2024-2024學年人教A版必修-第一冊2.2-基本不等式-教案?一、教學目標1.知識與技能目標理解基本不等式\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)（\(a,b\gt0\)，當且僅當\(a=b\)時等號成立）的證明過程。掌握基本不等式的形式及其成立的條件，能運用基本不等式解決一些簡單的最值問題。2.過程與方法目標通過對基本不等式的探究，培養學生觀察、分析、歸納、類比的能力，體會從特殊到一般的數學思維方法。在運用基本不等式解決最值問題的過程中，培養學生運用數學知識解決實際問題的能力，提高學生的邏輯推理和運算求解能力。3.情感態度與價值觀目標通過實際問題的引入，讓學生感受數學與生活的緊密聯系，激發學生學習數學的興趣。在探究活動中，培養學生勇于探索、敢于創新的精神，增強學生學習數學的自信心。二、教學重難點1.教學重點基本不等式的證明及其應用。理解基本不等式成立的條件，等號成立的條件。2.教學難點基本不等式證明思路的探索。靈活運用基本不等式求最值，能準確判斷等號是否能取到。三、教學方法1.講授法：講解基本不等式的概念、證明過程和應用方法，使學生系統地掌握知識。2.探究法：通過設置問題情境，引導學生自主探究基本不等式的證明思路，培養學生的探究能力和創新思維。3.討論法：組織學生對基本不等式的應用進行討論，鼓勵學生發表自己的見解，促進學生之間的交流與合作，拓寬學生的思維視野。四、教學過程（一）創設情境，引入新課1.展示問題問題1：如圖，是在北京召開的第24屆國際數學家大會的會標，會標是根據中國古代數學家趙爽的弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客。你能在這個圖中找出一些相等關系或不等關系嗎？引導學生觀察會標圖形，將其抽象為數學圖形（四個全等的直角三角形和一個小正方形組成的大正方形）。設直角三角形的兩條直角邊長分別為\(a\)，\(b\)（\(a,b\gt0\)），那么大正方形的邊長為\(\sqrt{a^2+b^2}\)，面積為\(a^2+b^2\)；四個直角三角形的面積和為\(4\times\frac{1}{2}ab=2ab\)，小正方形的面積為\((ba)^2\)。學生通過觀察圖形可以發現：\(a^2+b^2\gt2ab\)，當且僅當\(a=b\)時，等號成立。問題2：將一個物體放在天平的盤子上，在另一個盤子上放砝碼使天平平衡，稱得物體的質量為\(a\)。如果天平制造得不精確，天平的兩臂長略有不同（其他因素不計），那么并非實際質量。不過，我們可作第二次測量：把物體調換到天平的另一個盤上，此時稱得物體的質量為\(b\)。有人把兩次稱得的物體質量"平均一下"，用\(\frac{a+b}{2}\)表示物體的質量。你認為這樣做合理嗎？該物體的實際質量是多少？設天平的兩臂長分別為\(l_1\)，\(l_2\)，根據杠桿原理，第一次稱得物體質量\(a\)滿足\(al_1=bl_2\)，第二次稱得物體質量\(b\)滿足\(bl_1=al_2\)，兩式相乘可得\(ab=\frac{l_1l_2}{l_1l_2}=1\)，所以物體的實際質量為\(\sqrt{ab}\)。又因為\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2=a+b2\sqrt{ab}\geq0\)（當且僅當\(a=b\)時等號成立），所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。2.引出課題通過以上兩個實際問題，我們得到了兩個不等式\(a^2+b^2\geq2ab\)（\(a,b\inR\)，當且僅當\(a=b\)時等號成立）和\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)，當且僅當\(a=b\)時等號成立）。本節課我們將重點研究后一個不等式基本不等式。（二）探究新知1.基本不等式的推導已知\(a,b\gt0\)，由\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)展開可得：\(a2\sqrt{ab}+b\geq0\)，移項得到\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)。兩邊同時除以\(2\)，即\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。當且僅當\(\sqrt{a}\sqrt{b}=0\)，也就是\(a=b\)時，等號成立。我們把\(\frac{a+b}{2}\)叫做\(a\)，\(b\)的算術平均數，\(\sqrt{ab}\)叫做\(a\)，\(b\)的幾何平均數。所以基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）可以表述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數。2.基本不等式的證明方法一：比較法要證\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)），只要證\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，只要證\(a+b2\sqrt{ab}\geq0\)，即證\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)。因為\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)顯然成立，當且僅當\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\)，即\(a=b\)時等號成立。所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）。