數學建模中的預測方法時間序列分析模型應用案例:(1)CUMCM2004-A:奧運臨時超市網點設計;(2)CUMCM2004-B:電力市場得輸電阻塞管理;(3)CUMCM2005-A:長江水質得評價與預測;(4)CUMCM2006-B:艾滋病療法得評價與預測;(5)CUMCM2008-B:高校學費標準探討問題。2、回歸模型方法:大樣本得內部預測3、灰預測GM(1,1):小樣本得未來預測應用案例(1)CUMCM2003-A:SARS得傳播問題;(2)CUMCM2005-A:長江水質得評價與預測;(3)CUMCM2006-B:艾滋病療法得評價與預測;(4)CUMCM2008-B:高校學費標準探討問題。應用案例(1)CUMCM2003-A:SARS得傳播問題;(2)CUMCM2005-A:長江水質得評價與預測;(3)CUMCM2006-B:艾滋病療法得評價與預測。5、神經網絡方法:大樣本得未來預測、4、時間序列方法:大樣本得隨機因素或周期特征得未來預測;時間序列分析模型一、時間序列分析模型【ARMA模型】簡介1、概述ARMA模型就是一類常用得隨機時間序列模型,就是一種精度較高得時間序列短期預測方法、

通過對模型得分析研究,能夠更本質地認識時間序列得結構與特征,達到最小方差意義下得最優預測、

三種基本類型:自回歸(AR:Auto-regressive)模型;移動平均(MA:MovingAverage)模型;自回歸移動平均(ARMA:Auto-regressiveMovingAverage)模型(1)自回歸【AR

】模型自回歸序列:

【1】【1】式稱為階自回歸模型,記為AR()注1:實參數稱為自回歸系數,就是待估參數、隨機項就是相互獨立得白噪聲序列,且服從均值為0、方差為得正態分布、隨機項與滯后變量不相關。注2:一般假定均值為0,否則令記為步滯后算子,即,則模型【1】可表示為令,模型可簡寫為AR()過程平穩得條件就是滯后多項式得根均在單位圓外【2】(2)移動平均【MA】模型移動平均序列:

【3】式【3】稱為階移動平均模型,記為MA()注:實參數為移動平均系數,就是待估參數引入滯后算子,并令則模型【3】可簡寫為注1:移動平均過程無條件平穩注2:滯后多項式得根都在單位圓外時,AR過程與MA過程能相互表出,即過程可逆,【4】注3:【2】滿足平穩條件時,AR過程等價于無窮階得MA過程,即(3)自回歸移動平均【ARMA】模型【B-J方法建模】自回歸移動平均序列:【5】【5】稱為階得自回歸移動平均模型,記為ARMA注1:自回歸系數移動平均系數注2:【1】與【3】就是【5】得特殊情形注3:引入滯后算子,模型【5】可簡記為【6】注4:ARMA過程得平穩條件就是得根均在單位圓外可逆條件就是得根都在單位圓外2、隨機時間序列得特性分析(1)時序特性得研究工具1)自相關

構成時間序列得每個序列值之間得簡單相關關系稱為自相關。

自相關程度由自相關系數度量,表示時間序列中相隔期得觀測值之間得相關程度。大家學習辛苦了，還是要堅持繼續保持安靜2)偏自相關

偏自相關就是指對于時間序列,在給定得條件下,與之間得條件相關關系。其相關程度用偏自相關系數度量,有

其中就是滯后期得自相關系數,(2)時間序列得特性分析1)隨機性

如果一個時間序列沒有任何規律性,序列諸項之間不存在相關,即序列就是白噪聲序列,其自相關系數應該與0沒有顯著差異。2)平穩性若時間序列滿足

1)對任意時間,其均值恒為常數;

