集合與常用邏輯用第一章第2講命題及其關系、充分條件與必要條件【考綱導學】1．理解命題的概念．2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系．3．理解充分條件、必要條件與充要條件的含義．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．四種命題及其關系(1)四種命題間的相互關系：(2)四種命題的真假關系：①兩個命題互為逆否命題，它們具有______的真假性．②兩個命題為互逆命題或互否命題時，它們的真假性_________．相同沒有關系2．充分條件、必要條件與充要條件的概念充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要1．(教材習題改編)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是(

)A．“若x<y，則x2<y2” B．“若x≤y，則x2≤y2”C．“若x>y，則x2>y2” D．“若x≥y，則x2≥y2”【答案】B【解析】根據原命題和其逆否命題的條件和結論的關系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”．2．已知命題p：若x＝－1，則向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為(

)A．0 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】向量a，b共線?x－x(x＋2)＝0?x＝0或x＝－1，∴命題p為真，其逆命題為假，故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為2.4．(2016年山東)已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A5．(教材習題改編)下列命題：①“x＝2”是“x2－4x＋4＝0”的必要不充分條件；②“圓心到直線的距離等于半徑”是“這條直線為圓的切線”的充要條件；③“sinα＝sinβ”是“α＝β”的充要條件；④“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要條件．其中為真命題的是____________(填序號)．【答案】②④判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)“x2＋2x－8＜0”是命題．(

)(2)四種形式的命題中，真命題的個數為0或2或4.(

)(3)命題“三角形的內角和是180°”的否命題是“三角形的內角和不是180°”．(

)(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分條件．(

)(5)給定兩個命題p，q，若p是q的充分不必要條件，則?p是?q的必要不充分條件．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×

(5)√課堂考點突破2四種命題及其相互關系

(1)(2016年銀川模擬)命題“若a2＋b2＝0，則a＝0且b＝0”的逆否命題是(

)A．若a2＋b2≠0，則a≠0且b≠0 B．若a2＋b2≠0，則a≠0或b≠0C．若a＝0且b＝0，則a2＋b2≠0 D．若a≠0或b≠0，則a2＋b2≠0【答案】(1)D

(2)A【規律方法】(1)熟悉四種命題的概念是正確書寫或判斷四種命題真假的關鍵．(2)根據“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假．(3)判斷一個命題為假命題可舉反例．【跟蹤訓練】1.(1)命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是(

)A．“若一個數是負數，則它的平方不是正數”B．“若一個數的平方是正數，則它是負數”C．“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”D．“若一個數的平方不是正數，則它不是負數”(2)已知：命題“若函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是增函數，則m≤1”，則下列結論正確的是(

)A．否命題是“若函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是減函數，則m＞1”，是真命題B．逆命題是“若m≤1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是增函數”，是假命題C．逆否命題是“若m＞1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是減函數”，是真命題D．逆否命題是“若m＞1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內不是增函數”，是真命題【答案】(1)B

(2)D【解析】(1)將原命題的條件與結論互換即得逆命題，故原命題的逆命題為“若一個數的平方是正數，則它是負數”．(2)由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是增函數，則f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命題“若函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內是增函數，則m≤1”是真命題．∴其逆否命題“若m＞1，則函數f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)內不是增函數”是真命題．充分必要條件的判定

(1)(2015年四川)設a，b都是不等于1的正數，則“3a＞3b＞3”是“loga3＜logb3”的(

)A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件(2)(2016年天津)設{an}是首項為正數的等比數列，公比為q，則“q<0”是“對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0”的(

)A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】(1)B

(2)C【規律方法】充要條件的三種判斷方法：(1)定義法：根據p?q，q?p進行判斷．(2)集合法：根據p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷．(3)等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．這個方法特別適合以否定形式給出的問題，如“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的某種條件，即可轉化為判斷“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某種條件．【答案】(1)A

(2)A根據充分、必要條件求參數的范圍【答案】(1)A

(2)(1,2]【規律方法】充分條件、必要條件的應用，一般表現在參數問題的求解上．解題時需注意：(1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的關系列出關于參數的不等式(或不等式組)求解．(2)要注意區間端點值的檢驗．【跟蹤訓練】3．已知條件p：x2＋2x－3＞0；條件q：x＞a，且?q的一個充分不必要條件是?p，則實數a的取值范圍是(

)A．[1，＋∞) B．(－∞，1] C．[－1，＋∞) D．(－∞，－3]【答案】A【解析】由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1；由?q的一個充分不必要條件是?p，可知?p是?q的充分不必要條件，等價于q是p的充分不必要條件．故a≥1.課后感悟提升31個區別——“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區別“A是B的充分不必要條件”中，A是條件，B是結論；“A的充分不必要條件是B”中，B是條件，A是結論．在進行充分、必要條件的判斷中，要注意這兩種說法的區別．2條規律——四種命題間關系的兩條規律(1)逆命題與否命題互為逆否命題；互為逆否命題的兩個命題同真假．(2)當判斷一個命題的真假比較困難時，可轉化為判斷它的逆否命題的真假．同時要關注“特例法”的應用．3種方法——判斷充分條件和必要條件的方法(1)定義法：直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假，并注意和圖示相結合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．(2)等價法：利用p?q與?q??p，q?p與?p??q，p?q與?q??p的等價關系，對于條件或結論是否定式的命題，一般運用等價法．(3)集合法：如果A?B，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；如果A＝B，則A是B的充要條件．1．(2016年北京)設a，b是向量，則“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的(

)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D2．(2015年山東)設m∈R，命題“若m>0，則關于x的方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(

)A．若關于x的方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0B．若關于x的方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0C．若關于x的方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m>0D．若關于x的方程x2＋x－m＝0沒