《乘法運(yùn)算的再認(rèn)識(shí)》教學(xué)設(shè)計(jì)一、數(shù)數(shù)與乘法師：同學(xué)們，著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)，是數(shù)出來(lái)的。”你們會(huì)數(shù)數(shù)嗎？那你知道數(shù)數(shù)，先要確定什么嗎？（計(jì)數(shù)單位）對(duì)，就是計(jì)數(shù)單位。看,這個(gè)小正方形就代表一個(gè)計(jì)數(shù)單位，現(xiàn)在你能數(shù)出幾呀？（4）你們是把小正方形看作計(jì)數(shù)單位？（一），數(shù)出4個(gè)一就是4。繼續(xù)看作整數(shù)的計(jì)數(shù)單位，還能數(shù)出哪個(gè)數(shù)？生1：把小正方形看作計(jì)數(shù)單位十，4個(gè)十就是40；生2：把小正方形看作計(jì)數(shù)單位百，4個(gè)百就是400；師小結(jié)：還能數(shù)嗎？瞧，確定了計(jì)數(shù)單位，再數(shù)一數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，我們就能數(shù)出不同的數(shù)。還是這個(gè)正方形，數(shù)量增多，繼續(xù)數(shù)，是多少？（24）這一次你是怎么數(shù)的？還是一個(gè)一個(gè)數(shù)的嗎？生：一行有4個(gè)，有6行就是4×6＝24師：同意嗎？你們很聰明！當(dāng)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)變多時(shí)，就列乘法算式來(lái)算這個(gè)數(shù)。如果把它看作計(jì)數(shù)單位“十”，你能列出哪個(gè)乘法算式？（40×6）說(shuō)到乘法，小學(xué)這幾年我們可是一直在研究它，今天這節(jié)課咱們就換一個(gè)視角，也像剛才數(shù)數(shù)一樣，從計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的角度再來(lái)認(rèn)識(shí)乘法運(yùn)算。二、整數(shù)乘法中的計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)1.整數(shù)乘法的計(jì)算方法師：咱們先來(lái)看40×6這道題，想一想：以前我們是怎么算的？生：先算4乘6等于24，然后再在積的后面添一個(gè)零。師：為什么要再添一個(gè)0？生：40乘6就是4個(gè)十乘6，等于24個(gè)十，所以最后要加一個(gè)0。師：根據(jù)乘法的意義，4個(gè)十我們可以用一個(gè)算式來(lái)記錄？你知道是哪個(gè)算式嗎？（4×10）乘6，（板書(shū)：4×10×6）就是有6組這樣的4個(gè)十，一共是4×6，24個(gè)十，我們這樣來(lái)記錄，等于？（24×10）等于？（240）。（板書(shū)：4×6×10＝24×10＝240）師：瞧，40×6的計(jì)算過(guò)程也可以用這樣的算式來(lái)表達(dá)。接下來(lái)，你能像這樣說(shuō)一說(shuō)4×6怎么算嗎？生：4×6＝4×1×6＝4×6×1＝24×1＝242.梳理方法引入小數(shù)乘法再認(rèn)識(shí)師：大家同意嗎？會(huì)觀察的孩子就會(huì)思考，帶著計(jì)數(shù)單位的視角，一起來(lái)觀察這兩道整數(shù)乘法的計(jì)算過(guò)程，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？生：這兩道題都是用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位能算出的結(jié)果師：你的這個(gè)發(fā)現(xiàn)可太了不起了！看，這里的“1”“10”就是？（計(jì)數(shù)單位）是積的計(jì)數(shù)單位，4×6算的就是？（計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）果然，整數(shù)乘法可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算出結(jié)果。（板書(shū)：×）誰(shuí)把這個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)再來(lái)完整的說(shuō)一遍？（2個(gè)孩子說(shuō)一說(shuō)）三、明確小數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法研究方向師：孩子們，剛才我們從計(jì)數(shù)單位的視角再認(rèn)識(shí)了整數(shù)乘法，除了整數(shù)乘法，我們還學(xué)習(xí)了？（小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法）帶著這樣的視角，再來(lái)看小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法，你能提出什么問(wèn)題？