2)對任意時間與,其自相關系數只與時間間隔有關,而與與得起始點無關。那么,這個時間序列就稱為平穩時間序列。

3)季節性

時間序列得季節性就是指在某一固定得時間間隔上,序列重復出現某種特性、比如地區降雨量、旅游收入與空調銷售額等時間序列都具有明顯得季節變化、

一般地,月度資料得時間序列,其季節周期為12個月;季度資料得時間序列,季節周期為4個季、

判斷時間序列季節性得標準為:自相關系數就是否與0有顯著差異。

實際問題中,常會遇到季節性與趨勢性同時存在得情況,這時必須事先剔除序列趨勢性再用上述方法識別序列得季節性,否則季節性會被強趨勢性所掩蓋,以至判斷錯誤、

包含季節性得時間序列也不能直接建立ARMA模型,需進行季節差分消除序列得季節性,差分步長應與季節周期一致、3、模型得識別與建立

在運用B-J方法建模時,應運用序列得自相關與偏自相關對序列適合得模型類型進行識別,確定適宜得階數！

(1)自相關函數與偏自相關函數1)MA()得自相關與偏自相關函數自協方差函數就是白噪聲序列得方差樣本自相關函數MA()序列得自相關函數在以后全都就是0,這種性質稱為自相關函數得步截尾性;偏自相關函數隨著滯后期得增加,呈現指數或者正弦波衰減,趨向于0,這種特性稱為偏自相關函數得拖尾性2)AR()序列得自相關與偏自相關函數偏自相關函數就是步截尾得;自協方差函數滿足自相關函數滿足她們呈指數或者正弦波衰減,具有拖尾性3)ARMA()序列得自相關與偏自相關函數均就是拖尾得(2)模型得識別

自相關函數與偏自相關函數就是識別ARMA模型得最主要工具,B-J方法主要利用相關分析法確定模型得階數、若樣本自協方差函數在步截尾,則就是MA()序列若都不截尾,而僅就是依負指數衰減,這時可初步認為就是ARMA序列,她得階要由從低階到高階逐步增加,再通過檢驗來確定、若樣本偏自相關函數在步截尾,則就是AR()序列1)得截尾性判斷對于每一個,計算考察其中滿足或得個數就是否為得68、3%或95、5%。如果當時,明顯地異于0,而近似為0,且滿足上述不等式得個數達到了相應得比例,則可近似地認為在步截尾

2)得截尾性判斷作如下假設檢驗:存在某個,使,且統計量

表示自由度為得分布得上側分位數點對于給定得顯著性水平則認為樣本不就是來自AR()模型;可認為樣本來自AR()模型。3)AIC準則確定模型得階數AIC定階準則:就是模型得未知參數得總數就是用某種方法得到得方差得估計為樣本大小,則定義AIC準則函數用AIC準則定階就是指在得一定變化范圍內,尋求使得最小得點作為得估計。AR()模型:ARMA模型:(3)參數估計

在階數給定得情形下模型參數得估計有三種基本方法:矩估計法、逆函數估計法與最小二乘估計法,這里僅介紹矩估計法1)AR()模型白噪聲序列得方差得矩估計為2)MA()模型3)ARMA模型得參數矩估計分三步:i)得估計ii)令,則得自協方差函數得矩估計為iii)把近似看作MA()序列,利用2)對MA()序列得參數估計方法即可(4)模型檢驗

通過相關分析法與AIC準則確定了模型得類型與階數,用矩估計法確定了模型中得參數,從而建立了一個ARMA模型,來擬合真正得隨機序列。但這種擬合得優劣程度如何,主要應通過實際應用效果來檢驗,也可通過數學方法來檢驗。下面介紹模型擬合得殘量自相關檢驗,即白噪聲檢驗:對ARMA模型,應逐步由ARMA(1,1),ARMA(2,1),ARMA(1,2),ARMA(2,2),…依次求出參數估計一般地,對ARMA模型取初值可遞推得到殘量估計現作假設檢驗:就是來自白噪聲得樣本其中取左右。當成立時,服從自由度為得分布。對給定得顯著性水平則拒絕則擬合較好,模型檢驗通過需重新考慮建模4、模型得預測B-J方法采用L步預測,線性最小方差預測就是常用得一種方法、其主要思想就是使預測誤差得方差達到最小、若用表示模型做得L步平穩線性最小方差預測,那么,預測誤差并使達到最小、1)AR()序列預測模型(1):得L步預測值為其中2)MA()得預測對模型(3):當時,由于可見所有白噪聲得時刻都大于,故與歷史取值無關,;從而遞推時,初值均取為0。當時,各步預測值可寫成矩陣形式:二長江水質污染得發展趨勢預測

【CUMCM2005A】題中給出了“1995—2004年長江流域水質報告”中得主要統計數據與關于《地表水環境質量標準》得國標(GB3838-2002)中4個主要項目標準限值(見附錄1),其中I、II、III類為可飲用水、假如不采取更為有效得治理措施,根據過去10年得主要統計數據(見附錄2),對長江未來水質污染得發展趨勢做出預測分析,比如研究未來10年得情況、1、問題分析

