高一第1學期昂立機構數學教案講義-07—命題和充要條件-教師版?一、教學目標1.知識與技能目標理解命題的概念，能判斷給定語句是否為命題，并能判斷命題的真假。掌握四種命題的形式及其相互關系，會寫出一個命題的逆命題、否命題和逆否命題。理解充分條件、必要條件、充要條件的概念，能正確判斷充分條件、必要條件和充要條件。2.過程與方法目標通過對命題概念的學習，培養學生的邏輯思維能力和判斷能力。在探究四種命題相互關系的過程中，培養學生的分析問題和解決問題的能力，以及歸納總結的能力。通過充分條件、必要條件和充要條件的學習，讓學生體會數學知識之間的聯系和邏輯推理的嚴謹性，提高學生的邏輯推理能力。3.情感態度與價值觀目標通過數學命題的學習，培養學生嚴謹的科學態度和勇于探索的精神。在學習過程中，讓學生體驗成功的喜悅，增強學習數學的自信心。二、教學重難點1.教學重點命題的概念及真假判斷。四種命題的形式及其相互關系。充分條件、必要條件、充要條件的概念及判斷方法。2.教學難點對一些復雜命題真假性的判斷。四種命題相互關系的理解和應用。充分條件、必要條件、充要條件的綜合判斷及證明。三、教學方法1.講授法：通過講解，向學生傳授命題、四種命題、充分條件、必要條件和充要條件的基本概念和知識體系。2.討論法：組織學生對一些命題的真假判斷、四種命題的相互關系以及充分必要條件的判斷等問題進行討論，激發學生的思維，促進學生之間的交流與合作。3.練習法：安排適量的練習題，讓學生通過練習鞏固所學知識，提高運用知識解決問題的能力。在練習過程中，及時反饋學生的學習情況，針對存在的問題進行有針對性的講解和輔導。四、教學過程（一）命題的概念1.導入引導學生觀察以下語句：今天天氣真好！你吃飯了嗎？若整數\(a\)是素數，則\(a\)是奇數。兩個全等三角形的面積相等。提問：上述語句中，哪些是在陳述一件事情，哪些不是？學生回答后，教師總結：像"今天天氣真好！""你吃飯了嗎？"這類語句不是在陳述一件事情，而"若整數\(a\)是素數，則\(a\)是奇數。""兩個全等三角形的面積相等。"是在陳述一件事情。我們把能夠判斷真假的陳述句叫做命題。2.命題的定義強調命題的兩個關鍵要素：一是陳述句，二是能夠判斷真假。舉例說明："\(1+1=2\)"是一個命題，因為它是陳述句且能判斷為真；"\(x>5\)"不是命題，因為它不能確定真假，\(x\)的值不確定。3.命題真假的判斷給出一些命題，讓學生判斷真假：所有的素數都是奇數。（假命題，因為\(2\)是素數但不是奇數）若\(x=1\)，則\(x^23x+2=0\)。（真命題，將\(x=1\)代入方程成立）引導學生思考如何判斷一個命題的真假，對于一些簡單命題，可以根據已有的知識和事實進行判斷；對于一些復雜命題，可能需要進行推理和驗證。（二）四種命題1.四種命題的形式以命題"若整數\(a\)是素數，則\(a\)是奇數。"為例，講解四種命題的形式：原命題：若\(p\)，則\(q\)。（其中\(p\)：整數\(a\)是素數；\(q\)：\(a\)是奇數）逆命題：若\(q\)，則\(p\)。即若\(a\)是奇數，則整數\(a\)是素數。否命題：若非\(p\)，則非\(q\)。即若整數\(a\)不是素數，則\(a\)不是奇數。逆否命題：若非\(q\)，則非\(p\)。即若\(a\)不是奇數，則整數\(a\)不是素數。讓學生練習寫出以下命題的四種命題：原命題：若\(x=3\)，則\(x^2=9\)。逆命題：若\(x^2=9\)，則\(x=3\)。否命題：若\(x\neq3\)，則\(x^2\neq9\)。逆否命題：若\(x^2\neq9\)，則\(x\neq3\)。2.四種命題的相互關系用圖表展示四種命題之間的相互關系：原命題與逆命題互逆；原命題與否命題互否；原命題與逆否命題互為逆否；逆命題與否命題互為逆否。引導學生探究四種命題真假性的規律：原命題為真，其逆命題不一定為真。例如原命題"若\(x=3\)，則\(x^2=9\)"為真，逆命題"若\(x^2=9\)，則\(x=3\)"為假。原命題為真，其否命題不一定為真。例如原命題"若\(x=3\)，則\(x^2=9\)"為真，否命題"若\(x\neq3\)，則\(x^2\neq9\)"為假。原命題與逆否命題同真同假；逆命題與否命題同真同假。給出一些命題，讓學生判斷其四種命題的真假性，并驗證上述規律：原命題：若\(a=0\)，則\(ab=0\)。（真命題）逆命題：若\(ab=0\)，則\(a=0\)。（假命題）否命題：若\(a\neq0\)，則\(ab\neq0\)。（假命題）逆否命題：若\(ab\neq0\)，則\(a\neq0\)。（真命題）（三）充分條件與必要條件1.充分條件與必要條件的概念講解：對于"若\(p\)，則\(q\)"形式的命題，如果由\(p\)可以推出\(q\)，即\(p\Rightarrowq\)，那么我們就說\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件。舉例說明：對于命題"若\(x=1\)，則\(x^23x+2=0\)"，因為當\(x=1\)時，\(x^23x+2=13+2=0\)，即由\(x=1\)可以推出\(x^23x+2=0\)，所以\(x=1\)是\(x^23x+2=0\)的充分條件，\(x^23x+2=0\)是\(x=1\)的必要條件。