生：小數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法也能用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算嗎？師：你特別會(huì)遷移思考！是啊！小數(shù)乘法與分?jǐn)?shù)乘法也能用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算出結(jié)果嗎？看，這四道題，它們代表了小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法的基本類型，這道題是？（小數(shù)乘整數(shù)，小數(shù)乘小數(shù)，分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。）想一想，這些算式積的計(jì)數(shù)單位是什么？計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)又是多少？有想法了？不急，這個(gè)問(wèn)題咱們小組合作研究。小組內(nèi)，任選一道題展開(kāi)研究，先想一想這個(gè)算式表示什么意思？然后像剛才研究整數(shù)乘法那樣寫(xiě)一寫(xiě)，畫(huà)一畫(huà)，找到積的計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，算出得數(shù)。請(qǐng)組長(zhǎng)拿出探究單帶領(lǐng)大家開(kāi)始研究吧。學(xué)生展開(kāi)探究學(xué)習(xí)四、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法中的計(jì)數(shù)單位與計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)1.交流小數(shù)乘整數(shù)：0.4×6師：好了，孩子們請(qǐng)坐好！老師看到大家剛才都在積極思考和討論研究，非常棒！下面，我們先來(lái)看這個(gè)小組研究的0.4×6這道題，請(qǐng)你來(lái)。生1：我們選的是0.4×6這道題，它表示6個(gè)0.4相加；0.4就是4個(gè)0.1，0.4×6＝4×0.1×6＝4×6×0.1＝24×0.1=2.4。我們是這樣畫(huà)圖的，把這個(gè)正方形平均分成10份，4份就是0.4，然后有6個(gè)這樣的0.4，所以積的計(jì)數(shù)單位就是0.1，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)就是24。師：你的表達(dá)特別清楚，謝謝你，請(qǐng)回。同學(xué)們，這個(gè)小組不僅用算式進(jìn)行了推理，還通過(guò)畫(huà)一畫(huà)，數(shù)形結(jié)合，讓我們更清楚、更直觀地看出積的計(jì)數(shù)單位就是？（0.1）計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是？（24）下面咱們就從計(jì)數(shù)單位的視角把0.4×6的計(jì)算過(guò)程整理一下：0.4就是4個(gè)0.1，乘6，（板書(shū)：4×0.1×6）就是有6組這樣的？（4個(gè)0.1）一共有4乘6，24個(gè)0.1，等于24×0.1，等于2.4。（板書(shū)：4×6×0.1＝24×0.1＝2.4）2.交流小數(shù)乘小數(shù)：0.4×0.6（1）交流推理過(guò)程師：孩子們，發(fā)現(xiàn)了嗎？小數(shù)乘整數(shù)也可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位來(lái)算出結(jié)果，那小數(shù)乘小數(shù)呢？在研究0.4×0.6的小組中，（板書(shū)：0.4×0.6）老師發(fā)現(xiàn)了兩種推理過(guò)程，請(qǐng)看：雖然不太一樣，但是他們都有相同的一步，你發(fā)現(xiàn)了嗎？生1：倒數(shù)第二步都是24×0.01，師：知道24和0.01表示什么嗎？生1：24表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，0.01表示計(jì)數(shù)單位師：那你覺(jué)得哪一種推理過(guò)程能更清楚地表達(dá)出計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)？生1：我覺(jué)得第一種加了括號(hào)能更清楚的看出誰(shuí)是計(jì)數(shù)單位，誰(shuí)是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)師：的確，加了括號(hào)看起來(lái)就更清楚了，大家同意嗎？這個(gè)小組很厲害，得到了大家的一致認(rèn)可。那就請(qǐng)這個(gè)小組給大家完整地說(shuō)一說(shuō)計(jì)算過(guò)程：（2）交流畫(huà)圖思考師：看，從這一步到這一步，他們運(yùn)用了乘法的交換律和結(jié)合律，把兩個(gè)0.1相乘算出了積的計(jì)數(shù)單位，用4×6算出了計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，真的是這樣嗎？