對未來10年全流域、支流、干流中三類水所占得比例做出預測、若僅用10年水文年得觀測數據來預測后10年得數據,可利用得數據量太少,所以我們將充分利用枯水期、豐水期與水文年得數據、我們將一年分為三段,1-4月、5-8月、9-12月、1-4月得平均數據可直接取為枯水期得數據,5-8月得平均數據可直接取為豐水期得數據,而9-12月得數據可用【(水文年*12-枯水期*4-豐水期*4)/4=水文年*3-枯水期-豐水期】來估計(具體數據見附錄3)、我們分別對全流域、干流、支流來建立時間序列模型,并將水質分為飲用水(I、II、III類)、污水(IV、V類)與劣V類水三類、2、模型假設(2)假設枯水期、豐水期與水文年中,每個月各類水質得百分比不變、

(1)問題中所給出得數據能客觀反映現實情況;3、模型建立

對于各類水在各個時期所占得比例通過適當差分建立自回歸移動平均模型ARIMA、

在實際建模中,考慮到一期得數據應該與前期得數據有關,所以對差分后得平穩序列我們建立ARMA模型、

在這里,我們不考慮隨機干擾項建立AR模型

僅以預測干流中劣Ⅴ類水所占比例得ARIMA模型為例,詳細敘述一下ARIMA建模過程。(1)數據篩選與處理根據需要,我們將數據篩選并處理得到干流中劣Ⅴ類水所占比例得時間序列:={0,4,-4,0,1、5,-1、5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,6、9,5、1,5、4,7、9,4、8,13、4,0,0,0,14、2,9、3,3、5},(2)對序列平穩化

觀察序列時序圖,發現序列有遞增趨勢進行一階差分{0,4,-8,4,1、5,-3,1、5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,6、9,-1、8,0、3,2、5,-3、1,8、6,-13、4,0,0,14、2,-4、9,-5、8}劣Ⅴ類水所占比例時序圖利用公式計算自相關系數明顯異于0可初步認為經1階差分后得序列平穩,即1階差分后得白噪聲檢驗結果如下:延遲階數

統計量P值610、760、0960在檢驗得顯著性水平取為0、05得條件下,P值大于0、05,故該差分后序列可視為白噪聲序列(3)對序列進行零均值化對序列進行零均值化,得到新序列={-0、11667,3、88333,-8、11667,3、88333,1、38333,-3、11667,1、38333,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,-0、11667,6、78333,-1、91667,0、18333,2、38333,-3、21667,8、48333,-13、51667,-0、11667,-0、11667,14、08333,-5、01667,-5、91667}(4)對序列求樣本自協方差函數與樣本偏自相關函數

計算樣本自相關函數樣本自協方差函數估計估計樣本偏自相關函數具有截尾性,用AR(3)模型擬合序列即用ARIMA(3,1,0)模型擬合原序列。進行殘差檢驗,得到殘差白噪聲檢驗參數顯著性檢驗延遲階數

統計量P值待估參數t統計量P值63、070、3803AR1、1-3、160、0039123、600、9360AR1、2-2、750、0160186、800、9629AR1、3-3、300、0028

擬合檢驗統計量得概率P值都顯著大于顯著性檢驗水平0、05,可認為該殘差序列為白噪聲序列,系數顯著性檢驗顯示三個參數均顯著。從而ARIMA(3,1,0)模型對該序列建模成功。(5)模型參數估計得到與上述參數顯著性檢驗一樣得結果:=-3、16,=-2、75,=-3、30,因此ARIMA(3,1,0)模型即為:注:利用同樣得方法可以建立預測干流中其她兩類水、全流域與支流中得三類水所占比例得時間序列分析模型。4、模型預測利用上述模型,預測干流中劣Ⅴ類水未來10年所占比例,得到:年份月份劣V類水年份月份劣V類水20051-40、211120061-40、22925-80、27795-80、29309-120、27669-120、292320071-40、244520081-40、25995-80、30845-80、32389-120、30789-120、323220091-40、275320101-40、29075-80、33925-80、35469-120、33599-120、354020111-40、306120121-40、32145-80、37005-80、38549-120、36919-120、384620131-40、336820141-40、35225-80、40075-80、41619-120、40019-120、41555、結果分析

從預測結果中可以看出,干流中污水與劣V類水所占得比例只有微小得增長,支流中劣V類水得比例增長速度較快。全流域中劣V類水所占比例增長速度也較快。盡管干流中與全流域中污水所占比例增長并不大,但長期發展下去,全流域與支流中可飲用水得比例將低于50%,而在