2024-2025學年山東省煙臺市招遠市高二下學期第一次月考數學檢測試題注意事項：1.本試題滿分150分，考試時間為120分鐘.2答卷前，務必將姓名和準考證號填涂在答題卡上.3.使用答題紙時，必須使用05毫米的黑色簽字筆書寫，要字跡工整，筆跡清晰.超出答題區書寫的答案無效；在草稿紙?試題卷上答題無效.一?選擇題：本題共8小題，年小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.正八邊形的對角線的條數為（）A.20 B.28 C.40 D.56【正確答案】A【分析】正八邊形中，分析可得：任取2個頂點可以得到一條線段，利用組合數計算可得得到線段的數目，排除其中正八邊形的8條邊即可得答案．【詳解】正八邊形中，任取2個頂點可以得到一條線段，則可以得到條線段，其中包括了正八邊形的8條邊，則正八邊形對角線的條數為條.故選：A.2.的展開式的第6項的系數是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】先寫出二項式展開式的通項，通過通項即可求解.【詳解】由題得，令，所以，所以的展開式的第6項的系數是.故選：C.3.學校要求學生從物理?歷史?化學?生物?政治?地理這6科中選3科參加考試，規定先從物理和歷史中任選1科，然后從其他4科中任選2科，不同的選法種數為（）A.5 B.12 C.20 D.120【正確答案】B【分析】先從物理和歷史中選一科，再從剩下4科中選一科，進而用分布計數原理得到答案.【詳解】從物理和歷史中任選1科，有種，然后從其他4科中任選2科，有種，共有種.故選：B.4.已知隨機變量的分布列如下表，若，則（）PA. B. C. D.【正確答案】C【分析】由期望公式可得，結合分布列的性質有，再應用方差公式求.【詳解】由題設，，即，則，而，所以.故選：C5.5個相同的球，放入8個不同的盒子中，每個盒里至多放一個球，則不同的放法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【正確答案】B【分析】由題意可知只要從8個不同的盒子中選出5個盒子即可.【詳解】由于球都相同，盒子不同，每個盒里至多放一個球，所以只要選出5個不同的盒子即可．故共有種不同的放法故選：B6.甲、乙兩名同學參加了班級組織的數學知識有獎競答活動，二人從各自的10道題中（這20道題均不相同）各自獨立地隨機抽取2道題現場回答，已知在每人的10道題中，均有5道是代數題，5道是幾何題，則甲、乙兩名同學抽取的4道題目中有且僅有2道代數題的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據組合數分別計算求解總的抽法和有且僅有2道代數題的抽法，再應用古典概型計算即可.【詳解】甲、乙二人從各自的10道題中各自獨立地隨機抽取2道題，不同的抽法共有（種），其中有且僅有2道代數題的抽法共有（種），所以甲、乙兩名同學抽取的4道題目中有且僅有2道代數題的概率為.故選：C.7.某公司人事部門收到兩所高校畢業生的報表，分裝2袋，第一袋裝有6名男生和4名女生的報表，第二袋裝有7名男生和5名女生的報名.隨機選擇一袋，然后從中隨機抽取2份，則恰好抽到男生和女生報表各1份的概率為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】先確定選擇每一袋的概率，再分別計算從每一袋中抽到一男一女報表的概率，最后根據全概率公式計算恰好抽到男生和女生報表各份的概率.【詳解】因為是隨機選擇一袋，所以選擇第一袋和第二袋的概率均為.

第一袋中有名男生和名女生的報表，從10份報表中隨機抽取份的組合數.從名男生中選名，從名女生中選名的組合數為.所以從第一袋中抽到一男一女報表的概率為.

第二袋中有名男生和名女生的報表，從12份報表中隨機抽取份的組合數為.從名男生中選名，從名女生中選名的組合數為.所以從第二袋中抽到一男一女報表的概率為.

設事件表示“恰好抽到男生和女生報表各份”，事件表示“選擇第一袋”，事件表示“選擇第二袋”根據全概率公式，其中，，，可得：

恰好抽到男生和女生報表各份的概率為.故選：D.8.數學家波利亞說過：為了得到一個方程，我們必須把同一個量以兩種不同的方法表示出來，即將一個量算兩次，從而建立相等關系.根據波利亞的思想，由恒等式（m，）左右兩邊展開式（其中，，）系數相同，可得恒等式，我們稱之為范德蒙德恒等式，下列關于范德蒙德恒等式說法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】依據范德蒙德恒等式（，，，）,適當對賦值來判斷各個選項的正確性.【詳解】根據范德蒙德恒等式，而不是.

例如時，左邊，右邊，此時，A錯誤.

對于，這里.

根據范德蒙德恒等式，此時，.

所以，B正確.

對于，這里.

由范德蒙德恒等式，，.

所以，C正確.

對于，可以看作（因為）.

這里，，根據范德蒙德恒等式，而.