老師發(fā)現(xiàn)還有小組用了畫(huà)圖的方法找到了積的計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，特別直觀清楚，讓我們一起來(lái)看看！這是哪個(gè)小組的？請(qǐng)你來(lái)跟大家交流一下吧！學(xué)生追問(wèn)：為什么積的計(jì)數(shù)單位變成0.01了？（3）整理計(jì)算過(guò)程師：解釋得真清楚，把掌聲送給小老師，你請(qǐng)回。大家看，把1平均分成10份，就得到了計(jì)數(shù)單位？（0.1）0.1乘0.1,就是求0.1的十分之一是多少，需要把0.1再？（平均分成10份）瞧，又得到了一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位？（0.01）而0.4×0.6就是求0.4的十分之六是多少，那就需要我們把這4個(gè)0.1？（平均分成10份）取其中的？（6份）這個(gè)過(guò)程就是把計(jì)數(shù)單位1平均分成10份又平均分成10份，所以把兩個(gè)0.1相乘，算的就是積的計(jì)數(shù)單位；取了又取，就得到了計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)——4×6＝24，你看，和我們的算式推理是一樣的。下面讓我們借助一段視頻再來(lái)回顧一下0.4×0.6的計(jì)算過(guò)程。學(xué)生觀看計(jì)算視頻（4）感受計(jì)數(shù)單位與乘法師：經(jīng)過(guò)剛才的算式推理和畫(huà)圖分析，我們就可以得出：小數(shù)乘小數(shù)也可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算出結(jié)果。孩子們，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)還得善于在比較中思考，比較這兩道小數(shù)乘法題的計(jì)算過(guò)程，你發(fā)現(xiàn)不一樣的地方了嗎？生：第二道題是把兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘，算出了積的計(jì)數(shù)單位。師：你的觀察力真強(qiáng)！看！這道題中兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位0.1×0.1得到了一個(gè)新的計(jì)數(shù)單位？（0.01）那你知道0.01×0.1能得到哪個(gè)計(jì)數(shù)單位嗎？（0.001）很厲害！孩子們，把計(jì)數(shù)單位乘0.1再乘0.1，就是按照十進(jìn)制細(xì)分再細(xì)分，所以產(chǎn)生了更小的計(jì)數(shù)單位，反過(guò)來(lái)，乘十再乘十，就是將計(jì)數(shù)單位不斷滿十進(jìn)一，就產(chǎn)生了更大的計(jì)數(shù)單位，乘法運(yùn)算就是這樣使計(jì)數(shù)單位不斷發(fā)生變化的。（5）感受算法背后的算理師：接下來(lái)，考考你們：你能從計(jì)數(shù)單位的視角計(jì)算0.14×0.6這道題嗎？誰(shuí)來(lái)說(shuō)？學(xué)生交流：師：同意嗎？數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就要一邊學(xué)習(xí)一邊打通聯(lián)系。想想看，之前我們做這道題是用什么方法計(jì)算的？生：用豎式，先算14×6，然后把得數(shù)數(shù)出三位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。師：是這樣吧？從計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的角度再認(rèn)識(shí)了小數(shù)乘法后，觀察我們之前的豎式計(jì)算，你能找到它們之間的聯(lián)系嗎？生1：14×6算的就是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)師：嗯，的確是這樣！還有嗎？生2：兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘就是積的計(jì)數(shù)單位是0.001。師：對(duì)啊，數(shù)數(shù)因數(shù)一共有幾位小數(shù)，其實(shí)就是把兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘，求出積的計(jì)數(shù)單位。你看！小數(shù)乘法的豎式計(jì)算其實(shí)就是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位，它們的道理是一致的。3.交流分?jǐn)?shù)乘法：2/3×4/5師：那分?jǐn)?shù)乘法呢？讓我們一起來(lái)看一下這兩個(gè)組的思考，先看分?jǐn)?shù)乘整數(shù)這道題，你能從算式和圖中找到積的計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)嗎？找到了？