斷△（7石/的形狀并證明；

②當點D在線段的延長線上移動時，ACEF是什么三角形？請在圖③中畫出相應的圖形并直接寫出

結論（不必證明）.

【變式15-2】（2018秋?十堰期中）在"BC中，AB=AC,。是直線8C上一點，以AO為一條邊在4。的

右側作△&￡>￡；,使AE=A￡>,ZDAE=ZBAC,連接CE.

（1）如圖，當點。在6c延長線上移動時，若N8AC=25。，則NQCE=.

（2）設N8AC=a,ZDCE=f）.

①當點。在〃。延長線上移動時，a與。之間有什么數量關系？請說明理由；

②當點。在直線BC上（不與B,。兩點重合）移動時，a與0之間有什么數量關系？請直接寫出你的結

論.備用圖備用圖

【變式15-3】（2019秋?洪山區期中）（1）如圖1,已知△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,直線機經過點

4,直線用，CEJL直線〃7,垂足分別為點D、E.求證：DE=BEHCE.

（2）如圖2,將（I）中的條件改為：在AABC中，AB=AC,。、A、E三點都在直線〃?二，并且有N

BDA=ZAEC=ZBAC,求證：DE=BD+CE

（3）拓展與應用：如圖3,D、E是。、A、E三點所在直線用上的兩動點（D、A、E三點互不重合），

點"為N8AC平分線上的一點，且aA3r和aAC廠均為等邊三角形，連接4。、CE,若NBDA=NAEC

=ZBAC,求證：△￡>￡/為等邊三角形

【考點16靈活運用直角三角形斜邊中線】

【例16】（2018秋?泗洪縣期中）如圖，在四邊形A8CD中，AD//BC,DE1BC,垂足為點￡連接AC交

DE于點F,點G為4尸的中點，NACO=2NACB.

（1）說明DC=DG；

（2）若DG=7,EC=4,求的長.

【變式16-1]（2018秋?海州區校級期中）如圖,△43C是等腰直角三角形，AB=AC,。是斜邊BC的中點,

E、產分別是A4、AC邊上的點，KDE.LDF.

（1）請說明：DE=DF；

（2）請說明：BE2+CF2=EF2；

（3）若BE=6,Cr=8,求△DE/的面積（直接寫結果）.

【變式16-2]（2018秋?高郵市期中）如圖,4。是AABC的高，CE是"BC的中線.

（1）若4）=12,80=16,求。氏

（2）已知點尸是中線的中點，連接OF,若NAEC=57。，ZDFE=90°,求NBC￡的度數.

【變式16-3】（2018秋?太倉市期末）如圖,在△ABC中，CF_L45于尸,IE_LAC于E,M為5c的中點,

BC=1().

(1)若N4AC=50。，NACB=60。，求NEW/的度數;

（2）若EF=4,求△“￡尸的面積.

【考點17靈活運用30。直角三角形】

[ft17]（2018秋?天臺縣期中）如圖，在RS/WC中，CM平分NAC8交人B于點M,過點M作MN〃8C

交AC于點N,且MN平分NAMC,若AN=1.

（1）求N8的度數；

（2）求CN的長.

【變式17-1]（2019秋?江津區校級期中）已知：如圖A47c中,AB=AC,ZC=30°,ABLAD,AD=4cm.求

BC的長.

【變式17-2】（2019秋?重慶校級期中）如圖，已知△/14c中，44=AC,N84C=120。，4c的垂直平分線

EF交AC于點、E,交4c于點F,且CP=3.求BF.

【變式17-3】（2018春?槐蔭區期中）如圖所示，在等邊AABC中，點E分別在邊AC,AC上，且OE

//AB,過點E作E凡LOE交8c的延長線于點F.

（1）求N尸的大??；

（2）若CQ=3,求。尸的長.

【考點18勾股定理與折疊】

【例18]（2019?云陽縣校級模擬）如圖，在矩形A8CO中，AB=1,BC=2,將其折疊使A4落在對角線

4c上，得到折痕AE,那么BE的長度為（）

A6TRh

22c2

【變式18-1】（2018春?江夏區期中）如圖，矩形/WCO中，AB=5,AO=4,M是邊。。上一點，將A/WM

沿直線AM對折，得△ANM,連用V,若。M=l,則△ABN的面積是（）

A.儂B.142c,146

151715

【變式18-2]如圖，在矩形A8CD中，AB=4,BC=6,點E為BC的中點,將ZU座沿4E折疊，使點B

落在矩形內點尸處，連