專題02角度計算中的經(jīng)典模型【舉一反三】

《豈擊超II

【條件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【結(jié)論】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春?潤州區(qū)校級月考）如圖，在AABC中，ZACB=90J,F是AC延長線上一點，F(xiàn)D1AB,

垂足為D,FD與BC相交于點E,ZBED=55°.求NA的度數(shù).

【變式1-1］（2019秋?涼州區(qū)校級期中）如圖,AABC中,ZB=ZC,FD±BC,DE1AB,ZAFD=152°,

求NA的度數(shù).

A

【變式1-2】（2019春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在4ACB中，ZACB=90°,CD_LAB于D.

（1）求證：ZACD=ZB；

（2）若AF平分NCAB分別交CD、BC于E、F,求證：ZCEF=ZCFE.

【變式1-3］（1）如圖①，在Rt^ABC中，/ACB-90',CD1AB.垂足為D,4CD與NB有什么關(guān)系？

為什么？

（2）如圖②，在RtABC中，NC=90；D、E分別在AC,AB±,且/ADE=/B，判斷ADE的形

狀是什么？為什么？

（3）如圖③，在RtABC和RtDBE中，NC=90°,NE=90°,AB_LBD,點C,B，E在同一直線上,

NA與ND有什么關(guān)系？為什么？

【結(jié)論】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春?資中縣月考）如圖所示，AABC中，NC=75,,若沿圖中虛線截去NC,則N1+N2等

于多少度？

【變式2-1】（2019春?長沙縣校級期中）如圖，已知NA=40°,求N1+N2+N3+/4的度數(shù).

【變式2-2］（2019春?吁胎縣期中）我們?nèi)菀鬃C明，三角形的一個外角等于它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，那么,

三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系呢?

（圖3）

I.嘗試探究：

（1）如圖1,NDBC與NECB分別為aABC的兩個外角，試探究NA與NDBC+NECB之間存在怎樣的數(shù)

量關(guān)系？為什么？

II.初步應(yīng)用：

（2）如圖2,在ABC紙片中剪去aCED,得到四邊形ABDE,Z1=130°,則N2-/C=；

（3）小明聯(lián)想到了曾經(jīng)解決的一個問題：如圖3,在AABC中，BP、CP分別平分外角NDBC、ZECB,

NP與NA有何數(shù)量關(guān)系？請利用上面的結(jié)論直接寫出答案.

【變式2-3】（2019春?鹽都區(qū)期中）⑴如圖1,已知AABC為直角三角形，/A=90°,若沿圖中虛線剪

去NA,則N1+N2等于

A90°B.1350C.27O0D.3150

A

【變式3-2】(2019春?南崗區(qū)期末)已知在AABC中，NA=100°,點D在AABC的內(nèi)部連接BD,CD,

且NABD=NCBD,ZACD=ZBCD.

(1)如圖1,求NBDC的度數(shù)；

(2)如圖2,延長BD交AC于點E,延長CD交AB于點F,若NAED-NAFD=12°,求NACF的度數(shù).

【變式3-3】(2019春?東阿縣期末)已知任意一個三角形的三個內(nèi)角的和是180°.如圖K在ABC中，

ZABC的角平分線BO與NACB的角平分線CO的交點為O

(1)若NA=70°,求NBOC的度數(shù)：

(2)若NA=a,求NBOC的度數(shù)；

(3)如圖2,若BO、CO分別是NABC、NACB的三等分線，也就是NOBC=1NABC,ZOCB=lzACB,

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ZA=a,求NBOC的度數(shù).

【模型4內(nèi)外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為NABC、NACD的角平分線.

【結(jié)論】ZA=1ZP.

2

[ft4](2018秋?江岸區(qū)期中)如圖，AABC中，NABC與NACB的外角的平分線相交于點E.