讓學生判斷以下命題中\(p\)與\(q\)的充分條件和必要條件關系：\(p\)：\(a>b\)，\(q\)：\(a+c>b+c\)。（因為\(a>b\)能推出\(a+c>b+c\)，所以\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件）\(p\)：\(x^2=1\)，\(q\)：\(x=1\)。（由\(x^2=1\)不能必然推出\(x=1\)，所以\(p\)不是\(q\)的充分條件；由\(x=1\)能推出\(x^2=1\)，所以\(q\)是\(p\)的充分條件，\(p\)是\(q\)的必要條件）2.充分條件與必要條件的判斷方法定義法：判斷\(p\Rightarrowq\)是否成立，若成立，則\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件。集合法：設\(A=\{x|p(x)\}\)，\(B=\{x|q(x)\}\)，若\(A\subseteqB\)，則\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件。舉例：已知\(p\)：\(x>2\)，\(q\)：\(x>0\)。用定義法：因為當\(x>2\)時一定有\(x>0\)，即\(p\Rightarrowq\)，所以\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件。用集合法：設\(A=\{x|x>2\}\)，\(B=\{x|x>0\}\)，顯然\(A\subseteqB\)，所以\(p\)是\(q\)的充分條件，\(q\)是\(p\)的必要條件。（四）充要條件1.充要條件的概念講解：如果\(p\Rightarrowq\)且\(q\Rightarrowp\)，即\(p\Leftrightarrowq\)，那么我們就說\(p\)是\(q\)的充分必要條件，簡稱充要條件。舉例：對于命題"\(x+y=0\)且\(xy=0\)，則\(x=0\)且\(y=0\)"，因為由\(x+y=0\)且\(xy=0\)可以推出\(x=0\)且\(y=0\)，同時由\(x=0\)且\(y=0\)也可以推出\(x+y=0\)且\(xy=0\)，所以\(x+y=0\)且\(xy=0\)是\(x=0\)且\(y=0\)的充要條件。2.充要條件的判斷方法定義法：判斷\(p\Leftrightarrowq\)是否成立，即判斷\(p\Rightarrowq\)與\(q\Rightarrowp\)都成立。等價法：判斷\(\negp\Leftrightarrow\negq\)是否成立，若成立，則\(p\Leftrightarrowq\)。舉例：已知\(p\)：\(x^23x+2=0\)，\(q\)：\(x=1\)或\(x=2\)。用定義法：解方程\(x^23x+2=0\)得\(x=1\)或\(x=2\)，所以由\(p\)可以推出\(q\)，即\(p\Rightarrowq\)；由\(q\)也可以推出\(p\)，即\(q\Rightarrowp\)，所以\(p\)是\(q\)的充要條件。用等價法：\(\negp\)：\(x^23x+2\neq0\)，即\(x\neq1\)且\(x\neq2\)；\(\negq\)：\(x\neq1\)且\(x\neq2\)，所以\(\negp\Leftrightarrow\negq\)，則\(p\Leftrightarrowq\)，即\(p\)是\(q\)的充要條件。（五）課堂練習1.判斷下列語句是否為命題，并判斷真假：空集是任何集合的真子集。（假命題）把門關上。（不是命題）若\(x^2+1>0\)，則\(x\inR\)。（真命題）2.寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷真假：原命題：若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)。（假命題）逆命題：若\(ac^2>bc^2\)，則\(a>b\)。（真命題）否命題：若\(a\leqb\)，則\(ac^2\leqbc^2\)。（真命題）逆否命題：若\(ac^2\leqbc^2\)，則\(a\leqb\)。（假命題）3.判斷下列各題中\(p\)是\(q\)的什么條件：\(p\)：\(x=1\)，\(q\)：\(x^24x+3=0\)。（充分不必要條件，因為\(x=1\)能推出\(x^24x+3=0\)，但\(x^24x+3=0\)時\(x=1\)或\(x=3\)）\(p\)：\(a>b\)，\(q\)：\(\frac{a}{b}>1\)。（既不充分也不必要條件，當\(b<0\)時，\(a>b\)不能推出\(\frac{a}{b}>1\)；當\(b>0\)時，\(\frac{a}{b}>1\)能推出\(a>b\)）（六）課堂小結1.引導學生回顧本節課所學內容：命題的概念及真假判斷。四種命題的形式及其相互關系。充分條件、必要條件、充要條件的概念及判斷方法。2.強調本節課的重點和難點：重點：掌握命題的相關知識以及充分必要條件的判斷。難點：對復雜命題真假性的判斷和充要條件的綜合應用。3.鼓勵學生在課后進一步思考和練習，加深對知識的理解和掌握。（七）課后作業1.教材課后習題：完成教材中與命題和充要條件相關的練習題，鞏固所學知識。2.補充作業：寫出命題"若\(