所以，D正確.故選：BCD.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對的得6分；部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知，則（）A.B.C.D.【正確答案】ABD【分析】A選項，先把拆成.分別在兩部分里找的系數，再相加得到.B選項用賦值法，令和得到兩個等式，兩式相減消去，算出.C選項令得，因，所以.D選項等價于各項系數和，令就能算出結果.【詳解】根據二項式定理，展開式的通項為（）..要求的系數，在中，令，得，此時該項系數為；在中，令，得，此時該項系數為.所以，故A選項正確.

令，得①；令，得②.①-②得，所以，故B選項正確.

令，得，又因為，所以，故C選項錯誤.

相當于的各項系數和.令，則，故D選項正確.

故選：ABD.10.一個課外興趣小組共有5名成員，其中有3名女性成員，2名男性成員，現從中隨機選取3名成員進行學習匯報，記選出女性成員的人數為，則下列結論正確的有（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】根據給定條件，求出X的分布列，再結合期望、方差的定義逐項計算判斷即得.【詳解】女性成員人數X的可能值為，則，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；對于D，，D正確.故選：BCD.11.全國高考I卷數學試題第二部分為多選題，共3個小題，每小題有4個選項，其中有2個或3個是正確選項，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.若正確答案是2個選項，只選對1個得3分，有選錯的得0分：若正確答案是3個選項，只選對1個得2分，只選對2個得4分，有選錯的得0分.小明對其中的一道題完全不會，該題有兩個正確選項的概率是，記為小明隨機選擇1個選項的得分，記為小明隨機選擇2個選項的得分，則（）A. B.C. D.【正確答案】BD【分析】分別計算出和的分布列，然后逐項進行計算即可求得.【詳解】①由題意，表示：若該題有兩個正確選項，則小明從兩個錯誤選項中選擇1個；若該題有3個正確選項，則小明從1個錯誤選項中選擇1個，則；表示：該題有3個正確選項，則小明從3個正確選項中選擇1個，則；表示：該題有2個正確選項，則小明從2個正確選項中選擇1個，則；②表示：若該題有兩個正確選項，則小明從兩個錯誤選項中選擇1個，再從兩個正確選項中選擇1個或選擇2個錯誤選項；若該題有3個正確選項，則小明從1個錯誤選項中選擇1個，再從3個正確選項中選一個，則；表示：該題有3個正確選項，則小明從3個正確選項中選擇2個，則；表示：該題有2個正確選項，則小明從2個正確選項中選擇2個，則；對于A選項，，故A錯誤；對于B選項，；；所以，B正確；對于C選項，，則，C錯誤；對于D選項，，D正確.故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.展開式中的常數項為__________.【正確答案】【分析】利用二項式定理得到展開式的通項公式，求出常數項.【詳解】的展開式通項公式為，令，解得，故，所以展開式中常數項為.故答案為.13.亞冬會期間，組委會將5名志愿者分配到三個場館進行引導工作，每個場館至少分配一人，每人只能去一個場館.若甲?乙要求去同一個場館，則所有不同的分配方案的種數為__________.【正確答案】36【分析】按照分組分配問題先將5名志愿者分情況討論并分成三組，再分配到三個場館進行計算可得結果.【詳解】第一步：先將5名志愿者分成三組，每組人數為1，1，3或1，2，2；當分為1，1，3時，且甲、乙要求去同一個場館，則甲、乙必須在3人組，因此只需從剩下的3人中任選一人，其余兩人各自一組，共有種分法；當分為1，2，2時，且甲、乙要求去同一個場館，則將剩下的3人分成兩組即可，共有種分法；第二步：再將分好的三組人員分配到三個場館，共有種分配方案；因此共種.故36.14.甲、乙兩名運動員進行乒乓球比賽，規定每局比賽勝者得1分，負者得0分，比賽一直進行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽．已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，，且每局比賽結果相互獨立．①若，則甲運動員恰好在第4局比賽后贏得比賽的概率為____________；②若比賽最多進行5局，則比賽結束時比賽局數的期望的最大值為____________．【正確答案】①②.【分析】根據題意，由條件可得甲運動員恰好在第4局比賽后贏得比賽，共兩種情況，結合概率公式，即可得到結果；求出分布列，進而求出期望，再由基本不等式與二次函數性質即可求出最值.【詳解】記事件為每局比賽“甲獲勝”，記事件為每局比賽“乙獲勝”，記事件為甲運動員恰好在第4局比賽后贏得比賽，則事件包括事件兩種情況，則；每局比賽結果僅有“甲獲勝”和“乙獲勝”，即，由題意得的所有可能取值為，則，，.所以的分布列為245所以的期望，因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，所以，故的最大值為.故答案：；.四?解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.