我想分?jǐn)?shù)乘整數(shù)肯定難不倒大家，下面，咱們就重點(diǎn)來(lái)看分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)這道題（板書(shū)：2/3×4/5）這是哪個(gè)小組的？請(qǐng)你們來(lái)：生：2/3就是2個(gè)1/3，4/5就是4個(gè)1/5，我們用1/3乘1/5算出積的計(jì)數(shù)單位是1/15，用2乘4算出計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是8。我們是這樣畫(huà)圖的，這是2/3，乘4/5，就是求它的4/5是多少，把它平均分成5份，取其中的4份，每份就是1/15，8份就是8/15。師：講得很棒，請(qǐng)回！孩子們，聽(tīng)了剛才這位同學(xué)的講解，你對(duì)分?jǐn)?shù)乘法又有什么新的認(rèn)識(shí)嗎？生：分?jǐn)?shù)乘法也可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算出結(jié)果師：帶著計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的視角再來(lái)觀察之前的算法，分母乘分母算的是什么？（積的計(jì)數(shù)單位）分子乘分子算的又是什么？（積的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)）瞧！分?jǐn)?shù)乘法算法背后也是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位的道理！五、梳理整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘法共性，打通聯(lián)系1.建構(gòu)三類乘法的聯(lián)系師：同學(xué)們，剛才咱們從計(jì)數(shù)單位的視角再認(rèn)識(shí)了整數(shù)乘法、小數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)乘法，我想大家對(duì)于乘法運(yùn)算一定有了更深的思考，仔細(xì)觀察這三個(gè)算式，你發(fā)現(xiàn)它們的共同點(diǎn)了嗎？生1：它們都是用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算出的結(jié)果師：同意嗎？特別棒！再看，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)是怎么得出來(lái)的？生2：把兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)相乘算出來(lái)的師：計(jì)數(shù)單位呢？生3：把兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位相乘算出了積的計(jì)數(shù)單位師：是嗎？生4：也是，6可以寫(xiě)成6×1師：是這樣吧？其實(shí)它也是把兩個(gè)因數(shù)的計(jì)數(shù)單位10和1相乘，只不過(guò)沒(méi)變而已。你們的發(fā)現(xiàn)太了不起了！正如大家所說(shuō)，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算是一致的，都是用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算出結(jié)果的。瞧！乘法運(yùn)算讓計(jì)數(shù)單位和計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)發(fā)生變化，從而得到一個(gè)新的數(shù)來(lái)表示運(yùn)算的結(jié)果，數(shù)和運(yùn)算就這樣巧妙地聯(lián)系在了一起，很神奇吧。2.談收獲與思考師：孩子們，今天這節(jié)課馬上接近尾聲了，老師想要問(wèn)一下大家：通過(guò)今天的學(xué)習(xí)你有什么收獲？或者有什么新的思考嗎？生1：我知道乘法運(yùn)算可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位來(lái)計(jì)算師：那你覺(jué)得這種方法怎么樣？生：這個(gè)方法真挺好的，找到計(jì)數(shù)單位，算出它的個(gè)數(shù)就行師：我很高興能把“計(jì)數(shù)單位”的視角帶給你。生2：我知道了我們?cè)瓉?lái)學(xué)習(xí)的計(jì)算方法竟然都是計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位的道理師：是啊，任何運(yùn)算方法的背后都蘊(yùn)含著道理，理是這個(gè)理，在計(jì)算的過(guò)程中大家依然用最簡(jiǎn)便、最快速的方法計(jì)算就行。生3：乘法可以用計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)乘計(jì)數(shù)單位算出結(jié)果，那么加法、減法和除法行不行呀？師：這個(gè)問(wèn)題問(wèn)的好，說(shuō)明你對(duì)數(shù)與運(yùn)算的感覺(jué)特別棒！大家大膽猜想一下，你們覺(jué)得行不