(1)已知NA=60°,求NE的度數(shù)；

【變式41】(2019秋?衛(wèi)濱區(qū)校級期中)如圖，AABC的外角NACD的平分線CP與內(nèi)角NABC平分線BP

【變式42】(2019秋?莆田校級期中)如圖所示，已知BD為aABC的角平分線，CD為AABC外角NACE

的平分線，且與BD交于點D；

(1)若/ABC=60。，ZDCE=70°,則/D=0；

(2)若NABC=70°,ZA=80°,則ND=°；

(3)當NABC和NACB在變化，而NA始終保持不變，則ND是否發(fā)生變化？為什么？由此你能得出什么

【變式43】(2018秋?彭水縣校級月考)如圖，已知BD是AABC的角平分線，CD是AABC的外角NACE

的外角平分線，CD與BD交于點D.

(1)若NA=50°,則ND=；

(2)若NA=80°,則ND=；

(3)若NA=130°,則ND=?

(4)若/D=36"，則NA=；

(5)綜上所述，你會得到什么結(jié)論？證明你的結(jié)論的準確性.

A

D

【模型5雙外角平分線模型】

【條件】BP、CP分別為/EBC、NBCD的角平分線.

【結(jié)論】ZP=90-1ZA.

2

【例5】（2018秋?鄂倫春自治旗月考）如圖，Z\ABC中，分別延長AABC的邊AB、AC至iJD、E,ZCBD

與NBCE的平分線相交于點P,愛動腦筋的小明在寫作業(yè)的時發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

（1）若NA=60°,則NP=°；

（2）若NA=40°,則NP=°；

（3）若NA=100°,則NP=0；

（4）請你用數(shù)學表達式歸納NA與NP的關(guān)系.

【變式5-1】（2019秋?團風縣校級月考）BD、CD分別是AABC的兩個外角NCBE、NBCF的平分線,

求證：ZBDC=90:1ZA.

2

【變式5-2】（2019春?雨城區(qū)校級期中）如圖,BI,CI分別平分△ABC的外角NDBC和NECB,

(1)若NABC=40°,ZACB=36°,求NBIC的大小；

(2)若NA=96。，試求NBIC；

(3)根據(jù)前面問題的求解，請歸納NBIC和/A的數(shù)量關(guān)系并正行證明.

【變式5-3］如圖，在AABC中，BD,CD是內(nèi)角平分線，BP,CP是/ABC,NACB的外角平分線，分別

交于點D,P.

(1)若/A=30。，求NBDC,/BPC的度數(shù).

(2)若NA=m0,求NBDC,/BPC的度數(shù)(直接寫出結(jié)果，不必說明理由)

(3)想想，/A的大小變化，對ND+NP的值是否有影響，若有影響，請說明理由，若無影響，直接求

出其值.

【結(jié)論】ZA+ZB=ZD+ZE.

【例6】(2019春?輝縣市期末)圖1,線段AB、CD相交于點O,連接AD、CB.我們把形如圖1的圖形稱

之為“8翎夕.如圖2,在圖1的條件下，NDAB和NBCD的平分線AP和CP相交于點P,并且與CD、

AB分別相交于M、N.試解答下列問題：

(1)在圖1中，請直接寫出NA、/B、NC、ND之間的數(shù)量關(guān)系：；

(2)仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：______個；

(3)圖2中，當ND=50度，NB=40度時;求NP的度數(shù).

（4）圖2中ND和NB為任意角時，其他條件不變，試問NP與ND、NB之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系.直（

接寫出結(jié)果，不必證明）.

【變式6~1】（2018春?新泰市期中）已知：如圖，AM,CM分別平分NBAD和NBCD.

①若NB=32°,ND=38°,求NM的度數(shù)；

②探索NM與NB、ND的關(guān)系并證明你的結(jié)論.

【變式6~2】（2018秋?南昌期中）如圖1,已知線段AB、CD相交于點O,連接AC、BD,則我們把形如這

樣的圖形稱為“8字型”.

（1）求證：ZA+ZC=ZB+ZD：

（2）如圖2,若NCAB和NBDC的平分線AP和DP相交于點P,且與CD、AB分別相交于點M、N.

①以線段AC為邊的“8字型”有個，以點。為交點的“8字型”有個；

②若NB=100",NC=120°,求NP的度數(shù)：

③若角平分線中角的關(guān)系改為“NCAP二L/CAB,ZCDP=lzCDBn,iiWtZP與NB、ZC之間存在

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的數(shù)量關(guān)系，并證明理由.