方法二：分析法要證\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，只需證\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，只需證\(a+b2\sqrt{ab}\geq0\)，即證\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)。因為\((\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0\)對于任意\(a,b\gt0\)都成立，當且僅當\(a=b\)時等號成立。所以\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)）。方法三：綜合法因為\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，所以\((\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2\geq2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)，即\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，兩邊同時除以\(2\)得\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)。當且僅當\(\sqrt{a}=\sqrt{b}\)，即\(a=b\)時等號成立。3.基本不等式的幾何意義如圖，以\(a+b\)為直徑作圓，在直徑\(AB\)上取一點\(C\)，使\(AC=a\)，\(CB=b\)。過點\(C\)作垂直于直徑\(AB\)的弦\(DD'\)，連接\(AD\)，\(DB\)。由射影定理可知\(CD^2=AC\cdotCB=ab\)，所以\(CD=\sqrt{ab}\)。而圓的半徑\(R=\frac{a+b}{2}\)，顯然\(CD\leqR\)，即\(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2}\)。當且僅當點\(C\)與圓心重合，即\(a=b\)時等號成立。（三）例題講解1.例1：已知\(x\gt0\)，求\(y=x+\frac{1}{x}\)的最小值。解：因為\(x\gt0\)，根據基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，這里\(a=x\)，\(b=\frac{1}{x}\)，則有：\(y=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)。當且僅當\(x=\frac{1}{x}\)，即\(x=1\)時，等號成立。所以當\(x=1\)時，\(y=x+\frac{1}{x}\)取得最小值\(2\)。2.例2：已知\(a,b\gt0\)，且\(a+b=1\)，求\(ab\)的最大值。解：由基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)可得：\(ab\leq(\frac{a+b}{2})^2\)。因為\(a+b=1\)，所以\(ab\leq(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)。當且僅當\(a=b=\frac{1}{2}\)時，等號成立。所以\(ab\)的最大值為\(\frac{1}{4}\)。3.例3：已知\(x\gt3\)，求\(y=x+\frac{4}{x3}\)的最小值。解：因為\(x\gt3\)，所以\(x3\gt0\)。\(y=x+\frac{4}{x3}=(x3)+\frac{4}{x3}+3\)。根據基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)，這里\(a=x3\)，\(b=\frac{4}{x3}\)，則有：\((x3)+\frac{4}{x3}\geq2\sqrt{(x3)\cdot\frac{4}{x3}}=4\)。所以\(y=(x3)+\frac{4}{x3}+3\geq4+3=7\)。當且僅當\(x3=\frac{4}{x3}\)，即\((x3)^2=4\)，\(x3=2\)（因為\(x3\gt0\)），\(x=5\)時，等號成立。所以當\(x=5\)時，\(y=x+\frac{4}{x3}\)取得最小值\(7\)。（四）課堂練習1.已知\(x\gt0\)，當\(x\)取什么值時，\(y=4x+\frac{9}{x}\)的值最小？最小值是多少？2.已知\(a,b\gt0\)，且\(ab=16\)，求\(a+b\)的最小值。3.已知\(x\lt\frac{5}{4}\)，求函數\(y=4x2+\frac{1}{4x5}\)的最大值。（五）課堂小結1.基本不等式\(\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b\gt0\)），當且僅當\(a=b\)時等號成立。其幾何意義是：直角三角形斜邊上的中線不小于斜邊上的高。2.證明基本不等式的方法有比較法、分析法、綜合法等。3.應用基本不等式求最值時，要注意"一正、二定、三相等"："一正"：各項或各因式必須為正數。"二定"：必須滿足"和為定值"或"積為定值"，要湊出"和為定值"或"積為定值"的形式。"三相等"：要保證等號能取到。（六）布置作業1.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(2a+b=1\)，求\(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\)的最小值。2.某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為\(4800m^3\)，深為\(3m\)，如果池底每\(1m^2\)的造價為\(150\)元，池壁每\(1m^2\)的造價為\(120\)元，問怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少元？五、教學反思通過本節課的教學，學生對基本不等式有了較為深入的理解和掌握。在教學過程中，