用0，1，2，3，4，5這六個數字，能組成多少個符合下列條件的數字？（用數字作答）（1）無重復數字的四位奇數；（2）無重復數字且能被5整除的四位數；（3）無重復數字且比1203大的四位數.【正確答案】（1）144（2）108（3）287【分析】（1）先從而1，3，5中選一個排在個位；在從非0的4個數中選一個數排在千位，然后從而剩下的4個數中，選2個排在中間兩位，然后利用分步計數原理求解；（2）分為兩類，第一類：0在個位時和5在個位時求解；（3）分為四類，第一類：形如，，，，第二類：形如，，，第三類：形如，第四類：形如，第五類：形如求解.【小問1詳解】符合要求的四位奇數為：先排個位有種，再排千位有種，再排中間兩位共種，所以由分步計數原理，共有個；【小問2詳解】符合要求的數可分為兩類：第一類：0在個位時有個；第二類：5在個位時有個；故滿足條件的四位數共有（個）.【小問3詳解】符合要求的比1203大的四位數可分為四類：第一類：形如2，，，，共有個；第二類：形如，，，共有個；第三類：形如，共有個；第四類：形如123，共有個；第五類：形如，共有個，由分類加法計數原理知，無重復數字且比1203大的四位數共有（個）.16.（1）已知的展開式中，各項的系數和比各項的二項式系數和大240，求展開式中二項式系數最大的項.（2）已知的展開式中，只有第6項的二項式系數最大，求該展開式中系數最大的項.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）利用賦值法表示出系數和，由題意建立方程求得指數，結合通項即可求解；（2）由題意求得，設第項的系數最大，建立方程求得指數，代入通項即得答案.【詳解】（1）令，可得各項系數和為，展開式各項的二項式系數之和為，由已知得，即，解得或（舍去），所以，故的展開式中二項式系數最大的項為.（2）由題意可知，解得，故展開式的通項為，設第項的系數最大，則，，解得，因為，所以，故展開式中的系數最大的項為.17.某學校為了學習、貫徹黨的二十大精神，組織了“二十大精神”知識比賽，甲、乙兩位教師進行答題比賽，每局只有1道題目，比賽時甲、乙同時回答這一個問題，若一人答對且另一人答錯，則答對者獲得10分，答錯者得分；若兩人都答對或都答錯，則兩人均得0分．根據以往答題經驗，每道題甲、乙答對的概率分別為，且甲、乙答對與否互不影響，每次答題的結果也互不影響．（1）求在一局比賽中，甲得分的分布列與數學期望；（2）設這次比賽共有3局，若比賽結束時，累計得分為正者最終獲勝，求乙最終獲勝的概率．【正確答案】（1）分布列見解析，（2）【分析】（1）由題意知，取值可能為，分別求出對應的概率，寫出分布列，再由數學期望公式即可.（2）由獨立事件乘法公式及互斥事件的概率即可求出結果.【小問1詳解】取值可能為，；；，所以的分布列為010．【小問2詳解】由（1）可知在一局比賽中，乙獲得10分的概率為，乙獲得0分的概率為，乙獲得分的概率為．在3局比賽中，乙獲得30分的概率為；在3局比賽中，乙獲得20分的概率為；在3局比賽中，乙獲得10分的概率為，所以乙最終獲勝的概率為．18.為了更好了解兩會知識，某高中擬組織一次兩會知識測試，從全校學生中隨機抽取30人進行模擬測試，其中高一年級組12人，高二年級組10人，高三年級組8人，測試共分為兩輪.（1）第一輪測試按高一?高二?高三3個小組順次進行，若一切正常，參測小組完成測試的時間為20分鐘；若出現異常情況，則參測小組需要延長5分鐘才能完成測試.已知每一小組正常完成測試的概率均為，且各小組是否正常完成測試互不影響.記3個小組全部完成測試所需總時間為，求的分布列；（2）第二輪測試將3組同學混合進行排序，每位同學按排序順次進行面試，且每人測試時間相等.①求最后一名同學來自高一年級組的條件下，高二年級組同學比高三年級組同學提前完成面試的概率；②若所有參加面試的同學都可以得到一本“兩會紀念冊”，成績優秀的同學還可以多得一本“兩會紀念冊”，已知每一名同學面試成績優秀的概率均為，設這30名同學所得“兩會紀念冊”總數恰好為個的概率為，當取最大值時，求的值.【正確答案】（1）分布列見解析（2）①；②【分析】（1）寫出隨機變量的可能取值，根據對應情況求出概率，從而得到分布列；（2）①設事件：最后一名同學來自高一年級組；事件：高二年級組同學比高三年級組同學提前完成面試，根據條件概率公式計算結果.②根據題意表示，通過分析與的大小關系可得結果.【小問1詳解】由題意得，的取值可以為，，.的分布列：60657075【小問2詳解】①設事件：最后一名同學來自高一年級組；事件：高二年級組同學比高三年級組同學提前完成面試，則，，所以，所以最后一名同學來自高一年級組的條件下，高二年級組同學比高三年級組同學提前完成面試的概率為.②由題意得，，，所以，由得，，由得，，所以當時，，當時，，故當取最大值時，.19.信息在傳送中都是以字節形式發送，每個字節只有0或1兩種狀態，為保證信息在傳送中不至于泄露，往往需要經過多重加密，若，是含有一個字節的信息，在加密過程中，會經過兩次加密，第一次加密時信息中字節會等可能的變為0或1，且0，1之間轉換是相互獨立的，第二次加密時，字節中0或1發生變化的概率為，若，的初始狀態為0，1或1，0，記通過兩次加密后，中含有字節1的個數為.（1）若兩次加密后的，中字節1的個數為2，且，求，通過第一次加密后字節1的個數為2的概率；（2）若一條信息有種等可能的情況且各