【變式&3】（2018秋?青島期末）【問題背景】

（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說理證明NA+NB=NC+ND

B

B

【簡單應(yīng)用】

（2）如圖2,AP、CP分別平分/BAD、ZBCD,若NABC=20"，NADC=26°,求NP的度數(shù)（可直接

使用問題（1）中的結(jié)論）

【問題探究】

（3）如圖3,直線AP平分NBAD的外角NFAD,CP平分/BCD的外角NBCE,若NABC=36°,ZADC

=16°,猜想NP的度數(shù)為

【拓展延伸】

（4）在圖4中，若設(shè)NC=x,ZB=y,ZCAP=LzCAB,ZCDP=LzCDB,試問NP與NC、NB之間

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的數(shù)量關(guān)系為（用x、y表示/P）

（5）在圖5中，AP平分/BAD,CP平分/BCD的外角NBCE,猜想NP與/B、ND的關(guān)系，直接寫出

結(jié)論.

【模型7燕尾模型】

【結(jié)論】ZBPC=ZA+ZB+ZC.

【例7】（2019春?冠縣期末）（1）探究：如圖1,求證：ZBOC=ZA+ZB+ZC.

(2)應(yīng)用：如圖2,ZABC=100°,ZDEF=130°,求NA+NC+ND+NF的度數(shù).

【變式7-1】（2019秋?平度市期末）材料閱讀：如圖①所示的圖形，像我們常見的學習用品-圓規(guī).我

們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”.

解決問題：

（1）觀察“規(guī)形圖”，試探究NBDC與NA,ZB,NC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）請你直接利用以上結(jié)論，解決以卜兩個問題：

I.如圖②，把一塊三角尺DEF放置在AABC上，使三角尺的兩條直角邊DE,DF恰好經(jīng)過點B,C，若

NA=40'，則NABD+NACD=

II.如圖③，BD平分/ABP,CD平分NACP，若NA=40'，ZBPC=130°,求NBDC的度數(shù).

【變式7-2】（2019秋?阜陽月考）在數(shù)學學習中整體思想與轉(zhuǎn)化思想是我們常用到的數(shù)學思想.如圖（1）

中，求NA+NB+NC+ND+NE的度數(shù)等于多少時，我們可以連接CD,利用三角形的內(nèi)角和貝!有NB+NE

=NECD+NBDC,這樣NA、NB、NC、ND、NE的和就轉(zhuǎn)化到同一個4ACD中，

即NA+NB+NC+ND+NE=180°.

嘗試練習：

圖(2)中NA+NB+/C+/D+NE的度數(shù)等于.

圖(3)中/A+NB+/C+ND+NE的度數(shù)等于.

圖(4)中NA+NB+NC+ND+NE+NF的度數(shù)等于.

【變式7-3】(2019秋?襄城區(qū)期中)已知：點D是AABC所在平面內(nèi)一點，連接AD、CD.

(1)如圖1,若NA=28°,ZB=72°,ZC=11°,求NADC；

(2)如圖2,若存在一點P,使得PB平分NABC,同時PD平分NADC,探究/A,ZP,NC的關(guān)系并證

明；

(3)如圖3,在(2)的條件下，將點D移至NABC的外部，其它條件不變，探究NA,ZP,NC的關(guān)系

并證明.

【模型8箏型】

【結(jié)論】NPBD+NPCD=NA+NP

【例8】(2019春?邳州市校級月考)如圖，在折紙活動中，小明制作了一張AABC紙片，點D、E分別在

邊AB、AC上，將AABC沿著DE折疊壓平，A與A'重合.

(1)若NA=75°,則N1+N2=.

(2)若NA=n°,則N1+N2=.

(3)由(1)(2)探索NA與/1+N2之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

c

【變式8-1】（2018春?遷安市期末）動手操作：

一個三角形的紙片ABC,沿DE折疊，使點A落在點A'處.

觀察猜想

（1）如圖1,若NA=40"，則/1+/2=0；

若NA=55°,則N1+N2=°；

若NA=n°,則/1+/2=°.

探索證明：